人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí) 第27課 正多邊形和圓（原卷版+解析）

第27課正多邊形和圓目標導(dǎo)航目標導(dǎo)航課程標準1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關(guān)計算.知識精講知識精講知識點01正多邊形的概念相等，也相等的多邊形是正多邊形．

要點詮釋：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)相等；(2)相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

知識點02正多邊形的重要元素1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的．

3.正多邊形的有關(guān)計算

(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.要點詮釋：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.

知識點02正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都外接圓，圓有個內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是圖形，它的就是對稱中心.4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有外接圓和內(nèi)切圓，這兩個圓是

要點詮釋：(1)各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；(2)各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識點03正多邊形的畫法1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以；根據(jù)同圓中相等弧所對的相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形.

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形.再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.

②正六、三、十二邊形的作法.

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點.

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點.

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分…….

要點詮釋：畫正n邊形的方法：(1)將一個圓，(2)順次連結(jié)各等分點.能力拓展能力拓展考法01正多邊形的概念【典例1】如圖所示，正五邊形的對角線AC和BE相交于點M．(1)求證：AC∥ED；(2)求證：ME＝AE．【典例2】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC的中點，直線BE交⊙O于點F，若⊙O的半徑為，則BF的長為．【即學(xué)即練1】同一個圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的比等于()A．3：4B．：2C．2：D．1：2考法02正多邊形和圓的有關(guān)計算【典例3】如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對角線．(1)在剩余的頂點B、C、D、E、F、H中，連接兩個頂點，使連接的線段與AG平行，并說明理由；(2)兩邊延長AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．【典例4】如圖所示，圓內(nèi)接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的．【即學(xué)即練2】如下圖，若∠DOE保持120°角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著O點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形，圖中陰影部分的面積始終是△ABC的面積的．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．若一個正多邊形的一個內(nèi)角是120°，則這個正多邊形的邊數(shù)是()A．9B．8C．6D．42．如圖，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個扳手的開口a的值應(yīng)是()A．2cm B．cm C．cm D．1cm3．已知圓的半徑是，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是()A． B． C． D．4．中華人民共和國國旗上的五角星，它的五個銳角的度數(shù)和是()A．50° B．100° C．180° D．200°5．將邊長為3cm的正三角形的各邊三等分，以這六個分點為頂點構(gòu)成一個正六邊形，再順次連接這個正六邊形的各邊中點，又形成一個新的正六邊形，則這個新的正六邊形的面積等于()A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm26．如圖，在△PQR是⊙O的內(nèi)接三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠AOR=()A．60°B．65°C．72°D．75°7．已知等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑和高的比是()A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3題組B能力提升練1．正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為_____．2．半徑相等的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為________．3．如圖，有一圓內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH，若△ADE的面積為10，則這個正八邊形的面積為4．如圖，正六邊形內(nèi)接于圓O，圓O的半徑為10，則圖中陰影部分的面積為_________.5．如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長是5，點P是AD上的一動點，則PE+PF的最小值是_____．6．如圖，有一個圓O和兩個正六邊形T1，T2．T1的6個頂點都在圓周上，T2的6條邊都和圓O相切(我們稱T1，T2分別為圓O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形)．若設(shè)T1，T2的邊長分別為a，b，圓O的半徑為r，則r：a=____；r：b=____；正六邊形T1，T2的面積比S1：S2的值是____．

7．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，圓O1與圓O2外切，且圓O1分別與DA、DC邊相切，圓O2分別與BA、BC邊相切，則圓心距O1O2為_____．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，正六邊形的邊長為，點為六邊形內(nèi)任一點．則點到各邊距離之和是多少？2．如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點在劣弧上運動(不與點重合)，連接，，．(1)求證：是的平分線；(2)四邊形的面積是線段的長的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由；(3)若點分別在線段，上運動(不含端點)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點運動到每一個確定的位置，的周長有最小值，隨著點的運動，的值會發(fā)生變化，求所有值中的最大值．3．(本小題滿分12分)如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點M、N分別從點B、C開始，以相同的速度在⊙O上逆時針運動．(1)求圖①中∠APN的度數(shù)(寫出解題過程)；(2)寫出圖②中∠APN的度數(shù)和圖③中∠APN的度數(shù)(3)試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫答案)4．閱讀下列材料：已知：如圖1，等邊△A1A2A3內(nèi)接于⊙O，點P是上的任意一點，連接PA1，PA2，PA3，可證：PA1+PA2=PA3，從而得到：是定值．(1)以下是小紅的一種證明方法，請在方框內(nèi)將證明過程補充完整；證明：如圖1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延長線于點M．∵△A1A2A3是等邊三角形，∴∠A3A1A2=60°，∴∠A3A1P=∠A2A1M又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，∴△A1A3P≌△A1A2M∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．∴，是定值．(2)延伸：如圖2，把(1)中條件“等邊△A1A2A3”改為“正方形A1A2A3A4”，其余條件不變，請問：還是定值嗎？為什么？(3)拓展：如圖3，把(1)中條件“等邊△A1A2A3”改為“正五邊形A1A2A3A4A5”，其余條件不變，則=(只寫出結(jié)果)．第27課正多邊形和圓目標導(dǎo)航目標導(dǎo)航課程標準1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關(guān)計算.知識精講知識精講知識點01正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點詮釋：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

