人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修二）同步講義第05講 4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式（教師版）

第05講4.3.2等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握等比數(shù)列前n項和公式及求取思路，熟練掌握等比數(shù)列的五個量之間的關(guān)系并能由三求二，能用通項與和求通項。②會利用等比數(shù)列性質(zhì)簡化求和運算，會利用等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征求最值。③能處理與等比數(shù)列相關(guān)的綜合問題。能掌握等比數(shù)列的通項與前n項和的相關(guān)計算公式，能熟練處理與等比數(shù)列的相關(guān)量之間的關(guān)系，用函數(shù)的思想解決等比數(shù)列的相關(guān)問題，會利用等比數(shù)列的性質(zhì)靈活解決與之相關(guān)的問題知識點01：等比數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式若等比數(shù)列的首項為SKIPIF1<0,公比為SKIPIF1<0,則它的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0【即學(xué)即練1】（2023春·海南儋州·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列{an}中，(1)已知SKIPIF1<0，求前4項和SKIPIF1<0；(2)已知公比SKIPIF1<0，前5項和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.知識點02:等比數(shù)列前SKIPIF1<0項和的性質(zhì)公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,關(guān)于SKIPIF1<0的性質(zhì)?？嫉挠幸韵滤念?(1)數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,…組成公比為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的等比數(shù)列(2)當(dāng)SKIPIF1<0是偶數(shù)時,SKIPIF1<0;當(dāng)SKIPIF1<0是奇數(shù)時,SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【即學(xué)即練2】（2023秋·山東棗莊·高二棗莊八中校考期末）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由于SKIPIF1<0是等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0也成等比數(shù)列，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A知識點03：錯位相減法求數(shù)列的和推導(dǎo)等比數(shù)列前SKIPIF1<0項和的方法叫做錯位相減法,一般適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的積所構(gòu)成的數(shù)列的前SKIPIF1<0項和.題型01等比數(shù)列前SKIPIF1<0項和的基本量計算【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求下列等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(4)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)378【詳解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（3）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（4）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，前n項和為SKIPIF1<0．(1)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求q；(3)如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．（2）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然公比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（3）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以公比SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【變式1】（2023春·廣東深圳·高二深圳第三高中?？计谥校┮阎缺葦?shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.(1)求實數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因為數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，（2）由（1），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【變式2】（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求n.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)5【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.題型02等比數(shù)列前SKIPIF1<0項和的片段和性質(zhì)【典例1】（2023秋·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．8 B．9 C．16 D．17【答案】A【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0仍成等比數(shù)列.易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故選:A.【典例2】（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0成等比數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D【變式1】（2023秋·湖南長沙·高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．20 B．30 C．35 D．40【答案】B【詳解】由等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0也成等比數(shù)列，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.【變式2】（2023春·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．13 B．16 C．9 D．12【答案】A【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得SKIPIF1<0仍成等比數(shù)列.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：A題型03等比數(shù)列奇、偶項和的性質(zhì)【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0，所有項之和為所有偶數(shù)項之和的SKIPIF1<0倍，前SKIPIF1<0項之積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意可得所有項之和SKIPIF1<0是所有偶數(shù)項之和SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，設(shè)該等比數(shù)列共有SKIPIF1<0項，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項中，所有奇數(shù)項的和為SKIPIF1<0，所有偶數(shù)項的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項中，設(shè)所有奇數(shù)項的和為SKIPIF1<0，所有偶數(shù)項的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023春·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，且公比SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前100項和為．【答案】450【詳解】在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，公比SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前100項和SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：450【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前10項中所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和的比為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即前10項分別為SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前10項中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C．【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知項數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0的首項為1，奇數(shù)項之和為21，偶數(shù)項之和為10，則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0，又由數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項之和為21，偶數(shù)項之和為10，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；故選：SKIPIF1<0【變式3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：B.【變式4】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】50【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.題型04分組求和法求數(shù)列的前SKIPIF1<0項和【典例1】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足:SKIPIF1<0.(1)證明:SKIPIF1<0是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0得,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項,SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0，求滿足條件的最大整數(shù)SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)9【詳解】（1）SKIPIF1<0兩邊取倒數(shù)得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為首項為2，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故滿足條件的最大整數(shù)為9.【變式1】（2023秋·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求滿足SKIPIF1<0的最大整數(shù)SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)11【詳解】（1）由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為2，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）由（1）可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又易知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時，和式SKIPIF1<0，故滿足SKIPIF1<0的最大整數(shù)SKIPIF1<0為11.【變式2】（2023春·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎缺葦?shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)公比是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．題型05錯位相減法求數(shù)列的前SKIPIF1<0項和【典例1】（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公比不為SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意不妨設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的公差、公比分別為SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，所以分別解得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因此由定義可知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項公式分別為SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以由題意有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，以上兩式作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·江蘇蘇州·高二星海實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0成等差數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0也滿足，故SKIPIF1<0是首項為1，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【變式1】（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，上述兩個等式作差可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0.（2）解：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①可得SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【變式2】（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．題型06等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【典例1】（2023秋·湖南·高三雅禮中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0.【答案】32【詳解】因為SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以可得SKIPIF1<0的前8項為0，2，4，8，12，18，24，32.故答案為：32【典例2】（2023秋·北京·高三北師大實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0;等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(3)記SKIPIF1<0比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，依題意SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或2，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故公比SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.【典例3】（2023秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0公差為2，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前三項．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【變式1】（多選）（2023秋·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項和.若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項為20，則（

