第12章復(fù)數(shù)章末題型歸納總結(jié)

第12章復(fù)數(shù)章末題型歸納總結(jié)章末題型歸納目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：復(fù)數(shù)的概念經(jīng)典題型二：復(fù)數(shù)的幾何意義經(jīng)典題型三：復(fù)數(shù)的四則運算經(jīng)典題型四：復(fù)數(shù)最值問題經(jīng)典題型五：復(fù)數(shù)方程經(jīng)典題型六：復(fù)數(shù)的三角表示模塊三：數(shù)學(xué)思想與方法①分類與整合思想②等價轉(zhuǎn)換思想③數(shù)形結(jié)合的思想模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：復(fù)數(shù)的概念例1．（2024·高三·河南商丘·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足為純虛數(shù)，且，則z的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，因為為純虛數(shù)，所以所以，，因為，所以，解得，則，即z的虛部為.故選：A.例2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．B．是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在角的終邊上，則【答案】D【解析】由題設(shè)，且對應(yīng)點在第一象限，A、C錯誤；不是純虛數(shù)，B錯誤；由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以，D正確.故選：D例3．（2024·高二·山西太原·階段練習(xí)）已知，，若（i為虛數(shù)單位），則的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【解析】由題意，故為實數(shù)或故選：A例4．（2024·高二·北京海淀·期末）已知下列三個命題：①若復(fù)數(shù)z1，z2的模相等，則z1，z2是共軛復(fù)數(shù)；②z1，z2都是復(fù)數(shù)，若z1+z2是虛數(shù)，則z1不是z2的共軛復(fù)數(shù)；③復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z.則其中正確命題的個數(shù)為A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】運用復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、虛數(shù)等知識對命題進行判斷.對于①中復(fù)數(shù)和的模相等,例如,,則和是共軛復(fù)數(shù)是錯誤的;對于②和都是復(fù)數(shù),若是虛數(shù),則其實部互為相反數(shù),則不是的共軛復(fù)數(shù),所以②是正確的;對于③復(fù)數(shù)是實數(shù),令,則所以,反之當(dāng)時,亦有復(fù)數(shù)是實數(shù),故復(fù)數(shù)是實數(shù)的充要條件是是正確的.綜上正確命題的個數(shù)是個.故選例5．（2024·山東濰坊·二模）下面四個命題中，正確的是A．若復(fù)數(shù)，則 B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．若復(fù)數(shù)，滿足，則或 D．若復(fù)數(shù)，滿足，則，【答案】A【解析】分析：由復(fù)數(shù)的基本概念及基本運算性質(zhì)逐一核對四個選項得答案.對于A，若復(fù)數(shù)，則，故A正確；對于B，取，則，而，故B錯誤；對于C，取，，滿足，但不滿足或，故C錯誤；對于D，取，，滿足，但不滿足，，故D錯誤.故選A.例6．（2024·高二·全國·課時練習(xí)）下列命題中為假命題的是()．A．復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實數(shù)B．復(fù)數(shù)等于零的充要條件是它的模等于零C．兩個復(fù)數(shù)模相等是這兩個復(fù)數(shù)相等的必要條件D．復(fù)數(shù)z1>z2的充要條件是|z1|>|z2|【答案】D【解析】A中任意復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0總成立，∴A正確；B中由復(fù)數(shù)為零的條件z＝0??|z|＝0，故B正確；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，則有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i時，|z1|＝|z2|，故C正確；D中兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，但任意兩個復(fù)數(shù)的模總能比較大小，∴D錯．選D.經(jīng)典題型二：復(fù)數(shù)的幾何意義例7．（2024·高一·上海閔行·階段練習(xí)）設(shè)和是關(guān)于x的方程的兩個虛數(shù)根，若、、在復(fù)平面上對應(yīng)的點構(gòu)成直角三角形，則實數(shù).【答案】13【解析】設(shè)，由實系數(shù)一元二次方程虛根成對定理可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，整理得，設(shè)、、在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為、、，則，可知A，B關(guān)于x軸對稱，若復(fù)平面上、、對應(yīng)點構(gòu)成直角三角形，則，即，解得，所以.故答案為：13.例8．（2024·高一·上海嘉定·期末）已知復(fù)平面上有點和點，使得向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則點的坐標(biāo)為.【答案】【解析】因向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，所以，因，所以.故答案為：.例9．（2024·高一·北京西城·期末）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則為．【答案】1【解析】由已知得該復(fù)數(shù)，則，故答案為：1.例10．（2024·高一·江蘇淮安·期末）復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為、，若為坐標(biāo)原點，則鈍角的大小為.【答案】/【解析】依題意，，，，則，，，在中，由余弦定理得，又，所以.故答案為：例11．