2022-2023學(xué)年福建省福州四十中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年福建省福州四十中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若落坂是兩個單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a=KB.a2=b2C.a//bD.a.K=1

2.已知復(fù)數(shù)（1—，37）z=「+i,其中i為虛數(shù)單位，則|z|=（）

A.IB：C.1D.2

3.在AABC中，s譏4sinB：sinC=3：5：7,則cosC的值為（）

A.-2B.0C.D.3

4.在空間中，下列說法正確的是（）

A.垂直于同一直線的兩條直線平行B.垂直于同一直線的兩條直線垂直

C.平行于同一平面的兩條直線平行D.垂直于同一平面的兩條直線平行

5.如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖②，已知圓柱的底面直徑

AB=16米，AD=4米，圓錐的高PQ=6米，則該蒙古包的側(cè)面積約為（）

D.144兀平方米

6.下列等式不正確的是（）

1

1

2

A.cosl50sinl50=-4B.sin22°sin38°—cos220sin52°=

C_/■-DI_1—cos30°V~6-V~2

?l—tanl5°°?2—4

7.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=AD=2,AB1AC,A

AD，平面ABC,E為CD的中點，則直線BE與4D所成角的余弦值為

（）

c.一

D-l

8.如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，角a的終邊與單位圓交于點

0P1逆時針旋轉(zhuǎn)亨得。P2，。22逆時針旋轉(zhuǎn)g得。23，…，OPn-1逆

時針旋轉(zhuǎn)百得。匕，則點「2024的橫坐標(biāo)為（）

A4+30

3+4口

B.

-io-

「4-3<3

*-10-

D.

10

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.設(shè)Z「Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）

A.若zi是純虛數(shù)，則黃>0

B.若㈤叱㈤,貝3?Zi=Z2?Z2

C.若復(fù)數(shù)Z1滿足㈤=1,則區(qū)+24的最大值為3

D.若z年+Z2=0,則Z1=z2=0

10.函數(shù)/'（%）=Asin｛（i）x+<p）（X>0,3>0）的部分圖象如

圖所示，則下列說法中正確的是（）

A./（x）的最小正周期是2兀

B.a的值為

C.f（x）在［-需，-軟上單調(diào)遞減

D.若fQ+t）為偶函數(shù),則用最小值為弱

11.如圖，已知正方體48CD—AiBiGDi的棱長為1,。為底面

4BCD的中心，4的交平面&BD于點E,點F為棱CD的中點，則

（）

A.E,。三點共線

B.三棱錐4-BCD的外接球的表面積為3兀

C.直線41c與平面&BD所成的角為45。

D.過點4,B,F的平面截該正方體所得截面的面積為看

O

12.已知△中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c=V10,bcosC+ccosB=2.

若點P是邊BC上一點，Q是AC的中點，點。是△ABC所在平面內(nèi)一點，瓦？+2OB+3OC=0,

則下列說法正確的是（）

A.若（通+刀）?瓦:二。，貝ij|同+》|=6

B.若德在方方向上的投影向量為方，則兩的最小值為挈

C.若點P為BC的中點，則2加+而=6

D.若（篇+^）-BC=0,則說.（AB+而）為定值18

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知復(fù)數(shù)z=l-2i,其中i為虛數(shù)單位，若z,z2在夏平面上對應(yīng)的點分別為M,N,則

線段MN長度為.

14.已知輪船4和輪船B同時離開C島，4船沿北偏東30。的方

向航行，B船沿正北方向航行（如圖）.若4船的航行速度為

60nmile/h,1小時后，B船測得4船位于B船的北偏東45。的

方向上，則此時4B兩船相距nmile.

15.已知向量五=(3sina,-2),b=(1,1-cosa)>若反]=一2，則tcm2a=

16.已知正四棱錐的側(cè)棱長為小石，其頂點均在同一個球面上，若球的體積為36兀，則該正

四棱錐的體積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知/Q)=sin(兀-2x)+sin(2x-》

(1)化簡/(%)并求函數(shù)/(%)圖象的對稱軸方程；

(2)當(dāng)xe［上弱時,求函數(shù)/(%)的最大值、最小值及對應(yīng)的工值.

