高二（上學(xué)期）期末數(shù)學(xué)(文科)試卷及答案解析

高二（上學(xué)期）期末數(shù)學(xué)（文科）試卷及答案解析

題號一二三總分

得分

一、單選題（本大題共12小題，共48.0分）

1.命題“若函數(shù)=【oj。=1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則k噌二二?：。.”的逆否命題

是（）

A.若logjNO，則函數(shù)jin=1。三二ua>0」;=I）在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

B.若logq2V0，則函數(shù)ji'J=1C￡_MG>lj.c；h1）在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

C.若logq2N0,則函數(shù)【Jd：>0.G=1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

D.若【QgJ<0,則函數(shù)口XI=1。三二MU>0.d=1）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

2.了（無）為定義在實(shí)數(shù)上的可導(dǎo)函數(shù)，且/（無）<f'（無）對任意的撫R都成立，則（）

A./C1)>ef(0),f(2013)>e20iy(0)

B.f（1）<ef(0),f(2013)>g20iy(o)

c./(l)>ef(0),f(2013)<e20iy(0)

DJ(1)<ef(0),f(2013)<e20l3f(0)

3."爛-1"是"X2-2X-3N0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.曲線>=爐+3彳在點(diǎn)A（2,10）處的切線的斜率上是（

A.4B.5C.6D.7

5.從集合的所有子集中任取一個，這個集合恰是集合的子集的概率是（）

*311

A.二B.-C.-D.-

8828

6.設(shè)拋物線C：V=2px（p>0）,過點(diǎn)M（p,0）的直線/與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)、,。為坐標(biāo)原點(diǎn),

設(shè)直線。4,的斜率分別為質(zhì)，k2,則怎%2=（）

A.-1B.2C.-2D.不確定

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7.已知函數(shù)f（x）=2ef'（e）lnx-￡則尤）的極大值點(diǎn)為（）

A.：B.1C.eD.2e

8,假設(shè)你家訂了一份牛奶，送奶工人在早上6：00-7：00之間把牛奶送到你家，你離開家去上學(xué)的時間在

早上6：30-7：30之間，則你在離開家前能收到牛奶的概率是（）

A.sB.1C.5D.\

ooZo

9.已知過拋物線y2=效的焦點(diǎn)F的直線I與拋物線相交于43兩點(diǎn),若線段A3的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,

則線段AB的長度為（）

A.6B.8C.10D.12

10.設(shè)函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為/（x）,且當(dāng)xe［0,g）時，/（x）cosx+f（x）sin.r<0,f（0）=0,下列判

斷中一定正確的是（）

>2f（1）B.fQ

C.f（ln2）>0DJ（Q〈也f（?

11.設(shè)尸2為雙曲線T：4-4=1（。>0,b>0）的右焦點(diǎn)，P是雙曲線T右支上一點(diǎn)，且滿足上吃1=2,

ab

線段P?2的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)M是線段P?2的中點(diǎn)，若［0照=3,則雙曲線T的離心率為（）

A.4°B.|C.手D.回

12.已知定義在R上的奇函數(shù)/（X）,滿足.強(qiáng)黑-3。=,點(diǎn)一磁，且在區(qū)間［0,：］上是增函數(shù),若方程

■

二碟磁二礴;“寫在區(qū)間［-06"上有四個不同的根工上,1,，則.，跑界肥:笆蚪=

A.6B.-6C.18D.0

二、單空題（本大題共4小題，共16.0分）

13.從2、3、5、7、11、13這六個質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是（結(jié)果用最

簡分?jǐn)?shù)表示）.

14.若曲線在點(diǎn)（1,左）處的切線與直線x+2y-l=0垂直，則:.

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22

15.已知點(diǎn)E是雙曲線?彳=1（a>0,6>0）的左頂點(diǎn)，點(diǎn)歹是該雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)P且垂直于x軸的

ab

直線與雙曲線交于A,3兩點(diǎn)，若AABE是直角三角形，則該雙曲線的離心率是,漸近線的方程

為.

16.函數(shù)/'（x）=+cos2x（%e（0,金）的極小值是.

