2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春高三年級(jí)上冊(cè)第一次摸底考試數(shù)學(xué)試題（附答案）

o

20232024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春高三上冊(cè)第一次摸底考試數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼

粘貼區(qū).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工

整、筆跡清楚.

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題

O

卷上答題無(wú)效.

而

抑

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不得折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

喙

U=R,M=^|X2-X>0),N=x|—<0

1.已知全集為[XJ,則有（)

O

A.M\JN=RB.McN=0

C0N=MD

女，，的否定是（）

教2.“61<,/7+220

2

A.3xeR,x2-x+2>0B.VxeR,x—x+20

2DrxwR,x—x+2<0

C.3X￡R5X-X+2<0

hmln(e+2Ax)-Ine

O3.利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算Ax值為（）

2

A.1B.eC.0D.2

為有理數(shù)[0,x為有理數(shù)

4.已知函數(shù)I。/為無(wú)理數(shù)，

[l,x為無(wú)理數(shù)，/(g(x)),

當(dāng)xeR時(shí),

K

g（/G））的值分別為（）

A.1,0B.0,0C.1,1D.0,1

5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（°，+00）上單調(diào)遞增的是（）

O

A.'JB.y=eNc,歹=*+lD.yTgkl

1?2忖

6.設(shè)實(shí)數(shù)'J滿足》+，=1,>>°,xw°,則國(guó)y的最小值為（）

A.2V2-1B.2V2+1c.V2-1D,V2+1

|log3（x-l）|,l<x<4,

"x）=

（X-5）2,X>4,若函數(shù)V=/（x）+’有四個(gè)不同的零點(diǎn)再，/，了3，匕

7.已知函數(shù)且

X<X<X<x

x234）

A.7B.9C.10D.12

8.已知"81n6,b=71n7,c=61n8,則a,b,。的大小關(guān)系為（）

A.b>c>aB.c>b>ac.a>c>bD.a>b>c

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.已知函數(shù)"x）=k|+sin2x,設(shè)國(guó),％eR,則/（』）>/（乙）成立的一個(gè)充分條件是（）

A.同Ax?g+x2>0c.D.聞>同

10.為了評(píng)估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行

測(cè)量.已知該藥物在人體血管中藥物濃度。隨時(shí)間r的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，

血管中藥物濃度隨時(shí)間，變化的關(guān)系如圖所示.則下列結(jié)論正確的是（）

A.在％時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同

B.在‘2時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同

C.在國(guó)出］這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同

D.,甲血管中藥物濃度的平均變化率相同

11.已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且對(duì)Vx/eR且都有|/（x）-/（洌<歸-叱若

函數(shù)g(x)-/(x)=x,則滿足不等式8(2》-/)+8(》-2)<°的工值可以為()

A.-3B.-1C.3D.1

12.已知實(shí)數(shù)a,6,c滿足ln[(2a+6)(c-b+l)]22a+cT,且2a+6>0,則下列結(jié)論正確

的有()

A.c>b

B.2a+b=l

C./+26的最大值為-2

D.當(dāng)"叩，2]時(shí),2a3+36的最大值為7,最小值為-I

第n卷(非選擇題，共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.曲線/(x)=lnx-2x在點(diǎn)(MJ。。))處的切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則％=.

14.若a/，c>°,且/+"+ac+bc=4,則2a+6+c的最小值為.

15.某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求該溶液的雜質(zhì)含量不得超過(guò)0.1%,這種溶液最初的雜

￡

質(zhì)含量為3%,現(xiàn)進(jìn)行過(guò)濾，已知每過(guò)濾一次雜質(zhì)含量減少則至少經(jīng)過(guò)次過(guò)濾才能

達(dá)到市場(chǎng)要求.(參考數(shù)據(jù)：lg2"03°l,坨3。0.477)

16.已知函數(shù)八”一2023,+1,若不等式-/(ln"lnx)恒成立，貝普的最小值為一

四、解答題：本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知命題P：“*wR,使不等式機(jī)X?一加x-12°成立”是假命題

