廣東省廣州市 中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類

廣東省廣州市2021-2023三年中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類一．一次函數(shù)的應用（共1小題）1．（2023?廣州）因活動需要購買某種水果，數(shù)學活動小組的同學通過市場調查得知：在甲商店購買該水果的費用y1（元）與該水果的質量x（千克）之間的關系如圖所示；在乙商店購買該水果的費用y2（元）與該水果的質量x（千克）之間的函數(shù)解析式為y2＝10x（x≥0）．（1）求y1與x之間的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)計劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？二．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）2．（2023?廣州）已知點P（m，n）在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上．（1）若m＝﹣2，求n的值；（2）拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與x軸交于兩點M，N（M在N的左邊），與y軸交于點G，記拋物線的頂點為E．①m為何值時，點E到達最高處；②設△GMN的外接圓圓心為C，⊙C與y軸的另一個交點為F，當m+n≠0時，是否存在四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標；若不存在，請說明理由．三．二次函數(shù)綜合題（共2小題）3．（2022?廣州）已知直線l：y＝kx+b經(jīng)過點（0，7）和點（1，6）．（1）求直線l的解析式；（2）若點P（m，n）在直線l上，以P為頂點的拋物線G過點（0，﹣3），且開口向下．①求m的取值范圍；②設拋物線G與直線l的另一個交點為Q，當點Q向左平移1個單位長度后得到的點Q′也在G上時，求G在≤x≤+1的圖象的最高點的坐標．4．（2021?廣州）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）當m＝0時，請判斷點（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當頂點移動到最高處時，求該拋物線的頂點坐標；（3）已知點E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若該拋物線與線段EF只有一個交點，求該拋物線頂點橫坐標的取值范圍．四．全等三角形的判定與性質（共1小題）5．（2023?廣州）如圖，B是AD的中點，BC∥DE，BC＝DE．求證：∠C＝∠E．五．四邊形綜合題（共3小題）6．（2023?廣州）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動點（不與點A，D重合）．邊BC關于BE對稱的線段為BF，連接AF．（1）若∠ABE＝15°，求證：△ABF是等邊三角形；（2）延長FA，交射線BE于點G．①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時∠ABE的度數(shù)；如果不能，請說明理由；②若，求△BGF面積的最大值，并求此時AE的長．7．（2022?廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．（1）求BD的長；（2）點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE＝DF．①當CE⊥AB時，求四邊形ABEF的面積；②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．8．（2021?廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點E為邊AB上一個動點，延長BA到點F，使AF＝AE，且CF、DE相交于點G．（1）當點E運動到AB中點時，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當CG＝2時，求AE的長；（3）當點E從點A開始向右運動到點B時，求點G運動路徑的長度．六．圓的綜合題（共2小題）9．（2023?廣州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣2，0），B（0，2），所在圓的圓心為O．將向右平移5個單位，得到（點A平移后的對應點為C）．（1）點D的坐標是，所在圓的圓心坐標是；（2）在圖中畫出，并連接AC，BD；（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長．（結果保留π）10．（2021?廣州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝x+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點，點P（x，y）為直線l在第二象限的點．（1）求A、B兩點的坐標；（2）設△PAO的面積為S，求S關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）作△PAO的外接圓⊙C，延長PC交⊙C于點Q，當△POQ的面積最小時，求⊙C的半徑．七．作圖—基本作圖（共1小題）11．（2021?廣州）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，點E是AC的中點，且AC＝AD．