（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，是原點，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【答案】【解析】如圖，由題意可知，與軸正向夾角為，繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后到達軸上點，又，所以的坐標(biāo)為，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：例12．（2024·高一·浙江·期中）復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點分別是A，B，則．【答案】1【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)與對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，如下圖所示：易知；則.故答案為：1例13．（2024·高一·河南鄭州·期中）如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，試寫出一個與復(fù)數(shù)的虛部相等．且模為1的復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式．【答案】【解析】因為向量，，所以，故，則可設(shè)，由，解得，所以，故答案為：經(jīng)典題型三：復(fù)數(shù)的四則運算例14．（2024·高一·海南省直轄縣級單位·期中）（1）化簡；（2）已知復(fù)數(shù)的，求.【解析】（1）;（2）由已知得，∴.例15．（2024·高一·全國·單元測試）計算：(1)；(2)【解析】（1）（2）因為，所以，因為，所以，所以例16．（2024·高一·河北石家莊·期末）已知復(fù)數(shù)，，其中是實數(shù).(1)若，求實數(shù)的值；(2)若是純虛數(shù)，求.【解析】（1）復(fù)數(shù)，則，又a是實數(shù)，因此，解得，所以實數(shù)a的值是.（2）復(fù)數(shù)，，，則，因為是純虛數(shù)，于是，解得，因此，又，則，即有，所以.例17．（2024·高一·河南焦作·階段練習(xí)）計算：(1)；(2).【解析】（1）.（2）.例18．（2024·高一·全國·課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）（2）（3）例19．（2024·高二·廣西百色·期末）已知復(fù)數(shù)，.(1)求；(2)求.【解析】（1）由題可得：，所以（2）因為所以.例20．（2024·高一·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）計算：（1）；（2）.【解析】（1）；（2）.經(jīng)典題型四：復(fù)數(shù)最值問題例21．（2024·高一·河南鄭州·期中）已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，因為復(fù)數(shù)滿足，所以由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，點到點和的距離相等，所以在復(fù)平面內(nèi)點的軌跡為，又表示點到點的距離，所以問題轉(zhuǎn)化為上的動點到定點距離的最小值，當(dāng)為時，到定點的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．例22．（2024·高一·山東菏澤·期中）已知復(fù)數(shù)，，且，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量為，，，（O為坐標(biāo)原點），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，，且，所以得，設(shè),∴,，，其中,∴時,取最小值為.故選：B.例23．（2024高一·全國·專題練習(xí)）（2024·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谥校?fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值為（）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【解析】設(shè)，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點在以原點為圓心，半徑的圓上運動，表示點與復(fù)數(shù)的對應(yīng)點的距離，故選：B.例24．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)是復(fù)數(shù)且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，表示復(fù)平面內(nèi)以為圓心，1為半徑的圓，而表示復(fù)數(shù)到原點的距離，由圖可知，.故選：C例25．（2024·高三·江西贛州·階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足(為虛數(shù)單位），則的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．+1【答案】C【解析】設(shè)，則.由已知可得，.設(shè)，，則.所以，.當(dāng)，即時，該式有最大值，所以，，所以，.故選：C.例26．（2024·安徽安慶·一模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足條件|z|＝1，那么取最大值時的復(fù)數(shù)z為（

）A．+i B．+i C．i D．i【答案】A【解析】復(fù)數(shù)滿足條件，它是復(fù)平面上的單位圓，那么表示單位圓上的點到的距離，要使此距離取最大值的復(fù)數(shù)，就是和連線和單位圓在第一象限的交點．點到原點距離是2．單位圓半徑是1，又，所以．故對應(yīng)的復(fù)數(shù)為．故選：A例27．（2024·湖北黃岡·二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由可設(shè)：，，（其中），當(dāng)時，即時，.故選：C.經(jīng)典題型五：復(fù)數(shù)方程例28．（2024·高一·湖北武漢·階段練習(xí)）已知是關(guān)于的方程的一個根，則.【答案】1【解析】由題，，即，所以，得，，所以.故答案為：1.例29．（2024·高三·全國·課時練習(xí)）若關(guān)于x的方程無實根，則實數(shù)p的取值范圍是．【答案】【解析】若方程無實根，即：無實根，假定方程有實數(shù)根，而為實數(shù)，則，且，解得或，因此原方程無實數(shù)根時，且，故實數(shù)p的取值范圍是.故答案為：例30．（2024·高三·全國·課時練習(xí)）設(shè)關(guān)于x的實系數(shù)方程的兩個虛根為、，則．【答案】【解析】由題可知，，設(shè)，a，b∈R，則，則．故答案為：例31．（2024·高二·江西新余·開學(xué)考試）已知關(guān)于的方程，其中a，b為實數(shù)．