(1)求實(shí)數(shù)加的取值集合A；

(2)若4：-4<加-°<4是”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(V2xV3)6+(72V2)I-4xf—12-V2X8°-25-(-2O23)0

18.(1)求值：<49>；

(2)已知lgx+lgy=21g(x-2y),求"g；』的直

/(%)=—(x2-1VInx

19.已知函數(shù)2'7

⑴求"x)的最小值；

,47

In—>—

(2)證明.332

20.港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來(lái)于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.某次出行，劉先生全

程需要加兩次油，由于燃油的價(jià)格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次

均加30升的燃油；第二種方案，每次加200元的燃油.

(1)若第一次加油時(shí)燃油的價(jià)格為5元/升，第二次加油時(shí)燃油的價(jià)格為4元/升，請(qǐng)計(jì)算出每種

加油方案的平均價(jià)格(平均價(jià)格=總價(jià)格/總升數(shù))；

(2)分別用加，"表示劉先生先后兩次加油時(shí)燃油的價(jià)格，請(qǐng)計(jì)算出每種加油方案的

平均價(jià)格，選擇哪種加油方案比較經(jīng)濟(jì)劃算？并給出證明.

/(x)=X-—+o(3-lnx)(a>0)

21.己知函數(shù)x

(1)若”=4,求/(X)在定義域上的極值；

(2)若xe(°，D,求"X)的單調(diào)區(qū)間.

,,,、3

f(x)=(1+x)e~2x,g(x)=ax--r---1-1+2xcosx.當(dāng)映[0,1]

22.已知函數(shù)2

(I)求證1+x

(II)若"x"g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

1.B

2---<0

【分析】分別解不等式Y(jié)-x>°和X，利用數(shù)軸進(jìn)行集合的運(yùn)算.

［詳解］M=Rxp_x>o}={xX>1或x<0},

N=1x|勺1<01={xx(x-1)<0}={xO<x<1}

，

MuN={x|xeR且xwO且XN1},所以人錯(cuò)誤；

MryN={x\苫>1或尤<0}八*|0<%<1}=0,所以B正確；

?N={x1xM0或所以?錯(cuò)誤；

?N={x1xM0或所以D錯(cuò)誤.

故選：B.

2.C

【詳解】全稱命題的否定為存在命題,“▽、仁兄/-苫+220,,的否定是上€尺/2-苫+2<0.

3.B

【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)/*)=lnx的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算作答.

f'(x)=—

【詳解】依題意，令函數(shù)/(x)=ln"求導(dǎo)得x,

ln(e+2Ax)-lne/(e+2Ax)-/(e),2

lim------乙-----=2lim-------乙—=2/(e)=—

所以—oAx2Ar->o2Axe.

故選：B

4.D

【分析】分X為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，利用/(X)和g(x)的解析式求解.

【詳解】解：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，g(x)=0,/(x)=l,

/(g(x))=/(o)=1,g(/(x))=g(1)=o

當(dāng)X為無(wú)理數(shù)時(shí)，g(x)=l,/(x)=0,

/(g(x))="l)=l,g(/(x))=g(o)=o,

故選：D

5.D

【分析】求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性，并結(jié)合偶函數(shù)的定義逐一判斷即可.

_J_,_-2

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)x"°'十°°)時(shí)，尸封的導(dǎo)函數(shù)為八F<°,

_J_

所以,在xe(0,+co)時(shí)單調(diào)遞減，故A選項(xiàng)不符合題意；

對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)xee，—)時(shí)，產(chǎn)e-2*的導(dǎo)函數(shù)為尸一2J，<0,

所以N=e-2,在“*(0,+co)時(shí)單調(diào)遞減，故B選項(xiàng)不符合題意；

對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)xe(O，+°°)時(shí)，、=一犬+1的導(dǎo)函數(shù)為y'=_2x<0,

所以k*+1在*'(°，+°°)時(shí)單調(diào)遞減，故c選項(xiàng)不符合題意；

對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)xe(°，+°°)時(shí)，)Tg|x|=lgx的導(dǎo)函數(shù)為"=五面>0,

所以V/在xe(0,+oo)時(shí)單調(diào)遞增，

又函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)U(0,+oo),且/(x)=lg|x|=lgT=/(r),故口選項(xiàng)符合

題意.

