湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2022～2023學(xué)年度下學(xué)期期末聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)考試時(shí)間：2023年6月27日下午14:00－16:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則為()．A. B.5 C.2 D.2.從小到大排列數(shù)據(jù)1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位數(shù)為()．A.3 B. C.8 D.3.已知平面向量，，那么在上的投影向量的坐標(biāo)是()．A. B.C. D.4.圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1和5，且圓臺(tái)的母線長為5，則該圓臺(tái)的體積是()．A. B. C. D.5.在邊長為4的正方形中，動(dòng)圓Q的半徑為1、圓心在線段(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是()．A. B. C. D.6.某校高三(1)班(45人)和高三(2)班(30人)進(jìn)行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班共抽取10名同學(xué)，相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：高三(1)班答對題目的平均數(shù)為，方差為；高三(2)班答對題目的平均數(shù)為，方差為，則這10人答對題目的方差為()A. B. C. D.7.某數(shù)學(xué)興趣小組要測量一個(gè)球體建筑物的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)(切點(diǎn))，地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若小明同學(xué)在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為和，且米，則該球體建筑物的高度為()米．A. B. C. D.8.已知正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為，的中點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作與垂直的平面，則平面截正四棱錐所得的截面面積為()．A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，是方程的三個(gè)解，則下列說法正確的是()．A. B.C.，，中有一對共軛復(fù)數(shù) D.10.伯努利試驗(yàn)是在同樣條件下重復(fù)地、相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種隨機(jī)試驗(yàn)，其特點(diǎn)是每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果．若連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，記錄這n次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)事件M＝“n次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面”，事件N＝“n次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，最多只出現(xiàn)一次反面”，則下列結(jié)論正確的是()．A.若，則M與N不互斥 B.若，則M與N相互獨(dú)立C.若，則M與N互斥 D.若，則M與N相互獨(dú)立11.已知P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確是()．A.若，則P是的重心B.若P與C不重合，，則P在的高線所在的直線上C.若，則P在的延長線上D.若且，則的面積是面積的12.如圖，在四邊形中，和是全等三角形，，，，．下面有兩種折疊方法將四邊形折成三棱錐．折法①；將沿著折起，得到三棱錐，如圖1．折法②：將沿著折起，得到三棱錐，如圖2．下列說法正確的是()．A.按照折法①，三棱錐的外接球表面積恒為B.按照折法①，存在滿足C.按照折法②﹐三棱錐體積的最大值為D.按照折法②，存在滿足平面，且此時(shí)與平面所成線面角正弦值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在正三角形中，，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，則__________．14.從A，B等5名志愿者中隨機(jī)選3名參加核酸檢測工作，則A和B至多有一個(gè)入選的概率為__________．15.已知向量，滿足，，則的最大值為__________．16.如圖是一座山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂S的距離為，B是山坡上一點(diǎn)，且，．為了發(fā)展當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路．若從A出發(fā)沿著這條公路到達(dá)B的過程中，要求先上坡，后下坡．則當(dāng)公路長度最短時(shí)，的取值范圍為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.某校為了提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，舉辦了一場數(shù)學(xué)趣味知識(shí)答題比賽活動(dòng)，共有1000名學(xué)生參加了此次答題活動(dòng)．為了解本次比賽的成績，從中抽取100名學(xué)生的得分(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．所有學(xué)生的得分都不低于60分，將這100名學(xué)生的得分進(jìn)行分組，第一組，第二組，第三組，第四組(單位：分)，得到如下的頻率分布直方圖．(1)求圖中m的值，并估計(jì)此次答題活動(dòng)學(xué)生得分的中位數(shù)；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次答題活動(dòng)得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，請估計(jì)參賽的學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎(jiǎng)．(以每組中點(diǎn)作為該組數(shù)據(jù)的代表)18.某電視臺(tái)舉行沖關(guān)直播活動(dòng)，該活動(dòng)共有三關(guān)，只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，參加活動(dòng)的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過率為0.7，第二關(guān)通過率為0.5，第三關(guān)的通過率為0.3，三關(guān)全部通過可以獲得一等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金為300元)，通過前兩關(guān)就可以獲得二等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金為200元)，如果獲得二等獎(jiǎng)又獲得一等獎(jiǎng)，則獎(jiǎng)金可以累加為500元.假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動(dòng).(1)求甲最后沒有得獎(jiǎng)的概率；(2)已知甲和乙都通過了第一關(guān)，求甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為700元的概率.19.已知為銳角三角形，且．(1)若，求；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍．20.已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，，側(cè)面是正三角形，側(cè)棱長，如圖所示．(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．21.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足．(1)當(dāng)時(shí)，求值；(2)當(dāng)，且取得最大值時(shí)，求的面積．22.如圖，在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，為直角三角形，其中D為直角頂點(diǎn)，．E、F，G、H分別是線段、、、上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形為平行四邊形．(1)當(dāng)二面角從增加到的過程中，求線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積；(2)設(shè)，，且是以為底的等腰三角形，當(dāng)為何值時(shí)，多面體的體積恰好為．

