【完整版】2020年北京市西城區(qū)高三一模數(shù)學試卷逐題解析

/2020年北京市西城區(qū)高三一模數(shù)學考試逐題解析2020.4本試卷分為第I卷〔選擇題〕和第II卷〔非選擇題〕兩局部,總分值150分,考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案寫在答題紙上,在試卷上作答無效。考試完畢后,將本試卷和答題紙一并交回。第I卷〔選擇題共40分〕一、選擇題：共10小題,每題4分,共40分。在每題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。1. 設(shè)集合,或,那么〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】C【解析】此題考察集合的運算.,,或由集合的運算法那么可知:或應(yīng)選C.

2. 假設(shè)復(fù)數(shù),那么〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】B【解析】此題考察復(fù)數(shù).應(yīng)選B.3. 以下函數(shù)中,值域為且為奇函數(shù)的是〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】C【解析】此題考察函數(shù)奇偶性和值域.A選項,非奇非偶函數(shù),值域為;B選項,奇函數(shù),值域為;C選項,,故為奇函數(shù),且值域為;D選項,非奇非偶函數(shù),值域為.應(yīng)選C.

4. 設(shè)等差數(shù)列的前項和為,假設(shè),那么〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】B【解析】此題考察等差數(shù)列.設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為.,解得,應(yīng)選B.5. 設(shè),那么以線段為直徑的圓的方程是〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】A【解析】此題考察圓的標準方程.由題意可知,為直徑,所以圓心為中點.且半徑為,所以圓方程為.應(yīng)選A.

6. 設(shè)為非零實數(shù),且,那么〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】C【解析】此題考察不等式.當時,,但,A選項錯誤;當時,,但,B選項錯誤;因為,所以,即,C選項正確;當時,,但,D選項錯誤.應(yīng)選C.7. 某四棱錐的三視圖如下圖,記為此棱錐所有棱的長度的集合,那么〔A〕,且〔B〕,且〔C〕,且〔D〕,且【答案】D【解析】此題考察三視圖.四棱錐的直觀圖如下圖:由圖可知,;;;所以.因此,且,應(yīng)選D.8. 設(shè)為非零向量,那么“〞是“與共線〞的〔A〕充分而不必要條件 〔B〕必要而不充分條件〔C〕充要條件 〔D〕既不充分也不必要條件【答案】A【解析】此題考察平面向量.當兩個非零向量方向一樣時,,當兩個非零向量方向相反時,,所以“〞是“與共線〞的充分而不必要條件.應(yīng)選A.

9. 函數(shù)的局部圖象如下圖,將此圖象分別作以下變換,那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有①繞著軸上一點旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對稱.〔A〕①③ 〔B〕③④〔C〕②③ 〔D〕②④【答案】D【解析】此題考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).由題可得:定義域內(nèi)任意,,所以為的周期,故可沿軸正方向平移單位后,與原圖象重合,②正確;又因為,都關(guān)于對稱,所以的圖象關(guān)于對稱,④正確;由函數(shù)定義可得:圖象不可能關(guān)于軸對稱,③錯誤;由圖易得函數(shù)圖象不關(guān)于對稱,①錯誤.應(yīng)選D.

10. 設(shè)函數(shù)假設(shè)關(guān)于的方程有四個實數(shù)解,其中,那么的取值范圍是〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】B【解析】此題考察函數(shù)的圖象及性質(zhì).有四個實數(shù)解即與的圖象有四個不同的交點.所以由題可得且即,所以,即所以又因為在為減函數(shù),所以所以應(yīng)選B.