故選：D.

6.A

【分析】分為x>0與x<0,去掉絕對(duì)值后，根據(jù)“1”的代換，化簡(jiǎn)后分別根據(jù)基本不等式，

即可求解得出答案.

1+2H=X+Z+2X=Z+2X+1^2F2￡+1

【詳解】當(dāng)x>0時(shí),|^|yxyxyy=2V2+1,

y2x

當(dāng)且僅當(dāng)xy,即X=V^T,y=2-加時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有最小值2夜+i；

1+2H=X±Z+-2X=JL+_2X_1^2r￡HZ_i=2^-l

當(dāng)x<0時(shí)，Wyry-Xy\-xy.

y—2x

當(dāng)且僅當(dāng)二一V，即x=T-及，，=2+四時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有最小值2血-1.

1?2卜|

所以，國(guó)>的最小值為20T.

故選：A.

7.C

【分析】畫出/（X）圖像，由圖可知方程V="x）+’的4個(gè)不同的零點(diǎn)為函數(shù)夕=人》）與函數(shù)

圖像的四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后可得再無(wú)2=%+無(wú)2且=10,即可求出答案.

/（x）=V有四個(gè)不同的實(shí)根X],無(wú)2，%3,無(wú)4且再（無(wú)3<%4,可得W+無(wú)4=1。,

且|1%（再T?=|log3（x2-l^,即為晦（再-1）+喝&-1）=0,

即有（國(guó)一1）（工27）=1,即為再無(wú)2=再+無(wú)2,

J-------1--------+工4)=13+%4=10

可得I石X2)

故選：C.

8.D

【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造出函數(shù)"x）=（14f）lnx,對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而比

較大小.

【詳解】令/（x）=（U）叫則—39-1.

=14_

因?yàn)閥=-lnx在（0,+8）上單調(diào)遞減，—x在@+00）上單調(diào)遞減，

所以‘3=7nx+〈T在（0，+。）上單調(diào)遞減.

1414

/（5）=-ln5+——1>0/（6）=-ln6+——1<0

而56

所以在（6，+8）上有/'（）<0

所以/（x）=（14-x）lnx在（6,+8）上單調(diào)遞減.

所以"6）>/⑺>/（8）,即81n6>71n7>61n8.故a>b>￡

故選：D.

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)

題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)

用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)

確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)?/p>

函數(shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往

往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.

9.CD

【分析】根據(jù)給定函數(shù)，探討函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用性質(zhì)即可判

斷作答.

22

【詳解】函數(shù)/G)=國(guó)+sm?x的定義域?yàn)镽,/(-x)=|-x|+sin(-x)=|x|+sinx=/(x)；

即函數(shù)/(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)無(wú)20時(shí)，/(x)=x+sin。，

求導(dǎo)得/'(x)=1+2sinxcosx=1+sin2x20,則函數(shù)f(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，

對(duì)于A,取』=2,%=-3,滿足Ry,而/(2)<〃3)=/(-3),人不是；

對(duì)于B,取)=也=2,滿足芭+%>0,而/(1)</(2),B不是;

對(duì)于CD,X；>x；再|(zhì)>|x2|；于是/(|七|)>/(|x2|),由函數(shù)是偶函數(shù)得/(占)>/小)，

CD是.

故選：CD

10.AC

【分析】利用圖象可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B選項(xiàng)；利用平均變化率的概

念可判斷C選項(xiàng)；利用平均變化率的概念可判斷D選項(xiàng).

