水下航行器導(dǎo)航系統(tǒng)原理 課件 第4講 導(dǎo)航基礎(chǔ)(一)

導(dǎo)航基礎(chǔ)（一）HARBINENGINEERING

UNIVERSITY目錄/Contents010203坐標系03方向余弦歐拉角慣性器件標定01坐標系導(dǎo)航的任務(wù)就是確定載體的運動參數(shù)，即確定載體在某個坐標系的位置、速度以及姿態(tài)等。什么是運動物體的姿態(tài)？詞典:

指物體呈現(xiàn)的樣子。慣性技術(shù):

指載體坐標系與參考坐標系相對角位移關(guān)系。1.

坐標系5常用坐標系如下：慣性坐標系i地球坐標系e地理坐標系t載體坐標系b平臺坐標系p1.

坐標系慣性坐標系（i）：相對恒星所確定的參考系稱為慣性空間，相對慣性空間靜止或作勻速直線運動的參考坐標系。日心慣性坐標系：原點取在日心。地心慣性坐標系：原點取在地心，Z 軸與地球自轉(zhuǎn)軸一致，X、Y 軸在赤道平面內(nèi)，指向某個恒星,與Z構(gòu)成右手直角坐標系。地心慣性坐標系不參與地球的自轉(zhuǎn)運動，即其三根坐標軸在慣性空間的方向保持不變。1.

坐標系地球坐標系（e）：原點取在地心，Z 軸沿極軸（地軸）e方向，Xe

軸在赤道平面與本初子午面的交線上，Ye

軸也在赤道平面內(nèi)并與Xe

、Ze

軸構(gòu)成右手直角坐標系。地球坐標系隨地球自轉(zhuǎn)而變化。RR

o

hxeyeez

極軸

ie本初子午面赤道平面1.

坐標系地理坐標系（t）原點位于運載體所在的點，Xtt軸沿當?shù)鼐暰€指東，Y

軸沿當?shù)刈游缇€指北；

Z

軸垂直于tXt,Yt 軸構(gòu)成的平面，構(gòu)成右手直角坐標系。其中Xt

、Yt

軸構(gòu)成的平面即為當?shù)厮矫?。地理坐標系隨地球自轉(zhuǎn)、載體運動而變化。R

o

h極軸NExtytzt1.

坐標系載體坐標系（b）：載體坐標系zb軸垂直于甲板，

yb軸沿載體縱軸，xb軸沿載體橫軸。載體姿態(tài)即為載體坐標系相對于地理坐標系角位移關(guān)系，對于船舶，可由橫搖角、縱搖角和航向角三個角度描述。1.

坐標系平臺坐標系（p）：在平臺式慣性導(dǎo)航系統(tǒng)里，慣性元件陀螺儀和加速度計安裝在與運載體姿態(tài)運動相隔離的平臺上，原點在平臺質(zhì)心，zp軸垂直于平臺臺面，yp軸指向平臺北，

xp軸指向東。構(gòu)成右手坐標系。平臺坐標系和地理坐標系一致么？1.

坐標系02方向余弦問題：已知一個矢量在某個坐標系下的表示，如何求其在其他坐標系下的表示？方向余弦法（九參數(shù)法）歐拉角法（三參數(shù)法）四元數(shù)法（四參數(shù)法）2.

方向余弦方向余弦定義設(shè)取直角坐標系OXYZ，沿各坐標軸的單位矢量分別為i、j、k；設(shè)過原點有一矢量R，它在各坐標軸上的投影分別為Rx，Ry，Rz。矢量R的投影表示為??=??????+

??????+????k投影Rx，Ry，Rz分別表示為??

?

?????? ???,

?? ,??

?

?????? ???,

?? ,

??

?

?????? ???,

??其中?????? ???,

?? ,

?????? ???,

?? ,

?????? ???,

?? 是矢量R與坐標軸X,

Y,

Z正向之間夾角的余弦，稱為方向余弦。XYZORR

xR

zR

yijk2.

方向余弦坐標系各坐標軸方向余弦直角坐標系Oxryrzr與載體固連（簡稱r系）Ox0y0z0為參考坐標系（簡稱0系）要確定載體在空間的角位置，只要確定載體坐標系在參考坐標系的角位置即可。而要做到這一點，只需要知道xr、yr、zr這三個軸的九個方向余弦。Z0X

00YZrX

rYrRj0k0irrjkri02.

方向余弦Cr00r或

C

來表示，即

23

21 220

C

C

C

C11 C12 C13

C

r

32

2212

C

C

CC21 C31

C11C

0r方向余弦矩陣把上述九個方向余弦組成一個3*3階矩陣，用Cr0

C31 C32 C33

則稱這種矩陣為方向余弦矩陣。其中

C13 C23 C33

為0系到r系的方向余弦矩陣，為r系到0系的方向余弦矩陣。0rC2.

方向余弦基于方向余弦的坐標變換設(shè)過坐標原點O有一矢量R，矢量端點為M?，F(xiàn)直接用Xr,

Yr,

Zr代表R在剛體坐標系OXrYrZr上的投影，并直接用X0、Y0、Z0代表R在參考坐標系OX0Y0Z0上的投影，矢

量

R

在

剛

體

坐

標

系

和

參

考

坐

標

系OX0Y0Z0中可分別表示為：??=??0????+??0????+

??0??????=????????+????????+

????????Z0X

00YZrX

rYrRk0irjrj0kri02.