18.(本小題12.0分)

在AABC中，內(nèi)角的對邊分別為a,6,c,S為AABC的面積，且s=-^(a2+c2-b2).

(1)求角B的大小；

(2)若b=2/7,S=2，7,BD平分乙4BC,交XC于點D,求BD的長.

19.(本小題12.0分)

如圖，是。。的直徑，P4垂直于O。所在的平面，C是圓周上不同于4B的一點，E,F分

別是線段P8,PC的中點，AB=10,PC=12,"PC=30°.

(1)求證：BC〃平面AEF；

(2)求證：BC_L平面P4C；

⑶求點P到平面4EF的距離.

20.(本小題12.0分)

如圖，在菱形48C0中，E是CD的中點，4E交BD于點F,設(shè)荏=灑AD=b.

(1)用向量區(qū)石表示荏和萬晝

(2)若4。=2,/.BAD=60°,求COSNAFB.

E

21.(本小題12.0分)

...-1

如圖，在四棱錐P—中，平面PAD1平面ABC。,BC//平面PAD,8c=^AD,^ABC=90°,

E是PD的中點.

(1)求證:BC//AD；

(2)求證：平面P4B_L平面PAD；

(3)若M是線段CE上任意一點，試判斷線段4。上是否存在點N,使得MN〃平面P4B?請說明

理由.

22.(本小題12.0分)

△ABC中，AB=1,BC=C，。為AC上一點，AD=2DC,AB1BD.

(1)請畫出大致圖形，求8。的長度；

(2)四邊形ABPD的四頂點共圓，求PB+2PD的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：落石是單位向量，方向可能不同，???4CD都錯誤；

五2=1,b=1，,,,a2=b,B正確.

故選：B.

單位向量的長度為1,但五萬的方向可能不同，從而判斷4CD都錯誤，從而只能選B.

本題考查了單位向量的定義，向量數(shù)量積的計算公式，考查了計算能力，屬于容易題.

2.【答案】C

【解析】解：(1—V3i)z=V-3+i>

則2=m=止浮=3

1—1—V5t

故|z|=1.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：sinA：sinB：sinC=3：5：7,

二由正弦定理可得a：b：c=3：5：7,

3b7b

CL=—fC=—,

r9人2?49b2

由余弦定理可得cosC=四*=鋁尹=-i.

2ab2x等xb2

故選：A.

由正弦定理可得a：b：c=3：5：7,進(jìn)而可用b表示a,c,代入余弦定理化簡可得.

本題考查正、余弦定理的應(yīng)用，用b表示a,c是解決問題的關(guān)鍵，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，4、B不正確;

平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，C不正確；

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：D正確；

故選：D.

根據(jù)空間中線、面的位置關(guān)系理解判斷4B、C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷D.

本題考查線面平行或垂直的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：依題意得，

圓柱的側(cè)面積Si=2兀x(|XB)x/ID=2?rx1x16x4=64兀，vDC=AB=16,QC=|DC=

^1X16=8,

在RMPQC中，PC=7PQ2+QC2=V62+82=10,

-1-1

圓錐的側(cè)面積S2=-xPCx27TxQC=-x10x27Tx8=80TT,

二該蒙古包的側(cè)面積S=Si+S2=64兀+80兀=144兀，

故選：D.

首先根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為長方形求出圓柱的側(cè)面積，再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形求出圓

錐的側(cè)面積，進(jìn)而得到蒙古包的側(cè)面積.

本題考查了圓柱和圓錐側(cè)面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

11

【解析】解：對于4sml5°cosl5°=-sin30°=故A正確;

對于B,sin22°sin380-cos22°sinE>2°=sin220cos520-cos220sin520=sin(22°-52°)=

—sin30°=-故2錯誤;

2工廠l+tanlS°tan45°+tanl5°以44r小/垓

對于C'1315。=1皿45在加15。=°即60。=「,故C正確;

對于D,1-笠30。=sin215o=s譏15。=sin(45°-30°)，

=s譏45%OS30。-cos45°s譏30。=還產(chǎn),故°正確.