（1）尺規(guī)作圖：作∠CAD的平分線AF，交CD于點F，連結EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，證明：△BEF為等邊三角形．八．相似形綜合題（共1小題）12．（2023?廣州）如圖，AC是菱形ABCD的對角線．（1）尺規(guī)作圖：將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，點B旋轉后的對應點為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，連接BD，CE．①求證：△ABD∽△ACE；②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．九．解直角三角形（共1小題）13．（2022?廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：過點O作AC的垂線，交劣弧于點D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，求點O到AC的距離及sin∠ACD的值．一十．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）14．（2022?廣州）某數(shù)學活動小組利用太陽光線下物體的影子和標桿測量旗桿的高度．如圖，在某一時刻，旗桿AB的影子為BC，與此同時在C處立一根標桿CD，標桿CD的影子為CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．（1）求BC的長；（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求旗桿AB的高度．條件①：CE＝1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角α為54.46°．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．參考數(shù)據(jù)：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．一十一．頻數(shù)（率）分布直方圖（共1小題）15．（2022?廣州）某校在九年級學生中隨機抽取了若干名學生參加“平均每天體育運動時間”的調查，根據(jù)調查結果繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖．頻數(shù)分布表運動時間t/min頻數(shù)頻率30≤t＜6040.160≤t＜9070.17590≤t＜120a0.35120≤t＜15090.225150≤t＜1806b合計n1請根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：（1）頻數(shù)分布表中的a＝，b＝，n＝；（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；（3）若該校九年級共有480名學生，試估計該校九年級學生平均每天體育運動時間不低于120min的學生人數(shù)．

廣東省廣州市2021-2023三年中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點分類參考答案與試題解析一．一次函數(shù)的應用（共1小題）1．（2023?廣州）因活動需要購買某種水果，數(shù)學活動小組的同學通過市場調查得知：在甲商店購買該水果的費用y1（元）與該水果的質量x（千克）之間的關系如圖所示；在乙商店購買該水果的費用y2（元）與該水果的質量x（千克）之間的函數(shù)解析式為y2＝10x（x≥0）．（1）求y1與x之間的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)計劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？【答案】（1）y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝；（2）在甲商店購買更多一些．【解答】解：（1）當0≤x≤5時，設y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝kx（k≠0），把（5，75）代入解析式得：5k＝75，解得k＝15，∴y1＝15x；當x＞5時，設y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝mx+n（m≠0），把（5，75）和（10，120）代入解析式得，解得，∴y1＝9x+30，綜上所述，y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝；（2）在甲商店購買：9x+30＝600，解得x＝63，∴在甲商店600元可以購買63千克水果；在乙商店購買：10x＝600，解得x＝60，∴在乙商店600元可以購買60千克，∵63＞60，∴在甲商店購買更多一些．二．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）2．（2023?廣州）已知點P（m，n）在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上．（1）若m＝﹣2，求n的值；（2）拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與x軸交于兩點M，N（M在N的左邊），與y軸交于點G，記拋物線的頂點為E．