高三數(shù)學高考試題分類匯編數(shù)列試題及答案

20XX年高考數(shù)學試題分類匯編一一數(shù)列

一選擇題部分

(2010浙江理數(shù))(3)設S“為等比數(shù)列｛a,,｝的前〃項和，8/+%=0,則邑=

$2

(A)11(B)5(C)-8(D)-11

解析：解析：通過84+%=。，設公比為Q，將該式轉(zhuǎn)化為8%+0^=。，解得4=2,帶入

所求式可知答案選D,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式,

屬中檔題

(2010全國卷2理數(shù))(4).如果等差數(shù)列｛a“｝中，4+&+。5=12，那么q+%+…+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【答案】C

【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).

【解析】/+4+%=34=12,4=4,；.q+a,++%=7("］；%)==28

(2010遼寧文數(shù))(3)設S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知3s3=%-2,3s2=%-2,則

公比4=

(A)3(B)4(C)5(D)6

解析:選B.兩式相減得,3?3=包一生，a4=4a3,:.q=—=4.

43

(2010遼寧理數(shù))(6)設｛.｝是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，S.為其前n項和。已知a2a4=1,S3=7,

則邑=

15313317

(A)—(B)—(C)—(D)—

2442

【答案】B

【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了同學們解決問題的能力。

【解析】由a2a4=1可得*4=1,因此4=3,又因為邑=4(1+”/)=7,聯(lián)力兩式有

q

1ii"(I-：

(-+3)(——2)=0,所以q=」所以Ss=-----—,故選B。

qq24

2

(2010全國卷2文數(shù))(6)如果等差數(shù)列｛%｝中，a3+a4+a5=12,那么q+々2+……+%=

(A)14(B)21(C)28(D)35

【解析】C：本題考查了數(shù)列的基礎知識。

..%+%+%=12.%=4弓+4++%=gx7x(4+%)=74=28

(2010江西理數(shù))5.等比數(shù)列｛%｝中，q=2,ag=4,函數(shù)〃x)=x(x_q)(x_%)(%-4),

則/(0)=()

A.26B.29C.212D.215

【答案】C

【解析】考查多項式函數(shù)的導數(shù)公式，重點考查學生創(chuàng)新意識，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學

知識、思想和方法?？紤]到求導中，含有x項均取0,則/(0)只與函數(shù)/(x)的一次項有關；

得：4?%?%。8=(。1.8)4=2°。

lim[1H--1——+H--|—

(2010江西理數(shù))4."I33-3"J()

53

A.3B.2C.2D.不存在

【答案】B

1一~-

【解析】考查等比數(shù)列求和與極限知識.解法一：先求和，然后對和取極限。lim(T^)=上

"f+oc12

1——“

3

(2010安徽文數(shù))(5)設數(shù)列｛q｝的前n項和S,,=〃2,則能的值為

(A)15(B)16(C)49(D)64

【解析】/uSg—S7=64—49=15.

(方法技巧】直接根據(jù)a“=S”-S,i(〃>2)即可得出結論.

(2010重慶文數(shù))(2)在等差數(shù)列｛q,｝中，4+4=10，則生的值為

(A)5(B)6

(C)8(D)10

解析：由角標性質(zhì)得4+4=2%，所以%=5

q

(2010浙江文數(shù))(5)設與為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，8%+%=0則匕=