武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2022～2023學(xué)年度下學(xué)期期末聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：湖北省武昌實(shí)驗(yàn)考試時(shí)間：2023年6月27日下午14:00－16:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則為()．A. B.5 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法除法法則，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，得，所以，所以.故選：D.2.從小到大排列的數(shù)據(jù)1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的下四分位數(shù)為()．A.3 B. C.8 D.【答案】B【解析】【分析】利用下四分位數(shù)的公式求解.【詳解】共12個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，，故下四分位數(shù)為第3個(gè)數(shù)據(jù)和第4個(gè)數(shù)據(jù)平均值，即.故選：B3.已知平面向量，，那么在上的投影向量的坐標(biāo)是()．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的公式以及向量數(shù)量積和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】平面向量，，在上的投影向量為，所以在上的投影向量的坐標(biāo)是.故選：C4.圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是1和5，且圓臺(tái)的母線長為5，則該圓臺(tái)的體積是()．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑分別是1和5，且圓臺(tái)的母線長為5，所以該圓臺(tái)的高為，則該圓臺(tái)的體積為.故選：B.5.在邊長為4的正方形中，動(dòng)圓Q的半徑為1、圓心在線段(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是()．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，結(jié)合圖形關(guān)系即可求解最值.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由數(shù)量積的幾何意義可知：等于與在上的投影的乘積，故當(dāng)在上的投影最大時(shí)，數(shù)量積最大，此時(shí)點(diǎn)在以為圓心的圓的最上端處，此時(shí)投影為，故數(shù)量積為，故當(dāng)在上的投影最小時(shí)，數(shù)量積最小，此時(shí)點(diǎn)在以為圓心的圓的最下端處，此時(shí)投影為，故數(shù)量積為,故，故選：A6.某校高三(1)班(45人)和高三(2)班(30人)進(jìn)行比賽，按照分層抽樣的方法從兩個(gè)班共抽取10名同學(xué)，相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：高三(1)班答對題目的平均數(shù)為，方差為；高三(2)班答對題目的平均數(shù)為，方差為，則這10人答對題目的方差為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)分層抽樣求各層的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)、方差的公式運(yùn)算求解.【詳解】由分層抽樣可得高三(1)班抽取的人數(shù)為，高三(2)班抽取的人數(shù)為，設(shè)高三(1)班(6人)答對題目數(shù)依次為，高三(2)班(4人)答對題目數(shù)依次為，由題意可得：，可得，則這10人答對題目的平均數(shù)，這10人答對題目的方差.故選：D.7.某數(shù)學(xué)興趣小組要測量一個(gè)球體建筑物的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)(切點(diǎn))，地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若小明同學(xué)在B，C處分別測得球體建筑物的最大仰角為和，且米，則該球體建筑物的高度為()米．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)可得，利用，求解即可得所求．【詳解】如圖，設(shè)球心為，連接，則設(shè)球的半徑為，則，，，，則該球體建筑物的高度為米．故選：B．8.已知正四棱錐的底面邊長為1，側(cè)棱長為，的中點(diǎn)為E，過點(diǎn)E作與垂直的平面，則平面截正四棱錐所得的截面面積為()．