①m為何值時，點E到達最高處；②設△GMN的外接圓圓心為C，⊙C與y軸的另一個交點為F，當m+n≠0時，是否存在四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）1；（2）①m＝﹣；②假設存在，E（﹣，﹣），或（，﹣）．【解答】解：（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1；故n的值為1；（2）①在y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令y＝0，則（x﹣m）（x﹣n）＝0，解得x＝m或x＝n，∴M（m，0），N（n，0），∵點P（m，n）在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，∴mn＝﹣2，令x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，即當m+n＝0，且mn＝﹣2，則m2＝2，解得：m＝﹣（正值已舍去），即m＝﹣時，點E到達最高處；②假設存在，理由：對于y＝（x﹣m）（x﹣n），當x＝0時，y＝mn＝﹣2，即點G（0，﹣2），由①得M（m，0），N（n，0），G（0，﹣2），E（，﹣（m﹣n）2），對稱軸為直線x＝，由點M（m，0）、G（0，﹣2）的坐標知，tan∠OMG＝＝，作MG的中垂線交MG于點T，交y軸于點S，交x軸于點K，則點T（m，﹣1），則tan∠MKT＝﹣m，則直線TS的表達式為：y＝﹣m（x﹣m）﹣1．當x＝時，y＝﹣m（x﹣m）﹣1＝﹣，則點C的坐標為：（，﹣）．由垂徑定理知，點C在FG的中垂線上，則FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3．∵四邊形FGEC為平行四邊形，則CE＝FG＝3＝y(tǒng)C﹣yE＝﹣﹣yE，解得：yE＝﹣，即﹣（m﹣n）2＝﹣，且mn＝﹣2，則m+n＝，∴E（﹣，﹣），或（，﹣）．三．二次函數(shù)綜合題（共2小題）3．（2022?廣州）已知直線l：y＝kx+b經(jīng)過點（0，7）和點（1，6）．（1）求直線l的解析式；（2）若點P（m，n）在直線l上，以P為頂點的拋物線G過點（0，﹣3），且開口向下．①求m的取值范圍；②設拋物線G與直線l的另一個交點為Q，當點Q向左平移1個單位長度后得到的點Q′也在G上時，求G在≤x≤+1的圖象的最高點的坐標．【答案】（1）y＝﹣x+7；（2）①m＜10且m≠0；②（﹣2，9）或（2，5）．【解答】解：（1）將點（0，7）和點（1，6）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+7；（2）①∵點P（m，n）在直線l上，∴n＝﹣m+7，設拋物線的解析式為y＝a（x﹣m）2+7﹣m，∵拋物線經(jīng)過點（0，﹣3），∴am2+7﹣m＝﹣3，∴a＝，∵拋物線開口向下，∴a＜0，∴a＝＜0，∴m＜10且m≠0；②∵拋物線的對稱軸為直線x＝m，∴Q點與Q'關于x＝m對稱，∴Q點的橫坐標為m+，聯(lián)立方程組，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，∵P點和Q點是直線l與拋物線G的交點，∴m+m+＝2m﹣，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，解得m＝2或m＝﹣，當m＝2時，y＝﹣2（x﹣2）2+5，此時拋物線的對稱軸為直線x＝2，圖象在≤x≤上的最高點坐標為（2，5）；當m＝﹣時，y＝﹣2（x+）2+，此時拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，圖象在﹣2≤x≤﹣1上的最高點坐標為（﹣2，9）；綜上所述：G在≤x≤+1的圖象的最高點的坐標為（﹣2，9）或（2，5）．4．（2021?廣州）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）當m＝0時，請判斷點（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當頂點移動到最高處時，求該拋物線的頂點坐標；（3）已知點E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若該拋物線與線段EF只有一個交點，求該拋物線頂點橫坐標的取值范圍．【答案】（1）點（2，4）不在拋物線上；（2）（2，5）；（3）x頂點＜﹣或x頂點＞或x頂點＝1．【解答】解：（1）當m＝0時，拋物線為y＝x2﹣x+3，將x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴點（2，4）不在拋物線上；（2）拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的頂點為（，），化簡得（，），頂點移動到最高處，即是頂點縱坐標最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3時，縱坐標最大，即是頂點移動到了最高處，此時該拋物線解析式為y＝x2﹣4x+9，頂點坐標為：（2，5）；（3）設直線EF解析式為y＝kx+b，將E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直線EF的解析式為y＝2x+1，由得：或，∴直線y＝2x+1與拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交點為：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在線段EF上，∴若該拋物線與線段EF只有一個交點，則（m+1，2m+3）不在線段EF上，或（2，5）與（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此時2m+3＝5），∴此時拋物線頂點橫坐標x頂點＝＜﹣或x頂點＝＞或x頂點＝＝＝1．