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文檔簡介

歐氏幾何與非歐幾何的意義歐幾里得龐加萊舊知回顧通過前面的學習,我們知道球面幾何與平面幾何中的許多定理是“相同”的,但也有一些定理是不相同的。導入新課在本講,我們首先通過平面幾何與球面幾何的比較,追溯某些定理不相同的根源,給出歐氏幾何與非歐幾何的定義;然后通過歐氏平行公理的分析,給出非歐幾何的一種模型——龐加萊模型。教學目標知識與能力感知球面幾何與平面幾何的異同點。認識非歐幾何的特點。了解龐加萊模型的內涵。通過比較,了解平面幾何與球面幾何的異同點。進一步了解球面幾何在實際生活中的應用。過程與方法從對比中學習知識。從生活中大量存在的現象中總結規(guī)律。培養(yǎng)合作交流意識。情感態(tài)度與價值觀球面幾何與平面幾何的比較。非歐幾何的概念和意義。龐加萊模型。教學重難點一平面幾何與球面幾何的比較平面幾何球面幾何相同的定理1.平面(球面)三角形兩邊之和大于第三邊。2.若兩個平面(球面)三角形的三對邊對應相等,則兩個三角形全等。3.若兩個平面(球面)三角形的兩對邊對應相等,且其夾角對應相等,則兩個三角形全等。4.若兩個平面(球面)三角形的兩對角對應相等,且其夾邊對應相等,則兩個三角形全等。5.平面(球面)“等腰”三角形的兩底角相等,兩腰對應相等。…………….平面幾何球面幾何不相同的定理平面三角形內角和為180°。球面三角形內角和大于180°。平面三角形的面積與內角和無關。球面三角形的面積與內角和減π成正比。同一平面上存在兩個不全等的相似三角形。同一球面上不存在兩個不全等的相似三角形?!瓰槭裁磿霈F不同?追溯其根源,是平面上有這樣一個結論:

過直線外一點,有且只有一條直線與該直線不相交。我們把兩條不相交的直線稱為平行線,上述結論最早出現在歐幾里得所著的《原本》中,所以我們把上述結論稱為歐氏平行公理。在歐氏平行公理成立的條件下,推導出來的所有定理及其他結果所組成的幾何體系成為歐氏幾何。球面上的大圓可視為“直線”。在球面上有這樣一個結論:任意兩條“直線”(大圓)都相交,即過“直線”外一點,沒有一條“直線”與該“直線”不相交。也就是說,對球面上的大圓而言,歐氏平行公理是不成立的。于是,在球面上產生了一些與歐氏平面幾何完全不同的定理。在歐氏平行公理不成立的條件下,推導出來的所有定理與其結果所組成的幾何體系,稱為非歐幾何。二歐氏平行公理與非歐幾何模型——龐加萊模型在球面上歐氏平行公理不成立的原因,是我們把大圓當作“直線”,因此任意兩條“直線”都相交。但是大圓是彎曲的,并非像直線一樣是筆直的;大圓的長度是有限的,而直線的長度是可以無限增大的。那么,為什么把大圓作為“直線”呢?在球面上,大圓具有直線在平面上的一些最基本的性質。例如,過兩點有且只有一條直線;兩點之間的連線中直線最短,等等,這些性質球面上的大圓都具備。所以大圓可以作為直線所具有的基本性質的一種說明或解釋,這種解釋可以視為一種模型?,F在我們來分析一下歐氏平行公理:“過直線外一點,有且只有一條直線與該直線不相交?!痹谄矫嫔蠚W氏平行公理是不證自明的。因為這個結論沒有加以證明,所以我們當然可以懷疑它是否正確。在球面上,如果我們把大圓作為“直線”,那么這個結論就不正確。這是一種懷疑方式,即“過直線外一點,沒有一條直線與該直線不相交”。我們還可以用另一種方式來懷疑它,即“過直線外一點,不只一條直線與該直線不相交”。我們把這樣改變后的結論稱為非歐(雙曲)平行公理。有雙曲平行公理成立的情況下,推導出來的所有定理所組成的幾何體系稱為雙曲幾何。那么是否在某個特殊的“平面”上,可以把某種曲線叫作“直線”,此時,非歐平行公理是成立的,這個“平面”可作為非歐幾何模型。下面,我們給出法國數學家龐加萊建立的滿足非歐平行公理的一種幾何模型。