故選：B.

根據(jù)二倍角的正弦公式即可判斷a；根據(jù)兩角差的正弦公式，即可判斷B；根據(jù)兩角和的正切公式

即可判斷C；根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合兩角差的正弦公式即可判斷D.

本題主要考查二倍角的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：因為力D1平面ABC,ABu平面ABC,ACu平面ABC,

所以401AB,ADLAC,

又AB1AC,

所以a。，AB,4c兩兩垂直，且A8=aC=aD=2,

所以BC=CD=BD=2C，

取AC的中點F,連結(jié)EF,BF,

因為E,F分別為CD,AC的中點，

所以E/7/4D,

所以直線BE與4。所成角為NBEF或其補(bǔ)角，

又BE=2cxy=V_6,BF=722+12=工,EF=1,

所以△BEF中，根據(jù)余弦定理cos/BEF=BE?+EF2-BF?==￡6.

2BE?EF2XAT6X16

故選：A.

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理及異面直線所成角的定義，結(jié)合勾股定理及余弦定理即可求解.

本題考查了異面直線所成角的求法，重點考查了異面直線所成角的作法，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：由題意，P1（cosa,sina'）,故P2（）24（cos（a+型|型）,sin（a+型|即）），

由誘導(dǎo)公式且a+型券=674兀+a+熱有P2024（cos（a+款sin（a+金），

即點P2024的橫坐標(biāo)為cos（a+g）=cosacos^—sinasin^=|X||Xy=3

故選：D.

根據(jù)余弦值的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式，即可求解.

本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，兩角和的余弦公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BC

【解析】解：對于4因為zi是純虛數(shù)，所以設(shè)Zi=bi(b€R,b40),

則/=—匕2<0,所以A錯誤，

對于B,設(shè)z1=a+bi,z2=c+di^a,b,c,dER),因為|z/=氏|,所以a2+爐=c2+d?,

2222

因為Z[?Z]=(a+bi)(a—bi)=a+b>z2-z2=(c+di)(c—di)=c+d>所以z1?z】=z2?z2，

所以B正確，

對于C,設(shè)Z]=a+bi(a,beR),由|z/=1,得。2+爐=1,則可得-iWaWL

所以|zi+2i|=Ja2+(b+2==Va2+b2+4b+4=V5+4/?<3,b=1時取等號，所以C

正確，

對于D,當(dāng)Z]=1,Z2=i時，此時z￡+z/=0,故。錯誤.

故選：BC.

A.設(shè)Zi=bi(beR,b40),利用復(fù)數(shù)的運算概念，即可判斷;

■8.設(shè)Zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dG/?),根據(jù)共軌復(fù)數(shù)，以及運算，即可判斷；

C根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，即可參數(shù)發(fā)取值范圍，即可判斷；D舉反例，即可判斷選項.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：對于4由f(x)的部分圖象知，4=2,最小正周期為7=與冶=2兀，所以4選項

正確；

由于3=y=1,則F(x)=2sin(x+平),由圖知%)=偌),

71.57r

所以該函數(shù)圖象的一條對稱軸為X=11五=",

212

將慮,2)代入/(%)=2s皿％+0),得出得+0=與+2Mr(kEZ),解得9=一卷+2左兀(々eZ),

所以f(%)=2sin(x-"+2k兀)=2sin(x-")，

所以a=f②=2sin(^一患)=2s嗚=V-2,所以B選項錯誤；

令2/OT+^<x-<2k兀+苧(keZ),解得2/C7T+<X<2/OT+(fcSZ).

當(dāng)k=-1時，/(x)在[-箸，—言]上單調(diào)遞減，所以C選項正確；

若/(%+t)為偶函數(shù)，貝療。+t)=2sin(x+t-*)為偶函數(shù)，

所以t—工="+其kez),解得1.(kez),

則當(dāng)k=—1時，田取最小值，最小值為招，所以。選項正確.

故選：ACD.