四．全等三角形的判定與性質（共1小題）5．（2023?廣州）如圖，B是AD的中點，BC∥DE，BC＝DE．求證：∠C＝∠E．【答案】證明見解析．【解答】證明：∵B是AD的中點，∴AB＝BD，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠D，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（SAS），∴∠C＝∠E．五．四邊形綜合題（共3小題）6．（2023?廣州）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動點（不與點A，D重合）．邊BC關于BE對稱的線段為BF，連接AF．（1）若∠ABE＝15°，求證：△ABF是等邊三角形；（2）延長FA，交射線BE于點G．①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時∠ABE的度數(shù)；如果不能，請說明理由；②若，求△BGF面積的最大值，并求此時AE的長．【答案】（1）見解析；（2）①22.5°；②；．【解答】（1）證明：由軸對稱的性質得到BF＝BC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABE＝15°，∴∠CBE＝75°，∵BC關于BE對稱的線段為BF，∴∠FBE＝∠CBE＝75°，∴∠ABF＝∠FBE﹣∠ABE＝60°，∴△ABF是等邊三角形；（2）解：①能，∵邊BC關于BE對稱的線段為BF，∴BC＝BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∴BF＝BC＝BA，∵E是邊AD上一動點，∴BA＜BE＜BG，∴點B不可能是等腰三角形BGF的頂點，若點F是等腰三角形BGF的頂點，則有∠FGB＝∠FBG＝∠CBG，此時E與D重合，不合題意，∴只剩下GF＝GB了，連接CG交AD于H，∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，BG＝BG，∴△CBG≌△FBG（SAS），∴FG＝CG，∴BG＝CG，∴△BGF為等腰三角形，∵BA＝BC＝BF，∴∠BFA＝∠BAF，∵△CBG≌△FBG，∴∠BFG＝∠BCG，∵AD∥BC，∴∠AHG＝∠BCG，∴∠BAF+∠HAG＝∠AHG+∠HAG＝180°﹣∠BAD＝90°，∴∠FGC＝180°﹣∠HAG﹣∠AHG＝90°，∴∠BGF＝∠BGC＝＝45°，∵GB＝GC，∴∠GBC＝∠GCB＝（180°﹣∠BGC）＝67.5°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣67.5°＝22.5°；②由①知，△CBG≌△FBG，要求△BGF面積的最大值，即求△BGC面積的最大值，在△GBC中，底邊BC是定值，即求高的最大值即可，如圖2，過G作GP⊥BC于P，連接AC，取AC的中點M，連接GM，作MN⊥BC于N，設AB＝2x，則AC＝2x，由①知∠AGC＝90°，M是AC的中點，∴GM＝＝x，MN＝＝x，∴PG≤GM+MN＝（）x，當G，M，N三點共線時，取等號，∴△BGF面積的最大值＝＝（1）×＝；如圖3，設PG與AD交于Q，則四邊形ABPQ是矩形，∴AQ＝PB＝x，PQ＝AB＝2x，∴QM＝MP＝x，GM＝x，∴，∵QE+AE＝AQ＝x，∴，∴＝2（）x＝2（×（）＝．7．（2022?廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．（1）求BD的長；（2）點E為線段BD上一動點（不與點B，D重合），點F在邊AD上，且BE＝DF．①當CE⊥AB時，求四邊形ABEF的面積；②當四邊形ABEF的面積取得最小值時，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．【答案】（1）6（2）①7；②是，最小值為12．【解答】解：（1）過點D作DH⊥AB交BA的延長線于H，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝6，∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，在Rt△ADH中，DH＝AD?sin∠DAH＝6×＝3，AH＝AD?cos∠DAH＝6×＝3，∴BD＝＝＝6；（2）①設CE⊥AB交AB于M點，過點F作FN⊥AB交BA的延長線于N，如圖：菱形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，在Rt△BCM中，BM＝BC?cos∠ABC＝6×＝3，∵BD是菱形ABCD的對角線，∴∠DBA＝ABC＝30°，在Rt△BEM中，ME＝BM?tan∠DBM＝3×＝，BE＝＝＝2，∵BE＝DF，∴DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝4，在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，∴FN＝AF?sin∠FAN＝4×＝2，AN＝AF?cos∠FAN＝4×＝2，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，∴S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM?BM+（EM+FN）?MN﹣AN?FN＝3