(A)-ll(B)-8

(C)5(D)ll

解析：通過8a?+%=0,設公比為夕，將該式轉(zhuǎn)化為8a2+4/=0,解得q=-2,帶入所求式

可知答案選A,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式

(2010重慶理數(shù))(1)在等比數(shù)列｛%｝中，?2010=8?2007,則公比q的值為

A.2B.3C.4D.8

解析：詠=/=8二"2

“2007

(2010北京理數(shù))(2)在等比數(shù)列｛%｝中，4=1,公比M。1.若=%生/%。5，則m=

(A)9(B)10(C)11(D)12

答案：C

(2010四川理數(shù))(8)已知數(shù)列｛4｝的首項弓彳0,其前〃項的和為S“，且S,用=2S“+%,

則lim2=

…sn

(A)0(B)-(C)1(D)2

2

解析：由S"+|=2sH+%，且S“+2=2sli+1+q

作差得?！?2=2?！?1

又S2—2S1+。1，即<72+(71=2。1+。1=>。2=2。1

故｛〃〃｝是公比為2的等比數(shù)列

S〃=ai+2〃i+22tzi+...+2〃=(2"—l)a\

答案：B

（2010天津理數(shù)）（6）已知｛4｝是首項為1的等比數(shù)列，力是｛q｝的前n項和，且%3=1，

則數(shù)列的前5項和為

（A）215或5（B）321或5（C）3—1（D）1—5

816168

【答案】C

【解析】本題主要考查等比數(shù)列前n項和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題。

顯然qkl,所以處業(yè)=上亡=1+夕3=4=2,所以｛,｝是首項為1,公比為上的等比數(shù)列,

i-qi—qa,,2

【溫馨提示】在進行等比數(shù)列運算時要注意約分，降低幕的次數(shù)，同時也要注意基本量法的應

（2010全國卷1文數(shù)）（4）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛2｝,6%。3=5，。7a8%=1°，則

(A)5&(B)7(C)6(D)472

【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)嘉的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識,

著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知a。%=（%%）%=嬉=5，a7a8a9=（。7a9）%=1。，所以

a2a8-5。3,

_____

63

所以a4a5a6=(a4a6)%=a2ax)?=(50)=5^2

(2010全國卷1理數(shù))(4)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中,44%=5,卅曲=10,則

。4的6二

(A)5A/2(B)7(C)6(D)472

分析：本小題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)第的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，著重考查了整體代入的方

法。

3￡

解：由％。2。3=510708a廣10,可得。2^=5,/3=1。/.%%。6==(。2'。8)'=(。2￡。，戶=5逐,故選A

(2010湖北文數(shù))7.已知等比數(shù)列｛品｝中，各項都是正數(shù)，且%,成等差數(shù)列，則

“9+4o_

CI7+。8

A.1+V2B.1-V2C.3+20D3-2夜

【答案】C

【解析】依題意可得：2x(；q)-q+初，即q-q+四，則有生，■q+次？可得

(j1=1+2q,解得q=l+戊或q=1->/2(舍)

所以&2組='±嗎=匕金=，=3+2-,故C正確

%+/qg+Wl+g

(2010安徽理數(shù))10、設｛a,,｝是任意等比數(shù)列，它的前〃項和，前2〃項和與前3〃項和分別為

X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是

A、X+Z=2YB、y(y-x)=z(z-x)

c、Y2=XZD、y(y-x)=x(z-x)

【分析】取等比數(shù)列1,2,4,令〃=1得乂=1,卜=3,2=7代入驗算，只有選項D滿足。

【方法技巧】對于含有較多字母的客觀題，可以取滿足條件的數(shù)字代替字母，代入驗證，若能

排除3個選項，剩下唯一正確的就一定正確；若不能完全排除，可以取其他數(shù)字驗證繼續(xù)排除.

本題也可以首項、公比即項數(shù)n表示代入驗證得結論.

（2010福建理數(shù)）3.設等差數(shù)歹U｛4｝的前n項和為S”，若％=—11,4+%=—6,貝U當S,取最小

值時,n等于

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】設該數(shù)列的公差為。，則4+《=24+84=2x（-11）+81=-6,解得4=2,

所以S“=-11〃+必=-12〃=（"-6）2-36,所以當〃=6時，S“取最小值。

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應用，考查二次函數(shù)最值的求

法及計算能力。

二、填空題部分

（2010浙江理數(shù)）（14）設〃22,〃6乂（21+3）"一（31+；）"=4+%》+4/+--+4/，將

k|（o〈D的最小值記為7；,則n=0,nW，T;=O,4=U……其中

T?=.

解析：本題主要考察了合情推理，利用歸納和類比進行簡單的推理，屬容易題

（2010遼寧文數(shù)）（14）設S“為等差數(shù)列一“｝的前幾項和,若S3=3,§6=24,則/=。

S3=3al+-——d=3

2q=-1

解析：填15.，解得,..a?！?Z1+8d?—15.

d=2

S6---64H——<J=24

（2010遼寧理數(shù)）（16）已知數(shù)列｛%｝滿足4=33,4+/4=2〃,則%的最小值為.