【詳解】選項(xiàng)A,在4時(shí)刻，兩圖象相交，說(shuō)明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項(xiàng)

A正確；

選項(xiàng)B,在與時(shí)刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的/‘6)不相等，

說(shuō)明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不相同，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,由平均變化率公式知，甲、乙兩人在白，4］內(nèi)，

血管中藥物濃度的平均變化率均為‘32,即選項(xiàng)C正確；

選項(xiàng)D,在Li'2」和吃內(nèi)」兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為

和13f,顯然不相同，即選項(xiàng)D不正確.

故選：AC.

11.ABC

【分析】由已知可知g(x)也為奇函數(shù)，然后結(jié)合“(X)一/(力1<歸一》|,證明g(x)單調(diào)遞增，結(jié)

合單調(diào)性及奇函數(shù)的定義可求.

［詳解］任取和馬蟲-叫+⑹，且不<9,

由題設(shè)條件有1/(X2)-/(xj|<卜2-X||=工2-占

又/(%)-/'位)4/位)-/(占)，

/（占）-/&）<迎-西

所以

/（再）+占</&）+/,

所以

從而當(dāng)X?>王時(shí)，有g(shù)(x2)>gGJ,

因而g(x)在R上單調(diào)遞增.

又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)是奇函數(shù)，g(x)=/(x)+x,

所以g(x)在定義域上也是奇函數(shù)，

不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0可轉(zhuǎn)化為g(2尤-/)<g(2-X),

結(jié)合單調(diào)性可得2X72<T+2,解得X>2或X<1.

故選：ABC

12.BD

【分析】構(gòu)造函數(shù)“x)=lnx-x+l,確定單調(diào)性得InxVx-1,進(jìn)而得到

In\j2a+b)(c—b+1)］<(2a+Z>)—1+(c—Z>)=2a+c—1件八m^(2a+b^)(c—b+1)］22a+c—1

，土口口，

求得ln［(2a+6)(c-6+l)］=2o+c-l,2a+6=l且即可判斷A、B選項(xiàng)；用。表示6,結(jié)

合二次函數(shù)即可判斷C選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)求最值即可判斷D選項(xiàng).

［詳解］令/(x)=lnx—x+l,易知x>0,=~,當(dāng)0<x<］時(shí)，/(x)>OJ(x)單增，

當(dāng)x>l時(shí)，/'(x)<oj(x)單減，

則/⑴=0,即InxVx-l恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)?。+6>0,貝(]

In[(2a+b)(c-6+1)]=In(2a+b)+ln(c-b+l)

所以In(2a+b)W(2a+6)-1,當(dāng)且僅當(dāng)2a+6=l時(shí)，等號(hào)成立，叩一"】)4。-',當(dāng)且僅當(dāng)

c=b時(shí)，等號(hào)成立，

則ln[(2a+b)(c-b+l)]<(2Q+b)-l+(c-b)=2Q+c-l又因?yàn)?叱(24+6)(0-6+1)]N24+°-1

所以ln[(2a+6)(c-6+l)]_2a+c-l,此時(shí)2a+b=1且』，故A錯(cuò)誤，B正確；

-2)/一田2=("2)2-2“2,當(dāng)”2時(shí)，等號(hào)成立，故"26的最

小值為-2,故C錯(cuò)誤；

當(dāng)QW[1,2]時(shí)，2/+36=2/+3(1-2Q)=2Q3-6Q+3令8(〃)=2/_6〃+3(1?4W2)則

g，⑷=6/_6=6(Q+1)(Q-1)

當(dāng)"W，2]時(shí)，g'(a"0,且g'S)不恒為0,所以g(0)在[1,2]上單調(diào)遞增，所以

g(a)mm=gO)=2-6+3=T

g(a)=g(2)=16-12+3=7.「丁母

v7maxv7，故D正確.

故選：BD.

13.e

、=--2左=/'(%)=，-2,

求導(dǎo)得x，則斜率為%，寫出切線方程,切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)已°)代入化簡(jiǎn)即

可得出結(jié)果.

f'(x)=--2左=7'(%)」-2

【詳解】X，所以切線斜率為X。，所以切線方程為

j/-(lnx0-2x0)=|-J—2|(x-x0)

1%>，切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)代入切線方程得

O-(lnxo-2x0)=|-"一2^(0-%0)

\xo)，即11,解得“0=°.

