2023-2024學(xué)年江蘇省鹽城市建湖縣八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年江蘇省鹽城市建湖縣八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)1．（3分）對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運(yùn)用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識等作品的設(shè)計(jì)上，使對稱之美驚艷了千年的時(shí)光、下面四個(gè)花窗圖案，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）﹣8的立方根是（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在3．（3分）如圖，已知AB＝CD，從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件后，仍不能判定△ABC≌△CDA的是（）A．BC＝AD B．∠B＝∠D＝90° C．∠BAC＝∠DCA D．∠ACB＝∠CAD4．（3分）對于下列四個(gè)條件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④5．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，連接AD，則△ACD的周長是（）A．7 B．8 C．9 D．106．（3分）等腰三角形的一個(gè)角是70°，則它頂角的度數(shù)是（）A．70° B．70°或40° C．70°或55° D．55°7．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，O為∠ABC、∠ACB平分線的交點(diǎn)，若△ABO的面積為30，則△ACO的面積為（）A．16 B．20 C．24 D．488．（3分）如圖，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上滑動(dòng)，且DE＝6，若點(diǎn)M、N分別是AB、DE的中點(diǎn)，則MN的最小值為（）A．2 B．3 C．3.5 D．4二、填空題（本大題共有10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請將9．（2分）如圖，已知△ABC≌△ADE，若∠AED＝108°，則∠BCD的度數(shù)為°．10．（2分）如果一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+3與2a﹣18．那么這個(gè)數(shù)是．11．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∠BAD＝30°，則∠C的度數(shù)為°．12．（2分）如圖，在∠BAC兩邊上有點(diǎn)D、E、F，連接DF和EF，AD＝DF＝EF，若∠A＝30°，則∠BFE的度數(shù)為．13．（2分）如圖，某公園處有一塊長方形草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角∠ACB走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”AB．已知AC＝40m，BC＝30m，他們踩傷草坪，僅僅少走了m．14．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，點(diǎn)D在斜邊AB上，且DB＝CB，則∠ACD＝°．15．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C且與AB相交，AE⊥l，垂足為點(diǎn)E，BD⊥l，垂足為點(diǎn)D．若AE＝6，BD＝4，則ED的長是．16．（2分）等腰三角形ABC的周長是10cm，AB＝3cm，則BC＝cm．17．（2分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是．18．（2分）如圖所示是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠1+∠2的度數(shù)是°．三、解答題（本大題共有9小題，共76分.請?jiān)诖痤}區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要19．（6分）已知4a+3的立方根是3，3b+1的算術(shù)平方根是5，求2a+3b的平方根．20．（8分）下列正方形網(wǎng)格圖中，部分方格涂上了顏色，請按照不同要求作圖．（1）作出圖①的對稱軸；（2）將圖②中的某一個(gè)方格涂上顏色，使整個(gè)圖形成僅有一條對稱軸的軸對稱圖形；（3）將圖③中的某兩個(gè)方格涂上顏色，使整個(gè)圖形有四條對稱軸的軸對稱圖形．21．（7分）已知，如圖，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，AD＝AE，BE、CD相交于點(diǎn)O，∠B＝∠C，求證：（1）△ABE≌△ACD；（2）△BOD≌△COE．22．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分線，交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE∥BC，交CD的延長線于點(diǎn)E．求證：AE＝DE．23．（8分）如圖，已知△ABC．（1）在圖中用直尺和圓規(guī)作出∠B的平分線和BC邊的垂直平分線，并交于點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，且CD＝BE，連接PD，PE，求證：PD＝PE．24．（8分）明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千OA靜止的時(shí)候，踏板離地高一尺（AC＝1尺），將它往前推進(jìn)兩步（EB＝10尺），此時(shí)踏板升高離地五尺（BD＝5尺），求秋千繩索（OA或OB）的長度．25．（10分）已知：如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上，CD∥AB，且CD＝BE．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）判斷△ADE的形狀，并說明理由．26．（10分）如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，CD＝1，AD＝2，BD＝4．（1）求證：∠BAC＝90°；（2）點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，連接AP，若△ACP為等腰三角形，求CP的長．27．（12分）如圖①，等腰△ABC中，AB＝AC．點(diǎn)D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、P分別在BD延長線上．且AB＝AE，CP＝EP．問題思考在圖①中，求證：∠BPC＝∠BAC；問題再探若∠BAC＝60°，如圖②．探究線段AP、BP、EP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；問題拓展若∠BAC＝90°且BD平分∠ABC，如圖③，請直接寫出的值為．

2023-2024學(xué)年江蘇省鹽城市建湖縣八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)1．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念判斷即可．【解答】解：A、是軸對稱圖形，不符合題意；B、是軸對稱圖形，不符合題意；C、是軸對稱圖形，不符合題意；D、不是軸對稱圖形，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱圖形，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形．2．【分析】根據(jù)立方根的定義求出的值，即可得出答案．【解答】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了對立方根的定義的理解和運(yùn)用，明確a的立方根是是解題的關(guān)鍵．3．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS（直角三角形還有HL），看看是否符合定理，即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：A、在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B、∵∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△CDA中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C、在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)AB＝CD，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD不能推出△ABC≌△CDA，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS（直角三角形還有HL）．