三、解答題（本大題共6小題，共56.0分）

17.求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（l）a=4,b=5,焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）焦點(diǎn)在y軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.已知函數(shù)/（無）=fwc-\wc-l（機(jī)eR）,函數(shù)/（無）的圖象經(jīng)過（0,1）,其導(dǎo)函數(shù)F（x）的圖象是斜

率為-a,過定點(diǎn)（-1,1）的一條直線.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)機(jī)=0時，不等式P（x）<f（x）恒成立，求整數(shù)。的最小值.

19.一份某種意外傷害保險費(fèi)為20元、保險金額為45萬元.某城市的一家保險公司一年能銷售10萬份保

單，而需要賠付的概率為IO-6.選擇合適的方法并利用計算機(jī)或計算器求:

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(1)這家保險公司虧本的概率：

(2)這家保險公司一年內(nèi)獲利不少于110萬元的概率.

20.在一次商貿(mào)會上，甲、乙兩人相約同一天上午前去洽談，若甲計劃在9：00-9：40之間趕到，乙計劃在

9：20-10：00之間趕到，求甲比乙提前到達(dá)的概率.

21.已知兩點(diǎn)耳(-1,0)及ZQ0),點(diǎn)尸在以F、F：為焦點(diǎn)的橢圓C.上，且|尸石|、|三尸：|、|尸產(chǎn)：|構(gòu)成等

差數(shù)列.

(1)求橢圓C.的方程；

(2)如圖7,動直線「與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)是直線，上的兩點(diǎn)，且

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F\!」,F：,求四邊形,罹:嬤場!面積S的最大值.

22.已知『。)=總七是定義在［-1,1］上奇函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)。，6的值；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并用定義證明;

(3)解不等式：/(r+1)+r(20<0.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】試題分析：先對命題取逆，然后取否可得“若1?！甓憾?。，則函數(shù),N=1?！?。,0.。工1)在其

定義域內(nèi)不是減函數(shù)”，選A.

考點(diǎn)：命題及其關(guān)系.

2.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?(無)<f(x),

所以/(x)-f(x)>0,兩邊同乘以夕”>0得：

f(x)ex-f(x)e'x>0,

所以：［f(x)exY>0,

所以：H孚］'>o,

e

所以：綽是增函數(shù)，

e

所以1>0,

所以：竽〉孥，即/(I)>ef(0)；

寫3〉號，即/(2013)>e2013f(0).

故選A.

f(y

根據(jù)/(X)<f'(x)構(gòu)造函數(shù)學(xué)x，得出其單調(diào)性，然后判斷即可.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

3.【答案】A

【解析】

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【分析】

本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

由X2-2X-3N0,解出不等式即可判斷出結(jié)論.

【解答】

解：由X2-2X-3K),解得：x>3,或g-1.

??.“W1”是“娟2『3對”的充分不必要條件.

故選：A.

4.【答案】D

【解析】解：y'=2x+3,

曲線產(chǎn)N+3x在點(diǎn)A(2,10)處的切線的斜率

k=y'IV=2=2X2+3=7,

故選：D.

曲線尸l+3x在點(diǎn)A(2,10)處的切線的斜率左就等于函數(shù)產(chǎn)/+3x在點(diǎn)A(2,10)處的導(dǎo)數(shù)值，求解即可.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】試題分析：因?yàn)椋鹮b,c｝的子集有：丸,｝,e｝,｛?。?。力｝,｛4a,｛"?。?立￡：共8個(也可用公

式計算2二,、的子集數(shù)：丁=8,其中3表示集合中元素的個數(shù))，而集合|心」；的子集有：

口沁；.；6｝.；43；共4個，故所求的概率為d-！,故選C.

82

考點(diǎn)：1.集合的基本概念；2.古典概率.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

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利用0A的斜率求出。A的方程，與拋物線聯(lián)立求出A的坐標(biāo)，然后求解3的坐標(biāo)，利用三點(diǎn)共線，化簡求

解即可.

