2022年北京中考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2022年北京師大附屬實驗中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（四）

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）

1.（3分）如圖是圓規(guī)示意圖，張開的兩腳所形成的角大約是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

2.（3分）若后I在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

A.B.xWlC.x<lD.xWl

3.（3分）實數(shù)〃、尻c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，若同=|臼，則下列結(jié)論中錯誤

的是（）

-----11-------?

a------bc

A.a+b>0B.a+c>0C.b+c>0D.ac<0

4.（3分）若正多邊形的內(nèi)角和是540。，則該正多邊形的一個外角為（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

5.（3分）反比例函數(shù)y=K（左為正整數(shù)）在第一象限的圖象如圖所示，已知圖中點A的

x

坐標(biāo)為（2,1）,則攵的值是（）

x

A.1B.2C.3D.4

22

6.（3分）如果屋-必-i=o,那么代數(shù)式-1—?Q+b-2ab）的值是（）

a-ba

A.-1B.1C.-3D.3

7.（3分）某餐廳規(guī)定等位時間達(dá)到30分鐘（包括30分鐘）可享受優(yōu)惠.現(xiàn)統(tǒng)計了某時段

顧客的等位時間，（分鐘），如圖是根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖.下列說法正確的是（）

A.此時段有1桌顧客等位時間是40分鐘

B.此時段平均等位時間小于20分鐘

C.此時段等位時間的中位數(shù)可能是27

D.此時段有6桌顧客可享受優(yōu)惠

8.（3分）如圖，一架梯子A8靠墻而立，梯子頂端8到地面的距離2C為2加，梯子中點處

有一個標(biāo)記，在梯子頂端B豎直下滑的過程中，該標(biāo)記到地面的距離y與頂端下滑的距

A.正比例函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系

C.二次函數(shù)關(guān)系D.反比例函數(shù)關(guān)系

二、填空題（本題共24分，每小題3分）

10.（3分）如圖是玉淵潭公園部分景點的分布示意圖，在圖中，分別以正東、正北方向為X

軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)表示西橋的點的坐標(biāo)為（-6,1）,表示中堤

橋的點的坐標(biāo)為（1,2）時，表示留春園的點的坐標(biāo)為.

西華4

M

?中提橋

留存同

11.（3分）用一組42的值說明命題“若。＞6,則42＞廬”是錯誤的，這組值可以是〃=,

b=.

12.（3分）初三（8）班體委用劃記法統(tǒng)計本班40名同學(xué)投擲實心球的成績，結(jié)果如表所

成績（分）

則這40名同學(xué)投擲實心球的成績的眾數(shù)是,中位數(shù)是.

13.（3分）如圖,AB是。0的直徑,C.D為。）0上的點，若/C4B=20°,則/￡）=

14.（3分）如圖，在矩形ABCQ中，E是邊CQ的延長線上一點，連接BE交邊AO于點F,

若A8=4,BC=6,OE=2,則AF的長為.

E

B

15.（3分）2019年2月，全球首個5G火車站在上海虹橋火車站啟動，虹橋火車站中5G網(wǎng)

絡(luò)峰值速率為4G網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸8千兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡(luò)快720

秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率，設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x千兆，依題意，可列

方程為.

16.（3分）小宇計劃在某外賣網(wǎng)站點如下表所示的菜品，已知每份訂單的配送費為3元，

商家為了促銷，對每份訂單的總價（不含配送費）提供滿減優(yōu)惠：滿30元減12元，滿

60元減30元，滿100元減45元，如果小宇在購買下表中所有菜品時，采取適當(dāng)?shù)南掠?/p>

單方式，那么他點餐總費用最低可為元.

菜品單價（含包裝費）數(shù)量

水煮牛肉（?。?0元1

醋溜土豆絲（?。?2元1

豉汁排骨（?。?0元1

手撕包菜（?。?2元1

米飯3元2

三、解答題（本題共52分，第17,18,19題，每題5分，第20-24題，每小題5分，第

25題最多8分）

17.（5分）計算：（―^-）1+VT2+|V3-1|-2tan600,

18.（5分）解分式方程：工￡_1」一

x-22-x

19.（5分）先化簡再求值：（“-1）2-2“（a-1）,其中a=-V3.

20.（5分）關(guān)于x的一元二次方程7-，〃x+2〃?-4=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程有一個根小于1,求m的取值范圍.

21.（6分）如圖1,△ABC中，力為AC邊上一動點（不含端點），過點。作￡>E〃AB交8c

于點E,過點E作E/〃AC交AB于點F,連接AE,QF.點O運動過程中，始終有AE

=DF.

（1）求證：ZBAC=90°；

（2）如圖2,若AC=3,tanB=3,當(dāng)AF=A。時，求A。的長.

4

AA

D

圖1圖2

22.(6分)在平面直角坐標(biāo)系M萬中，直線y=-x與雙曲線丫=上(ZW0)的一個交點為

X

P(V6,IT).