A中，看函數(shù)的圖象求周期即可；

B中，求出/■(%)的解析式，再求a；

C中，求出f(x)的減區(qū)間，再作出判斷即可；

。中，求出/(x+t)為偶函數(shù)時t的取值，再求出用的最小值.

本題考查了函數(shù)y=4s譏(3X+0)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解:。為底面48CD的中心，;。為BD和4C的中點，則。eBD,

0GAC,

BDu平面4/D,ACu平面4"出，

二。6平面4遇￡),。€平面ACC14,

則點。是平面4BD與平面4CC14的公共點，

4是平面&BD與平面4CC1&的公共點；

,?TC1交平面于點E,AQu平面"前4，

E也是平面4BD與平面4CC1&的公共點，

.-?AltE,。三點都在平面&BD與平面4CG4的交線上,

即41，E,。三點共線，故A正確；

三棱錐&-BCD的外接球和正方體是同一個外接球，棱長為1,2R=

VI2+I2+I2=A/-3,

得/?=?，則外接球的表面積S=4TTR2=3兀，故3正確；

C]C_L平面4BCD,BDu平面BD1QC,

y,BD1AC,acnCiC=C,AC,u平面ACCIA，

BD1?平面而BDu平面力1BD,可得平面4BD1平面ACC14,

又平面C平面ACCiA=A10,&C在平面&BD的射影為40,

即直線&C與平面&BD所成的角為NC&O,

22

VArC=C，OC=?，Ar0=7ArB-BO=J2-g=?，

.?.c°s“4°=唱騎>=學(xué)力殍,故C錯誤；

ZX/1]UXZ11tlJz

取。1。的中點G,連FG,GAr,BF,ArB,

???尸6〃。5〃4/，.?.等腰梯形&BFG就是過點&,B,F的平面截該正方體所得截面，

---A^B—A/~2,FG——^―>A-^G=BF=>

.?.等腰梯形&BFG的高為h=J&G2—=亨，

二等腰梯形&BFG的面積為/(4/+FG)-h=J(6+￥)x手=2,

LL248

即過點4,B,F的平面截該正方體所得截面的面積為]故。正確.

O

故選：ABD.

由題意可證得&,E,。三點都在平面4BD與平面4CC14的交線上，可判斷4；由題意可證得BD1

平面4CC14,從而BD14C1，可判斷B；由題意可證得BD_L平面4CC14,則直線&C與平面4/。

所成的角為NC&O,根據(jù)余弦定理，求解可判斷C；取的中點G,因為FG“CD、〃A\B,所以

等腰梯形48FG就是過點B,F的平面截該正方體所得截面，求出面積可判斷D.

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，訓(xùn)練了多面體外接球表面

積的求法，考查運算求解能力，是中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：如圖，設(shè)BC的中點為E,連接QE,

bcosC+ccosB=2,由余弦定理可得:

,a2+b2—c2a2+c2—b2

b-^^+c-^^=n2'

2a2_?.?_2

-------4,,,LC—乙,

2a

又市+2而+3歷=0,.-.OA+OC=-2(OB+OC),

?-?2~0Q=-2x(2兩，0Q=-20E,

對4選項，(AB+IC)-BC=0.2AE-BC=0.

???AE1BC,

[1

又E為中點，?,?BE=-BC=-a=1,又AB=c=N10,

??.AE=VAB2-BE2=V10-1=3,

：.\AB+AC\=\2AE\=6,故A選項正確；

對B選項，?.?德在方方向上的投影向量為通，

.■.ABLBC,又Q是4C的中點，P在BC上，

.?.當(dāng)PQLBC時,PQ最小，

此時PQ=：4B=^,故B選項錯誤；

對C選項，若點P為BC的中點，即P與E點重合，

■■-0Q=-2OF,■■~0Q=-2OP,2OP+OQ=0,故C選項正確;

???AABC是以BC為底邊的等腰三角形，

???AE1BC,又由4選項分析知4E=3,

???根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知布?荏=\AE\2=9.

AP■(AB+AC)=AP-(2AE)=2AP-AE=2x9=18,故D選項正確.

故選：ACD.

