2023-2024學(xué)年?yáng)|莞市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年?yáng)|莞市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖所示，在四邊形中，，，.將四邊形沿對(duì)角線(xiàn)折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）①；②；③與平面所成的角為；④四面體的體積為.A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．設(shè)，是兩條不同的直線(xiàn)，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則②若，，，則③若，，則④若，，則其中正確命題的序號(hào)是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④3．已知a，b，c，d∈R，則下列不等式中恒成立的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若a＞b，則C．若a＞b＞0，則（a﹣b）c＞0 D．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c4．在中，，BC邊上的高等于,則（）A． B． C． D．5．趙爽是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱(chēng)“趙爽弦圖”，如圖，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取-點(diǎn)，這一點(diǎn)落在小正方形內(nèi)的概率為，則勾與股的比為（）A． B． C． D．6．直線(xiàn)l：3x+4y+5=0被圓M：（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦長(zhǎng)為（）A． B．5 C． D．107．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于()A．π B．πC．16π D．32π8．已知兩座燈塔和與海洋觀察站的距離都等于5，燈塔在觀察站的北偏東，燈塔在觀察站的南偏東，則燈塔與燈塔的距離為（）A． B． C． D．9．在正方體中，、分別是棱和的中點(diǎn)，為上底面的中心，則直線(xiàn)與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列滿(mǎn)足（，為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是__________．12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則__________．13．若、、這三個(gè)的數(shù)字可適當(dāng)排序后成為等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則________________.14．已知函數(shù)一個(gè)周期的圖象（如下圖），則這個(gè)函數(shù)的解析式為_(kāi)_________．15．若滿(mǎn)足約束條件則的最大值為_(kāi)_________．16．正六棱柱各棱長(zhǎng)均為，則一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿表面移動(dòng)到時(shí)的最短路程為_(kāi)_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知向量，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，已知在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，求的取值范圍.18．在中，（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值19．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°,E是BC的中點(diǎn)，M（1）求證：AE⊥平面PAD；（2）若AB=AP=2，求三棱錐P-ACM的體積.20．中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知.（1）求角的大?。唬?）設(shè)，的面積為，求的值.21．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．（1）從第幾項(xiàng)開(kāi)始；（2）求數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)題意，依次分析命題：對(duì)于①，可利用反證法說(shuō)明真假；對(duì)于②，為等腰直角三角形，平面，得平面，根據(jù)勾股定理逆定理可知；對(duì)于③，由與平面所成的角為知真假；對(duì)于④，利用等體積法求出所求體積進(jìn)行判定即可，綜合可得答案．【詳解】在四邊形中，，，則，可得，由，若，且，可得平面，平面，，這與矛盾，故①不正確；平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，由勾股定理得，，，，故，故②正確；由②知平面，則直線(xiàn)與平面所成的角為，且有，，則為等腰直角三角形，且，則.故③不正確；四面體的體積為，故④不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與平面所成的角，以及三棱錐的體積的計(jì)算，考查了空間想象能力，推理論證能力，解題的關(guān)鍵是須對(duì)每一個(gè)進(jìn)行逐一判定．2、A【解析】

根據(jù)線(xiàn)面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線(xiàn)面垂直的定義，可得①是真命題；根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)不一定平行，垂直于同一個(gè)平面和兩個(gè)平面也不一定平行，可得③④不正確．由此可得本題的答案．【詳解】解：對(duì)于①，因?yàn)?，所以?jīng)過(guò)作平面，使，可得，又因?yàn)?，，所以，結(jié)合得．由此可得①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)榍遥?，結(jié)合，可得，故②是真命題；對(duì)于③，設(shè)直線(xiàn)、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線(xiàn)，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故③不正確；對(duì)于④，設(shè)平面、、是位于正方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有且，但是，推不出，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是①和②故選：【點(diǎn)睛】本題給出關(guān)于空間線(xiàn)面位置關(guān)系的命題，要我們找出其中的真命題，著重考查了線(xiàn)面平行、面面平行的性質(zhì)和線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．3、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【詳解】當(dāng)時(shí)，A不成立；當(dāng)時(shí)，B不成立；當(dāng)時(shí)，C不成立；由不等式的性質(zhì)知D成立．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)中，不等式兩邊乘以同一個(gè)正數(shù)，不等式號(hào)方向不變，兩邊乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式號(hào)方向改變，這個(gè)性質(zhì)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤：一是不區(qū)分所乘數(shù)的正負(fù)，二是不區(qū)分是否為1．4、C【解析】試題分析：設(shè),故選C.考點(diǎn)：解三角形.5、B【解析】

分別求解出小正方形和大正方形的面積，可知面積比為，從而構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】由圖形可知，小正方形邊長(zhǎng)為小正方形面積為：，又大正方形面積為：，即：解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的面積型的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用概率構(gòu)造出關(guān)于所求量的方程.6、C【解析】

求出圓心到直線(xiàn)l的距離，再利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】∵圓（x–2）2+（y–1）2=16，∴圓心（2，1），半徑r=4，圓心到直線(xiàn)l：3x+4y+5=0的距離d==3，∴直線(xiàn)3x+4y+5=0被圓（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦長(zhǎng)l=2=2．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)公式，主要用到了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式．7、B【解析】

