浙江省寧波市九校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

寧波市2022學(xué)年第二學(xué)期期末九校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A.1 B.i C. D.2.在平面直角坐標系中，若角以軸的非負半軸為始邊，且終邊過點，則的值為()A. B. C. D.3.設(shè)是一條直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則4.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為()A. B. C. D.5.已知等比數(shù)列的前項積為，若，則()A. B. C. D.6.如圖，在棱長均為的直三棱柱中，是的中點，過、、三點的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點所在部分的體積為()A. B. C. D.7.在中，是邊的中點，且對于邊上任意一點，恒有，則一定是()A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形8.十七世紀法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”.它的答案是：當三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角；當三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點，已知在中，已知，，，且點在線段上，且滿足，若點為的費馬點，則()A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確是()A.若，，則 B.C.若，則 D.10.下列說法正確的是()A.若的最小正周期為，則B.在中，角的對邊分別為，則“”是“”的充要條件C.三個不全相等的實數(shù)，，依次成等差數(shù)列，則，，可能成等差數(shù)列D.的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則的面積為11.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，，是直角圓錐底面圓的兩條不同的直徑，下列說法正確的是()A.存在某條直徑，使得B.若，則三棱錐體積的最大值為C.對于任意直徑，直線與直線互為異面直線D.若，則異面直線與所成角的余弦值是12.已知數(shù)列中各項都小于，，記數(shù)列前項和為，則以下結(jié)論正確的是()A.任意與正整數(shù)，使得B.存在與正整數(shù)，使得C.任意非零實數(shù)與正整數(shù)，都有D.若，則非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.杭州第19屆亞運會會徽“潮涌”主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊.在中國歷史上，歷代書畫家都喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達意.一幅扇面書法作品如圖所示，經(jīng)測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個同心圓上的弧(長度單位為cm)，側(cè)邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為.若某空間幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為______.14.已知等差數(shù)列，，，則______.15.如圖，在直三棱柱中，，，，動點在內(nèi)(包括邊界上)，且始終滿足，則動點的軌跡長度是______.16.已知向量，夾角為，且，向量滿足，且，記，，則的最大值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.定義一種運算：.(1)已知為復(fù)數(shù)，且，求；(2)已知、為實數(shù)，也是實數(shù)，將表示為的函數(shù)并求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.18.今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運會帆船與沙灘排球項目比賽，屆時大量游客來象打卡“北緯30度最美海岸線”.其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會發(fā)生周期性的變化.現(xiàn)假設(shè)該景區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫.其中正整數(shù)表示月份且，例如時表示1月份，和是正整數(shù)，.統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該景區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約160人；③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.(1)試根據(jù)已知信息，確定一個符合條件的的表達式；(2)一般地，當該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過160人時，該地區(qū)就進入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游旺季？請說明理由.19.已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求.20.在中，內(nèi)角，都是銳角.(1)若，，求周長的取值范圍；(2)若，求證：.21.已知邊長為6的菱形，，把沿著翻折至的位置，構(gòu)成三棱錐，且，，.(1)證明：；(2)求二面角的大小；(3)求與平面所成角的正弦值.22.已知數(shù)列中，，當時，其前項和滿足：，且，數(shù)列滿足：對任意有.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設(shè)是數(shù)列的前項和，求證：.