知識點02正多邊形的重要元素1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關(guān)計算

(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.要點詮釋：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.

知識點02正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

要點詮釋：(1)各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；(2)各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識點03正多邊形的畫法1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形.

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形.再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.

②正六、三、十二邊形的作法.

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點.

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點.

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分…….

要點詮釋：畫正n邊形的方法：(1)將一個圓n等份，(2)順次連結(jié)各等分點.能力拓展能力拓展考法01正多邊形的概念【典例1】如圖所示，正五邊形的對角線AC和BE相交于點M．(1)求證：AC∥ED；(2)求證：ME＝AE．【解析與答案】(1)正多邊形必有外接圓，作出正五邊形的外接⊙O，則的度數(shù)為，∵∠EAC的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，∴∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝108°，∴∠EAC+∠AED＝180°，∴ED∥AC．(2)∵∠EMA＝180－∠AEB－∠EAC＝72°，∴∠EAM＝∠EMA＝72°，∴EA＝EM．【點評】輔助圓是特殊的輔助線，一般用得很少，當(dāng)有共圓條件時可作出輔助圓后利用圓的特殊性去解決直線型的問題．要證AC∥ED和ME＝AE，都可用角的關(guān)系去證，而如果作出正五邊形的外接圓，則用圓中角的關(guān)系去證比較容易．【典例2】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC的中點，直線BE交⊙O于點F，若⊙O的半徑為，則BF的長為．【答案】.【解析】解：連接BD，DF，過點C作CN⊥BF于點F，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為，∴BD=2，∴AD=AB=BC=CD=2，∵E為DC的中點，∴CE=1，∴BE=，∴CN×BE=EC×BC，∴CN×=2，∴CN=，∴BN=，∴EN=BE﹣BN=﹣=，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BFD=90°，∴△CEN≌△DEF，∴EF=EN，∴BF=BE+EF=+=，故答案為．【點評】此題主要考查了正多邊形和圓以及勾股定理以及三角形面積等知識，根據(jù)圓周角定理得出正多邊形邊長是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】同一個圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的比等于()A．3：4B．：2C．2：D．1：2【答案】B；【解析】設(shè)圓的半徑為1，如圖(1)，連接OA、OB過O作OG⊥AB；

∵六邊形ABCDE為正六邊形，

∴∠AOB==60°；

∵OA=OB，OG⊥AB，

∴∠AOG==30°，

∴AG=OA?sin30°=1×=，(或由勾股定理求)

∴AB=2AG=2×=1，

∴C六邊形ABCD=6AB=6．

如圖(2)連接OA、OB過O作OG⊥AB；

∵六邊形ABCDE為正六邊形，

∴∠AOB==60°，

∵OA=OB，OF⊥AB，

∴∠AOF==30°，

∴AG=OG?tan30°=，(或由勾股定理求)