【解答】

2p2D

解：由題意可得。4的方程為：尸由x與拋物線C：>2=2內(nèi)(p>0),聯(lián)立可得A(啟，?)，

2p2v

同理可得3(第，,由題意可知A、M,5三點(diǎn)共線，

所以BM〃MA，

-_空2p"_2p2p

BM~'P-抬’入),MA~1葉-P，k[)'

可得:-喟N).*溫)?1,

化簡可得抬%2-2&=k]k；-2k],

(傷―卜1)(竹%2+2)=0,

由題意易得，讓彳意,???姮上2+2=0

可得kik^-2.

故選：C.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求出/(e)的值是解題的關(guān)鍵.

求出，(e)的值，求出函數(shù)7(%)的解析式，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出

函數(shù)的極大值點(diǎn)即可.

【解答】

解：/⑴=中;，

令x=e,可得：f(e)=；,

x21

?1?/(x)=21nx--,f(x)=~,

21

令/(x)=--->0,解得：0<x<2^；

令f'(x)<0,解得：x>2e.

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故/(x)在(0,2e)遞增，在(2e,+<x>)遞減,

.-.x=2e時,f(x)取得極大值21n2,

則/'(x)的極大值點(diǎn)為：2e.

故選：D.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查與面積有關(guān)的幾何概型，設(shè)送奶工人到達(dá)的時間為x,此人離家的時間為y,以橫坐標(biāo)表示牛奶送到

時間，以縱坐標(biāo)表示此人離家時間，建立平面直角坐標(biāo)系，作圖求面積之比即可求解.

【解答】

解：設(shè)送奶人到達(dá)的時間為x,此人離家的時間為y,

以橫坐標(biāo)表示奶送到時間，以縱坐標(biāo)表示此人離家時間，

建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，

則此人離開家前能收到牛奶的事件構(gòu)成區(qū)域如圖示，

離家時間］

。二:0‘07；00牛病送到時間

???所求概率P=lJx)xH；

故選D.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了拋物線的定義，在涉及拋物線的焦點(diǎn)弦問題時，常需要借助拋物線的定義來解決，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)拋物線的定義可知|AB|=xi+x2+p,而線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,求得XI+X2=6,進(jìn)而求得AB的長度.

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【解答】

解：由拋物線的方程可得P=2,設(shè)4。1%)夙%丫2),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得叼+%2=6,

由拋物線定義得=4+1+*2+￡=+*2+P=8，

故選B.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)，判斷函數(shù)值的大小，關(guān)鍵是構(gòu)造合適的函數(shù)，屬

于中檔題.

設(shè)g00=祟，則可判斷g(x)在xe［0,g)上單調(diào)遞減，利用g(x)的單調(diào)性即可判斷?

【解答】

解：,?/(x)對于任意的疣［0,1)滿足/(x)cosx-i/(x)sinx<0,

令g(x)=—,

,f'(x)cosx+fQx~)sinx

.■.g⑴=—工—

(x)在［0,9上單調(diào)遞減，

*G)<gG)，

.?.㈣<%,可得了《)>囪專.

cos’cos^

故選&

n.【答案】c

【解析】根據(jù)已知得到AFiPF?是直角三角形，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合直角三角形的勾股定理建立方程關(guān)系

進(jìn)行求解即可..本題主要考查雙曲線離心率的計算，判斷三角形是直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.屬于

中檔題.

解：如圖，設(shè)尸1為雙曲線T：=1(〃>0，。>0)的左焦點(diǎn)，

a1/

依題意可得OM是△PQB的中位線，PFi=6,PF1IPF2,

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.?.PF：+P/*4c2,即c=^/10.

2〃=PFi-尸尸2=4,a=2,

則雙曲線T的離心率為：=挈.

aN

12.【答案】B

【解析】試題分析：舞k-於=展一球即凝十尊二旗城。又奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以如果三，-■；

是方程”煦:，二叫的根，則一——3,―---3也是該方程的根，所以演書:樂窄照:苦料=一6,

故選人

考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程的根與圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系。

點(diǎn)評：利用函數(shù)的奇偶性及圖象的對稱性，確定得到方程根的關(guān)系，從而求得三二之和。

13.【答案】|

【解析】解：從2、3、5、7、11、13這六個質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)，共有牖=15種取法，

取出的兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)共有(2,3),(2,5),(2,11)3種取法，

故兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是

故答案為：

分別求出任取兩個數(shù)的種數(shù)和取出的兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的種數(shù)，然后由古典概型的計算公式求解即可.