圖8-1xxAllA在歐氏平面上做一條直線x,以x為邊緣的上半平面(不包含x

上的點)記為(圖8-1),現在考慮內部的點,我們規(guī)定內部的點為“非歐點”,圓心在x上的半圓或垂直于x的射線稱為“非歐直線”。那么,在內、圓心在x上的一段圓弧,或垂直于x的射線上的一條線段是“非歐線段”,兩條“非歐直線”的夾角是“非歐角”。這樣,在內部建立了一個非歐幾何的模型,在此模型內滿足:過直線外一點,不只一條直線與該直線不相交。結合圖8-1,我們具體說明如下:

設l為內垂直于x的射線,或者圓心在x上的半圓,點A為l外的一點,則過點A必可作兩個半圓(或一射線、一半圓),其圓心在x上,且與l相切(顯然,切點在x上,而x上的點都不在內),那么經過點A就有兩條“非歐直線”與l都不相交,所以在內非歐平行公理是成立的。把“過直線外一點,沒有一條直線與該直線不相交”作為公理推導出的幾何稱為橢圓幾何。非歐幾何主要有橢圓幾何和雙曲幾何,它們與歐氏幾何有明顯的差異。上面模型是龐加萊模型,龐加萊模型是一個雙曲幾何的模型。歐氏幾何橢圓幾何雙曲幾何過直線外一點,有且只有一條直線與該直線不相交。