∴AB=2AG=2×=，

∴C六邊形ABCD=6AB=6×=4cm．

∴圓的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的周長的比=6：4=：2．考法02正多邊形和圓的有關(guān)計算【典例3】如圖，AG是正八邊形ABCDEFGH的一條對角線．(1)在剩余的頂點B、C、D、E、F、H中，連接兩個頂點，使連接的線段與AG平行，并說明理由；(2)兩邊延長AB、CD、EF、GH，使延長線分別交于點P、Q、M、N，若AB=2，求四邊形PQMN的面積．【答案與解析】解：(1)連接BF，則有BF∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八邊形，∴它的內(nèi)角都為135°．又∵HA=HG，∴∠1=22.5°，從而∠2=135°﹣∠1=112.5°．由于正八邊形ABCDEFGH關(guān)于直線BF對稱，∴即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．(2)根據(jù)題設(shè)可知∠PHA=∠PAH=45°，∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，∴四邊形PQMN是矩形．又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四邊形PQMN是正方形．在Rt△PAH中，∵∠PAH=45°，AH=2，∴PA=∴．故．【點評】此題主要考查了正多邊形和圓以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出PQ的長是解題關(guān)鍵．【典例4】如圖所示，圓內(nèi)接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的．【答案與解析】(1)連OA、OB、OC，如圖(2)所示，圖(2)則OA＝OB＝OC，又AB＝BC＝CA．∴△OAB≌△OBC≌△OCA，又OD⊥BC于F，OE⊥AC于G，由垂徑定理得AG＝AC，F(xiàn)C＝BC，∴AG＝CF．∴Rt△AOG≌Rt△COF∴．【點評】首先連接OC，根據(jù)垂徑定理的知識，易證得Rt△OCG≌Rt△OCF，設(shè)OG=a，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與等邊三角形的知識，即可求得陰影部分四邊形OFCG的面積與△ABC的面積，繼而求得答案．【即學(xué)即練2】如下圖，若∠DOE保持120°角度不變，求證：當(dāng)∠DOE繞著O點旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形，圖中陰影部分的面積始終是△ABC的面積的．【答案】連接OA、OB、OC，由(1)知△OAB≌△OBC≌△OCA．∴∠1＝∠2．設(shè)OD交BC于F，OE交AC于G，則∠AOC＝∠3+∠4＝120°，∠DOE＝∠5+∠4＝120°，∴∠3＝∠5．在△OAG和△OCF中，∴△OAG≌△OCF．∴．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．若一個正多邊形的一個內(nèi)角是120°，則這個正多邊形的邊數(shù)是()A．9B．8C．6D．4【答案】C【解析】多邊形的內(nèi)角和可以表示成(n-2)×180°，因為所給多邊形的每個內(nèi)角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解。此題還可以由已知條件，求出這個多邊形的外角，再利用多邊形的外角和定理求解。

解法一：設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，

則120°n=(n-2)×180°，

解得n=6；

解法二：設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，

∵正n邊形的每個內(nèi)角都等于120°，

∴正n邊形的每個外角都等于180°-120°=60°。

又因為多邊形的外角和為360°，

即60°×n=360°，

∴n=6．

故選C。2．如圖，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個扳手的開口a的值應(yīng)是()A．2cm B．cm C．cm D．1cm【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角度數(shù)可得出∠1＝30°，再通過解直角三角形即可得出a的值，進而可求出a的值，此題得解．【詳解】如圖：∵正六邊形的任一內(nèi)角為120°，∴∠1＝30°∴a＝2cos∠1＝，∴a＝2．故選：A．【點睛】本題考查了正多邊形以及解直角三角形，牢記正多邊形的內(nèi)角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．已知圓的半徑是，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是()A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：連接正六邊形的中心與各個頂點，得到六個等邊三角形，等邊三角形的邊長是2，高為3，因而等邊三角形的面積是3，∴正六邊形的面積=18，故選C．【考點】正多邊形和圓．4．中華人民共和國國旗上的五角星，它的五個銳角的度數(shù)和是()A．50° B．100° C．180° D．200°【答案】C【解析】如圖，∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，∠1+∠2+∠A=180°，∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠A=180°．即五角星五個銳角的度數(shù)和是180°.故選C．5．將邊長為3cm的正三角形的各邊三等分，以這六個分點為頂點構(gòu)成一個正六邊形，再順次連接這個正六邊形的各邊中點，又形成一個新的正六邊形，則這個新的正六邊形的面積等于()A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】B【解析】【分析】可畫出草圖解題，新的正六邊形有三個頂點在正三角形的三邊上，且是三邊的中點，連接正三角形的頂點與它對邊的中點，可以看出新的正六邊形的面積六個小正三角形的面積之和．【詳解】解：∵新的正六邊形有三個頂點在正三角形的三邊上，且是三邊的中點，∴連接AH，CF，BN，可以看出新的正六邊形EFGHMN的面積是六個小正三角形的面積之和，∴小正三角形的邊長為cm，∴每個小正三角形的面積是cm2，∴新的正六邊形的面積等于×6＝．故選：B．【點睛】此題主要考查了正三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式．6．如圖，在△PQR是⊙O的內(nèi)接三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠AOR=()A．60°B．65°C．72°D．75°【答案】D【解析】試題分析：作輔助線連接OD，根據(jù)題意求出∠POQ和∠AOD的，利用平行關(guān)系求出∠AOP度數(shù)，即可求出∠AOQ的度數(shù)．連接OD，AR，∵△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，∴∠PRQ=60°，∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，∴△AOD為等腰直角三角形，∴∠AOD=90°，∵BC∥RQ，AD∥BC，∴AD∥QR，∴∠ARQ=∠DAR，∴PQ=PR∵△PQR是等邊三角形，∴PQ=PR，∴，∴，∴∠AOP=∠AOD=45°，所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．故選D．考點:正多邊形和圓．7．已知等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑和高的比是()A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3【答案】D【解析】試題分析：圖中內(nèi)切圓半徑是OD，外接圓的半徑是OC，高是AD，因而AD=OC+OD；在直角△OCD中，∠DOC=60°，則OD：OC=1：2，因而OD：OC：AD=1：2：3，所以內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑和高的比是1：2：3．故選D．考點：正多邊形和圓．題組B能力提升練1．正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為_____．【答案】2：．【分析】從內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心向三角形的邊長引垂線，構(gòu)建直角三角形，解三角形即可．【詳解】解：設(shè)正六邊形的半徑是r，則外接圓的半徑r，內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，因而是r，因而正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為2：．故答案為2：．【點睛】考查了正多邊形和圓，正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．2．半徑相等的圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)出圓的半徑，再由正多邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】設(shè)圓的半徑為R，