4．【分析】①∠A+∠B＝∠C，推出∠C＝90°，得到△ABC是直角三角形；②根據(jù)勾股定理逆定理，即可推出△ABC是直角三角形；③∠A＝90°﹣∠B，推出∠C＝90°，得到△ABC是直角三角形；④∠A＝∠B＝2∠C，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，求出三個(gè)角的度數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；故①正確；②∵a：b：c＝3：4：5，設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝c2，∴△ABC是直角三角形；故②正確；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；故③正確；④∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴5∠C＝180°，∴∠C＝36°，∴∠A＝∠B＝2∠C＝72°，∴△ABC不是直角三角形；故④錯(cuò)誤；綜上：能確定△ABC是直角三角形的條件有①②③；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的判定．熟練掌握直角三角形的定義，以及勾股定理逆定理，是解題的關(guān)鍵．5．【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝BD，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝BD，∵BC＝4，AC＝3，∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，∴△ACD的周長為：4+3＝7．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，正確得出AD＝BD是解題關(guān)鍵．6．【分析】等腰三角形一內(nèi)角為70°，沒說明是頂角還是底角，所以有兩種情況．【解答】解：當(dāng)70°角為頂角，頂角度數(shù)即為70°；當(dāng)70°為底角時(shí)，頂角＝180°﹣2×70°＝40°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題，若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．7．【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)O到AB，BC，AC的距離相等，則△AOB、△BOC、△AOC面積的比實(shí)際為AB，BC，AC三邊的比．【解答】解：∵O為∠ABC、∠ACB平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O到AB，AC的距離相等，∴△AOB、△AOC面積的比＝AB：AC＝10：8＝5：4，∵△ABO的面積為30，∴△ACO的面積為24．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)，正確記憶角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題關(guān)鍵．8．【分析】根據(jù)三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求得CN＝DE＝3，CM＝AB＝5，由當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，即可求得MN的最小值為2．【解答】解：如圖，連接CM、CN，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵DE＝6，點(diǎn)M、N分別是DE、AB的中點(diǎn)，∴CN＝DE＝3，CM＝AB＝5，當(dāng)C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，∴MN的最小值為：5﹣3＝2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，明確C、M、N在同一直線上時(shí)，MN取最小值是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共有10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請將9．【分析】利用全等三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED，∵∠AED＝108°，∴∠ACB＝108°，∴∠BCD＝180°﹣∠ACB＝72°．故答案為：72．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．10．【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)列得方程，解方程求得a的值，然后求得a+3的值，再將其平方即可．【解答】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是a+3與2a﹣18，∴a+3+（2a﹣18）＝0，解得：a＝5，則a+3＝5+3＝8，那么這個(gè)數(shù)為82＝64，故答案為：64．【點(diǎn)評】本題考查平方根的性質(zhì)，利用一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)列得方程是解題的關(guān)鍵．11．【分析】由等腰三角形的三線合一性質(zhì)可知∠BAC＝60°，再由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，∴AD是∠BAC的平分線，∠B＝∠C，∵∠BAD＝30°，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，∴∠C＝（180°﹣60°）＝60°．故答案為：60．【點(diǎn)評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．12．【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠AFD＝30°，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠FDE＝60°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠FDE＝∠FED＝60°，從而利用三角形的外角性質(zhì)可得∠BFE＝∠A+∠FED＝90°，即可解答．【解答】解：∵DA＝DF，∴∠A＝∠AFD＝30°，∵∠FDE是△ADF的一個(gè)外角，∴∠FDE＝∠A+∠AFD＝60°，∵DF＝EF，∴∠FDE＝∠FED＝60°，∵∠BFE是△AEF的一個(gè)外角，∴∠BFE＝∠A+∠FED＝90°，故答案為：90°．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．13．【分析】由勾股定理求出AB的長，即可解決問題．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝40m，BC＝30m，∴AB＝＝＝50（m），∴AC+BC﹣AB＝40+30﹣50＝20（m），即僅僅少走了20m，故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理得出捷徑的長是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠B＝32°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得到∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝74°，進(jìn)而得到答案．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝58°，∴∠B＝90°﹣∠A＝32°，∵DB＝CB，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝74°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣74°＝16°．故答案為：16．【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，求出∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝74°是解題的關(guān)鍵．15．【分析】由∠AEC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，得∠CAE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD，而AC＝CB，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“AAS”證明△ACE≌△CBD，則AE＝CD＝6，CE＝BD＝4，所以ED＝CD﹣CE＝2，于是得到問題的答案．