+（+2）×5﹣2×2＝+﹣2＝7；②當四邊形ABEF的面積取最小值時，CE+CF的值是最小，理由：設DF＝x，則BE＝DF＝x，過點C作CH⊥AB于點H，過點F作FG⊥CH于點G，過點E作EY⊥CH于點Y，作EM⊥AB于M點，過點F作FN⊥AB交BA的延長線于N，如圖：∴EY∥FG∥AB，F(xiàn)N∥CH，∴四邊形EMHY、FNHG是矩形，∴FN＝GH，F(xiàn)G＝NH，EY＝MH，EM＝YH，由①可知：ME＝BE＝x，BM＝BE＝x，AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，F(xiàn)N＝AF＝，CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，AH＝AB﹣BH＝3，YH＝ME＝x，GH＝FN＝，EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，F(xiàn)G＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，∴S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM?BM+（EM+FN）?MN﹣AN?FN＝x×x+（x+）?（9﹣2x）﹣（3﹣x）?＝x2﹣x+9＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴當x＝3時，四邊形ABEF的面積取得最小值，方法一：CE+CF＝+?＝+＝+×＝+×＝+，∵（x﹣3）2≥0，當且僅當x＝3時，（x﹣3）2＝0，∴CE+CF＝+≥12，當且僅當x＝3時，CE+CF＝12，即當x＝3時，CE+CF的最小值為12，∴當四邊形ABEF的面積取最小值時，CE+CF的值也最小，最小值為12．方法二：如圖：將△BCD繞點B逆時針旋轉60°至△BAG，連接CG，在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，∵＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，∴△BEG∽△DFC，∴＝＝，即GE＝CF，∴CE+CF＝CE+GE≥CG＝12，即當且僅當點C、E、G三點共線時，CE+CF的值最小，此時點E為菱形對角線的交點，BD中點，BE＝3，DF＝3，∴當四邊形ABEF的面積取最小值時，CE+CF的值也最小，最小值為12．解法二：如圖，在BD上截取DM，使得DM＝2，在DA上取點F，連接DF，使得△DFM∽△BEC．則有CE＝FM，作點M關于AD的對稱點M′，∴CE+CF＝FM+CF＝（CF+FM）＝（CF+FM′），∴C，F(xiàn)，M′共線時，最小，此時DF＝3，可得CE+CF的值也最小，最小值為12．8．（2021?廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點E為邊AB上一個動點，延長BA到點F，使AF＝AE，且CF、DE相交于點G．（1）當點E運動到AB中點時，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當CG＝2時，求AE的長；（3）當點E從點A開始向右運動到點B時，求點G運動路徑的長度．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）證明：連接DF，CE，如圖所示：，∵E為AB中點，∴AE＝AF＝AB，∴EF＝AB＝CD，∵四邊形ABCD是菱形，∴EF∥CD，∴四邊形DFEC是平行四邊形．（2）作CH⊥BH，設AE＝FA＝m，如圖所示，，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥EF，∴△CDG∽△FEG，∴，∴FG＝2m，在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，sin60°＝，CH＝，cos60°＝，BH＝1，在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，F(xiàn)H＝3+m，CF2＝CH2+FH2，即（2+2m）2＝（）2+（3+m）2，整理得：3m2+2m﹣8＝0，解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），∴．（3）G點軌跡為線段AG，證明：如圖，（此圖僅作為證明AG軌跡用），延長線段AG交CD于H，作HM⊥AB于M，作DN⊥AB于N，∵四邊形ABCD是菱形，∴BF∥CD，∴△DHG∽△EGA，△HGC∽△AGF，∴，，∴，∵AE＝AF，∴DH＝CH＝1，在Rt△ADN中，AD＝2，∠DAB＝60°．∴sin60°＝，DN＝．cos60°＝，AN＝1，在Rt△AHM中，HM＝DN＝，AM＝AN+NM＝AN+DH＝2，tan∠HAM＝，G點軌跡為線段AG．∴G點軌跡是線段AG．如圖所示，作GH⊥AB，∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，∴CD∥BF，BD＝2，∴△CDG∽△FBG，∴，即BG＝2DG，∵BG+DG＝BD＝2，∴BG＝，在Rt△GHB中，BG＝，∠DBA＝60°，sin60°＝，GH＝，cos60°＝，BH＝，在Rt△AHG中，AH＝2﹣＝，GH＝，AG2＝（）2+（）2＝，∴AG＝．∴G點路徑長度為．解法二：如圖，連接AG，延長AG交CD于點W．∵CD∥BF，∴＝，＝，∴＝，∵AF＝AE，∴DW＝CW，∴點G在AW上運動．下面的解法同上．六．圓的綜合題（共2小題）9．（2023?廣州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣2，0），B（0，2），所在圓的圓心為O．