故答案為:e.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義，意在考查考生的運(yùn)算求解能力.

14.4

【詳解】由已知得a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)=4,

則2a+b+c=(a+b)+(a+c)>2^^-H^^-H^=4,當(dāng)且僅當(dāng)a+b=a+c,即b=c時(shí)取等號(hào).

??.2a+b+c的最小值為4.

15.9

0.03俏]<0.001

【分析】根據(jù)題意列不等式，運(yùn)算求解即可.

「一口X3%=0.03（2],?eN*

【詳解】由題意可得：經(jīng)過(guò)〃次過(guò)濾后該溶液的雜質(zhì)含量為I3>13J

0.03閆<0.1%=0.001

則,解得

112n眩30

n之lo§2TT=-iog230=------：

§JU3lg—

3

則"的最小值為9,

故至少經(jīng)過(guò)9次過(guò)濾才能達(dá)到市場(chǎng)要求.

故9.

方法點(diǎn)睛：函數(shù)有關(guān)應(yīng)用題的常見類型及解決問(wèn)題的一般程序：

（1）常見類型：與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及物價(jià)、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實(shí)際問(wèn)題，也可

涉及角度、面積、體積、造價(jià)的最優(yōu)化問(wèn)題；

（2）應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般程序：讀題（文字語(yǔ)言）n建模（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）n求解

（數(shù)學(xué)應(yīng)用）=反饋（檢驗(yàn)作答）；

（3）解題關(guān)鍵：解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、

不等式的有關(guān)知識(shí)加以綜合解答.

￡

16.e##「

【分析】變形給定函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=〃x）-l,探討函數(shù)g（x）的性質(zhì)，再脫去給定不等式

中的法則y'，構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)求解恒成立的不等式作答.

2023、+1+2023”-1,2023—

/（x）=--------------------------=1+------------

【詳解】依題意，2023"+12023x+l,

zX]_2023"-1_2023"+1-2_]2

X在R上單調(diào)遞增,

-202Y+1-2023+1-2023^+1,gG)

2023-x-l1—2023”

且g(-x)=-g（x）,g（x）為奇函數(shù),

2023一、+11+2023、

/(aex)>2-/(Intz-Inx)?f(tzex)-l>l-/(lntz-lnx)og(tzex)>g(lnx-lna)

YVVVIn—

<=>aQx>lnx-lna=ln—<^>xe%>—In—=ln—e。

aaaa,

令〃(x)=xe%x>0),求導(dǎo)得〃(x)=(x+l)靖>0,函數(shù)/z(x)在(0,+CO)上單調(diào)遞增，

v丫YYTC

In—>0h{x}>/z(ln—)x>In—In—<0x>In—

當(dāng)〃時(shí)，有a，于是q,當(dāng)。時(shí)，顯然。成立，

％e“1/、e"?，/、(x-l)e%

x>ln———>—0(x)=——，x>00(])=------——

因此。，即％。，令x,求導(dǎo)得工,

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，e(x)<0,函數(shù)0(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，夕(對(duì)>0,函數(shù)°(x)單調(diào)遞增,

_eQ>一

因此當(dāng)x=l時(shí)，9（x）1nin=9⑴=e,貝k，而q>0,有.e,

所以a的最小值為e.

