四川省綿陽市高中2024屆高三第三次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

綿陽市高中2024屆第三次診斷性考試

數(shù)學(xué)(理科)

本試卷共6頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=2—i,則以|=()

A.75B.4C.5D.25

2.已知集合4={尤6可％2<16},3={%|%-2?0},則AB=()

A.{2,3}B.{0,1,2}C.{x|2<%<4}D.[x\2<x<4}

3.下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()

正視圖側(cè)視圖

4.已知等比數(shù)列{%}的前幾項(xiàng)和為,滿足％=1,$4=3邑+1,則%=(

5.若函數(shù)/(x)=cos(7ix+0)的圖象關(guān)于直線x=5對稱，下列選項(xiàng)中,)不是/(%)的零點(diǎn)

1

A.-1B.——C.0D.2

2

6.已知函數(shù)，（x）=個(gè)7，存在不使得/（/）＜0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

x—〃九,x〉0

A.B.（-oo,0）C.[0,+a?）D.（0,+oo）

7.將甲、乙、丙、丁4人分配到3個(gè)不同的工作崗位，每人只去一個(gè)崗位，每個(gè)崗位都要有人去，則甲、乙二

人分別去了不同崗位的概率是（）

1125

A.—B."C.-D.一

3236

8.國家統(tǒng)計(jì)單位統(tǒng)計(jì)了2023年全國太陽能月度發(fā)電量當(dāng)期值（單位：億千瓦時(shí)），并與上一年同期相比

較，得到同比增長率（注：同比增長率=今年月發(fā)電量-去年同期月發(fā)電量）+去年同期月發(fā)電量

xlOO%）,如統(tǒng)計(jì)圖，下列說法不正確的是（）

A.2023年第一季度的發(fā)電量平均值約為204

B.2023年至少有一個(gè)月的發(fā)電量低于上一年同期發(fā)電量

C.2022年11月發(fā)電量也高于該年12月發(fā)電量

D.2023年下半年發(fā)電量的中位數(shù)為245.2

9.在半徑為廠的。中，弦A5的長度為。，則的值為（）

2

nrz7

A.—B.—C.arD.與/C4B有關(guān)

22

10.在梯形A3CD中，AB//CD,AB±BD,M|AB|=|BD|=4,|BC|=275,沿對角線的將三角形

曲折起，所得四面體A-BCD外接球的表面積為32兀，則異面直線A3與CD所成角為（）

A.30B.45C.60D.90

11.已知函數(shù)/(x)=e*-。一，+g%3

一"既有極大值，也有極小值，則下列關(guān)系式中一定成立的是

()

A.b>2aB.b<2a

C.b—2aD.b2>4a2

12.如圖，過點(diǎn)/(—1,0)的直線交拋物線。：：/=2%于4,3兩點(diǎn)，點(diǎn)A在之間，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)

于原點(diǎn)對稱，延長8N交拋物線。于E，記直線AN的斜率為勺，直線ME的斜率為左2,當(dāng)匕=342

C.￡D.2

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在(2-的展開式中，的系數(shù)為.

22

YVm

14.已知雙曲線乙=1(機(jī)〉0,〃〉0),若一=2,則該雙曲線的離心率為.

mnn

15.底面半徑為4圓錐被平行于底面的平面所截，截去一個(gè)底面半徑為1,母線長為3的圓錐，則所得圓

臺的側(cè)面積為1

16.在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn),BD=4CD,若AC?=,且

AD2=V5-b則應(yīng)＞=.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某工廠工程師對生產(chǎn)某種產(chǎn)品的機(jī)器進(jìn)行管理，選擇其中一臺機(jī)器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試.該機(jī)器在調(diào)試前后，

分別在其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制作了如下列聯(lián)表：

產(chǎn)品合格品淘汰品

調(diào)試前2416

調(diào)試后4812

（1）根據(jù)列聯(lián)表分析，是否有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試改變產(chǎn)品質(zhì)量？

（2）如果將合格品頻率作為產(chǎn)品的合格概率.工程師從調(diào)試后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，依次隨機(jī)抽取6件產(chǎn)品

進(jìn)行檢驗(yàn)，求抽出的6件產(chǎn)品中不超過1件淘汰品的概率P.（參考數(shù)據(jù)：

0.85=0.32768,0.86=0.262144）

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P〈K』o)0.05000100.001

3.841663510.828

18.己知首項(xiàng)為1等差數(shù)列｛4｝滿足：4，。2，%+1成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列也｝滿足：他+。2如++。出=3"—1,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和卻

3

19.如圖，已知三棱柱ABC-A4G的體積為|■，點(diǎn)C在平面A5用4內(nèi)的射影落在棱8月上，且

ABIB^C.

