適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第五章三角函數(shù)課時規(guī)范練24三角恒等變換

課時規(guī)范練24三角恒等變換基礎(chǔ)鞏固組1.(2023廣東深圳二模)已知tanα2=2,則1+cosαsinαA.22 B.2 C.2 D.2.已知sinα+π3=223,則sin2α+π6的值為()A.79 B.-C.429 D.3.化簡:sin2π3+α-sin2π6-α=()A.cos2α+4π3 B.sin2α+π6C.-cos2α-π3 D.sinπ6-2α4.公元前6世紀(jì),古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖,發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為0.618,這一數(shù)值也可以表示為m=2sin18°,若m2+n=4,則mn2sin2A.-4 B.-2 C.2 D.45.已知α,β都是銳角,且cosα+π3=1010,sinβ-π6=55,則cos(α-β)=()A.-22 B.22 C.-726.(多選)已知π4≤α≤π,π≤β≤3π2,sin2α=45,cos(α+β)=-210A.cosα=-1010B.sinα-cosα=5C.β-α=3πD.cosαcosβ=-27.(2023山東濰坊一模)已知角α在第四象限內(nèi),sin2α+3π2=12,則sinα=(A.-12 B.12 C.2-68.已知α為銳角,且sinα(3-tan10°)=1,則α=.

9.在①tan2α=43,②sinα=55這兩個條件中任選一個,補(bǔ)充到下面的問題中,已知角α是第一象限角,且.

(1)求tanα的值;(2)求sin2α+π2+cos(α+π)cosα+3π2的值.注:如果選擇兩個條件分別解答,按第一個解答計分.10.已知sinβsinα=cos(α+β),求證:tanβ綜合提升組11.函數(shù)f(x)=sin2x-4sin3xcosx(x∈R)的最小正周期為()A.π8 B.π4 C.π212.已知角α,β滿足cos2α+52cosα=sinπ3+βsinπ3-β+sin2β,且α∈(0,π),則α等于()A.π6 B.π4 C.π313.(多選)設(shè)sinβ+π6+sinβ=3+12,則sinβ-π3=()A.32 B.1C.-12 D.-14.(2023山東煙臺三模)已知α,β滿足sin(2α+β)=cosβ,tanα=2,則tanβ的值為()A.-13 B.-23 C.1315.(2023安徽桐城中學(xué)二模)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6,則sin2α+π6=()A.-1 B.-32 C.12 D16.(2023遼寧丹東二模)若cosα≠0,2(sin2α+5cosα)=1+cos2α,則tan2α=()A.-43 B.-34 C.34創(chuàng)新應(yīng)用組17.若▲表示一個整數(shù),該整數(shù)使得等式▲cos40°+3sin40°=4成立,A.-1 B.1 C.2 D.318.已知α,β∈(0,π),cosα=-31010,若sin(2α+β)=12sinβ,則α+β=A.5π4 BC.7π6 D