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出平面截正四棱錐所得的截面，再借助余弦定理、三角形面積公式求解作答.【詳解】在正四棱錐中，連接，則，是正三角形，由的中點(diǎn)為E，得，而，則，在中，，，令平面與直線交于，連，則，，即點(diǎn)在棱上，同理平面與棱相交，令交點(diǎn)為，連，于是四邊形為平面截正四棱錐所得的截面，由對稱性知，在中，，而，在中，，由余弦定理得，在中，，，所以所得截面面積.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，是方程的三個(gè)解，則下列說法正確的是()．A. B.C.，，中有一對共軛復(fù)數(shù) D.【答案】BC【解析】【分析】利用立方差公式及一元二次方程的解法，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由，得，即或，解得或或，與互為共軛復(fù)數(shù)，故C正確；由題意知，不妨取，，，所以，故A.錯(cuò)誤；所以，故B正確；所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.伯努利試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種隨機(jī)試驗(yàn)，其特點(diǎn)是每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果．若連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，記錄這n次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)事件M＝“n次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面”，事件N＝“n次實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，最多只出現(xiàn)一次反面”，則下列結(jié)論正確的是()．A.若，則M與N不互斥 B.若，則M與N相互獨(dú)立C.若，則M與N互斥 D.若，則M與N相互獨(dú)立【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件的定義，以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解【詳解】當(dāng)時(shí)，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4種，其中(正，反)和(反，正)這兩種實(shí)驗(yàn)結(jié)果，事件M和事件N同時(shí)發(fā)生，故M與N不互斥，A選項(xiàng)正確；，，，，則M與N不相互獨(dú)立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8種，其中(正，正，反)、(正，反，正)和(反，正，正)這三種實(shí)驗(yàn)結(jié)果，事件M和事件N同時(shí)發(fā)生，故M與N不互斥，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，，，則M與N相互獨(dú)立，D選項(xiàng)正確.故選：AD11.已知P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是()．A.若，則P是的重心B.若P與C不重合，，則P在的高線所在的直線上C.若，則P在的延長線上D.若且，則的面積是面積的【答案】ABD【解析】【分析】利用三角形重心定義判斷A；利用垂直關(guān)系的向量表示判斷B；利用向量線性運(yùn)算及向量共線的意義判斷C；確定點(diǎn)P的軌跡結(jié)合三角形面積公式判斷D作答.【詳解】對于A，取邊的中點(diǎn)，連接，則，而，即有，因此P是的重心，A正確；對于B，，由，得，有，點(diǎn)P在的高線所在的直線上，B正確；對于C，由，得，即有，則點(diǎn)P在的延長線上，C錯(cuò)誤；對于D，由，得，令，則，而，因此點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，由知，線段上的點(diǎn)到直線距離等于點(diǎn)到直線距離的，即點(diǎn)在與直線平行，并且到直線距離等于點(diǎn)到直線距離的的直線上，因此邊上的高是邊上的高的，即，D正確.故選：ABD12.如圖，在四邊形中，和是全等三角形，，，，．下面有兩種折疊方法將四邊形折成三棱錐．折法①；將沿著折起，得到三棱錐，如圖1．折法②：將沿著折起，得到三棱錐，如圖2．下列說法正確的是()．A.按照折法①，三棱錐的外接球表面積恒為B.按照折法①，存在滿足C.按照折法②﹐三棱錐體積的最大值為D.按照折法②，存在滿足平面，且此時(shí)與平面所成線面角正弦值為【答案】ACD【解析】【分析】由已知利用棱錐的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積判斷A；由棱錐的結(jié)構(gòu)特征判斷B；由棱錐體積判斷C；由線面角的定義求出大小判斷D.【詳解】由題意知，