將向右平移5個單位，得到（點A平移后的對應點為C）．（1）點D的坐標是（5，2），所在圓的圓心坐標是（5，0）；（2）在圖中畫出，并連接AC，BD；（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長．（結果保留π）【答案】（1）（5，2）、（5，0）；（2）見解答；（3）2π+10．【解答】解：（1）如下圖，由平移的性質知，點D（5，2），所在圓的圓心坐標是（5，0），故答案為：（5，2）、（5，0）；（2）在圖中畫出，并連接AC，BD，見下圖；（3）和長度相等，均為×2πr＝×2＝π，而BD＝AC＝5，則封閉圖形的周長＝++2BD＝2π+10．10．（2021?廣州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝x+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點，點P（x，y）為直線l在第二象限的點．（1）求A、B兩點的坐標；（2）設△PAO的面積為S，求S關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）作△PAO的外接圓⊙C，延長PC交⊙C于點Q，當△POQ的面積最小時，求⊙C的半徑．【答案】（1）A（﹣8，0），B（0，4）；（2）S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；（3）4．【解答】解：（1）∵直線y＝x+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點，∴當x＝0時，y＝4；當y＝0時，x＝﹣8，∴A（﹣8，0），B（0，4）；（2）∵點P（x，y）為直線l在第二象限的點，∴P（x，），∴S△APO＝＝2x+16（﹣8＜x＜0）；∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），∴OA＝8，OB＝4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝，在⊙C中，∵PQ是直徑，∴∠POQ＝90°，∵∠BAO＝∠Q，∴tanQ＝tan∠BAO＝，∴，∴OQ＝2OP，∴S△POQ＝，∴當S△POQ最小時，則OP最小，∵點P在線段AB上運動，∴當OP⊥AB時，OP最小，∴S△AOB＝，∴，∵sinQ＝sin∠BAO，∴，∴，∴PQ＝8，∴⊙C半徑為4．七．作圖—基本作圖（共1小題）11．（2021?廣州）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，點E是AC的中點，且AC＝AD．（1）尺規(guī)作圖：作∠CAD的平分線AF，交CD于點F，連結EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，證明：△BEF為等邊三角形．【答案】（1）作圖見解析部分．（2）證明見解析部分．【解答】（1）解：如圖，圖形如圖所示．（2）證明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，∴BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等邊三角形．八．相似形綜合題（共1小題）12．（2023?廣州）如圖，AC是菱形ABCD的對角線．（1）尺規(guī)作圖：將△ABC繞點A逆時針旋轉得到△ADE，點B旋轉后的對應點為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，連接BD，CE．①求證：△ABD∽△ACE；②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．【答案】（1）作法、證明見解答；（2）①證明見解答；②cos∠DCE的值是．【解答】解：（1）如圖1，作法：1．以點D為圓心，BC長為半徑作弧，2．以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交前弧于點E，3．連接DE、AE，△ADE就是所求的圖形．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵DE＝BC，AE＝AC，∴△ADE≌△ABC（SSS），∴△ADE就是△ABC繞點A逆時針旋轉得到圖形．（2）①如圖2，由旋轉得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴＝，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．②如圖2，延長AD交CE于點F，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAC，∵AE＝AC，∴AD⊥CE，∴∠CFD＝90°，設CF＝m，CD＝AD＝x，∵＝tan∠DAC＝tan∠BAC＝，∴AF＝3CF＝3m，∴DF＝3m﹣x，∵CF2+DF2＝CD2，∴m2+（3m﹣x）2＝x2，∴解關于x的方程得x＝m，∴CD＝m，∴cos∠DCE＝＝＝，∴cos∠DCE的值是．九．解直角三角形（共1小題）13．（2022?廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：過點O作AC的垂線，交劣弧于點D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，求點O到AC的距離及sin∠ACD的值．【答案】（1）詳見解答；（2）點O到AC的距離為4，sin∠ACD＝．【解答】