（1）求證：A31平面5?！昶?；

(2)若四邊形AB4A的面積為3,44與CQ的距離為血，AQ=3幣,求平面與平面人呂用4

所成銳二面角的余弦值.

20.已知橢圓(？：*+/■=1(?！?〉6〉0)的離心率為手，過點(diǎn)"(1,0)的直線/交橢圓C于點(diǎn)A,3,

且當(dāng)/J_x軸時(shí)，|Aa=g.

(1)求橢圓。的方程；

(2)記橢圓C的左焦點(diǎn)為尸，若過”三點(diǎn)的圓的圓心恰好在y軸上，求直線A3的方程.

21.設(shè)函數(shù)/(%)=了+以(lux—ln〃)——-ax.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線/(九)在點(diǎn)(e,7(e))處的切線方程；

fl-1

(2)證明：存在％)e(0,+“)，使得當(dāng)l<a<2時(shí)，/(x0)<--(2+lna)e.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題做答.如果多做，則按所做的第一題

記分.

【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

x=cosa+6sina

22.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，曲線G的參數(shù)方程為《廠(a為參數(shù))，

y=2+sina-J3cosa

(i)求曲線G與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以無軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為

psin［，+=2,G與J交于A,B兩點(diǎn),求ZAOB的大小.

［選修4-5：不等式選講］

33

23.已知a>6>0,Ha+b=—+-,函數(shù)/(x)=忖一4+|%-4的最小值為2.

(1)求a,b的值；

(2)求43-G+癡的最大值.

參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.己知復(fù)數(shù)z=2—i,則上|=()

A.舊B.4C.5D.25

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及模的運(yùn)算公式即可求解.

［詳解］因?yàn)閺?fù)數(shù)z=2—i，則=|3-4i|=^32+(-4)2=5.

故選：C

2.已知集合4={左右可<16},3={削尤-2<0},則AB=()

A.{2,3}B.{0,1,2}C.1x|2<<41D,{x|2<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】先解一元二次不等式求出集合4再根據(jù)交集的定義計(jì)算即可求解.

【詳解】由――16<0得T<x<4,則4={尤6可爐<16}={0,1,2,3},

又5={x|x-2W0}={x|xW2},所以AB={0,1,2}.

故選：B

3.下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.16B.24C.40D.48

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖可知該幾何體是四棱錐，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接求解.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知該幾何體是如圖所示的一個(gè)四棱錐P-A5CD,

且上4，面ABCD，底面ABCD為正方形，

所以七—488=!義4x4x3=16.

故選：A.

4.已知等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為5“，滿足％=1,S4=3S3+1,則/=()

11

A.-B.-C.9D.27

84

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)已知條件并結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求得公比夕，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】由％=1,$4=3$3+1,得1+4+/+/=3(l+q+/)+l,

即4(1+4+/)=3(1+4+/),由1+q+q2Ho得4=3,所以。3=%x/=3?=9.

故選：C

3

5.若函數(shù)/(x)=cos(研+0)的圖象關(guān)于直線x=5對稱，下列選項(xiàng)中，()不是了(%)的零點(diǎn)

1

A.-1B.——C.0D.2

2

【答案】B

【解析】

3兀

【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性(p=-—+kn(k^t),然后利用余弦函數(shù)的零點(diǎn)得

x=2+m-k(m,keZ),逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解.

3

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)"x)=COS(m+0)的圖象關(guān)于直線x=5對稱，

3JE37r

所以晝+0=左兀(左wZ),得0=---+kn[keZ),

37r?Ttx-^-+kn)

所以/(x)=cosTix--+kjt\(keZ),令/(%)=0得=^-+mji(mGZ,

所以x=2+m一左(加，左cZ),

對于A,當(dāng)一1二2+加一左時(shí)，加一左二一36Z,所以-1是/(X)的零點(diǎn)；

對于B,當(dāng)—g=2+m—左時(shí)，m-k=-^Z,所以―；不是/(x)的零點(diǎn)；

對于C,當(dāng)0二2+加一左時(shí)，m-k=-2^Zj,所以0是/(%)的零點(diǎn)；

對于D,當(dāng)2=2+加一左時(shí)，m-k=aeZ,所以2是/(%)的零點(diǎn).