【解答】解：∵AE⊥l于點(diǎn)E，BD⊥l于點(diǎn)D，∴∠AEC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＝∠BCD＝90°﹣∠ACD，在△ACE和△CBD中，，∴△ACE≌△CBD（AAS），∴AE＝CD＝6，CE＝BD＝4，∴ED＝CD﹣CE＝6﹣4＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△ACE≌△CBD是解題的關(guān)鍵．16．【分析】由于已知周長和一邊，邊是腰長和底邊沒有明確，因此需要分兩種情況討論．【解答】解：當(dāng)AB，BC為腰長時(shí)，BC＝3cm，底邊長為10﹣3﹣3＝4（cm），3，3，4能組成三角形，符合題意；當(dāng)BC為底邊，AB、AC為腰長時(shí)，BC＝10﹣3﹣3＝4（cm），3，3，4能組成三角形，符合題意；當(dāng)AC，BC為腰長，AB為底邊時(shí)，BC＝（10﹣3）÷2＝3.5，3.5，3.5，3能組成三角形，符合題意；故答案為：3或4或3.5．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系，分類思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．17．【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠B＝∠C＝40°，然后分兩種情況進(jìn)行討論：①∠ADB＝90°；②∠BAD＝90°，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB的度數(shù)即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝40°，∵△ABD為直角三角形，∴有以下兩種情況：①∠ADB＝90°，②∠BAD＝90°，此時(shí)∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．∴若△ABD為直角三角形，則∠ADB的度數(shù)是90°或50°．故答案為：90°或50°．【點(diǎn)評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角的定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角的定理是解答此題的關(guān)鍵；分類討論是解答此題的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)之一．18．【分析】直接利用網(wǎng)格得出對應(yīng)角∠1＝∠3，進(jìn)而得出答案．【解答】解：如圖所示：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠1＝∠CDE，則∠1+∠2＝∠2+∠CDE＝45°．故答案為：45．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共有9小題，共76分.請?jiān)诖痤}區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要19．【分析】根據(jù)立方根及算術(shù)平方根的定義求得a，b的值，然后將其代入2a+3b中計(jì)算后根據(jù)平方根的定義即可求得答案．【解答】解：∵4a+3的立方根是3，3b+1的算術(shù)平方根是5，∴4a+3＝27，3b+1＝25，∴a＝6，b＝8，∴2a+3b＝12+24＝36，∴2a+3b的平方根是±6．【點(diǎn)評】本題考查立方根，平方根及算術(shù)平方根，根據(jù)其定義求得a，b的值是解題的關(guān)鍵．20．【分析】（1）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案；（2）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案；（3）直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出答案．【解答】解：（1）如圖①所示：（2）如圖②所示：（3）如圖③所示：【點(diǎn)評】此題主要考查了利用軸對稱設(shè)計(jì)圖案，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．【分析】（1）因?yàn)椤螦＝∠A，∠B＝∠C，AE＝AD，根據(jù)AAS定理推出△ABE≌△ACD．（2）由（1）可知△ABE≌△ACD，證得AB＝AC，得出BD＝CE，然后根據(jù)AAS定理推出△BOD≌△COE．【解答】證明：（1）在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）∵△ABE≌△ACD，∴AB＝AC，∵AD＝AE，∴BD＝CE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE（AAS）．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．22．【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠B＝∠ACB＝72°，根據(jù)角平分線定義求出∠DCB，根據(jù)平行線求出∠EAB＝72°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE＝72°，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出答案．【解答】證明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分線，∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∵AE∥BC，∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算和推理能力．23．【分析】（1）根據(jù)角平分線與線段垂直平分線的基本作法作出圖形即可；（2）根據(jù)角平分線的定義與線段垂直平分線的性質(zhì)推出∠PCD＝∠PBE，再根據(jù)SAS證明△BPE≌△CPD即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：如圖所示，射線BP與直線l即為所求；（2）證明：如圖，連接PC，∵點(diǎn)P是線段BC垂直平分線上的點(diǎn)，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠PCD＝∠PBE，又∵BE＝CD，BP＝BP，∴△BPE≌△CPD（SAS），∴PD＝PE．【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解（2）的關(guān)鍵．24．【分析】設(shè)OA＝OB＝x尺，表示出OE的長，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根據(jù)勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．則秋千繩索的長度為14.5尺．【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．25．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，根據(jù)SAS可證明△ABE≌△ACD；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，證出∠EAD＝60°，則可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠B，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）解：△ADE是等邊三角形．理由：∵△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，∵∠BAC＝60°，∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠EAC+∠BAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠ADC＝∠ADB＝90°，然后分別在Rt△ACD和Rt△ABD中，利用勾股定理求出AC和AB的長，再利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，從而可得∠BAC＝90°，即可解答；（2）分三種情況：當(dāng)CA＝CP＝時(shí)；當(dāng)AC＝AP時(shí)；當(dāng)PA＝PC時(shí)；然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，CD＝1，AD＝2，∴AC＝＝＝，在Rt△ABD中，BD＝4，∴AB＝＝＝2，在△ABC中，AC2+AB2＝（）2+（2）2＝25，BC2＝（CD+BD）2＝52＝25，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°；（2）解：分三種情況：當(dāng)CA＝CP＝時(shí)，如圖：∴CP的長為；當(dāng)AC＝AP時(shí)，如圖：∵AC＝AP，AD⊥CP，∴CP＝