方向余弦基于方向余弦的坐標變換如果用方向余弦表示R在剛體坐標系OXrYrZr上的投影，則有:????=??0

?cos ????,

??0?????=??0

?

cos ????,

??0????=??0

?

cos ????,

??0+??0

?

cos ????,

??0+??0

?

cos ????,

??0+??0

?

cos ????,

??0Z0X

00YZrX

r+??0

?

cos ????,

??0+??0

?

cos ????,

??0+??0

?

cos ????,

??0YrRj0k0rirjkri02.

方向余弦寫成矩陣形式：????????????=??11??21??31??12??22??32??13??23??33???0??0??00=????

???0??0??0按照類似的方法，R在參考坐標系OX0Y0Z0上的投影可表示為：??0??0??0??11??21??31??12??22??32??13??23??33= ???????????????=??0

?????????????對于任意一個確定矢量，利用方向余弦矩陣就可以在兩個坐標系之間進行坐標變換。因此方向余弦矩陣又稱為坐標變換矩陣。2.

方向余弦方向余弦矩陣性質(zhì)根據(jù)方向余弦矩陣的正交性質(zhì)，方向余弦矩陣具有如下性質(zhì)：（1）兩個方向余弦矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣0 ??????

??

??0

???? 0=

??0 =

????（2）兩個方向余弦矩陣互為逆矩陣???? ?1=

??0 ??0 ?1=

????0 ?? ?? 0（3）各個方向余弦矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣與逆矩陣相等=0 0????

??

????

?1=?? ????0

??

??0

?1????

????

??0 0=

????

????

?1=I0 02.

方向余弦方向余弦間關(guān)系式11??2121321??222+

??223+

??2??231

32

33+

??2 +

??2+

??2 +

??2 =

1=

1=

1??11??21+??12??22+??13??23=

0??21??31+??22??32+??23??33=

0??31??11+??32??12+??33??33=

0??11??21??31??12??22??32??13??23??33??11??12??13??21??22??23??31??32??33= 01 0 01 00 0 1九個方向余弦之間存在六個約束條件，因而實際上有三個方向余弦是獨立的。通常采用三個獨立的轉(zhuǎn)角即歐拉角來求出九個方向余弦的數(shù)值，這樣便能唯一的確定兩個坐標系之間的相對角位置。2.

方向余弦03歐拉角剛體坐標系相對參考坐標系的角位置，可以用三次獨立轉(zhuǎn)動的三個轉(zhuǎn)角來表示，這就是歐拉法，三個獨立的轉(zhuǎn)角稱為歐拉角。第一次旋轉(zhuǎn)可繞任一軸進行第二次旋轉(zhuǎn)繞其余兩軸中任一軸第三次旋轉(zhuǎn)繞除第二次外任一軸3.

歐拉角繞

????正向??繞

??0正向 繞

????正向?? ????0??0??0?????????????????

??????????????????????????????????????=??0?cos??+??0?sin

??????=

??0

? ?sin

?? +??0?cos

??????=

??00x0yxaay

ayy01.

繞Z軸z0(za

)

x0

xa

????????????0=????

???0??0??0=cos

???sin

??0sin

?? 0cos

?? 00 1???0??0??0將三維旋轉(zhuǎn)表示為二維旋轉(zhuǎn)更容易確定坐標軸之間的方向余弦角3.

歐拉角??=????

?????????????=cos

?? 0 ?sin

??0 1 0sin

?? 0 cos

???????????????2.

繞Y軸za

bz

ax????xb

???????????? =?????cos????????sin

?????? =

???????? =?????cos??+?????sin

??3.

歐拉角??????????????=????

?????????????=cos

??sin

??0?sin

??cos

??0001?????????????xbbyrx3.

繞Z軸yr

???? =?????cos??+?????sin

??????=????

??sin

??+?????cos

??????=

??03.

歐拉角????????????=

???? ??????????

??? ?? 0??0??0??00=????

???0??0??0綜合三次旋轉(zhuǎn)：???? =

???? ??????

????0 ?? ?? 0cos??cos??cos???

sin??sin??cos??cos??sin??+

sin??cos???cos??sin??=?sin??cos??cos???

cos??sin??sin???????????sin??cos??sin??+

cos??cos??sin??sin??sin??sin??cos??3.

歐拉角歐拉角與姿態(tài)載體坐標系oxbybzb與導(dǎo)航坐標系oxnynzn之間的關(guān)系，可以用三個轉(zhuǎn)動歐拉角來表示，對于船舶，定義如下：oxnyn

zn

oxbyb

zbox1

y1z1繞ox1

繞oy2

ox2y2z2繞

ozn航向角縱搖角橫搖角3.

歐拉角04慣性器件標定4.

慣性器件標定安裝誤差示意圖陀螺儀、加速度計的輸出是什么？以陀螺儀為例：1、單位是什么？標度因數(shù)2、是否表征載體系？安裝誤差3、測量是否準確？零偏、標度因數(shù)誤差

Gx

zx

Gz

g gzygyxgxygxzgzx

Gy

gzyyzg ggxzgzygyzgyxgxyg

bz

by

bx

cos

cos

yxsin

cos

sin

cos

sin

cos

cos

xzsin

sin

cos

cos

cos

sin

Gz

Gx

gyxgxyzx

Gy

gxzgzygyz

bz

by

bx

11

g

1

小角度4.

慣性器件標定

Gy

gygy

D

Kgx

Ngx

0y

D0

x

0

Ngz

0

N

0Kgz

Gz

D0z

K 0

0 0

Gx

標度因數(shù)：輸出量與輸入量的比值零偏：輸入量為0時的輸出量

gygyGy

D

N

0y

0 1/

K 00 0 1/

K

gz

N

gz

D0

z

0

Ngx

D0x

1/

K

gx

0

Gz

Gx

移項

b