故選：B

6.已知函數(shù)/(%)={7，存在/使得/(%)<0,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(

x—ax,尤>0

A.B.(-a?,0)C.[0,+oo)D.(0,+co)

【答案】D

【解析】

【分析】分?<0和a>0兩種情況討論即可得到答案.

【詳解】-ax=x{^-a^,

當(dāng)好0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，x(x2-a)>0,

加)如圖：

治)如圖：

y

<9K-[ax

當(dāng)O<%o<6時(shí)，/（/）<（）.

故選：D.

7.將甲、乙、丙、丁4人分配到3個(gè)不同的工作崗位，每人只去一個(gè)崗位，每個(gè)崗位都要有人去，則甲、乙二

人分別去了不同崗位的概率是（）

1125

A.-B.-C.-D.一

3236

【答案】D

【解析】

【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人分到三個(gè)不同的工作崗位，每個(gè)崗位至少分到一人共有的選擇數(shù)，再

求出甲、乙兩人被分到同一個(gè)工作崗位的選擇數(shù)，再利用古典概型求概率公式及對立事件求概率公式進(jìn)行

求解即可.

【詳解】甲、乙、丙、丁四人分到三個(gè)不同的工作崗位，每個(gè)崗位至少分到一人，

則必有2人分配到同一個(gè)工作崗位，先從4人中選出2人，有C：=6種選擇，

再進(jìn)行全排列，有A；=6種選擇，故總的方法有CjA；=36種，

其中甲、乙兩人被分到同一個(gè)工作崗位的情況：從3個(gè)崗位中選出一個(gè)分配給甲乙，

再將剩余的丙丁和剩余的兩個(gè)崗位進(jìn)行全排列，有C；A：=6種選擇，

所以甲、乙二人分配到同一個(gè)工作崗位的概率為色=,，

366

故甲、乙二人分別去了不同工作崗位的概率為=

66

故選：D

8.國家統(tǒng)計(jì)單位統(tǒng)計(jì)了2023年全國太陽能月度發(fā)電量當(dāng)期值（單位：億千瓦時(shí)），并與上一年同期相比

較，得到同比增長率（注：同比增長率=今年月發(fā)電量-去年同期月發(fā)電量）+去年同期月發(fā)電量

xlOO%）,如統(tǒng)計(jì)圖，下列說法不正確的是（）

TH■■盒

M9%

riUiiiirli

A.2023年第一季度的發(fā)電量平均值約為204

B.2023年至少有一個(gè)月的發(fā)電量低于上一年同期發(fā)電量

C.2022年11月發(fā)電量也高于該年12月發(fā)電量

D.2023年下半年發(fā)電量的中位數(shù)為245.2

【答案】C

【解析】

【分析】選項(xiàng)A：由平均數(shù)公式求解；選項(xiàng)B：由條形圖及同比增長率的含義判斷；選項(xiàng)C：由條形圖及

同比增長率的含義判斷；選項(xiàng)D：利用中位數(shù)的定義判斷.

【詳解】選項(xiàng)A：由圖中數(shù)據(jù)可知，2023年第一季度的發(fā)電量平均值約為

369.6+242.9612.3

?204,正確;

33

選項(xiàng)B：由圖中數(shù)據(jù)可知，2023年4月的同比增長率為負(fù)數(shù),

故該月發(fā)電量低于上一年同期發(fā)電量，正確;

選項(xiàng)C：根據(jù)同比增長率公式可知，2022年H月發(fā)電量為234』口U3.2,

1+0.354

2022年12月發(fā)電量為210,5?187.9，而187.9>173.2,

1+0.172

則2022年11月發(fā)電量低于該年12月發(fā)電量，錯誤;

選項(xiàng)D：2023年下半年發(fā)電量按從小到大的順序排列如下，210.5,234.6,244.3,246.1,258.9,269.2,

244.3+246.1…

所以中位數(shù)為-------------------=245.2,正確.