作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，外接球的截面是圓為球的大圓是的外接圓，由圖可得球的半徑與圓錐的關(guān)系．【詳解】如圖，作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，的外接圓是球的大圓，設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定圓錐的外接球與圓錐之間的關(guān)系，即球半徑與圓錐的高和底面半徑之間的聯(lián)系，而這個(gè)聯(lián)系在其軸截面中正好體現(xiàn)．8、B【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出ABC的相對(duì)位置，再利用正余弦定理計(jì)算．【詳解】如圖所示，,，選B.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形畫(huà)出相對(duì)位置是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

先通過(guò)平移將兩條異面直線(xiàn)平移到同一個(gè)起點(diǎn)，得到的銳角或直角就是異面直線(xiàn)所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【詳解】解：先畫(huà)出圖形，將平移到，為直線(xiàn)與所成的角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線(xiàn)及其所成的角，以及余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

先求出圓心到直線(xiàn)的距離，然后結(jié)合圖象，即可得到本題答案.【詳解】由題意可得，圓心到直線(xiàn)的距離為，故由圖可知，當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于；當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于；當(dāng)則的取值范圍為時(shí)，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與圓的綜合問(wèn)題，數(shù)學(xué)結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】因?yàn)閿?shù)列是“調(diào)和數(shù)列”，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此的最大值為1．點(diǎn)睛：本題考查創(chuàng)新意識(shí)，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解與轉(zhuǎn)化，由“調(diào)和數(shù)列”的定義及已知是“調(diào)和數(shù)列”，得數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)可化簡(jiǎn)已知數(shù)列的和，結(jié)合基本不等式求得最值．本題難度不大，但考查的知識(shí)較多，要熟練掌握各方面的知識(shí)與方法，才能正確求解．12、【解析】分析：由，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，相減可得，則，由此可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式詳解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)由可得二式相減可得：又則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列點(diǎn)睛：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即數(shù)列遞推式，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)看到，則用即可算出，需要注意討論的情況。13、【解析】

由，，可知，、、成等比數(shù)列，可得出，由、、或、、成等差數(shù)列，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可計(jì)算出的值.【詳解】由于，，若不是等比中項(xiàng)，則有或，兩個(gè)等式左邊均為正數(shù)，右邊均為負(fù)數(shù)，不合題意，則必為等比中項(xiàng)，所以，將三個(gè)數(shù)由大到小依次排列，則有、、成等差數(shù)列或、、成等差數(shù)列.①若、、成等差數(shù)列，則，聯(lián)立，解得，此時(shí)，；②若、、成等差數(shù)列，則，聯(lián)立，解得，此時(shí)，.綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列定義的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.14、【解析】

由函數(shù)的圖象可得T=﹣，解得：T==π，解得ω=1．圖象經(jīng)過(guò)（，1），可得：1=sin（1×+φ），解得：φ=1kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜，可得：φ=，故f（x）的解析式為：f（x）=．故答案為f（x）=．15、【解析】

作出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)時(shí)，.【詳解】不等式組表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如下圖所示，目標(biāo)函數(shù)的最大值必在頂點(diǎn)處取得，易知當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是高考中常考考點(diǎn)，主要以選擇及填空的形式出現(xiàn)，基本題型為給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值，主要結(jié)合方式有：截距型、斜率型、距離型等.16、【解析】

根據(jù)可能走的路徑，將所給的正六棱柱展開(kāi)，利用平面幾何知識(shí)求解比較.【詳解】將所給的正六棱柱下圖(2)表面按圖(1)展開(kāi).，，，故從A沿正側(cè)面和上表面到D1的路程最短為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體展形圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）由共線(xiàn)向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，將化切后代入即可（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，利用正弦定理求,根據(jù)角的范圍求值域即可.【詳解】（1）∵，，且；∴，∴；∴；（2）∵；在中，由正弦定理得，∴，∴，或；又∵，∴，∴，∵，∴；∴，∴；即的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，三角恒等式，型函數(shù)的值域，屬于中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由正弦定理、二倍角公式，結(jié)合可將已知邊角關(guān)系式化簡(jiǎn)為，從而求得，根據(jù)可求得；（Ⅱ）由三角形面積公式可求得；利用余弦定理可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得：，即（Ⅱ）由得：由余弦定理得：【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，涉及到正弦定理化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于?？碱}型.19、(1)見(jiàn)證明；(2)3【解析】

(1)本題首先可以通過(guò)菱形的相關(guān)性質(zhì)證明出AE⊥AD，然后通過(guò)PA⊥菱形ABCD所在的平面證明出PA⊥AE，最后通過(guò)線(xiàn)面垂直的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果；(2)可以將三角形APM當(dāng)成三棱錐P-ACM的底面，將AE當(dāng)成三棱錐P-ACM的高，最后通過(guò)三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，所以因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，因?yàn)锳D//BC，所以AE⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE，又因?yàn)镻A∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．（2）AB=AP=2,則AD=2，AE=3所以Vp【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的相關(guān)性質(zhì)，主要考查線(xiàn)面垂直的證明以及三棱錐體積的求法，可以通過(guò)證明平面外一條直線(xiàn)垂直平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)來(lái)證明線(xiàn)面垂直，考查推理能力，是中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理可將已知等式化為，利用兩角和差余弦公式展開(kāi)整理可求得，根據(jù)可求得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式可構(gòu)造方程求出；利用余弦定理可直接求得結(jié)果.【詳解】（1