(1)設(shè)（是虛數(shù)單位）是方程的根，求a，b的值；(2)證明：當(dāng)，且時，該方程無實數(shù)根．【解析】（1）∵是方程的根，∴也是方程的根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，得，解得，；（2）∵，∴，∴，即，∴，∴原方程無實數(shù)根．例32．（2024·高一·上海閔行·階段練習(xí)）已知關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程(1)若，求方程的兩個根；(2)若方程有兩虛根，，求的值；(3)若方程的兩根為，其在復(fù)平面上所對應(yīng)的點分別為，點關(guān)于軸的對稱點為（不同于點），如果，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時方程為，則，所以方程的根為、（2）因為方程有兩虛根，所以，解得，此時方程有兩個共軛復(fù)根、，故，又，所以，所以，解得或（舍去）.（3）若，即或時，此時，，則，，，顯然，所以，則，即，解得或，所以或；若，即時，設(shè)，（），則，，，所以，，所以，即，又，，所以，解得或，所以；綜上可得的取值范圍為.例33．（2024·高一·江蘇無錫·期末）已知復(fù)數(shù)，其中是正實數(shù)，是虛數(shù)單位(1)如果為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；(2)如果，是關(guān)于的方程的一個復(fù)根，求的值.【解析】（1）因為，所以，因為為純虛數(shù)，所以，解得（負(fù)值舍去），所以.（2）因為，所以，則，因為是關(guān)于的方程的一個復(fù)根，所以與是的兩個復(fù)根，故，則，所以.經(jīng)典題型六：復(fù)數(shù)的三角表示例34．（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.例35．（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）（2）（3）例36．（2024·高一·全國·課時練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)(4)【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.例37．（2024·高一·全國·課時練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)，求復(fù)數(shù).【解析】（1）復(fù)數(shù)逆時針旋轉(zhuǎn)后得,順時針旋轉(zhuǎn)后得.（2）由（1）得.例38．（2024·高二·河南商丘·階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，的虛部是2，z對應(yīng)的點A在第一象限，(1)求z的值；(2)若在復(fù)平面上對應(yīng)點分別為A，B，C，求cos∠ABC.【解析】（1）設(shè)，，則，由題意得，故，因為z對應(yīng)的點A在第一象限，所以，解得，故；（2）由（1）知，，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因為，且的輻角為，所以例39．（2024·高一·全國·課時練習(xí)）回答下面兩題(1)求證：；(2)寫出下列復(fù)數(shù)z的倒數(shù)的模與輻角：①；②；③．【解析】（1）證法1：左邊右邊證法2：，∴原等式成立.（2）①時，，的模為，輻角為.②時，.的模為1，輻角為.③時，，的模為1，輻角為.例40．（2024·高一·全國·課時練習(xí)）設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，．(1)觀察，，，…猜測：（直接寫出結(jié)果）；(2)若復(fù)數(shù)，利用（1）的結(jié)論計算．【解析】（1）由觀察得；（2），由（1）得模塊三：數(shù)學(xué)思想方法分類與整合思想例41．（2024·高一單元測試）已知復(fù)數(shù)z滿足的虛部為2.（1）求復(fù)數(shù)z；（2）設(shè)在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為，求△的面積.【解析】（1）設(shè)，則，即有.由的虛部為2，有.∴或即或.（2）當(dāng)時，.∴點，知：且到的距離為1；∴.當(dāng)時，.∴點，知：且到的距離為1；∴.∴△的面積為1.例42．（2024·高一單元測試）已知復(fù)數(shù)的實部和虛部相等，其中為虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z的模；(2)若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值.【解析】（1）由題意得：，解得，復(fù)數(shù)；（2）由題知：的實部為零，虛部不為零，，令得：或，當(dāng)時，，不合題意，當(dāng)時，，符合題意，所以.例43．（2024·江蘇南通·高二啟東中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z的實部為正數(shù)，滿足，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一、三象限的角平分線上.（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若有，，對任意均有成立，試求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）設(shè)，①，，且在一、三象限角平分線上，②由①、②得或，，，；（2），，，，均有成立，∴，即對恒成立，①時，恒成立，②，，解得，綜上所述，.等價轉(zhuǎn)換思想例44．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)，，其中．(1)若復(fù)數(shù)為實數(shù)，求θ的值；(2)求的取值范圍．【解析】（1），又復(fù)數(shù)為實數(shù)，故，即，∵，∴；（2），∴，∵，∴，故例45．（2024·湖北恩施·高一校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)（1）若，求角；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，其中為坐標(biāo)原點，求的取值范圍.【解析】（1）由，可得，由，可得：，所以，所以或；（2）由題意可得，由，所以，所以，所以的取值范圍為.例46．（2024·山東煙臺·高一統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，和b是關(guān)于x的方程的兩個根.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，說明在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點Z的集合是什么圖形？并求該圖形的面積【解析】（1