2

故選：C

9.在半徑為廠的。中，弦AB的長度為。，則的值為（）

2

B.-C.arD.與NC4B有關(guān)

2

【答案】B

【解析】

【分析】取線段AB的中點(diǎn)。，得利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合解直角三角形，求得

ABAO-

【詳解】

取線段A8的中點(diǎn)￡>,得8,至，所以kqcosA=k4=gkq.

所以A3?A。=|A31A。-cosA=1-A5|2=y.

故選：B

10.在梯形ABCD中，AB//CD,AB±BD,S.\AB\=\BD\=4,\BC\=2y/5,沿對角線3D將三角形

ABD折起，所得四面體A—BCD外接球的表面積為32兀，則異面直線A3與CD所成角為（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)折疊前后的幾何性質(zhì)，將三棱錐A-BCD補(bǔ)成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.

【詳解】如下圖，將梯形A3CD補(bǔ)成長方形折后得到直三棱柱ABE-EDC,

因?yàn)閨AB|=忸。|=4,|BC|=275,所以忸同=|DC|=2,

異面直線A3與CD所成角即為A5與破所成角，即NABE或其補(bǔ)角，

又該三棱柱的外接球即為三棱錐A-BCD的外接球，設(shè)外接球半徑為R,則4兀尺2=32兀,

所以氏2=8，設(shè)ABE外接圓半徑為r,圓心為△EDC外接圓圓心為。2,

則三棱柱的外接球的球心為a2的中點(diǎn)。，連接AO,則|49|=尺[49]|=廠，

=4,BP|AE|=4sinZABE,

所以r=Mal=JR2To?「=2,又2r=

sinZABE

又，ABE中，|AE「=|AB「+忸?忸E|cosNABE,

即16sin2ZABE=16+4-2x4x2cosNABE，

1

化簡得(2cosNABE—1)9=0,即cos/ABEug,所以NABE=60,

11.已知函數(shù)/(x)=ae"1-e—￡+g_?-法既有極大值，也有極小值，則下列關(guān)系式中一定成立的是

A.b>2aB.b<2a

C.b-2aD.b2>4〃

【答案】D

【解析】

【分析】問題可化為/''(x)=0有兩個(gè)不同的根的問題，參變分離，數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】由題意得/"("=。3+0+二)—人，

：了(%)既有極大值，也有極小值，

/'(￡)=。有兩個(gè)不同的根，

即a(e*+eT+尤2)—匕=0有兩個(gè)不同的根，

b

顯然故寸+6-*+/9=—有兩個(gè)不同的根，

a

令g(x)=eA'+ex+x2,則g(x)與y=一圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

因?yàn)間'(x)=e*—e-*+2x在R上單調(diào)遞增,且g，(0)=0,

所以當(dāng)x<0時(shí)，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(%)min=g(°)=2；

bb-

所以一〉2,即勺〉4,即廿>4",

aa

故選：D.

12.如圖，過點(diǎn)”(—1,0)的直線交拋物線C：V=2x于A3兩點(diǎn)，點(diǎn)A在"、8之間，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)

于原點(diǎn)對稱，延長BN交拋物線。于E，記直線AN的斜率為女一直線ME的斜率為左2，當(dāng)匕=342

A.1B.72C.73D.2

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)出直線A3、BE的方程，聯(lián)立曲線，借助韋達(dá)定理得到力與力的關(guān)系，從而表示出斜率，再

結(jié)合條件與面積公式計(jì)算出面積.

【詳解】由題意可得直線A3斜率不為零，

設(shè)3：工=山7一1,，BE：X="y+l,4(%,X)、鞏%，%)、E(%3，%)，

y=2x

聯(lián)立〈，得y2-2/〃y+2=0,A=4m2-8>0>即7/22，

x=my-l

%+%=2m，％%=2,

_2X

聯(lián)立《，得y2-2ny-2=0,A=4n2+8>0，

x=ny+l

%+%=2"，乂%=-2，

則為=一％，則退=西，故匕=』■：，左2=』7=-\，

X；-1x3+1Xj+1

y,--y,1%,+1,3

有—=3x—，、，解得x=—,則y；9=2±=l,機(jī)=」一=+-,

%1-1%1+12%2

故IAB[=1m2+%『-4乂％=XV9-8=，

11+114A/13

點(diǎn)N到直線AB的距離d=——L=,

Vm2+113

痂c，|4Ri14713岳]

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助韋達(dá)定理，得到力與力的關(guān)系，從而得出斜率，結(jié)合條件計(jì)

算出面積.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在（2-的展開式中，/的系數(shù)為.