(1)求k的值；

(2)將直線)，=-x向上平移b(6>0)個單位長度后，與x軸，y軸分別交于點A,點

B,與雙曲線)=區(qū)(/#0)的一個交點記為Q.若8Q=2AB,求b的值.

x

23.(6分)如圖，AB,4。是。。的弦，A。平分NBA。.過點8作。。的切線交A。的延

長線于點C,連接CD,80.延長B。交于點E,交A。于點凡連接4E,DE.

(1)求證：8是00的切線；

(2)若AE=OE=3,求AF的長.

24.(6分)在平面直角坐標(biāo)系X?！抵?，拋物線)，=/-2?1葉川與y軸的交點為4過點A

作直線/垂直于y軸.

(1)求拋物線的對稱軸(用含，"的式子表示)；

(2)將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G.點M

(xi,yi),N(X2,”)為圖形G上任意兩點.

①當(dāng)〃?=0時，若xi<x2,判斷yi與"的大小關(guān)系，并說明理由；

②若對于xi=n?-2,xi—m+2,都有yi>",求〃?的取值范圍.

25.(8分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OC的半徑為r,P是與圓心C不重合的點，點P

關(guān)于0C的限距點的定義如下：若P為直線PC與0c的一個交點，滿足rWPP'W2r,

則稱P'為點P關(guān)于OC的限距點，如圖為點P及其關(guān)于OC的限距點尸'的示意圖.

(1)當(dāng)。。的半徑為1時.

①分別判斷點M(3,4),N(§,0),T(1,A/2)關(guān)于。。的限距點是否存在？若存

2

在，求其坐標(biāo)；

②點。的坐標(biāo)為(2,0),DE,QF分別切。。于點￡,點F,點尸在的邊上.若

點P關(guān)于。。的限距點P'存在，求點尸’的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(2)保持(1)中力，E,尸三點不變，點P在的邊上沿E-FfOfE的方向運

動，OC的圓心C的坐標(biāo)為(1,0),半徑為r,請從下面兩個問題中任選一個作答.

問題I問題2

若點P關(guān)于OC的限距點P存在，且P'若點P關(guān)于(DC的限距點P不存在，則r

隨點P的運動所形成的路徑長為nr,則r的的取值范圍為

最小值為.

2022年北京師大附屬實驗中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（四）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共24分，每小題3分）

1.（3分）如圖是圓規(guī)示意圖，張開的兩腳所形成的角大約是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【解答】解：通過測量張開的兩腳所形成的角大約是60°,

故選：B.

2.（3分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

A.QIB.xWlC.x<lD.xWl

【解答】解：由題意可知：x-120,

解得

故選：A.

3.（3分）實數(shù)從c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，若⑷=|例，則下列結(jié)論中錯誤

的是（）

A.a+b>QB.a+c>0C.6+c>0D.ac<0

【解答】解：?..|a|=|b|,

原點在a,6的中間，

如圖，

-a-0~b~

由圖可得：同<|c|,a+c>0,b+c<0,ac<0,a+b=0,

故選項A錯誤，

故選：A.

4.（3分）若正多邊形的內(nèi)角和是540°,則該正多邊形的一個外角為（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

【解答】解：：正多邊形的內(nèi)角和是540°,

.?.多邊形的邊數(shù)為540°4-180°+2=5,

:多邊形的外角和都是360°,

正多邊形的一個外角=360+5=72°.

故選：C.

5.（3分）反比例函數(shù)丫=區(qū)（4為正整數(shù)）在第一象限的圖象如圖所示，已知圖中點A的

X

坐標(biāo)為（2,1）,則攵的值是（）

x

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：假設(shè)點A(2,1)在反比例函數(shù)y=K為正整數(shù))第一象限的圖象上,

X

則1=—.

2

：.k=2,

但是點A在反比例函數(shù)y=K(%為正整數(shù))第一象限的圖象的上方，

X

:?k<2,

故選：A.

22

6.(3分)如果"2-i=o,那么代數(shù)式2q+b-2ab)的值是()

a-ba

A.-1B.1C.-3D.3

22

b2ab

【解答】解：_a_.(a-p-)

a-ba

22,i2ni

_--a---■--a--+--b---J--a-b-

a-ba

22

ar(a-b)

a-ba

—a(a-b)

=a-ah,

'Jc^-ab-1=0,

Aa2-ab=l,

，原式=1,

故選：B.

7.（3分）某餐廳規(guī)定等位時間達(dá)到30分鐘（包括30分鐘）可享受優(yōu)惠.現(xiàn)統(tǒng)計了某時段

顧客的等位時間/（分鐘），如圖是根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖.下列說法正確的是（）

A.此時段有1桌顧客等位時間是40分鐘

B.此時段平均等位時間小于20分鐘

C.此時段等位時間的中位數(shù)可能是27

D.此時段有6桌顧客可享受優(yōu)惠

【解答】解：A.由直方圖可知：有1桌顧客等位時間在35至40分鐘，不能說是40分

鐘，故4選項錯誤；

B.平均等位時間：

工=_1_（2X10+15+6X15+20+J2X20+25+9X^5+30+5x30+35+j*35+40）

35222222

?24.2>20,故8選項錯誤；

C.因為樣本容量是35,中位數(shù)落在20WxV25之間，故C選項錯誤；

D.30分鐘以上的人數(shù)為5+1=6,故。選項正確.