]_

故e

關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單

調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.（1嚴(yán)｛訓(xùn)-4〈機(jī)訓(xùn)；

（2尸0]

【分析】（1）首先根據(jù)題意得出命題的否定“VxeR,不等式小,一加x7<0，，成立是真命題，

Jm<0

然后由機(jī)=°或卜=療+4”<°求解即可；

（2）根據(jù)題意得出集合A是集合8=｛川。一4（加<"+4｝的真子集，然后列出不等式求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)槊}P：“*eR,不等式切X?一加x-120”成立是假命題,

所以命題P：的否定?：“VxeR,不等式〃-1<0”成立是真命題，

jm＜0

所以加=0或［公=旭一+4加＜0,解得加=0或-4＜機(jī)＜0,

人4二如|一4＜加?0)

故集合*-1J;

(2)因?yàn)橐?〈加一a＜4,即。-4＜加＜a+4,

所以夕：。-4＜加＜。+4,

因?yàn)閝:0-4＜加＜0+4是集合A的必要不充分條件，

令集合'={同"4＜加＜"+4},則集合4是集合B的真子集，

Jo-4＜-4

即［〃+4＞0,解得一4＜°￡0,所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(-4,0］

18.(1)100；(2)4

【分析】(1)化簡(jiǎn)即可求出該式子的值；

X

(2)解對(duì)數(shù)方程求出V,即可得出也的值.

【詳解】(1)由題意,

1

(V2xV3)6+(7272)3-4><［^2-V2X8025-(-2023)

2、門士713x1

=22X33+(V22)3-4X--24X24-1

=108+2-7-2-1

=100

(2)由題意，

在lgx+lgy=21g(x-2y)中，

x>0

y>0

x-2y>0

孫=(x-2姆，個(gè)=(x-2y)2化簡(jiǎn)得/一5孫+4/=0,

2［二］一5,+4=0-=4

兩邊同除了得I"I"，解得：了或1(舍),

=正4=4

19.(1)°

(2)證明過(guò)程見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；

(2)利用(1)的結(jié)果，取特殊值代入進(jìn)行證明即可.

【詳解】(1)顯然該函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，

由2、,xx,

當(dāng)x>l時(shí)，，取)>°,所以函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<l時(shí)，/'G)<°,所以函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

因此/(x)min*()=°；

?/(x)=—(%2-1Inx>0(x>0)^>-Inx>-—(X2-1Yx>0)

⑵由⑴可知：即2<，I'人。

ln>x21x>0

pD|-1(-X)

,113=ln-

-In—>——

332332

x=—

當(dāng)4時(shí)，4

40

20.⑴方案一45元/升；方案二9元/升

(2)方案二比較經(jīng)濟(jì)劃算，證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意，由平均價(jià)格的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，由平均價(jià)格的計(jì)算公式，代入計(jì)算，然后作差，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)第一種方案，兩次加油共花費(fèi)30x5+30x4=270元，兩次共加了60升燃油,

270…

-----=45

所以平均價(jià)格為60?元/升；

第二種方案,兩次加油共花費(fèi)20。+200=400元,兩次共加了升燃油，所以

40040

平均價(jià)格為防一5元/升；

(2)由題意可得，第一種方案，兩次加油共花費(fèi)(3°s+3O")元，兩次共加了60升燃油，所

30加+30〃m+n

以平均價(jià)格為—60一—一元/升;

200200

---+---

第二種方案，兩次加油共花費(fèi)20。+200=400元，兩次共加了mn升燃油，所以平均

4002mn

200?200m+n

價(jià)格為mn元/升；

m+n2mn_（m+nf-Amn_（m-rCf〉0

且2m+n2（m+?）2（“+〃），所以選擇第二種加油方案比較經(jīng)濟(jì)劃算.

21.⑴極大值12一2尺4喳-6），極小值12+2百-4喳+灼；⑵見解析.

【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)不等式，得到單調(diào)區(qū)間，從而明確函數(shù)的極值；

（2）求出導(dǎo)函數(shù)，借助判別式分類討論，結(jié)合三個(gè)二次的關(guān)系，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

/(x)=x-—+12-41nx

【詳解】解:(1)0=4時(shí),，定義域?yàn)椋ā悖?8）

1,/、［14x2—4x+1(x—2)2—3

則/⑴=1+二二一

當(dāng)0<x<2-G時(shí)，

；?/（x）在G2-6］上單調(diào)遞增；

當(dāng)2—Vs<%<2+Vs時(shí)f'（x）<0

，/（町在（2_6,2+6）上單調(diào)遞減；

當(dāng)無(wú)22+6時(shí)，/'3>0,

.”（x）在［2+6,+8）上單調(diào)遞增.