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出通項(xiàng)公式，令r=4即可求必的系數(shù).

【詳解】（2—&/展開式的第廠+1項(xiàng)為j=J,

令廠=4,貝=C：x2%2=10d.

故答案為：10

Y2v2m

14.已知雙曲線E：——乙=1(加〉0,九〉0),若一=2,則該雙曲線的離心率為

mnn

【答案】

22

【解析】

分析】利用雙曲線離心率1+生即可計(jì)算得到答案.

【詳解】

故答案為：4

15.底面半徑為4的圓錐被平行于底面的平面所截，截去一個(gè)底面半徑為1,母線長為3的圓錐，則所得圓

臺的側(cè)面積為.

【答案】4571

【解析】

【分析】根據(jù)相似可得母線，進(jìn)而利用圓錐的側(cè)面積公式即可求解.

13

【詳解】如圖，設(shè)原圓錐母線為/,則一=—,貝1”=12,

4I

所以圓臺的側(cè)面積為：71x(1+4)x(12-3)=4571.

故答案為：45兀

16.在」WC中，。是邊上一點(diǎn)，BD=4CD,若AC?=BCCD,NBAD=2/DAC,且

AD2=75-1)則應(yīng)＞=.

【答案】2

【解析】

【分析】設(shè)CD=x,根據(jù)題意及相似三角形性質(zhì)得.4=6,ZC=TI-46?,利用正弦定

理求得些=上吧及竺=2呼，利用長度關(guān)系得4sin2e=sin2，-sin49,利用二倍角公式及同角

BDsm20CDsin6?

三角函數(shù)關(guān)系化簡得4cos4?！?cos2。—1=0,求出COS26=S5,代入=求解即可.

4

【詳解】設(shè)CD=x,ZDAC=6,則5￡>=4x,/BAD=28,

1，s,ACBC

因?yàn)锳C?=CD，所以二；一=~~z

CDAC

又NACD=NBCA,所以ACQsv3c4,

所以NB=NC4D=6,則NC=7i—48,

,,,?ADBD,ADsin。

在△A3。中，由正弦定理mz得----=------,則n——=------

sin0sin20BDsin20

ADCD,ADsin49

在A⑺中'由正弦定理得‘in(兀一4曠宿，則n——=------

CDsin0

立八八sin48sin<9BD4sin<9二…

又BD=4CD,所以一^r=-所以4sii？99=sin2e-sin46,

sin0sin26CDsin26

所以2(1—cos26)=sin220-2cos23=2(1-cos228)cos20,所以2cos28.(2cos26-1)=1,

即4cos4。一2cos2。-1=0,則cos?°=2?非=1十"(負(fù)根舍去),

84

所以=2A。cos6,所以=4?A￡>2.cos2=4x(75-1)x^5=4，

sm，1/4

所以BD=2.

故答案為：2

弦定理，結(jié)合班＞=4CD找到角的關(guān)系，另外本題還要注意運(yùn)算技巧.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某工廠工程師對生產(chǎn)某種產(chǎn)品的機(jī)器進(jìn)行管理，選擇其中一臺機(jī)器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試.該機(jī)器在調(diào)試前后，

分別在其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制作了如下列聯(lián)表：

產(chǎn)品合格品淘汰品

調(diào)試前2416

調(diào)試后4812

（1）根據(jù)列聯(lián)表分析，是否有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試改變產(chǎn)品質(zhì)量？

（2）如果將合格品頻率作為產(chǎn)品的合格概率.工程師從調(diào)試后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，依次隨機(jī)抽取6件產(chǎn)品

進(jìn)行檢驗(yàn)，求抽出的6件產(chǎn)品中不超過1件淘汰品的概率。,（參考數(shù)據(jù)：

0.85=0.32768,0.86=0.262144）

n{ad—bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

pgM0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

【答案】（1）有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試改變產(chǎn)品質(zhì)量

（2）0.65536

【解析】

【分析】（1）先利用所給數(shù)據(jù)表完善2x2列聯(lián)表，再利用K2公式求出K2,利用臨界值表進(jìn)行判定;

（2）先求出淘汰品概率0.2,再由二項(xiàng)分布概率公式結(jié)合互斥事件加法公式求解概率即可.