過直線外一點,沒有一條直線與該直線不相交。

過直線外一點,不只一條直線與該直線不相交。三角形內角和為180°。三角形內角和大于180°。三角形內角和小于180°。三角形的面積與內角和無關。三角形的面積與內角和減180°成正比。三角形的面積與180°減內角和成正比。當然,這三種幾何也有相同的地方:1.三角形中兩邊之和大于第三邊;2.若兩個三角形的三對邊對應相等,則兩個三角形全等。三歐氏幾何與非歐幾何的意義歐氏平行公理與非歐平行公理看起來是相互矛盾的,在一般情況下,如果有兩個互相矛盾的結論,則必定有一個是錯誤的,現在我們如何判斷誰對誰錯?首先,判斷一種幾何是否正確的標準是什么?1.這種幾何在理論上是否成立,這是本質上的邏輯問題;2.這種幾何在實際中是否成立,能否刻畫我們生活的物理世界。數學家用間接的方法,在歐氏幾何中建立了一個非歐幾何的模型,在這個模型中,規(guī)定了一些(非歐)基本概念后,全部的推理都是依照歐氏幾何所遵循的邏輯進行的,因此這個模型是歐氏幾何與非歐幾何的一個“橋梁”。非歐幾何的結論通過模型又可解釋為歐氏幾何中的一個結論,這樣一來,如果非歐幾何是矛盾的,那么,歐氏幾何在邏輯上也是矛盾的,因此,龐加萊模型告訴我們,如果歐氏幾何是無矛盾的,那么非歐幾何也是無矛盾的。愛因斯坦認為,時間和空間是不可分的,物理空間十分復雜,無論歐氏幾何或非歐幾何都不能全面、精確的解釋物理的時空概念,但他們都是物理空間,對物理空間在不同方面有很好的近似。因此,兩者對于我們的世界有重要的物理意義。再見長風破浪會有時,直掛云帆濟滄海。努力,終會有所收獲,功夫不負有心人。以銅為鏡,可以正衣冠;以古為鏡,可以知興替;以人為鏡,可以明得失。前進的路上,要不斷反思、關照自己的不足,學習更多東西,更進一步。窮則獨善其身,達則兼濟天下?,F代社會,有很多人,鉆進錢眼,不惜違法亂紀;做人,窮,也要窮的有骨氣!古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有堅忍不拔之志。想干成大事,除了勤于修煉才華和能力,更重要的是要能堅持下來。士不可以不弘毅,任重而道遠。仁以為己任,不亦重乎?死而后已,不亦遠乎?心中有理想,腳下的路再遠,也不會迷失方向。太上有立德,其次有立功,其次有立言,雖久不廢,此謂不朽。任何事業(yè),學業(yè)的基礎,都要以自身品德的修煉為根基。飯疏食,飲水,曲肱而枕之,樂亦在其中矣。不義而富且貴,于我如浮云。財富如浮云,生不帶來,死不帶去,真正留下的,是我們對這個世界的貢獻。英雄者,胸懷大志,腹有良策,有包藏宇宙之機,吞吐天地之志者也英雄氣概,威壓八萬里,體恤弱小,善德加身。老當益壯,寧移白首之心;窮且益堅,不墜青云之志老去的只是身體,心靈可以永遠保持豐盛。樂民之樂者,民亦樂其樂;憂民之憂者,民亦憂其憂。做領導,要能體恤下屬,一味打壓,盡失民心。勿以惡小而為之,勿以善小而不為。越是微小的事情,越見品質。學而不知道,與不學同;知而不能行,與不知同。知行合一,方可成就事業(yè)。以家為家,以鄉(xiāng)為鄉(xiāng),以國為國,以天下為天下。若是天下人都能互相體諒,紛擾世事可以停歇。志不強者智不達,言不信者行不果。立志越高,所需要的能力越強,相應的,逼迫自己所學的,也就越多。臣心一片磁針石,不指南方不肯休。忠心,也是很多現代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。為人謀而不忠乎?與朋友交而不信乎?傳不習乎?若人人皆每日反省自身,世間又會多出多少君子。人人好公,則天下太平;人人營私,則天下大亂。給世界和身邊人,多一點寬容,多一份擔當。為天地立心,為生民立命,為往圣繼絕學,為萬世開太平。立千古大志,乃是圣人也。丹青不知老將至,貧賤于我如浮云。淡看世間事,心情如浮云天行健,君子以自強不息。地勢坤,君子以厚德載物。君子,生在世間,當靠自己拼搏奮斗。博學之,審問之,慎思之,明辨之,篤行之。進學之道,一步步逼近真相,逼近更高。百學須先立志。天下大事,不立志,難成!海納百川,有容乃大;壁立千仞,無欲則剛做人,心胸要寬廣。其身正,不令而行;其身不正,雖令不從。身心端正,方可知行合一。子曰:“知者不惑,仁者不憂,勇者不懼?!闭嬲M者,不會把時間耗費在負性情緒上。好學近乎知,力行近乎仁,知恥近乎勇。力行善事,有羞恥之心,方可成君子。操千曲爾后曉聲,觀千劍爾后識器做學問和學技術,都需要無數次的練習。第一個青春是上帝給的;第二個的青春是靠自己努力當眼淚流盡的時候,留下的應該是堅強。人總是珍惜未得到的,而遺忘了所擁有的。誰傷害過你,誰擊潰過你,都不重要。重要的是誰讓你重現笑容。幸運并非沒有恐懼和煩惱;厄運并非沒有安慰與希望。你不要一直不滿人家,你應該一直檢討自己才對。不滿人家,是苦了你自己。最深的孤獨不是長久的一個人,而是心里沒有了任何期望。要銘記在心;每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一個過往,沉溺在幸福中的人;一直不知道幸福卻很短暫。一個人的價值,應該看他貢獻什么,而不應當看他取得什么。做個明媚的女子。不傾國,不傾城,只傾其所有過的生活。生活就是生下來,活下去。人生最美的是過程,最難的是相知,最苦的是等待,最幸福的是真愛,最后悔的是錯過。兩個人在一起能過就好好過!不能過就麻利點分開。當一個人真正覺悟的一刻,他放下追尋外在世界的財富,而開始追尋他內心世界的真正財富。人若軟弱就是自己最大的敵人。日出東海落西山,愁也一天,喜也一天。遇事不轉牛角尖,人也舒坦,心也舒坦。烏云總會被驅散的,即使它籠罩了整個地球。心態(tài)便是黑暗中的那一盞明燈,可以照亮整個世界。生活不是單行線,一條路走不通,你可以轉彎。給我一場車禍。要么失憶。要么死。有些人說:我愛你、又不是說我只愛你一個。生命太過短暫,今天放棄了明天不一定能得到。刪掉了關于你的一切,唯獨刪不掉關于你的回憶。任何事都是有可能的。所以別放棄,相信自己,你可以做到的。、相信自己,堅信自己的目標,去承受常人承受不了的磨難與挫折,不斷去努力、去奮斗,成功最終就會是你的!既然愛,為什么不說出口,有些東西失去了,就在也回不來了!對于人來說,問心無愧是最舒服的枕頭。嫉妒他人,表明他人的成功,被人嫉妒,表明自己成功。在人之上,要把人當人;在人之下,要把自己當人。人不怕卑微,就怕失去希望,期待明天,期待陽光,人就會從卑微中站起來,帶著封存夢想去擁抱藍天。成功需要成本,時間也是一種成本,對時間的珍惜就是對成本的節(jié)約。人只要不失去方向,就不會失去自己。過去的習慣,決定今天的你,所以,過去的懶惰,決定你今天的一敗涂地。讓我記起容易,但讓我忘記我怕我是做不到。不要跟一個人和他議論同一個圈子里的人,不管你認為他有多可靠。想象困難做出的反應,不是逃避或繞開它們,而是面對它們,同它們打交道,以一種進取的和明智的方式同它們奮斗。他不愛你,你為他擋一百顆子彈也沒用。坐在電腦前,不知道做什么,卻又不想關掉它。做不了決定的時候,讓時間幫你決定。如果還是無法決定,做了

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