設(shè)BC的中點為E,先根據(jù)余弦定理化簡已知條件得a=2,再由61+2福+3云=0得的=

-2OE,接著再根據(jù)向量的線性運算，向量垂直的性質(zhì)，投影向量的定義，向量數(shù)量積的幾何意

義即可求解.

本題考查余弦定理，向量的線性運算，向量垂直的性質(zhì)，投影向量的定義，向量數(shù)量積的幾何意

義，屬中檔題.

13.［答案］2-x/-5

【解析】解：z=l-2i,則“(1,一2),z2=(l-2i)2=-3-4i,則N(—3,-4),

所以線段MN的長度J(1+3尸+(—2+4產(chǎn)=2AT5.

故答案為：2，石.

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，寫出點M,N,再根據(jù)兩點間距離公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】30，至

【解析】解：由題設(shè)，CA=60nmile,且乙4BC=135。，

由正弦定理有?可得48=30yT~2nmile-

sinz.BCAsinz.ABCsin30°sinl35

故答案為：30c..

由題意，△ABC中，AC=30nmile,zC=30°,NB=135。，由正弦定理可得48.

本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查正弦定理的運用，比較基礎(chǔ).

15.【答案】一當(dāng)

【解析】解：a-b=3sina—2(1—cosa)=—2,得tcma=—|,

八2tana

tanza=----廠=——12.

1—tana5

故答案為：-茅

根據(jù)數(shù)量積公式求得tcma=-|,再根據(jù)二倍角的正切公式，即可求解.

本題主要考查二倍角的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】y

【解析】解：如圖，ACHBD=H,連結(jié)PH,貝1JPH，平面4BCD,

四棱錐外接球的球心在P"上，設(shè)為點。，連結(jié)。B,

因為球的體積P=^nR3=36兀，所以R=3,

設(shè)四棱錐的底面邊長為a,則=貝16-包,

△OB“中，O"2+BH2=OB2,即(J6—^_3)2+曰=9，

解得：a=CU，則P"=l,

則四棱錐的體積U=|xa2xPW=y.

故答案為：-y.

首先根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，確定球心的位置，再根據(jù)幾何關(guān)系建立方程，即可求解.

本題考查正四棱錐的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)/(%)=sin(7r—2%)+sin(2x—^)=sin2x-cos2x=V~^sin(2%—7),

L4

令2萬一.=k兀+](keZ),得比=?+胡(keZ)，

所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為：X=y+^(fcGZ).

(2)由(1)得/(%)=sin(2x-今，

因為xe冷手，故2%_江百爭，

所以，當(dāng)2x-；=宏即無=等時，函數(shù)/(%)取最大值，攵；

當(dāng)2%—R季即％=牛時，函數(shù);'(X)取最小值—L

【解析】(1)利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式即可化簡/(乃，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解對稱軸方程;

(2)根據(jù)角的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.

本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由余弦定理得小+c2-b2=2accosB,

又S=—華(a2+c2—h2)=acsinB，

4L

??.x(2accosB)=gacsinB，整理得tcmB=—V~3,

4L

217"

又B6(0,7T),AB=y.

(2)???△ABC的面積為S=2「，且8=與，

—CLCSITIB=-—CLC—2A/_3,***ac=8,

Z4

又由余弦定理得/=a2+c2—laccosB,即28=a2+c2+ac,

則(a+c)2=28+ac=36,即a+c=6,

7T

abd

S=S〉A(chǔ)BD+S"CD，^=乙CBD=

27-3=3BDxcsin^+Xasin^f

2yl3=BDX(c+a)=BD，

4L

4

BD=土

【解析】(1)根據(jù)題意，由余弦定理及三角形面積公式可得出tanB,從而可求出8；

(2)根據(jù)S=2/豆及余弦定理可得出a+c=6,然后由S=SMBD+SABCD，結(jié)合三角形面積公式

求解.