【小問1詳解】

補(bǔ)全2x2列聯(lián)表如圖所示：

合格淘汰總

產(chǎn)品

品品計(jì)

調(diào)試

241640

前

調(diào)試

481260

后

總計(jì)7228100

K」0°X(24X12-48X16、4.762〉3.841,

40x60x72x28

故有95%的把握認(rèn)為參數(shù)調(diào)試改變產(chǎn)品質(zhì)量；

【小問2詳解】

由題意，設(shè)備更新后的合格概率為0.8,淘汰品概率為0.2,

可以認(rèn)為從生產(chǎn)線中抽出的6件產(chǎn)品是否合格是相互獨(dú)立的，

設(shè)X表示這件產(chǎn)品中淘汰品的件數(shù)，則X?3(6,0.2),

51

所以夕=p(XW1)=C,X0.86X02。+C^XO.8X0.2

=O.85x(0.8+1.2)=0.65536.

18.已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列｛4｝滿足：4,外,。3+1成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列也｝滿足：。也,+。2%++6A=3"—1,求數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和卻

【答案】(1)a“=n

l

(2)Tn=2-y-

【解析】

【分析】(1)由已知列式求得公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；

n+1

(2)令。也+。2么一1++?！?=3"—1,得D”+i=a1b+a2b"++??+1^=3—1,兩式相減得

n

Tn+l=2-3,又?=%瓦=2=h=2,即得＜=2-3"T

【小問1詳解】

設(shè)｛4｝公差為%又％,%，%+1成等比數(shù)列，

所以a；=qI/+i)n(q+△)-=q(q+2d+l)，又q=i，所以d=l或d=-l,

而d=—1時(shí)，不滿足4，。2，。3+1成等比數(shù)列，所以d=l

所以=l+(ra-l)xl=?

【小問2詳解】

令Dn=他+a立I++=3"-1,

,,+1

所以2+1=?A+i+a2bn++?！?占=3-1,

n

兩式相減有：DM-D,=a1b,什1+(b“+b“_i+/?1)=2-3,

所以數(shù)列也｝的前〃+1項(xiàng)和為23,即Tn+l=23,

,,1

又D[=ah=2nb[=2,所以々+d++bn=2-3-,

所以7；=2-3自

19.如圖，已知三棱柱ABC-A4cl的體積為:，點(diǎn)。在平面43用A內(nèi)的射影落在棱8片上，且

ABIB^C.

(1)求證：1平面3CGB1；

(2)若四邊形AB4A的面積為3,44與CG的距離為④，AC、=3出,求平面ABC與平面

所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵巫

7

【解析】

【分析】(1)作交8月于。，由線面垂直性質(zhì)可得回，CO,再利用線面垂直判定定理即可證明;

(2)作。A4于。，連接CD,證明A4，平面COD,進(jìn)而得Ad，CD,結(jié)合題目條件求出

0cA4的長度，并建立空間坐標(biāo)系，由向量夾角公式求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)C在平面ABB.A,內(nèi)的射影落在棱BB」,作CO13與交8用于。，

則CO±平面A344,ABu平面ABB}A,，則ABLCO,

又AB，BCB[CcCO=C,BXC,COu平面片，故AB1平面BCCXB1.

【小問2詳解】

由（1）知A3/平面BCG與，5與u平面5。。內(nèi)，則

故四邊形A34A為矩形，作。。，.于。，貝UOD//AB,

連接CD,由（1）易知C。，^，。。^^。^^。，。。，。。匚平面。。。，

故A4,J_平面COD,CDu平面C。。，故

又A4與CC1的距離為3,則CD=&,

設(shè)A3=a,AA]=6,易知。/?=3①，CO=^CDr-ODr=^2-cT-

~CO-ODa/2-a~

C0D-—2-―2，

又三棱柱ABC-451G的體積為之>故SrnnxAA.=~~-——x/?=3②,

2-COD**22

由①②可得a=1力=3,此時(shí)CO=1,

在平行四邊形MQC中，作CXFJ_AA交A4的延長線于F,

因?yàn)镃D_LAA1,所以CD//。/,故CDFC]為矩形，CD=GF,CC[=DF,

設(shè)AD=m,則AP=3+M,4CI=JAR2+GR2=小(3+4+2=36,

則AD=m=2,以。為原點(diǎn)，OB,OD,OC為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