如圖(一)，

連接OB，過O作OD⊥BC于D，

則∠OBC=30°，BD=OBcos30°=

R，

故BC=2BD=R；

如圖(二)，

連接OB、OC，過O作OE⊥BC于E，

則△OBE是等腰直角三角形，

2BE2=OB2，即BE=

，

故BC=

R；

如圖(三)，

連接OA、OB，過O作OG⊥AB，

則△OAB是等邊三角形，

故AG=OAcos60°=

R，AB=2AG=R，

故圓內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比為R：R：R=

：：1．

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正三角形、正方形及正六邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，有一圓內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH，若△ADE的面積為10，則這個正八邊形的面積為【答案】40【解析】取AE中點I，則點I為圓的圓心，圓內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH是由8個與△IDE全等的三角形構(gòu)成．易得△IDE的面積為5，則圓內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH為8×5=40．4．如圖，正六邊形內(nèi)接于圓O，圓O的半徑為10，則圖中陰影部分的面積為_________.【答案】100-150【分析】此題是考查圓與正多邊形結(jié)合的基本運算．陰影面積=總體面積-空白部分的面積．【詳解】已知圓的半徑為10，則面積為，空白正六邊形為六個邊長為2的正三角形，每個三角形面積為，則正六邊形面積為，所以陰影面積為故答案為：5．如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長是5，點P是AD上的一動點，則PE+PF的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多邊形的性質(zhì)，可得點B關(guān)于AD對稱的點為點E，連接BE交AD于P點，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知三角形APB是等邊三角形，因此可知BE的長為10，即PE+PF的最小值為10.故答案為10.6．如圖，有一個圓O和兩個正六邊形T1，T2．T1的6個頂點都在圓周上，T2的6條邊都和圓O相切(我們稱T1，T2分別為圓O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形)．若設(shè)T1，T2的邊長分別為a，b，圓O的半徑為r，則r：a=____；r：b=____；正六邊形T1，T2的面積比S1：S2的值是____．