寧波市2022學(xué)年第二學(xué)期期末九校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A.1 B.i C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再由共軛復(fù)數(shù)的定義即可得，進而可得虛部.【詳解】，所以，所以的虛部為.故選：D.2.在平面直角坐標系中，若角以軸的非負半軸為始邊，且終邊過點，則的值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式可得，再利用三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】角的終邊經(jīng)過點，，則.故選：A.3.設(shè)是一條直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】若，，則或、相交，故A錯誤；若，，則與的位置關(guān)系都有可能，故B錯誤；若，，則，故C正確；若，，則或，故D錯誤；故選：C.4.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，則，求得，，從而求得，根據(jù)球的表面積公式即可求解.【詳解】因為四面體四個面都為直角三角形，平面，所以，，設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，則所以，因為四面體的表面積為，又因為四面體的體積，所以，所以內(nèi)切球表面積.故選：C.5.已知等比數(shù)列的前項積為，若，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用反證法說明，從而得到，即可得到，從而得到，，，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當，則，所以，，，若，則，，，不符合題意；若，則單調(diào)(或為常數(shù))，此時不滿足，故不符合題意，所以；當，，此時奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，則，，，不符合題意，當，，此時奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，則，，，不符合題意，所以，故A錯誤，又，，又，所以，所以，故對任意的，，則對任意的，，故B錯誤；又，，所以，，所以，，，所以，故D正確，C錯誤．故選：D．6.如圖，在棱長均為的直三棱柱中，是的中點，過、、三點的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點所在部分的體積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)平面交于點，連接、，推導(dǎo)出點為的中點，用三棱柱的體積減去三棱臺的體積即可得解.【詳解】設(shè)平面交于點，連接、，在三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，因為為的中點，所以，為的中點，且，因為直三棱柱的每條棱長都為，則，易知是邊長為的等邊三角形，則，，因此，頂點所在部分的體積為.故選：B.7.在中，是邊的中點，且對于邊上任意一點，恒有，則一定是()A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基底法轉(zhuǎn)化數(shù)量積，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系進而求解.【詳解】如下圖所示，取的中點，顯然，，同理，，因為，所以，即，所以，因為是的中點，所以,所以，所以一定是直角三角形.故選：A8.十七世紀法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”.它的答案是：當三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角；當三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點，已知在中，已知，，，且點在線段上，且滿足，若點為的費馬點，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出，設(shè)，由余弦定理求出，即可求出，根據(jù)定義可知為三角形的正等角中心，由等面積法求出，最后根據(jù)數(shù)量積的定義計算可得.【詳解】因為，，，由余弦定理可得，由正弦定理，即，所以，顯然為銳角，所以，設(shè)，則，即，解得，即，所以，所以，又，即為銳角，所以的三個內(nèi)角均小于，則為三角形的正等角中心，所以，所以，因為.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是()A.若，，則 B.C.若，則 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)共線向量和零向量的定義判斷A，根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律判斷B、C、D.【詳解】對于A：當且與不共線時，滿足，，但是與不共線，故A錯誤；對于B：設(shè)，則，則，故B正確；對于C：因為，則，則，所以，故C正確；對于D：設(shè)，則，則表示與共線的向量，而表示與共線的向量，故D錯誤；故選：BC10.下列說法正確的是()A.若的最小正周期為，則B.在中，角的對邊分別為，則“”是“”的充要條件C.三個不全相等的實數(shù)，，依次成等差數(shù)列，則，，可能成等差數(shù)列D.的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則的面積為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據(jù)余弦和角公式和輔助角公式化簡函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)周期公式求解；對于B，根據(jù)條件直接判斷；對于C，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列式，引出矛盾從而判斷；對于D，先還原圖形，再直接求面積.【詳解】對于A，，，則的最小正周期，則，故A正確；對于B，在中，根據(jù)“大角對大邊，大邊對大角”可知，“”是“”的充要條件，故B正確；對于C，，，依次成等差數(shù)列，則，如果，，成等差數(shù)列，則，代入得，平方得，則，所以，與題意矛盾，故C錯誤；對于D，過點作交軸于點，因為的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，所以的高，所以，所以原圖中，，所以的面積為.故D正確.故選：ABD11.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，，是直角圓錐底面圓的兩條不同的直徑，下列說法正確的是()A.存在某條直徑，使得B.若，則三棱錐體積的最大值為C.對于任意直徑，直線與直線互為異面直線D.若，則異面直線與所成角的余弦值是【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由是直徑得，從而可知不存在直徑，使得，從而可判斷；對于B，由題意可得當時，三棱錐體積最大，求解即可判斷；對于C，根據(jù)異面直線的判定方法即可判斷；對于D，取的中點，取的中點，連接，可得(或及其補角)為異面直線與所成角的平面角，根據(jù)余弦定理即可求解，從而可判斷.【詳解】對于A，連接，因為平面，平面，所以，若，只需，因為是直徑，所以，所以不存在直徑，使得，所以不存在某條直徑，使得，A錯誤；對于B，若，則，所以三棱錐的體積為，所以當時，三棱錐體積的最大值為，B正確；對于C，，是直角圓錐底面圓的兩條不同的直徑，所以與沒有交點，而平面，平面，所以直線與直線互為異面直線，C正確；對于D，取的中點，取的中點，連接，則，所以(或及其補角)為異面直線與所成角的平面角.令，則，所以，因為，所以，則，所以，所以，D正確.故選：BCD12.已知數(shù)列中各項都小于，，記數(shù)列的前項和為，則以下結(jié)論正確的是()A.任意與正整數(shù)，使得B.存在與正整數(shù)，使得C.任意非零實數(shù)與正整數(shù)，都有D.