【答案】—

2

【命題立意】本題考查了遞推數(shù)列的通項公式的求解以及構造函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,

考查了同學們綜合運用知識解決問題的能力。

［解析］。〃=（?！?。?-1）+（。〃-卜。〃-2）+—+（。2-。1）+。1=2［1+2+…（k-1）］+33=33+〃2-〃

所以%=至+〃_1

nn

設/(〃)=至+〃一1,令/(〃)=二學+1>0,則/(〃)在(國,+8)上是單調(diào)遞增，在

nn

(0,后)上是遞減的，因為11WN+,所以當n=5或6時/(〃)有最小值。

又因為冬=至，%=臾=3,所以，%的最小值為"=Z1

55662n62

(2010天津文數(shù))(15)設｛an｝是等比數(shù)列，公比g=應，Sn為｛a“的前n項和。記

T』7s,4*.沒T,為數(shù)列｛7；｝的最大項，則〃。=。

%+i

【答案】4

【解析】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項和公式與通項及平均值不等式的應用，屬于中等題。

17用1-(正力q[l-(上產(chǎn)]

T1-V21-V21(V2)2n-17(V2)n+161/r.?16

X------訪----------------西=5["函7]

16

因為(夜)"+工8,當且僅當(正)"=4,即n=4時取等號,所以當no=4時Tn有最大值。

（揚"

【溫馨提示】本題的實質(zhì)是求Tn取得最大值時的n值，求解時為便于運算可以對(&)"進行換

元，分子、分母都有變量的情況下通?？梢圆捎梅蛛x變量的方法求解.

(2010湖南理數(shù))15.若數(shù)列｛風｝滿足：對任意的〃eN*,只有有限個正整數(shù)相使得金〈〃成

立，記這樣的”的個數(shù)為3J,則得到一個新數(shù)列卜。")*｝.例如，若數(shù)列｛為｝是1,2,3…，〃，…，

則數(shù)列｛(《,)*｝是0,1,2,…，〃一1,….已知對任意的〃GN*,an-iv,貝!](%)*=，

(a)*)*=”

【答案】2,

【解析】因為4,<5,而/=/,所以m=l,2所以(%)■=2?

因為⑷?=o.

(%)?=Lg).=1,(4)?=L,

(4)?=2,(q)?=2,(a-)*=2,(4)，=2,(%)，=2,

(%)?=3,(4。.=3,(%)?=3<%),=3.(%)，=3<%>=3.(%(=3,

所以(3)=L(9：)T=4,(a))=9,((4))=16,~

猜想《&)?)?=〃％

【命題意圖】本題以數(shù)列為背景，通過新定義考察學生的自學能力、創(chuàng)新能力、探究能力，

屬難題.~

(2010福建理數(shù))11.在等比數(shù)列｛a,,｝中,若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項

公式a“=.

【答案】4n--

【解析】由題意知q+4%+16q=21,解得％=1,所以通項為=41。

【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應用，屬基礎題。

3.(2010江蘇卷)8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(以02)處的切線與x軸交點的橫坐標為或+/,%

為正整數(shù)，a/=16,則。/+。3+。5=

［解析］考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。

在點3,以2)處的切線方程為：y-42=26(x-4),當y=0時，解得X吟，

以%+|=,6i］++t/j=16+4+1=21。

三、解答題部分

(2010上海文數(shù))21.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第一個小題滿分6分，第2個小題

滿分8分。

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且S”=〃-5a“-85,MN*

⑴證明：｛為一1｝是等比數(shù)歹u；

（2）求數(shù)列｛S,,｝的通項公式，并求出使得S1,”>S“成立的最小正整數(shù)

解析：（1）當〃=1時，ai=-14；當〃三2時，an=Sn-Sn-i=-5an+5an-i+l,所以=-1）,又

6

01-1=-15/0,所以數(shù)列｛m-1｝是等比數(shù)列；

(2)由(1)知：a,,-1=75.0,得4=1-15.0,從而S.=75(|)+n-90(neN*);由

S"+i>S”，得<—>n>log,—+1?14.9>最小正整數(shù)〃=15.