取的中點(diǎn),由于和是直角三角形且全等，

故,

故在折法①的折疊過程中,三棱錐的外接球的球心為,半徑為1,

故該球的表面積恒為,故A選項(xiàng)正確；

按照折法①,在折起過程中,點(diǎn)在平面內(nèi)的投影在線段上(不包括端點(diǎn)),

而線段(不包括端點(diǎn))不存在使得，故不存在滿足，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

按照折法②，取的中點(diǎn)，，

當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積取得最大值，

此時(shí)體積,故C選項(xiàng)正確;

當(dāng)時(shí)，，，

故此時(shí),,

又因?yàn)槠矫?

故平面,

故為與平面所成線面角,

則，故D選項(xiàng)正確.

故選:ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在正三角形中，，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，則__________．【答案】##-1.5【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,所以，故答案為：14.從A，B等5名志愿者中隨機(jī)選3名參加核酸檢測工作，則A和B至多有一個(gè)入選的概率為__________．【答案】##【解析】【分析】利用古典概率模型，結(jié)合組合數(shù)的運(yùn)算求解.【詳解】由題可知?jiǎng)tA和B至多有一個(gè)入選的概率為,故答案為:.15.已知向量，滿足，，則的最大值為__________．【答案】##【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算建立平面直角坐標(biāo)系即可得，由得，則，結(jié)合三角函數(shù)設(shè)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值.【詳解】取平行四邊形，連接設(shè)，則，因?yàn)橄蛄浚瑵M足，所以，即，設(shè)，，如圖以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則所以，則，故，所以因?yàn)?，又，可設(shè)即，所以，其中，所以，所以，故的最大值為，即的最大值為.故選：.16.如圖是一座山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂S的距離為，B是山坡上一點(diǎn)，且，．為了發(fā)展當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路．若從A出發(fā)沿著這條公路到達(dá)B的過程中，要求先上坡，后下坡．則當(dāng)公路長度最短時(shí)，的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】作圓錐側(cè)面展開圖，確定從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑，由條件確定點(diǎn)的位置，由此求的取值范圍.【詳解】以為分界線，將圓錐的側(cè)面展開，可得其展開圖如下：則從從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑為線段，在上任取一點(diǎn)，連接，則的長表示點(diǎn)到山頂?shù)木嚯x，若為直角，觀察可得當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長逐漸變小，即從A出發(fā)沿著這條公路到達(dá)的過程中，一直在上坡，與條件矛盾，若為鈍角，觀察可得當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長逐漸變小，即從A出發(fā)沿著這條公路到達(dá)的過程中，一直在上坡，與條件矛盾，若為銳角，過點(diǎn)作，垂足為，觀察可得當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長先變小，后變大，即從A出發(fā)沿著這條公路到達(dá)的過程中，先上坡，后下坡．由已知，又弧的長為，，所以，，所以，故，所以，又，所以的取值范圍為，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離常將曲面展開為平面圖形，利用平面上兩點(diǎn)之間線段最短的結(jié)論求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.某校為了提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，舉辦了一場數(shù)學(xué)趣味知識(shí)答題比賽活動(dòng)，共有1000名學(xué)生參加了此次答題活動(dòng)．為了解本次比賽的成績，從中抽取100名學(xué)生的得分(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．所有學(xué)生的得分都不低于60分，將這100名學(xué)生的得分進(jìn)行分組，第一組，第二組，第三組，第四組(單位：分)，得到如下的頻率分布直方圖．(1)求圖中m的值，并估計(jì)此次答題活動(dòng)學(xué)生得分的中位數(shù)；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)此次答題活動(dòng)得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學(xué)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，請估計(jì)參賽的學(xué)生中有多少名學(xué)生獲獎(jiǎng)．