17.1.1 勾股定理（基礎(chǔ)篇）

勾股定理（基礎(chǔ)篇）一、單選題1．在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5C．2，8，10 D．1，，2．直角三角形兩邊長為3，4，則第三邊長為（

）A．5 B． C．5或 D．不能確定3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．184．如圖，在中，，是的角平分線，交于點E，F(xiàn)為上一點，連接、．已知，，則的面積（）A．30 B．32.5 C．60 D．785．如圖，中，，由尺規(guī)作圖得到的射線與交于點E，若，則的長為（）A． B． C． D．6．如圖，有一個圓柱，底面圓的周長為16πcm，高cm，P為的中點，一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱的表面爬到P點的最短距離為（）A．cm B．cm C．cm D．cm7．如圖，甲、乙兩艘輪船同時從港口出發(fā)，甲輪船以20海里/小時的速度向南偏東45度方向航行，乙輪船向南偏西45度方向航行．已知它們離開港口兩小時后，兩艘輪船相距60海里，則乙輪船的速度是（

）A．海里/小時B．20海里/小時 C．海里/小時 D．海里/小時8．如圖是的正方形網(wǎng)格，每一個小正方形的邊長為1．關(guān)于圖中的正方形的面積，三人的說法如下：甲：要求面積的值，必須先求出正方形的邊長才行．乙：正方形的邊長是．丙：正方形的對角線長的值介于整數(shù)3和4之間．下列判斷正確的是（

）A．甲、乙、丙都對B．甲和乙對 C．甲、乙、丙都不對 D．乙和丙對9．如圖，在長方形ABCD中，，，F(xiàn)是邊的中點，E是邊上一動點，則的最小值是（）A． B．5 C． D．410．美國數(shù)學(xué)家伽菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形中，，，是邊上一點，且，．如果的面積為1，且，那么的面積為（