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本題考查古典概型公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是求出總的基本事件數(shù)以及滿足條件的基本事件數(shù)，屬于基礎(chǔ)

題.

14.【答案】|

【解析】解：?.7=fa：2+liu,

■"'y'=2"則k=i=24+1,

,?,曲線廣叱+向在點(diǎn)（1,k）處的切線與直線x+2y-l=0垂直，

（2K1）x（-1）=-1,解得:k=^.

故答案為：I

求導(dǎo)函數(shù)，然后確定切線的斜率，利用曲線產(chǎn)依2+lru在點(diǎn)（1,左）處的切線與直線x+2y-l=0垂直，建立等

式，解之即可求出所求.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究在曲線某點(diǎn)處的切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

15.【答案】2；y=+^3x

【解析】解：???△”￡是直角三角形，.??乙4即為直角，

???雙曲線關(guān)于x軸對稱，且直線垂直x軸，

.■,ZAEF=zB￡F=45°,

■■.\AF\=\EF\,

??/為右焦點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（c,0）,

22

令x=c,則—=1,

ab

則有產(chǎn)土一，

,2

aMEF\=a+c,

b2

??—=a+c

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:.e2-e-2=0,

.e>1,：,e=2,

22

由c=2a,貝!Jb=^c-a=^af

則雙曲線的漸近線方程為尸土"即有產(chǎn)土根r.

故答案為：2,y=+^3x.

利用雙曲線的對稱性及直角三角形，可得ZAEF=45。，從而|AF|=|EF|,求出八八\EF],得到關(guān)于a,b,c的

等式，即可求出離心率的值和漸近線方程.

本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數(shù)關(guān)系：，=4+62、考查雙曲線的離心率和漸近線方程，屬于

中檔題.

16.【答案】_|+空

【解析】解：f(x)=V3-2sin2x,

,?,%e(0,今，-2x6(0,71),

.,.-2sin2xG(-2,2),

令f(x)>0,解得：OVxV?或

令f(x)<0,解得：l<x<l

故/⑴在(O,Q遞增，在吟，I)遞減，在&遞增，

故/(X)極小值=/(2)=一]+等，

故答案為：—]+學(xué).

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道常規(guī)題.

17.【答案】解：(1)由題意，設(shè)方程為瓦=l(a〉0,b>0),

ab

b=5f

???〃2=16,b2=25,

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22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是3-焉=1.

IoZ3

(2)???焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2,

.,.2p=4,

???當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐=分或x2=-4y.

【解析】(1)設(shè)出雙曲線方程，結(jié)合a,b的值即可確定其方程；

(2)首先求得2P的值，然后寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

本題主要考查雙曲線方程的求解，拋物線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)f(x)=m--

當(dāng)?ngO時，f(x)<0,所以/(%)在(0,+oo)單調(diào)遞減；

當(dāng)小>0時，令f(x)

當(dāng)xE(0,：)時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xE(1,+oo)時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)機(jī)豈)時，f(x)在(0,+oo)單調(diào)遞減；當(dāng)相>0時，f(x)在(0,；)單調(diào)遞減，在(：，+oo)

單調(diào)遞增.

(2)由題意，F(xiàn)(x)=-a(x+1)+X=-ax+\-a,所以/(x)=-^x2+(La)x+c,

因?yàn)榉?x)過點(diǎn)(0,|),所以尸(0)=c=|,所以/(x)=-，+(1-a)x+|.

F(X)9(x)o-#+(<a)x+lnx+l<o

令x=l,則孑1-a+lSO今〃弓，又。是整數(shù)，所以。的最小值為2.

當(dāng)a=2時，F(xiàn)(無)<f(x)<=>-x2-x+lnx+l<0,

因?yàn)閘iu<x-l,所以-尤2-3+10%+1￡苫2<0恒成立.

綜上，整數(shù)。的最小值為2.

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的解析式中含有參數(shù)力,根的取值會影響了(x)的單調(diào)性，所以要分類討論.