課時規(guī)范練24三角恒等變換1.D解析由tanα2=2,則1+cosαsinα2.A解析sin2α+π6=sin2α+π3-π2=-cos2α+π3=2sin2α+π3-1=2×89-1=79.3.B解析由題意可知,sin2π3+α-sin2π6-α=sin2π3+α-cos2π3+α=-cos2π3+α=-cos2π3+2α=cosπ3-2α=sin2α+π6,故選B.4.B解析mn2sin5.B解析因為α,β都是銳角,所以π3<α+π3<5π6,-π6<β-π6<π3,又cosα+π所以π3<α+π3<π2,0所以sinα+π3=1-cocosβ-π6=1-si所以sinα+π3-β-π6=sinα+π3cosβ-π6-cosα+π3sinβ-π6=3=22所以sinα-β+π2=22,所以cos(α-β)=226.BC解析對于A,因為π4≤α≤π,所以π2≤2α≤2π.又sin2α=45>0,故有π2≤2α≤π,π4≤α≤π2,則cos2α=-35.又cos2α=2cos2α-1,則cos2α=15,故cosα=55,故A錯誤;對于B,因為(sinα-cosα)2=1-sin2α=15,π4≤α≤π2,所以sinα>cosα,所以sinα-cosα=55,故B正確;對于C,因為π≤β≤3π2,所以5π4≤α+β≤2π.又cos(α+β)=-210<0,所以5π4≤α+β≤3π2,解得sin(α+β)=-7210,所以cos(β-α)=cos[(α+β)-2α]=-210×-35+-7210×45=-22.又因為5π4≤α+β≤3π2,-π≤-2α≤-π2,所以π4≤β-α≤π,有β-α=3π4,故C正確;對于D,cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsin7.D解析由sin2α+3π2=-cos2α=12,得cos2α=-1∴sin2α=1-又角α在第四象限內(nèi),∴sinα=-32.故選D8.40°解析由已知得sinα=13-tan10°=13-sin10°cos10°9.解(1)選①:因為tan2α=43,所以2tanα1-tan2α=43,所以2tan2α+3tanα-2=0,即(2tanα-1)(tanα+2)=0,解得tanα=12或tanα=-選②:因為sinα=55,所以cos2α=1-sin2α=45,即cosα=±255.因為角α是第一象限角,所以cosα=255,(2)sin2α+π2+cos(α+π)cosα+3π2=cos2α-cosαsinα=cos2因為tanα=12所以1-即sin2α+π2+cos(α+π)cosα+3π2=15.10.證明因為sinβsinα=cos(α所以sinβ=sinα(cosαcosβ-sinαsinβ),即sinβ(1+sin2α)=12sin2αcosβ因此tanβ=sin2α故tanβ=sin2α311.C解析f(x)=sin2x-4sin3xcosx=2sinxcosx-4sin3xcosx=2sinxcosx(1-2sin2x)=sin2xcos2x=12sin4x,所以函數(shù)的最小正周期T=2πω=12.C解析由于sinπ3+βsinπ3-β+sin2β=32cosβ+12sinβ32cosβ-12sinβ+sin2β=34cos2β-14sin2β+sin2β=34cos2β+34sin2β=34,因此cos2α+52cosα=34,即2cos2α-1+52cosα=34,解得cosα=12.又因為α∈(0,π),13.AC解析依題意sinβ+π6+sinβ=3+12,sinβ-π3+π2+sinβ-π3+π3=3+12,所以cosβ-π3+12sinβ-π3+32cosβ-π3=12sinβ-π3+3+22cosβ-π3=3+12,因此sinβ-π3+(3+2)cosβ-π3=3+1,所以cosβ-π3=(3+1)-sin(β-π3)3+2.代入sin2β-π3+cos2β-π3=1,化簡得(8+43)sin2β-π3-(23+2)sinβ-π3-(3+23)=0,兩邊除以3+2,可得4sin2β-π3+(2-23)sinβ-π3-3=0,2sinβ-π3+12sinβ-π3-3=0,解得sinβ-π3=-12或sinβ-π3=32,故選AC.14.A解析∵sin(2α+β)=cosβ,∴sin(α+α+β)=cos(α+β-α),即sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=cos(α+β)cosα+sinαsin(α+β),顯然cosα≠0,∴tanαcos(α+β)+sin(α+β)=cos(α+β)+tanαsin(α+β),2cos(α+β)+sin(α+β)=cos(α+β)+2sin(α+β),即cos(α+β)=sin(α+β),易知cos(α+β)≠0,則tan(α+β)=1,tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tan15.A解析由已知得sinα32cosα-12sinα=3cosα32sinα+12cosα,即sin2α+23sinαcosα+3cos2α=0,則(sinα+3cosα)2=0,得sinα=-3cosα,則tanα=-3,所以sin2α+π6=32sin2α+12cos2α=3sinαcosα+cos2α-12=3sinα16.D解析由題意得2cos2α=4sinαcosα+25cosα.∵cosα≠0,∴2cosα=4sinα+25,∴2cosα-4sinα=25,∴15cosα-25sinα于是cos(α+φ)=1,其中tanφ=2.∴α+φ=2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ-α,k∈Z.∴tan(2kπ-α)=2,∴-tanα=2,∴tanα=-2,從而tan2α=2tanα1-ta17.B解析因為▲cos40°+3sin40°=4,所以▲sin40°+3cos40°=2sin80°,則▲sin40°+3cos40°=2cos10°,因此▲sin40°+3cos40°=2cos(40°-30°),即▲sin40°+3cos40°=2cos40°cos30°+2sin40°sin30°,所以▲sin40°+3cos40°=2×32cos40°+2×12sin40°,即▲sin40°+3cos40°=sin40°+318.A解析由題意可知,sin(2α+β)=12sinβ,可化為sin[α+(α+β)]=12sin[(α+β)-α],展開得sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=12cosαsin(α+β