【答案】1：1：23：4【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的邊長等于它的半徑可得r與a比值，在由圓的半徑和正六邊形的半邊及正六邊形對角線的一半組成的直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得r與b的比值；根據(jù)相似多邊形的面積比是相似比的平方，由r：a與r：b可求a：b，繼而即可求解．【詳解】連接OE，OG，OF，∵EF=a，T1為正六邊形，∴△OEF為等邊三角形，OE為圓O的半徑r，∴a：r=1：1，即r：a=1：1①，由題意可知：OG為∠FOE的平分線，即∠EOG=∠EOF=30°，在Rt△OEG中，OE=r，OG=b，∵==cos∠EOG=cos30°，即=，∴r：b=：2②，∴由①②得，a：b=：2，且兩個正六邊形T1，T2相似，∴S1：S2=a2：b2=3：4，故答案為：1：1；：2；3：4．【點睛】本題考查正多邊形與圓的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)造由正多邊形半徑，邊心距、半邊組成的直角三角形，掌握銳角三角函數(shù)，注意相似多邊形的面積比即是相似比的平方．7．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，圓O1與圓O2外切，且圓O1分別與DA、DC邊相切，圓O2分別與BA、BC邊相切，則圓心距O1O2為_____．【答案】【詳解】連接BD，則圓心O1、O2在BD上，設(shè)⊙P與正方形的切點為H、G，設(shè)圓O1的半徑為R，圓O2的半徑為r，∵且O1分別與DA、DC邊相切，∴O1G⊥AD、O1H⊥DC．又∵O1G=O1H=R，∴四邊形GO1HD為正方形．∴．同理，．∵AB=AD=3cm，∴．∴DO1+O1O2+BO2=BD=，即：．∴．∴圓心距O1O2為．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，正六邊形的邊長為，點為六邊形內(nèi)任一點．則點到各邊距離之和是多少？【答案】18.【分析】過P作AB的垂線，交AB、DE分別為H、K，連接BD，由正六邊形的性質(zhì)可求出BD的長，而點P到AF與CD的距離之和，P到EF、BC的距離之和均為BD的長，據(jù)此得出結(jié)論．【詳解】解：過P作AB的垂線，分別交AB、DE于H、K，連接BD，作CG⊥BD于G∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF與CD的距離之和，及P到EF、BC的距離之和均為HK的長．∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴∠DBH=120°－30°=90°，∴BD∥HK，且BD=HK．∵CG⊥BD，∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2×=6，∴點P到各邊距離之和=3BD=3×6=18．【點睛】本題主要考查的是正多邊形及銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解是解答此題的關(guān)鍵．2．如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點在劣弧上運動(不與點重合)，連接，，．(1)求證：是的平分線；(2)四邊形的面積是線段的長的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由；(3)若點分別在線段，上運動(不含端點)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點運動到每一個確定的位置，的周長有最小值，隨著點的運動，的值會發(fā)生變化，求所有值中的最大值．【答案】(1)詳見解析；(2)是，；(3)【分析】(1)根據(jù)等弧對等角的性質(zhì)證明即可；(2)延長DA到E,讓AE=DB,證明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面積；(3)作點D關(guān)于直線BC、AC的對稱點D1、D2，當(dāng)D1、M、N、D共線時△DMN取最小值，可得t=D1D2，有對稱性推出在等腰△D1CD2中,t=，D與O、C共線時t取最大值即可算出．【詳解】(1)∵△ABC為等邊三角形,BC=AC，∴,都為圓，∴∠AOC=∠BOC=120°，∴∠ADC=∠BDC=60°，∴DC是∠ADB的角平分線．(2)是．如圖，延長DA至點E，使得AE=DB．連接EC，則∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，∴△EAC≌△DBC(SAS)，∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，故△EDC是等邊三角形，∵DC=x，∴根據(jù)等邊三角形的特殊性可知DC邊上的高為∴．(3)依次作點D關(guān)于直線BC、AC的對稱點D1、D2,根據(jù)對稱性C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．∴D1、M、N、D共線時△DMN取最小值t,此時t=D1D2,由對稱有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，則在Rt△D1CH中，根據(jù)30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，同理D2H=∴t=D1D2=．∴x取最大值時,t取最大值．即D與O、C共線時t取最大值,x=4．所有t值中的最大值為．【點睛】本題考查圓與正多邊形的綜合以及動點問題，關(guān)鍵在于結(jié)合題意作出合理的輔助線轉(zhuǎn)移已知量．3．(本小題滿分12分)如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點M、N分別從點B、C開始，以相同的速度在⊙O上逆時針運動．(1)求圖①中∠APN的度數(shù)(寫出解題過程)；(2)寫出圖②中∠APN的度數(shù)和圖③中∠APN的度數(shù)(3)試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系(直接寫答案)【答案】(1)60°；(2)∠APN的度數(shù)為108°；(3)∠APN的度數(shù)為(n-2)*180/n°【解析】試題分析：試題解析：(1)∠APN=60°.因為∠APN=∠ABP+∠BAP有因為點M、N以相同的速度中⊙O上逆時針運動．所以弧AN=弧CM∠ABN=∠MAC所以∠APN=∠BAP+∠MAC即∠APN=∠BAC=60°(2)按(1)的思路可得：圖2中，∠APN的度數(shù)為90°；圖3中，∠APN的度數(shù)為108°．(3)則∠APN的度數(shù)=所在多邊形的內(nèi)角度數(shù)=(