(2)相比”求實(shí)數(shù)a的最小值”這種問題，整數(shù)可以有不一樣的做法，可以先通過龍的一些取值確定a的

下界，再代入求得a的最小值.

本題考察導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，用到了分類討論等方法.在(2)的處理上更是有多種方法，可以分類討論、直

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接求解等，比較各種方法發(fā)現(xiàn)，先用試驗(yàn)找到最小值是最簡潔的做法，本題屬于難題.

19.【答案】解：(1)由題意可得10萬人參保，可看作10萬次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每人是否遭遇意外傷害相互

獨(dú)立，

用X表示10萬人中遭遇意外傷害的人數(shù)，每人遭遇意外的概率為10-6,

則X?B(100000,0.000001),

這家保險公式虧本的概率P(X>4)=1-P(X<4)~l-0.999999923=7.7xl0-8.

即這家保險公司虧本的概率約為7.7X10-8.

(2)這家保險公司一年內(nèi)獲利不少于110萬元即一年內(nèi)最多2人出險，

故概率尸(X<2)=P(X=2)+P(X=l)+P(X=0)wo.999845351

【解析】(1)結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可知其概率為P(X>4),結(jié)合對立事件可求；

(2)這家保險公司一年內(nèi)獲利不少于110萬元即一年內(nèi)最多2人出險，概率P(X<2)=P(X=2)+P(X=D

+P(X=0),代入可求

本題主要考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的求解，熟悉基本公式是求解問題的關(guān)鍵.

20.【答案】解：從9：00開始計時，設(shè)甲到達(dá)的時刻為x分，乙到達(dá)的時

刻為y分，

則(x,y)可以看作坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，

試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤?{(x,y)|0<A<40,20<y<60}

對應(yīng)的圖形為正方形ABC，其面積為S=40x(60-20)=1600.

記事件A="甲比乙提前到達(dá)”,

構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳={(x,y)|0<x<40,20<y<60,且y>x},

對應(yīng)的圖形為五邊形CDEFB,即圖中的陰影部分，

其面積為SI=S-|X202=1400.

因此，事件A發(fā)生的概率為

答：甲比乙提前到達(dá)的概率為1

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【解析】從9：00開始計時，設(shè)甲到達(dá)的時刻為x分，乙到達(dá)的時刻為了分.在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)，作出試驗(yàn)

的全部結(jié)果對應(yīng)的正方形ABC。和事件“甲比乙提前到達(dá)”對應(yīng)的五邊形CDEb8（圖中的陰影部分），算

出它們的面積并利用幾何概型公式加以計算，可得甲比乙提前到達(dá)的概率.

本題給出兩人約會的事件，求事件“甲比乙提前到達(dá)”的概率，著重考查了二元一次不等式組表示的平面

區(qū)域、平面圖形的面積計算和幾何概型公式等知識，屬于中檔題.

21.【答案】⑴橢圓。的方程為三-：=1.（2）以四邊形,耶嬤展!的面積S的最大值為:招。

43

【解析】試題分析：（1）依題意，設(shè)橢圓C.的方程為=H-

幟月卜歸/^構(gòu)成等差數(shù)列,

2a=附卜|?凡=2|同=4,a=2-

又丁。=1，.3=3?

.橢圓C的方程為工-L=l.4分

43

⑵將直線的方程=kx+*代入橢圓C的方程胃￡14屋=：1巳中，得

（4i:+3）x2+8tonr+4m2-12=0.5分

由直線；與橢圓C僅有一個公共點(diǎn)知，A-4<4好+3X4m2-12）=0，

化簡得：”」=；?：.7分

設(shè)4M區(qū)”上案三1,同=怩.川=京鼻，9分

（法一）當(dāng)左H。時，設(shè)直線：的傾斜角為6，

則匕■聞二網(wǎng)x|.M，

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?%：=4內(nèi)+3，當(dāng)txO時，M>石，M+網(wǎng)石，S<2,/3?

當(dāng)上=0時，四邊形￡T八？":是矩形，5=?、，'；.13分

所以四邊形月".\F：面積5的最大值為工，三.14分

、、一女十帆

(法一)--―--二(/，V丁+(/、