）A．SKIPIF1<0 B．公比SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項為20，則SKIPIF1<0，所以公比為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故ACD正確，B錯誤，故選:ACD【變式2】（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0是以3為首項，公差不為0的等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）由（1）可得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【變式3】（2023秋·江西宜春·高三江西省豐城拖船中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)SKIPIF1<0是公差不為0的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項公式：(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．題型07等比數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用1．（2023·廣東揭陽·惠來縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為SKIPIF1<0里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后SKIPIF1<0天共走的里程數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設(shè)第SKIPIF1<0天走SKIPIF1<0里，其中SKIPIF1<0，由題意可知，數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，此人后三天所走的里程數(shù)為SKIPIF1<0.故選：D.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列SKIPIF1<0本身不是等差數(shù)列，但從SKIPIF1<0數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列SKIPIF1<0（則稱數(shù)列SKIPIF1<0為一階等差數(shù)列），或者SKIPIF1<0仍舊不是等差數(shù)列，但從SKIPIF1<0數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列SKIPIF1<0（則稱數(shù)列SKIPIF1<0為二階等差數(shù)列），依次類推，可以得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0：1，1，3，27，729…是一階等比數(shù)列，則SKIPIF1<0的值為（參考公式：SKIPIF1<0）（

）A．60 B．120 C．240 D．480【答案】B【詳解】由題意，數(shù)列1，1，3，27，729，…為SKIPIF1<0，且為一階等比數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等比數(shù)列，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，也適合上式，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B.3．（2023春·安徽滁州·高二安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？计谀┠硶簲?shù)科考試中有這樣一道題：那年春，夫子游桃山，一路摘花飲酒而行，始切一斤桃花，飲一壺酒，復(fù)切一斤桃花，又飲一壺酒，后夫子惜酒SKIPIF1<0故再切一斤桃花，只飲半壺酒，再切一斤桃花，飲半半壺酒，如是而行，終夫子切六斤桃花而醉臥桃山SKIPIF1<0問：夫子切了六斤桃花一共飲了幾壺酒SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：由題意可知，數(shù)列前SKIPIF1<0項都是SKIPIF1<0，從第二項開始，構(gòu)成以公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以前SKIPIF1<0項和為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B．4．（2023春·上海浦東新·高一上海師大附中?？计谀?）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作.在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”意思是一個整數(shù)除以三余二、除以五余三、除以七余二，求這個整數(shù).設(shè)這個整數(shù)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，試求符合條件的SKIPIF1<0的個數(shù).（2）《九章算術(shù)》敘述了一個老鼠打洞的趣事:“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，大鼠“壯壯”日二尺，小鼠'果果'亦二尺.大鼠·壯壯'日自三分之二，小鼠‘果果'日自半.問:何日相逢?各穿幾何?”意思就是說，有一堵十尺厚的墻，兩只老鼠從兩邊向中間打洞，大老鼠“壯壯”第一天打二尺，小老鼠“果果”也是二尺.大老鼠“壯壯”每天的打洞進(jìn)度是前一天的SKIPIF1<0倍，小老鼠“果果”每天的進(jìn)度是前一天的SKIPIF1<0倍.問第300天結(jié)束時，兩只老鼠“壯壯”與“果果”是否能喜相逢?請說明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）不能，理由見解析【詳解】（1）由題可知滿足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的數(shù)為23，滿足該條件的數(shù)從小到大構(gòu)成以23為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，其通項公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以符合條件的整數(shù)a的個數(shù)為10.（2）大老鼠“壯壯”和小老鼠“果果”每天穿墻尺寸分別構(gòu)成數(shù)列SKIPIF1<0，它們都是等比數(shù)列，由題意SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以第300天結(jié)束時，兩只老鼠“壯壯”與“果果”不能喜相逢.A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·廣東湛江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或2【答案】D【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：D2．（2023春·北京·高二北京市第十二中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0是遞增的等比數(shù)列,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0,由題意可得：SKIPIF1<0,又?jǐn)?shù)列SKIPIF1<0是遞增的等比數(shù)列,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.故選:A.3．（2023春·北京·高二中關(guān)村中學(xué)?？计谥校┐笱軘?shù)列，來源于中國古代著作《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前SKIPIF1<0項依次是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.其通項公式為SKIPIF1<0如果把這個數(shù)列SKIPIF1<0排成如下圖形狀，并記SKIPIF1<0表示第m行中從左向右第n個數(shù)，則SKIPIF1<0的值為（

）

A．1984 B．2048 C．5724 D．5832【答案】D【詳解】由題意：前10行共有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示數(shù)列的第108項.所以SKIPIF1<0.故選：D4．（2023·高二課時練習(xí)）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由SKIPIF1<0可知，該表達(dá)式是一個以首項為1，公比為3的等比數(shù)列，共有SKIPIF1<0項故SKIPIF1<0，故選：C.5．（2023秋·四川雅安·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【詳解】設(shè)公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得:SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：C.6．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．8 B．9 C．16 D．17【答案】A【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0仍成等比數(shù)列.易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故選:A.7．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0成等比數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D8．（2023春·河南鄭州·高二校聯(lián)考期中）數(shù)列SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是首項為4公比為2的等比數(shù)列，其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則不等式SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0恒成立，可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0恒成立，又SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立），則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D二、多選題9．（2023秋·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0