(6)5浮5

（2010全國卷2理數(shù)）（18）（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛a,,｝的前〃項和S?=（1+〃）3".

(I)求lim&；

(II)證明：與+粵+…+%>3".

I222*

=D的運用，數(shù)列極限和數(shù)列不等

【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式%=<

%—%（〃22）

式的證明，考查考生運用所學知識解決問題的能力.

【參考答案】

i-S.-S,

=吧(1-要)

=1一.心，

-S.

lim

所以lim—-=-.

f3

(11>當n=l時./=，=6>3:

當n>l時.

4+3+…+區(qū)

I221n2

喙+亨…

=￡+n.y>3?.

n

所以.當時,冬+與+…+々>3*.

【點評】2oxx年高考數(shù)學全國I、n這兩套試卷都將數(shù)列題前置，一改往年的將數(shù)列結合不等

式放縮法問題作為押軸題的命題模式，具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法

基本技能，重視兩綱的導向作用，也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心.

估計以后的高考，對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、

數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等，這種考查方式還要持續(xù).

(2010陜西文數(shù))16.(本小題滿分12分)

已知｛?！ǎ枪畈粸榱愕牡炔顢?shù)列，ai=l,且ai,。3,。9成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛斯｝的通項;(II)求數(shù)列｛2叫的前幾項和

解(I)由題設知公差分0,

由防=1,⑶，G,“9成等比數(shù)列得匕二=上也，

11+24

解得d=l，d=0(舍去)，故｛m｝的通項。”=1+(〃-1)xl=〃.

(11)由(1)知2「=2",由等比數(shù)列前n項和公式得

Sm=2+22+23+...+2n=2(1_2)=2n+1-2.

1-2

(2010全國卷2文數(shù))(18)(本小題滿分12分)

已知｛《,｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且

?11、/“111、

2(—I),%+/+%=64(1------1)

4。2%a4a5

(I)求｛凡｝的通項公式；

2

(II)設bn=&+—),求數(shù)列｛a｝的前〃項和7；o

%

【解析】本題考查了數(shù)列通項、前〃項和及方程與方程組的基礎知識。

(1)設出公比根據(jù)條件列出關于為與△的方程求得“與“，可求得數(shù)列的通項公式。

(2)由(1)中求得數(shù)列通項公式，可求出BN的通項公式，由其通項公式化可知其和可分

成兩個等比數(shù)列分別求和即可求得。

(2010江西理數(shù))22.(本小題滿分14分)

證明以下命題：

2

(1)對任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c),使得b,3成等差數(shù)列。

(2)存在無窮多個互不相似的三角形其邊長4,bn,c”為正整數(shù)且a"b；,q：成等差

數(shù)列。

【解析】作為壓軸題，考查數(shù)學綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。

(1)考慮到結構要證6+。2=2〃，；類似勾股數(shù)進行拼湊。

證明：考慮到結構特征，取特值匕52,72滿足等差數(shù)列，只需取b=5a,c=7a,對一切正整數(shù)a

均能成立。

結合第一問的特征，將等差數(shù)列分解，通過一個可做多種結構分解的因式說明構成三角形,

再證明互不相似，且無窮。

證明：當磕%q；成等差數(shù)列，則前—a—〉

分解得：(2+an)(bn-an)=(c?+bn)(cn-b?)

選取關于n的一個多項式，4〃(川一1)做兩種途徑的分解

4〃(〃2-1)=(2〃-2)(2/+2〃)=(21-2〃)(2〃+2)4〃(1-1)

2

an=M-2n-l

對比目標式，構造b“=〃2+l(n>4),由第一問結論得，等差數(shù)列成立，

2

cn=7J+2n-1

考察三角形邊長關系，可構成三角形的三邊。

下證互不相似。

任取正整數(shù)m,n,若Am.△?相似：則三邊對應成比例二一2〃?-1=11=生^+二1,

n2-2n-l〃-+1n~+2n-\

由比例的性質(zhì)得：竺1=竺=m=與約定不同的值矛盾，故互不相似。

n—\n+l

(2010安徽文數(shù))(21)(本小題滿分13分)

設G，C2，,C,?是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在X軸的正半軸上，且都與直線

y=相切，對每一個正整數(shù)〃，圓C,,都與圓C,川相互外切,

以5表示c的半徑，已知億｝為遞增數(shù)列.