.?.當(dāng)x=2-8時(shí)，/（x）有極大值12-28-4喳-8）,

當(dāng)x=2+百時(shí)，?。┯袠O小值12+-4In（2+8）；

x2-ax+1

(0<x<1)

x2方程Y—辦+1=0的判另|J式A=〃—4.

Q0<x<l,a>0,

.,.當(dāng)AW0時(shí)，即0<a<2時(shí)，x2-ax+l>0,因此［'(x)>°,

此時(shí)，/（X）在（°，1）上單調(diào)遞增，即，（幻只有增區(qū)間（°，1）.

當(dāng)A＞0時(shí)，即。＞2時(shí)，方程X?一辦+1=0有兩個(gè)不等根.

a—Jcr-4a+\a~—4

設(shè)玉=2,%=-2-,貝心＜玉＜%.

當(dāng)無(wú)變化時(shí)，/'（X）,/⑴的變化如下：

X（0，』）(再,9)X2(x2,+co)

/'（X）+0-0+

/(%)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

a—J/_4Q_2-Jq2―4

-----------1=-------------

'：a>2,

q—2>0

而("2)2=/_4°+4,日"-4)-"-

-4八

,由q>2可得

Q2—4。+4<。2—4,

-2<a2—4

Xy—1<0

/.玉<1

Q+JQ2—4a—2+JQ2—4

-1=-----------1=-------------

222

由〃>2可得％2-1>0,

x2>l

-da2-八a-yla2-41

‘。:2I減區(qū)間為121

因此，當(dāng)。>2時(shí)，"X)的增區(qū)間為1

22.(I)見解析(II)J00，7]

【詳解】試題分析：(1)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明(1+X)"'2(1-x)靖與/2x+1,從而令

/z(x)=(l+x)e-'-(l-x>\K(x)=ex-x-\,然后利用導(dǎo)數(shù)求得〃(%)，K(x)的單調(diào)性即可使問(wèn)

x2

-、/、-x(a+1+1-2cosx)

題得證；(2)由(1)中的結(jié)論得了(')—g(%h2,從而令

G(x)=—+2cosx

2,通過(guò)多次求導(dǎo)得出其單調(diào)性即可求出。的取值范圍.

試題解析：⑴要證xe［0,l］時(shí)，(l+x*——,只需證明(l+x)"，—),.

記A(x)=(1+x)e-x-(l-x)e\則h'(x)=x(ex-e-x),

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，Y(x)>0,因此〃(x)在［0,1］上是增函數(shù)，故〃(x)2〃(0)=0,

所以〃x)21-x,xe［0,l］.

rnii(1+x)e2x4-----

要證xe］0,l」時(shí)，1+x,只需證明e*Nx+l,

記Ka)：/—1—］,貝|jK'x)="—］,

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，Y(x)>0,因此K(x)在［0,1］上是增函數(shù)，故K(x)2K(0)=0,

所以“X)(占，xe［0,l］

綜上，1+x,

(2)(解法一)

/㈤-g(x)=(l+xL-3+5+l+2xcosx)2M?5-x

X2

-—X(J2+1H~—~~F2COSX)

2

G(x)=-x-i-2cosx,

設(shè)2,貝|jG(x)=x—2sinx,

,己//(x)=x-2sinx,貝I//'(%)=1-2cosx,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，"'(x)<0,于是G'(x)在［0J上是減函數(shù)，

從而當(dāng)xe(0,D時(shí)，G'(x)<G'(0)=0,故G(x)在［0,1］上是減函數(shù)，于是G(x)WG(0)=2,

從而a+l+G(x)4a+3,

所以，當(dāng)-3時(shí)，/(x)Ng(x)在［0,1］上恒成立.

下面證明，當(dāng)。>-3時(shí)，/(x)Ng(x)在［0,