C(0,0,1),5(2,0,0),4(-1,1,0),CB=(2,0,-1),04,=(-1,1,-1),

/、m-CB=0f2x-z=0

設(shè)加=(%,y,z)為平面ABC的法向量，貝ij，即

m-C\=0〔一x+y-z=0

令X=1,則加=(1,3,2),易知平面ABB^的一個(gè)法向量為OC=(0,0,1),

設(shè)平面ABC與平面ABB14所成銳二面角為acos6=cos(m,Oc\=三=

''V147

且當(dāng)/Lx軸時(shí)，|A3|=g.

(1)求橢圓C的方程；

(2)記橢圓C的左焦點(diǎn)為尸，若過”三點(diǎn)的圓的圓心恰好在〉軸上，求直線A3的方程.

【答案】(1)—+/=1

4-

(2)x±V5y-l=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)離心率和弦長列式求出即可得結(jié)果；

(2)設(shè)過RA3三點(diǎn)的圓的圓心為Q(o,〃)，4(%,%),5(々,%)，根據(jù)|QA「=|Qb「可以得到:

3^+2^-1=0,根據(jù)|Q葉=|QF「可以得到：3乂+2佻-1=0,構(gòu)造方程得％%=―，

設(shè)出直線A3的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理列式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

由題意得：e?=二=1—[=(孝],得a=2l>,

【小問2詳解】

設(shè)過RA,8三點(diǎn)的圓的圓心為。(0,"),A(xx,yx),B(x2,y2),又網(wǎng)—6,0),

貝1J|QA-=|。葉，即(西―op+(%—〃『=(0+6『+(〃—0)二

22

又4(尤1，%)在橢圓?+>2=1上，故?+才=1,代入上式化簡得到：3犬+2叫—1=0,①

同理，根據(jù)|Q3「=|Q阡可以得到：3城+2伙-1=0,②

由①②可得：%,乃是方程3/+2〃丁一1=0的兩個(gè)根，貝1J%%=—；，設(shè)直線A3：x^ty+1,聯(lián)立方

X22_

程：Z+J=，整理得：，2+4)/+2沙—3=0,故%%=三7=—；，解得產(chǎn)=5,所以

x=ty+l

t=t5所以直線AB的方程為：x±45y-l=Q.

|x2+ax(inx-lna)-：/-

21設(shè)函數(shù)/(%)=ax

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線在點(diǎn)(e,〃e))處的切線方程；

fl-1

(2)證明：存在/e(0,+”)，使得當(dāng)1<°<2時(shí)，/(x0)<--(2+lna)e.

8

3

【答案】(1)(e+l)x—y——e2—e=0

(2)證明見解析

【解析】

【分析】（1）求導(dǎo)得斜率，再利用點(diǎn)斜式求直線并化簡即可;

S02

（2）利用導(dǎo)數(shù)求得〃尤）的最小值〃。）=—―",從而把所證式子轉(zhuǎn)化為證：W-lna-2〉0,

■e

1<?<2,構(gòu)造函數(shù)8（月=言-111%-2,（1<工<2）,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理并多次求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)g（x）的單調(diào)性即可求解最值，即可證明.

【小問1詳解】

1

當(dāng)0=1時(shí)，/(%)=■2-x,

24

所以/'(x)=(x+l)lnx,Jil!|/(e)=；e2,/<e)=e+l,

則曲線在點(diǎn)(e,/(e))處的切線方程為y-：e2=(e+l)(x_e),

3

因此(e+l)x—y_ze2_e=0.

【小問2詳解】

因?yàn)?'(%)=(x+G(liix—Ina),l<a<2,由/''(x)>0得到x>a,由/'(x)<。得到0cxea,

所以/(x)在(0,上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增，所以/(%)的最小值為/(〃)=—[",

要證：/(%)<—(2+lna)e"1,即證：—/<—(2+lna)e"1,

848

22

只需證：一^一lna-2>0,l<a<2.

>?/\2%2/\?/\4x—2%214%2—2%3—

^g(x)=--lnx-2,(l<x<2),則nlg(x)=------=-------------,

eexxe

、幾7/\4x2-2x3n.iifi\2X3-10X2+8X2X(X-1)(X-