）A．1 B．2 C． D．5二、填空題11．點到原點的距離是_________．12．如圖，在中，．以、為邊的正方形的面積分別為、，若，，則的長為______．13．小剛學(xué)了在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法后，進行了練習(xí)：首先畫數(shù)軸，原點為，在數(shù)軸上找到表示數(shù)的點，然后過點作，使；再以為圓心，的長為半徑作弧，交數(shù)軸負半軸于點，那么數(shù)軸上點所表示的數(shù)是________．14．一只螞蟻從圓柱體的下底面A點沿著側(cè)面爬到上底面B點，已知圓柱的底面周長為12cm，高為8cm，則螞蟻所走過的最短路徑是______cm．15．如圖，在中，，點D是上的點，若，，則的值為______．16．如圖，點在邊長為5的正方形內(nèi)，滿足，若，則圖中陰影部分的面積為______．17．如圖，在邊長為6個單位的正中，點是中點，電子點從點以4個單位每秒的速度運動到到頂點，則電子點從點到頂點的運動過程中最少需_____秒．18．如圖，在中，點、分別在邊、上，且，，若，則的值為________．三、解答題19．如圖，，是上的一點，且，．(1)與全等嗎？并說明理由．(2)若，求的長．20．如圖，P是直角坐標系上一點．用二次根式表示點P到原點O的距離．若，求點P到原點O的距離．21．如圖①，是兩個全等的直角三角形硬紙板（直角邊分別為a，b，斜邊為c）．(1)用這樣的兩個三角形構(gòu)造成如圖②的圖形，請利用這個圖形驗證勾股定理．(2)假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個，請運用圖①中所給的直角三角形拼出另一種能驗證勾股定理的圖形，畫出拼后的圖形并利用這個圖形驗證勾股定理．22．如圖1，中，，如圖2，點是邊上一點，沿著折疊，點恰好與斜邊上點重合，求的長．如圖3，點為斜邊上上動點，連接，在點的運動過程中，若為等腰三角形，請直接寫出AF的長．23．已知：在中，，、、所對的邊分別記作a、b、c．如圖1，分別以的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作、、，則有，如圖2，分別以的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分、、，請問與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作S1、S2Sa，根據(jù)（2）中的探索，直接回答與有怎樣的數(shù)量關(guān)系；若中，，，求出圖4中陰影部分的面積．24．某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)《勾股定理》之后進行了拓展研究，類比勾股定理，新定義一種三角形，規(guī)定：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍，那么稱這個三角形為“奇異勾股三角形”．請根據(jù)“奇異勾股三角形”的定義，完成下列問題：(1)判斷：下列說法正確的是_______________（填甲、乙、丙）組員甲說：等邊三角形一定是“奇異勾股三角形”；組員乙說：等腰直角三角形也是“奇異勾股三角形”；組員丙說：三邊長分別為，2，的三角形也是“奇異勾股三角形”．(2)若是“奇異勾股三角形”，且兩邊長分別為1，，求第三邊的長；(3)若是“奇異勾股三角形”，三邊長分別為a，b，c（a，b為直角邊，c為斜邊，且），求的周長（用只含有a的式子表示）．參考答案1．B【分析】利用勾股數(shù)的定義進行分析即可．解：A．0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)，不符合題意；B．，、4、5是勾股數(shù)，符合題意；C．，，8，10不是勾股數(shù)，不符合題意；D．，，均不是整數(shù)，，，不是勾股數(shù)，不符合題意；故選：B．【點撥】此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．2．C【分析】分兩種情況，3，4為直角邊時和4為斜邊時，利用勾股定理求解即可．解：當3，4為直角邊時，第三邊的長為，當4為斜邊時，第三邊的長為，則第三邊的長為或，故選：C【點撥】此題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，直角三角形的兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方，注意分類討論．3．D【分析】根據(jù)，利用勾股定理可得，據(jù)此求解即可．解：如圖示，∴在中，∴，故選：D．【點撥】本題主要考查了勾股定理的性質(zhì)，掌握直角三角形中，三角形的三邊長，，滿足是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】在中，依據(jù)勾股定理求出，由“是的角平分線，”，依據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等量代換及等角對等邊，可得，由等底等高的三角形面積相等可知，和的面積相等，即可求解．解：∵在中，，，，∴，∵是的角平分線，，∴，，∴，∴，∵，∴和的面積相等，∴，故B正確．故選：B．【點撥】本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識的掌握情況，解題的關(guān)鍵是理解和的面積相等．5．B【分析】由題意得是的平分線，再由等腰三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理得，再根據(jù)即可得解．解：由圖中的尺規(guī)作圖得：是的平分線，∵，∴，，∴，∴，∵，∴．故選B．【點撥】本題考查等腰三角形判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握角平分線的作圖，等腰三角形三線合一，是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】先把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最短求解．解：把圓柱的側(cè)面展開如圖：則：cm，cm，在Rt中，cm，故選：B．【點撥】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】由勾股定理求出的長，即可解決問題．解：由條件得：（海里），（海里），而，∴（海里），∴乙輪船的速度是（海里/小時）．故選：C．【點撥】本題考查勾股定理，方向角的概念，二次根式的化簡，關(guān)鍵是應(yīng)用勾股定理求出的長．8．D【分析】如圖，根據(jù)大正方形的面積減去4個的面積即可得到正方形的面積，即可判斷甲；在中，根據(jù)勾股定理可得到的長度，即可判斷乙；在中，根據(jù)勾股定理可得到的長度，即可判斷丙．解：如圖所示，正方形的面積等于正方形的面積減去4個的面積，故可不用求出正方形的邊長，故甲不正確；在中，，故乙正確；在中，，故，，，故丙正確．故選：D．【點撥】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】作A關(guān)于的對稱點，連接，過F作于點G，則，當三點依次在同直線上時，的值最小，求出此時的值便可．