（I）證明：比｝為等比數(shù)列；

第（2】）題圖

（II）設4=1,求數(shù)列｛巴｝的前〃項和.

【命題意圖】本題考查等比列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能

力以及推理論證能力.

【解題指導】（1）求直線傾斜角的正弦，設C”的圓心為（4,0）,得4=2小同理得4川=21，

結合兩圓相切得圓心距與半徑間的關系，得兩圓半徑之間的關系，即匕｝中與4的關系,

證明｛/;｝為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結論求匕｝的通項公式，代入數(shù)列然后用錯位相

rn

減法求和.

解：（1）將直線丫=也弟勺傾斜角記為，則有tane=9,sinO=L

332

設。?的圓心為（&0）,則由題意得知幺=工，得4=2%；同理

42

r

4+i=2rli+i，從而4+i=4+rn+,1+i=2rli+i，將-=2rli代入,

解得Li=3rn

故g|為公比q=3的等比數(shù)列。

（FI）由于9=1,q=3,故七=3e，從而P=n*3i,

rn

記Sn=—+—+.....+,,則有

rir2r“

S”=1+2*37+3*3」+……〃*3~

s

1=1*3-1+2*3-2+……+（般一1）*3~+〃*3f

①-②,得

9Q

1=1+3一|+3-2+…+3?—〃*3一"

3

1-3一"33

——“*3-"=二_（〃+2）*3-",

222

3

.s=2」（〃+2）*3j=%12七

”42，2）4

【方法技巧】對于數(shù)列與幾何圖形相結合的問題，通常利用幾何知識，并結合圖形，得出關于

數(shù)列相鄰項。“與%M之間的關系，然后根據(jù)這個遞推關系，結合所求內(nèi)容變形，得出通項公式

或其他所求結論.對于數(shù)列求和問題，若數(shù)列的通項公式由等差與等比數(shù)列的積構成的數(shù)列時,

通常是利用前n項和S“乘以公比，然后錯位相減解決.

（2010重慶文數(shù)）（16）（本小題滿分13分，（I）小問6分，（II）小問7分.）

已知｛4｝是首項為19,公差為-2的等差數(shù)列，S,為何｝的前〃項和.

（I）求通項a“及S”；

（II）設也-叫是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列出｝的通項公式及其前〃項

和小

解：(I)因為恒」是甘項為%=19,公差d=-2的等差數(shù)列.

所以aB=19-2(n-1)=-2R42I.

=I9n+2;口?(-2)u-/+20n.

St

(l)由題意6,-外=3-l所以兒=3-'-2n+21.

兀=S.+(1+3+-+3-1)

a-nl+20n+3.二].

2

(2010重慶理數(shù))(21)(本小題滿分12分，(I)小問5分，(II)小問7分)

在數(shù)列｛%｝中,卬=1,ai+cn+1(2n+l)(ne2V*),其中實數(shù)cwO。

n+=can

(I)求｛%｝的通項公式；

(II)若對一切ZeN*有44＞生八，求c的取值范圍。

解法一：由5=222

(I)l,a2=ca｝+c?3-3c+c-(2-l)c+c,

332231

a3=ca2+c,5=8c+c=(3-1)c+c,

44323

a4=ca3+c,7=15c+c=(4-1)c*+c,

猜測4=(d-l)c"+c"-',nWN*.

下用數(shù)學歸納法證明.

當n=1時，等式成立；

假設當〃=左時，等式成立，即由=(k2-1)?+J-L則當n=A+1時,

211

a**[=cak+c*"(2k+I)=c[(A--I)c+c*]+c**(2k+I)

=(A:2+2k)cl''+J

[*+1)2-1]盧?+C,

綜上,A=(n2-l)c"+L對任何MN.都成立.

解法二:由原式得需=々+(2“+1).

CC

令b”=T，則6=-+(2n+1)，因此對nm2有

cc

6.=(6.-b.-i)+(6..j-b.z)+???+(A2-6t)+bt

=(2n-1)+(2n-3)+…+3+：

2,1

=n-1+一,

c

因此4=(/-1)/+c""MN2.又當n=1時上式成立，

因此A=(n2-l)c"+c"-*,n€N*.