第II卷〔非選擇題共110分〕二、填空題：共5小題,每題5分,共25分。11. 在的展開式中,常數(shù)項為.〔用數(shù)字作答〕【答案】20【解析】此題考察二項式定理.,令,即,所以常數(shù)項為.12. 假設(shè)向量滿足,那么實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】此題考察平面向量數(shù)量積.因為向量,所以.整理得到,所以的取值范圍是.13. 設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,那么該雙曲線的離心率為.【答案】【解析】此題考察雙曲線.由雙曲線方程可知.因為雙曲線的一條漸近線方程為,所以.又因為在雙曲線中,所以.故雙曲線的離心率為.14. 函數(shù)的最小正周期為;假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,那么的最大值為.【答案】;【解析】此題考察三角函數(shù).由題可知,函數(shù)的最小正周期.又因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,,所以只需滿足,即,所以的最大值為.15. 在一次體育程度測試中,甲、乙兩校均有名學生參加,其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為,女生成績的優(yōu)秀率為;乙校男生成績的優(yōu)秀率為,女生成績的優(yōu)秀率為.對于此次測試,給出以下三個結(jié)論:①甲校學生成績的優(yōu)秀率大于乙校學生成績的優(yōu)秀率;②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率;③甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中,所有正確結(jié)論的序號是.【答案】②③【解析】此題考察統(tǒng)計根底.由題可設(shè),甲乙兩校男女生人數(shù)如下:男生女生甲校乙校其中.甲校優(yōu)秀率設(shè)為乙校優(yōu)秀率設(shè)為,全部優(yōu)秀率設(shè)為所以,.所以當時,當時,當時,故①錯誤.男生優(yōu)秀率女生優(yōu)秀率所以甲乙兩校男生優(yōu)秀率高于女生優(yōu)秀率.故②正確.當時,當時,當時,故③正確.綜上所述,②③正確.