解：作A關(guān)于的對稱點，連接，過F作于點G，則，∴，∵，∴當三點依次在同直線上時，的值最小，∴的最小值為：3．故選：A．【點撥】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正確的找出點的位置是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】由題意求得，根據(jù)的面積為梯形面積減去兩個直角三角形的面積，列式計算即可求解．解：∵的面積為1，∴，即，∵，即，∴，即，∴的面積．故選：C．【點撥】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用面積關(guān)系，完全平方公式的變形求解．11．【分析】直接利用兩點間的距離公式計算即可．解：點到原點的距離．故答案為：．【點撥】本題考查了兩點間的距離公式：設(shè)有兩點，，，，則這兩點間的距離為．12．3【分析】根據(jù)勾股定理求出，則可得出答案．解：在中，，∵，，∴，∴．故答案為：3．【點撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)勾股定理可計算出的長度，即點在數(shù)軸負半軸表示的數(shù)．解：在中，，∴，∴數(shù)軸上點所表示的數(shù)是．故答案為：．【點撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用及數(shù)軸上點的坐標的表示，根據(jù)題意先計算的長度是解題的關(guān)鍵．14．【分析】將圓柱體展開，利用勾股定理進行求解即可．解：如圖，線段即為所求，由題意，得：，∴；即螞蟻走過的最短路徑為：；故答案為：．【點撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是將立體圖形展開為平面圖形，利用勾股定理求最短路徑．15．16【分析】在和中，根據(jù)勾股定理，即可求解．解：∵，，∴，在中，，在中，，∴．故答案為：16【點撥】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．16．19【分析】根據(jù)勾股定理求出，分別求出和正方形的面積，即可求出答案．解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面積是，∵的面積是，∴陰影部分的面積是，故答案為：19．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力和推理能力．17．【分析】先求解D到C的最短距離，再求解時間即可．解：如圖，根據(jù)題意可知，由點D是的中點，∴，且．根據(jù)勾股定理，得．此時為最短路徑，∴運動時間為：秒．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等，由垂線段最短確定最值是解題的關(guān)鍵．18．4【分析】設(shè)，，則，，在中，根據(jù)勾股定理得出，在中，根據(jù)勾股定理得出，整理得出，代入即可得出，即可得出答案．解：設(shè)，，則，，∵，∴在中，根據(jù)勾股定理可知，，即，在中，根據(jù)勾股定理可知，，即，∴，故答案為：4．【點撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用完全平方公式進行計算，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，用x、y表示出．19．(1)，理由見分析 (2)．【分析】（1）根據(jù)證明和全等解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平角的定義證明是等腰直角三角形，即可求解．（1）解：，證明：∵，∴，∵，在和中，，∴；（2）解：由（1）得，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴是等腰直角三角形．∵，∴．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)證明是解題的關(guān)鍵．20．(1) (2)【分析】（1）連接，過點作軸，垂足為，可得，然后根據(jù)勾股定理求解即可；（2）將代入（1）中的代數(shù)式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)求值即可．解：（1）連接，過點作軸，垂足為，，則點P到原點O的距離為；（2）當，．【點撥】本題考查了勾股定理，二次根式的性質(zhì)，代入求值，坐標系中點的坐標，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．21．(1)見分析 (2)見分析【分析】（1）根據(jù)梯形的面積公式即可求解；（2）如圖所示，用圖①的4個直角三角形，拼成正方形，根據(jù)正方形的面積的兩種計算方式即可求解．（1）解：∵四邊形ABCD是梯形，∴梯形的面積＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，∴a2+b2＝c2；（2）如圖所示，可以證明a2+b2＝c2．驗證：大正方形的面積＝4×ab+（b﹣a）2大正方形的面積＝c2，∴4×ab+（b﹣a）2＝c2，整理得：a2+b2＝c2．【點撥】本題考查了勾股定理的證明、正方形的性質(zhì)、直角三角形面積的計算；熟練掌握正方形的性質(zhì)，運用面積法得出等式是解決問題的關(guān)鍵．22．(1) (2)或【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，在中，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解；（2）根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，即可求解．（1）解：設(shè)，則∵，∵沿著折疊，點恰好與斜邊上點重合∴，，∴在中，∴解得，∴；（2）解：∵是等腰三角形，①，∴，②當時，如圖，∴，又∵，∴，∴，∴．③∵點為斜邊上上動點，所以不存在，綜上所述，或．【點撥】本題考查了勾股定理，等腰三角形的定義，等腰三角形的判定，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．23．(1)，證明見分析 (2) (3)24【分析】（1）由扇形的面積公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根據(jù)（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的結(jié)論進行求解．（1）解：①，根據(jù)勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根據(jù)根據(jù)勾股定理：，從而可得；（3）解：由（2）知．【點撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是對勾股定理的熟練掌握及靈活運用．24．(1)甲、丙 (2)2或 (3)【分析】（1）根據(jù)“奇異勾股三角形”的定義逐項判斷即可；（2）設(shè)出第三邊，根據(jù)“奇異勾股三角形”的定義列方程求解即可；（3）根據(jù)勾股定理和“奇異勾股三角形”的定義，用含a的代數(shù)式表示出b，c即可．（1）解：設(shè)等邊三角形的邊長為a，，滿