(II)解法一：由a”>aa.?,得

2242222

[(2k)-1]?*+C->>[(2A-1)-1]C*-'+C*-,

因c"T>0,所以(4爐-l)c2-(4k2-4k-l)c-l>0.

解此不等式得:對一切AWN?，有c>⑤或?<cj,其中

_(4k2-4--1)+，(4公-4--1/+4(4?一1)

C*~2(4k2-1)'

,_(4仆-41-1)-，(必2-4--1尸+4(4/一】)

S_2(4必_1),

易知limq=1,

4—

又由，(4右一4左一Ip+4(41-1)<，(42-1尸+4(44-1)+4=4#+1,知

,(4--必-1)+4)+18必-4k,

C*<2(4必-1)

因此由c>c*對一切kWN,成立得c三1.

___________________-2

又端<0,易知娟單調(diào)遞增，故

(4A2-4A-1)+，(4平-41-1)2+4(4公-1)

q‘三cj對一切AWN.成立,因此由c<cj對一切kWN，成立得c<婷=-1整巨.

O

L±)

從而c的取值范圍為(-8?-6^U5+8).

法—:由a”>Q”-i,4^

[(24)2-l]c24+C2*-1>[(24-1)2一Ue”"+c”“，

因c*2>o,所以4(，-c)/+4次-J+c-1>0對AwN.恒成立.

222

記/(工)=4(c-c)X+4CX-C+C-1，下分三種情況討論.

(i)當C?-c=0即c=0或c=1時，代入驗證可知只有c=1滿足要求.

(ii)當J-c<0時，拋物線y=/(x)開口向下，因此當正整數(shù)4充分大時，/(A)<

0,不符合題意，此時無解.

(近)當/-c>0即c<0或c>1時，拋物線y=/(x)開口向上，其對稱軸

工=577、必在直線X=1的左邊.因此，人工)在[1，+8)上是增函數(shù).

所以要使f(k)>0對狂N-恒成立，只需/(1)>0即可.

由/(1)=3c2+c-1>0解得c<一:v"或c>二1[.

OO

結合c<0或c>l得c<-」4V或c>1.

O

綜合以上三種情況,C的取值范圍為(-8,」+戶)U[1,+00).

O

(2010北京文數(shù))(16)(本小題共13分)

已知|a“|為等差數(shù)列，且q=-6,4=0。

(I)求|4|的通項公式;

(II)若等差數(shù)列滿足仇=-8,"=4+%+%，求1”|的前n項和公式

解：(I)設等差數(shù)列｛《,｝的公差d。

因為%=-6,%=0

:二MG解得…0，八2

所以

所以a“=_10+(〃_1>2=2〃-12

(II)設等比數(shù)列｛a｝的公比為q

因為為=4+。2+%=—24,6=-8

所以-8q=-24即q=3

所以{〃}的前〃項和公式為5?="T)=4(1-3")

1—g

(2010北京理數(shù))(20)(本小題共13分)

已知集合S“={X|X=(石,％2,…,x")，Xw{0,l},i=l,2,…,〃}XN2)對于4=(4，。2,…a”,)，

BXhMrbQeS,,,定義A與B的差為

A-B=(|q—優(yōu)—aI,…1%一人」)；

A與B之間的距離為d(A,B)=Z\ay-bx\

i-\

(I)證明：VA,B,C€S”,有A-BeS“，且d(A—C,8—C)=d(A,8);

(II)證明：VA,民。€色,4(45),4(40,次區(qū)0三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)

(III)設P[S,，P中有m(mN2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為一(P).

d

證明:

(考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效)

證明：(I)設人=(4，生,…,%)，8=(々,4,…,“)，C=(cpc2,...,czl)eSn

因為生，hjG{0,1},所以e{0,l},(i=l,2,...,〃)

從而A—B=(\a]—h}\,\a2—h2an—bn|)GSn

又磯A-C,8-C)=f||q-c,|-|b-q||

i=l

由題意知為,白，qe{0』}(i=l,2,.