若，則【答案】AD【解析】【分析】由遞推公式得到即可判斷A，記，依題意可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到對于任意正整數(shù)，，從而判斷B，分、、三種情況討論，即可判斷C，結(jié)合A、C即可判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，所以，則，故A正確；對于B：記，由，可得，因為在上單調(diào)遞減，所以對于任意正整數(shù)，，故B錯誤；對于C：由A可知所有同號，①當時，易得對于任意正整數(shù)，，②當時，，即，因為在上單調(diào)遞減，所以對于任意正整數(shù)，，③當時，，即，因為在上單調(diào)遞減，所以對于任意正整數(shù)，，故C錯誤；對于D：由B可知對于任意正整數(shù)，，當時，所以，由C中②知當時，，又，解得，所以，所以，故D正確；故選：AD非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.杭州第19屆亞運會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊.在中國歷史上，歷代書畫家都喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達意.一幅扇面書法作品如圖所示，經(jīng)測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個同心圓上的弧(長度單位為cm)，側(cè)邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為.若某空間幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為______.【答案】【解析】【分析】計算出側(cè)面展開圖分別為30和12，圓心角為的扇形的兩個圓錐的高，相減即可得解.【詳解】一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為，圓心角為的扇形，設(shè)該圓錐的底面半徑為，高為，所以，可得，因此，該圓錐的高為，側(cè)面展開圖是半徑為，圓心角為的扇形，設(shè)該圓錐的底面半徑為，高為，所以，可得，因此，該圓錐的高為，因此，若某幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為.故答案：.14.已知等差數(shù)列，，，則______.【答案】1【解析】【分析】記等差數(shù)列的公差為，則，由，，結(jié)合和差角余弦公式可得，從而可求解.【詳解】記等差數(shù)列的公差為，則，因為，，所以，所以.故答案為：115.如圖，在直三棱柱中，，，，動點在內(nèi)(包括邊界上)，且始終滿足，則動點的軌跡長度是______.【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出，在平面內(nèi)，過點作，垂足為點，證明出，可得出平面，分析可知點的軌跡為線段，利用等面積法求出線段的長，即為所求.【詳解】在直三棱柱中，平面，因為平面，所以，，又因為，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為，，則四邊形為菱形，所以，，又因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，.在平面內(nèi)，過點作，垂足為點，因為平面，平面，則，因為，，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，、平面，所以，平面，由于動點又在內(nèi)，所以動點在平面與平面的交線上，因為，，，所以，，由等面積法可得，因此，動點的軌跡長度是.故答案為：.16.已知向量，的夾角為，且，向量滿足，且，記，，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè),由共線定理可知點在線段上，設(shè)，則，根據(jù)投影的計算方法，結(jié)合三角恒等變換公式，推出，可將原問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，再利用等面積法，進一步將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后結(jié)合余弦定理和基本不等式，得解.【詳解】設(shè)，則，由，知，即，所以，因為，所以點在線段上，設(shè)，則，所以故原問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，在中，由余弦定理知，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，因為，所以，即，所以，即，即，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.定義一種運算：.(1)已知復(fù)數(shù)，且，求；(2)已知、為實數(shù)，也是實數(shù)，將表示為的函數(shù)并求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)，增區(qū)間為【解析】【分析】(1)，由結(jié)合復(fù)數(shù)相等可求出、的值，再利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得的值；(2)利用題中運算結(jié)合復(fù)數(shù)的概念可得出，利用三角恒等變換化簡可得出關(guān)于的函數(shù)表達式，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【小問1詳解】解：設(shè)，因為，所以，，即，則，因此，.【小問2詳解】解：為實數(shù)，則，所以，，由可得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.18.今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運會帆船與沙灘排球項目比賽，屆時大量的游客來象打卡“北緯30度最美海岸線”.其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會發(fā)生周期性的變化.現(xiàn)假設(shè)該景區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來刻畫.其中正整數(shù)表示月份且，例如時表示1月份，和是正整數(shù)，.統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該景區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約160人；③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多.(1)試根據(jù)已知信息，確定一個符合條件的的表達式；(2)一般地，當該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過160人時，該地區(qū)就進入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游旺季？請說明理由.【答案】(1)，(2)第月是該地區(qū)的旅游旺季，理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)題意首先求出，再根據(jù)周期求出，最后根據(jù)求出，即可得到函數(shù)解析式；(2)令，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得，注意為正整數(shù).【小問1詳解】因為和是正整數(shù)，由②可知，解得；由③可得：，則，且，解得；所以，又，即，解得；所以，.【小問2詳解】令，則，因為，則，可得，解得，且，則，所以第月是該地區(qū)的旅游旺季.19.已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由可求得數(shù)列的通項公式；(2)計算得出，利用裂項法可求得.【小問1詳解】解：當時，，當且時，，不滿足，綜上所述，.【小問2詳解】解：因為，所以，，因此，.20.在中，內(nèi)角，都是銳角.(1)若，，求周長的取值范圍；(2)若，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理可得，然后可得，然后結(jié)合的范圍