三、解答題：共6小題,共85分。解容許寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。16. 〔本小題總分值14分〕如圖,在四棱柱中,平面,底面滿足,且,.〔Ⅰ〕求證:平面;〔Ⅱ〕求直線與平面所成角的正弦值.【解析】〔Ⅰ〕因為在底面中,,所以,即.因為平面,平面,所以,又因為,平面,所以平面.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得兩兩垂直,故分別以,,為軸,軸,軸,如圖建立空間直角坐標系,在底面中,為等腰直角三角形,,所以,又因為,所以為等腰直角三角形,即.那么,,,,,所以,,,設(shè)平面的法向量,由,得令,得.設(shè)直線與平面所成的角為,那么,所以直線與平面所成角的正弦值為.17. 〔本小題總分值14分〕滿足且求的值及的面積.從①②,③這三個條件中選一個,補充到上面問題中,并完成解答.注:假如選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.【解析】〔不可以選擇=2\*GB3②作為補充條件.〕選①時,在中,,所以.在中,由正弦定理得,所以,所以的面積.選③時,在中,由正弦定理得,且,所以,因為在中,,所以,因為,,所以,那么..所以的面積.18. 〔本小題總分值14分〕2019年底,北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募,僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便打破60萬,其中青年學生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學生志愿者中,按男女分層抽樣隨機選取20人進展英語程度測試,所得成績〔單位:分〕統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:〔Ⅰ〕試估計在這50萬青年學生志愿者中,英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);〔Ⅱ〕從選出的8名男生中隨機抽取2人,記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望;〔Ⅲ〕為便于聯(lián)絡(luò),現(xiàn)將所有的青年學生志愿者隨機分成假設(shè)干組〔每組人數(shù)不少于〕,并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡(luò)員,要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù),以頻率作為概率,給出的最小值.〔結(jié)論不要求證明〕【解析】〔Ⅰ〕由圖表可知,測試成績在80分以上的女生有2人,占比為,故在這50萬青年學生志愿者中,英語測試成績在80分以上的女生約為萬人.〔Ⅱ〕由圖表知,選取的8名男生中,成績在70分以上的有3人,70分及其以下的有5人,由題意,隨機變量的所有可能取值為:0,1,2且;;.所以隨機變量的分布列為:012所以.〔Ⅲ〕m的最小值為4.解析:在抽取的20人中英語成績在70分以上者共計10人,所以在這20人中隨機抽取一人,其英語成績在70分以上的概率為.在超過5000人的青年志愿者中抽取人,其英語成績在70分以上至少一人為事件,那么,由此得,所以的最小值為4.19. 〔本小題總分值14分〕設(shè)函數(shù),其中.〔Ⅰ〕假設(shè)曲線在點處切線的傾斜角為,求的值;〔Ⅱ〕導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點,證明:當時,.【解析】〔Ⅰ〕由題意,得那么,解得.〔Ⅱ〕,其中.令,得或.由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點,得,即.隨著變化,與的變化情況如下表所示:0↘極小值↗所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以在上存在最小值.設(shè),,那么,.所以.由,得,,那么.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以,即故當時,20. 〔本小題總分值15分〕設(shè)橢圓,直線經(jīng)過點,直線經(jīng)過點,直線直線,且直線分別與橢圓相交于兩點和兩點.〔Ⅰ〕假設(shè)分別為橢圓的左、右焦點,且直線軸,求四邊形的面積;〔Ⅱ〕假設(shè)直線的斜率存在且不為,四邊形為平行四邊形,求證:;〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的條件下,判斷四邊形能否為矩形,說明理由.【解析】〔Ⅰ〕由題知,又因為直線直線且軸,所以.因為直線分別與橢圓相交于兩點和兩點,所以此時四邊形為矩形,所以.〔Ⅱ〕因為直線直線且直線的斜率存在且不為,所以設(shè)直線與直線的斜率為.那么設(shè)同理,設(shè)假設(shè)四邊形為平行四邊形,那么,因為,整理得到:即又因為是四邊形,所以即〔Ⅲ〕法一:四邊形不能為矩形,理由如下:點到直線和直線的間隔分別為,由〔Ⅱ〕知且,所以點到直線和直線的間隔相等.根據(jù)橢圓的對稱性,故而原點是平行四邊形的對稱中心.假設(shè)平行四邊形是矩形,那么,那么,那么,所以.這時直線軸.這與直線的斜率存在相矛盾,所以假設(shè)不成立.所以四邊形不能為矩形.法二:四邊形不能為矩形,理由如下:在〔Ⅱ〕的條件下,可知關(guān)于原點對稱,因為,所以所以即平行四邊形的鄰邊不垂直,所以四邊形不能為矩形.21. 〔本小題總分值14分〕對于正整數(shù),假如個整數(shù)滿足,且,那么稱數(shù)組為的一個“正整數(shù)分拆〞.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆〞的個數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆〞的個數(shù)為.〔Ⅰ〕寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆〞;〔Ⅱ〕對于給定的整數(shù),設(shè)是的一個“正整數(shù)分拆〞,且,求的最大值;〔Ⅲ〕對所有的正整數(shù),證明:;并求出使得等號成立的的值.〔注:對于的兩個“正整數(shù)分拆〞與,當且僅當且時,稱這兩個“正整數(shù)分拆〞是一樣的.〕【解析】〔Ⅰ〕,,,,.〔Ⅱ〕由題意,知,且,得,即.所以當是偶數(shù)時,的最大值是〔此時,是的一個“正整數(shù)分拆〞〕;當是奇數(shù)時,的最大值是〔此時,是的一個“正整數(shù)分拆〞〕.〔Ⅲ〕當為奇數(shù)時,由題意,得;且是的一個各位數(shù)字均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆〞,所以,故.

當為偶數(shù)時,由是各位數(shù)字均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆〞,是各位數(shù)字均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆〞,得,.①當時,的“正整數(shù)分拆〞只有和,所以;②當時,由〔Ⅰ〕知,;③當為大于的偶數(shù)時,因為對于的任意一個各位數(shù)字均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆〞,都存在一個與之對應(yīng)的各位數(shù)字均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆〞.且當不同時,其對應(yīng)的也不一樣,所以