當q=0時，11ai_ci\-\bi-ci||=||-I；

當q=1時，||a/|-也-4)1=1a-b,\

所以"(A—C,3-C)=f|q-2l=d(A,3)

/=i

(II)設A=(a]，4,,8=(4也,…也)，C=(cpc2,...,cn)eSn

d(AB)=k,d(A,C)=/,d(B,C)=h.

記。=(0,0,…,O)eS“,由(I)可知

d(A,B)=d(A—A,8—A)=d(O,B-A)=k

d(AC)=d(A—A,C—A)=d(O,C—A)=/

d(8,C)=d(8—A,C—A)=〃

所以曲—a』(i=L2,中1的個數(shù)為3|q—4l(i=l,2,…㈤的1的

個數(shù)為/。

設f是使I々一q1=1q-4|=1成立的，的個數(shù)，則//=/+%-2/

由此可知，攵,三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，

即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)。

(III)Z(P)=」TZd(A,B)淇中Zd(A8)表示P中所有兩個元素間距離的總和,

】A.BePA,BeP

設尸種所有元素的第i個位置的數(shù)字中共有號個1，個0

A.BEP/=1

加2

由于《(加一G<—(z=l,2,...,n)

所以￡d(A,B)W對

A,BeP」

2

從而2(尸)=』Z"(AB)<--n-m--mn

C,〃A,BeP一4第2(771-1)

(2010四川理數(shù))(21)(本小題滿分12分)

已知數(shù)歹！J｛〃〃｝滿足。1=0,6=2,且對任意相、都有

2

aim-1+ain-1—2afn+n-\+2()77-H)

(I)求。3,675；

(H)設瓦=〃2用一。21S￡N),證明：｛瓦｝是等差數(shù)列;

(Ill)設C〃=(〃n+1—〃n)q”-1(行0,求數(shù)列｛c〃｝的前n項和Sn.

本小題主要考查數(shù)列的基礎知識和化歸、分類整合等數(shù)學思想，以及推理論證、分析與解決問

題的能力.

解：(1)由題意，零機=2,〃一1,可得〃3=2〃2—。1+2=6

再令加=3,〃=1,可得。5=2B—ai+8=20..............................................2分

⑵當〃時，由己知(以〃+2代替”)可得

。2〃+3+ain-1=2。2/?+1+8

于是［a2(n+1)+1—。2(〃+(。2〃+1—1)=8

即bn+1一力?=8

所以｛為｝是公差為8的等差數(shù)列...................................5分

(3)由(1)(2)解答可知｛瓦｝是首項為歷=43—0=6,公差為8的等差數(shù)列

貝(Jhn~~8n2,即。2〃+=1ci2n—1—8H2

另由已知(令〃2=1)可得

an=〃2〃+；+二_(〃-1)2.

那么an+｝-alt=*+“2,i-2〃+1

2

=2〃

于是Cn=2nqn~}.

當q=l時，S〃=2+4+6+......+2n=n(n+l)

當#1時，5〃=2?，)+40+6?q?+......+2"/L

兩邊同乘以q,可得

qSn=2,qi+4./+6?夕3+.......+2〃?q”.

上述兩式相減得

(1—q)S〃=2(l+q+7+.......+/|)-2叩2

=2--———2nq〃

i-q

一2,-----------------------

i—q

所以一迎上”空巴

〃("+1)(q=l)

綜上所述，Sn=<2/""-(〃+1)/+1#.....................12分

(2010天津文數(shù))(22)(本小題滿分14分)

在數(shù)列｛an｝中，a,=0,且對任意keN*,a2kT，a2k，a2k+i成等差數(shù)列，其公差為2k.

(I)證明a4,a5，a6成等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛a,,｝的通項公式；

,2Q22q

(III)記1=上+土++—,證明?<2n-T”42(nN2).

a2%an2

【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎

知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法，滿

分14分。

(I)證明：由題設可知，。2=4+2=2,〃3=%+2=4,。4=%+4=8,a5=a4+4=12,

。6=。5+6=18。

從而&=4=3,所以%,%,4成等比數(shù)列。

火包2

(II)解：由題設可得。2/+]-生"1=4攵/￡N*

所以%&+1—q=(/&+1—)+(%&-1一出3)+…—4)

=4Z+4(Z—l)+...+4xl

=2k(k+Q,kwN*.