(以每組中點(diǎn)作為該組數(shù)據(jù)的代表)【答案】(1)，中位數(shù)為82.5．(2)，有520名學(xué)生獲獎(jiǎng)．【解析】【分析】(1)利用頻率分布直方圖中所有頻率之和等于和中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等即可求解；(2)利用頻率分布直方圖中平均數(shù)等于每個(gè)小矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與小矩形的面積的乘積之和及不低于平均值的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)乘以不低于平均值的頻率即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知：，解得，設(shè)此次競賽活動(dòng)學(xué)生得分的中位數(shù)為，因數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為0.4，落在內(nèi)的頻率為0.8，從而可得，由，得，所以估計(jì)此次競賽活動(dòng)學(xué)生得分的中位數(shù)為82.5．【小問2詳解】由頻率分布直方圖及(1)知：數(shù)據(jù)落在，，，的頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，，此次競賽活動(dòng)學(xué)生得分不低于82的頻率為，則，所以估計(jì)此次競賽活動(dòng)得分的平均值為82，在參賽的1000名學(xué)生中估計(jì)有520名學(xué)生獲獎(jiǎng)18.某電視臺(tái)舉行沖關(guān)直播活動(dòng)，該活動(dòng)共有三關(guān)，只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，參加活動(dòng)的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過率為0.7，第二關(guān)通過率為0.5，第三關(guān)的通過率為0.3，三關(guān)全部通過可以獲得一等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金為300元)，通過前兩關(guān)就可以獲得二等獎(jiǎng)(獎(jiǎng)金為200元)，如果獲得二等獎(jiǎng)又獲得一等獎(jiǎng)，則獎(jiǎng)金可以累加為500元.假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲、乙兩位選手參加本次活動(dòng).(1)求甲最后沒有得獎(jiǎng)的概率；(2)已知甲和乙都通過了第一關(guān)，求甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為700元的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)甲沒中獎(jiǎng)分為第一關(guān)沒有通過，和第一關(guān)通過且第二關(guān)沒有通過兩種情況，分別求得兩個(gè)事件的概率再求和即可；(2)根據(jù)最后獎(jiǎng)金總和分析得甲和乙中一人獲得一等獎(jiǎng)，一人獲得二等獎(jiǎng)，根據(jù)概率乘法和加法公式即可求解．【小問1詳解】甲第一關(guān)沒通過的概率為，第一關(guān)通過且第二關(guān)沒通過的概率為，故甲沒有得獎(jiǎng)的概率．小問2詳解】記甲和乙通過了第二關(guān)且最后獲得二等獎(jiǎng)為事件，通過了第二關(guān)且最后獲得一等獎(jiǎng)為事件，則，，甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為700元，甲和乙一人得一等獎(jiǎng)，一人得二等獎(jiǎng)，若甲得了一等獎(jiǎng)，乙得了二等獎(jiǎng)的概率為，若乙得了一等獎(jiǎng)，甲得了二等獎(jiǎng)的概率為，甲和乙最后所得獎(jiǎng)金總和為700元的概率．19.已知為銳角三角形，且．(1)若，求；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換可得，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得；(2)利用正弦定理結(jié)合條件可得，然后根據(jù)條件及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得其范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，又，，所以，所以，即，又，，所以，即；【小?詳解】因?yàn)?，所以，又，可得，在中，，所以，在中，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得，所以，所以，即的取值范圍為.20.已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，，側(cè)面是正三角形，側(cè)棱長，如圖所示．(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)利用三角形的邊角關(guān)系，可得線線垂直，進(jìn)而可得線面垂直，由線面垂直即可得面面垂直，(2)根據(jù)面面垂直得性質(zhì)可得線面垂直，即可由線面角的幾何法結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求解.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)F，連接、、，在直角梯形中，，所以又，,又是邊長為2的正三角形，所以，，所以，則．由題意知，，且，，平面，所以平面