本題考查了解三角形問題，涉及到正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：因為E,F分別是線段PB,PC的中點，所以BC〃EF,

又EFu平面4EF,XCB\cancelc^-^AEF,所以BC//平面AEF；

(2)證明：因為P4垂直于O。所在的平面，BC包含于。。所在的平面，

所以PA1BC,

因為C是圓周上不同于4B的一點，所以AC1BC,

又PACAC=4PA,"u平面PAC,所以BC_L平面PAC；

(3)又BC〃EF,所以EF_L平面P4C,所以EFJ.AF,

PC=12,ZXPC=30°,所以AC=PCs譏30°=6,PA=PCcos30°=6AT3,

BC=VAB2—AC2=8,EF==4,

又因為zpac=90。，尸是線段PC的中點，所以aF=gpc=6,

1

所以S-IEF=/X4X6=12,

設(shè)點P到平面/EF的距離為歷

所以4-4EF=5sMEF,h=4/l,

^E-APF=§SAAPF?EF=gx；SAAPC.EF=12AT3,

又VETPF=Vp-AEF^所以點p到平面4EF的距離為3，？.

【解析】(1)利用中位線，得到線線平行，即可證明.

(2)根據(jù)線面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為線線垂直，即可證明；

(3)利用等體積法，/TPF=/YEF，即可求點面距離.

本題考查了空間點線面位置關(guān)系，考查了等體積法求距離，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴在菱形4BCD中，E是CD的中點，AB//CD,則黑=喘=〈，

br/\DZ

所以亦=2前，礪=2希，

則荏=AD+DE=AD+g荏=^a+b,

DF=1(AB-XD)=1a-1b；

(2)因為在菱形4BCD中，E是CD的中點，且2。=2,/.BAD=60°,

所以而=2DF=_|歷+|前，

則需=而+函=-|AD+|AB+B!=-|AD-|AB,

所以襦?麗=(-|^D?(-|X5+|^4B)-|^B2-|X\AD\\AB\COS60°

4c2c24

=^X22-^X22-^X2X2cos60。=氤

且|而|=J(-|x5+|lB)2=J+^ZB2-1|ZD||XB|cos60°=

|FB|=J(-|ID-|AB)2=J^AD2+ilB2+^|AD||XB|cos600=宇

所以cosNAFB=上空.==工.

7/1八|F?1||FB|'亨14

【解析】⑴在菱形48CD中，根據(jù)E是CD的中點，DC//AB,器=器=9,結(jié)合向量的線性運算

可得答案；

(2)用血,荏表示向量而，刀,然后分別求得A5-FB,\FB\,\~FA\,再由平面向量的夾角公式求解.

本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)證明：???BC/mPAD,BCu平面ABC。，

平面PADC平面2BCD=AD,

所以BC〃4D.

(2)證明：因為平面24。，平面48CD,平面PADC平面4BCD=

AD,

因為乙4BC=90°,BC//AD,則B41AD,所以BA1平面PAD,

又因為BAu平面P2B,

所以平面PAB_L平面PAD.

(3)當(dāng)N為2D中點時，MN〃平面P4B.

證明：取4。的中點N,連接CN,EN,E,N分別為PD,2。的中點，所以EN//PA,ENC平面24B,

PAu平面P4B,所以EN〃平面PAB,

又因為BC=2A“，BC//AD,所以四邊形4BCN為平行四邊形，

所以CN〃4B,CNC平面PAB,ABu平面P48,所以CN〃平面P2B,CNnNE,所以平面CNE//

平面PAB,又因為MNu平面CNE,所以MN〃平面P4B.

線段4。上存在點N,使得MN〃平面P48.

【解析】(1)由線面平行的性質(zhì)定理即可證明.

(2)由面面垂直的性質(zhì)定理證得BA1平面PAD,又因為BAu平面所以平面PAB1平面P2D.

(3)取AD的中點N,連接CMEN,由線面平行的判定定理證明EN〃平面PAB,CN〃平面P4B,

所以平面CN￡7/平面248,再由面面平行的性質(zhì)定理可證得MN〃平面P2B.

本題考查直線與平面的位置關(guān)系，涉及直線與平面平行的判斷和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】解：(1)設(shè)4D=2x,DC=x,則BD=-4/一i,

因為cos乙4DB+cosZ-BDC=0,