由q=0,得%+[=2%(%+1),從而a2k=〃2八1-2女=2k2.

幾2_]

---，〃為奇數(shù)2

所以數(shù)列｛q｝的通項公式為?！?2或?qū)憺橐?巴+「1-，neN*。

土，〃為偶數(shù)24

I2

2

(Ill)證明:由(II)可知%+1=2左傳+1),a2k=2k,

以下分兩種情況進行討論：

(1)當n為偶數(shù)時，設n=2m(meN*)

若加=1,則2"-夕幺=2,

k=2%.

若加之2,則

S（2Z）2華（2A+1）2?4女2察4/+4A+1

E—--=z*+z

2Z（A+1）

k=2akk=l。2kk=T〃2&+lk=\乙K&=l

，〃一14攵2+4%1，〃一】

=2m+Z=2m+Z

2攵（攵+1）+2%（攵+1）2

k=l4=i4

2m+2（/7i-l）

2

?jt7133k2

所以2力一￡一=二+—,從而二＜2〃一￡一＜2,n=4,6,8,....

k=2以2〃2k=2ak

（2）當n為奇數(shù)時，設〃=2機+1（〃?￡N*）。

之上一￡J（2〃?+l）1的3'⑵〃+1）2

?2m+i22m2/n（m+l）

,11~31

=4mH------------=2n---------------------

22（???-1）2?+1

?313?k2

所以2〃-￡—=—H----,從而一＜2〃一1一＜2,n=3,5,7,....

i=2ak2n+\2y%

T.

綜合（1）和（2）可知，對任意2,〃eN*,有:＜2〃一7；42.

(2010天津理數(shù))(22)(本小題滿分14分)

在數(shù)列｛2｝中，q=0，且對任意比a2k,4小成等差數(shù)列，其公差為4。

(I)若4=24,證明如，⑸M，成等比數(shù)列(止N*)

(II)若對任意keN*,a2k,a2M,a2k+2成等比數(shù)列，其公比為縱。

【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式，前5項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列

求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思

想方法。滿分14分。

(I)證明：由題設，可得%,「％,]=4k,kwN*。

2K+12K-1

所以+12k+]-])+(〃2%一1_°2左一3)*…十⑷)

=4k+4(攵-1)+…+4x1

=2k(k+l)

由。]二0,得心=2k(％+1),從而〃心二a“、-2k=2&2,々=2(Z：4-1)2.

乙K十1乙K乙K十14K十乙

于是3+1=￡11,3+2=5.,所以a2k+2=3+1。

。2kk3+1ka2k+\a2k

所以4=2%時，對任意女,0成等比數(shù)歹ij。

卜2k2K+12k+2

(H)證法一：⑴證明：由的—?成等差數(shù)列，及小4成等比數(shù)

2%—I"2%+12k2K+\2k+2

，2="1+%—+為

列，得2"2女="2%-1+“2左+1

a2k02kqk-\

當時，可知縱聲1,keTV*

從而—=----!-----=―2—+1,即」-------i—=1伏N2)

q

k-\211"-1一1"-1"-17

qk-\

所以」一是等差數(shù)列，公差為1。

G—1

(H)證明：4=0,%=2，可得%=4,從而彷=d=2,—L=i.由(I)有

2%-1

^1—=1+上—1=忙得％=1±1,左eN*

qk-\k

所以②±2=&L=A±1,從而312=》*_,正N*

a2k+\a2kk。2k七

因此，

3-2aAk2(上一1)222c2k+\C,/,,、，

%=—"—.U-=-----z-.----r-...-r-.2^.k.".ci-..ci-..----=2k(k+l),k€N

a2(^-1)2伏_2尸I22Zr+l2kk

a2k-23-42

以下分兩種情況進行討論:

(1)當n為偶數(shù)時，設n=2m(根wN')

?k2

若m=1,則2〃一￡—=2.

k=2%

若mN2,則

弋k2S(2Z)2((2%+1)2(4/

乙一二乙一+乙=乙方+

k=2akk=l。2kk=la2