故選：D.

8.（3分）如圖，一架梯子AB靠墻而立，梯子頂端3到地面的距離8c為2機(jī)，梯子中點處

有一個標(biāo)記，在梯子頂端B豎直下滑的過程中，該標(biāo)記到地面的距離y與頂端下滑的距

離x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）

B.一次函數(shù)關(guān)系

C.二次函數(shù)關(guān)系D.反比例函數(shù)關(guān)系

【解答】解：如圖所示,

設(shè)梯子中點為0,下滑后為O',過。'作MLA'C,

：BC=2,BB'=x,

：.B'C=2-x,

'：0'為A'B'中點，O'MIA'C,

.MC=1-呆

.,.y=l-Ax，為一次函數(shù).

故選：B.

二、填空題（本題共24分，每小題3分）

9.（3分）如圖為某幾何體的展開圖，該幾何體的名稱是圓柱

【解答】解：?.?圓柱的展開圖為兩個圓和一個長方形,

.?.展開圖可得此幾何體為圓柱.

故答案為：圓柱.

10.（3分）如圖是玉淵潭公園部分景點的分布示意圖，在圖中，分別以正東、正北方向為x

軸、），軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)表示西橋的點的坐標(biāo)為（-6,1）,表示中堤

橋的點的坐標(biāo)為（1,2）時，表示留春園的點的坐標(biāo)為（9,-1）.

【解答】解：根據(jù)題意可建立如下所示平面直角坐標(biāo)系,

則表示留春園的點的坐標(biāo)為（9,-1）,

故答案為（9,-1）.

11.（3分）用一組心匕的值說明命題''若則/>廬”是錯誤的，這組值可以是。=

-1,b=-2.

【解答】解：當(dāng)”=-1,方=-2時，滿足但是次<必，

命題“若a>b,則/>y”是錯誤的.

故答案為：7、-2.（答案不唯一）

12.（3分）初三（8）班體委用劃記法統(tǒng)計本班40名同學(xué)投擲實心球的成績，結(jié)果如表所

示：

則這40名同學(xué)投擲實心球的成績的眾數(shù)是9分，中位數(shù)是8分.

【解答】解：投擲實心球的成績最多的是9分，共有14人，

所以，眾數(shù)是9分，

把這40名同學(xué)投擲實心球的成績從小到大排列，第20,21人的成績是8分，

所以中位數(shù)是8分.

故答案為：9分，8分.

13.（3分）如圖,48是0。的直徑，仁￡>為0。上的點，若/。5=20°，則/￡>=110°.

一

【解答】解：；48為O。直徑，

AZACB=90°,

VZCAB=20°,

AZB=90°-20°=70°,

在圓內(nèi)接四邊形A8CQ中，

/A￡>C=180°-70°=110°.

故答案是：110.

14.（3分）如圖，在矩形48C。中，E是邊CD的延長線上一點,連接BE交邊AD于點F,

若AB=4,BC=6,DE=2,則A尸的長為4.

E

【解答】解：???四邊形ABC。是矩形，

：.BC=AD=6,AB//CE,設(shè)AF=x,則。尸=6-x,

'JAB//DE,

：.△ABFsADEF,

?AB=AF

"DEDF"

???4--一---x-,

26-x

??X=4,

：.AF=4.

故答案為4

15.（3分）2019年2月，全球首個5G火車站在上海虹橋火車站啟動，虹橋火車站中5G網(wǎng)

絡(luò)峰值速率為4G網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸8千兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡(luò)快720

秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率，設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x千兆，依題意，可列

方程為a.-_g_=720.

-x-10x

【解答】解：設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x千兆，則5G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳

輸10x千兆，

根據(jù)題意，得旦-旦=720.

x10x

故答案為旦-旦=720.

x10x

16.（3分）小宇計劃在某外賣網(wǎng)站點如下表所示的菜品，已知每份訂單的配送費為3元，

商家為了促銷，對每份訂單的總價（不含配送費）提供滿減優(yōu)惠：滿30元減12元，滿

60元減30元，滿100元減45元，如果小宇在購買下表中所有菜品時，采取適當(dāng)?shù)南掠?/p>

單方式，那么他點餐總費用最低可為皂元.

菜品單價（含包裝費）數(shù)量

水煮牛肉（?。?0元1

醋溜土豆絲（小）12元1

豉汁排骨（?。?0元1

手撕包菜（小）12元1

米飯3元2

【解答】解：小宇應(yīng)采取的訂單方式是60一份，30一份，所以點餐總費用最低可為60

-30+3+30-12+3=54元,

答：他點餐總費用最低可為54元.

故答案為：54.

三、解答題（本題共52分，第17,18,19題，每題5分，第20-24題，每小題5分，第

25題最多8分）

17.（5分）計算：（號?_]|_2tan60°,

【解答】解：原式=-2+2A/3+V3-1-2X73

=-3+V3.

18.（5分）解分式方程：匹

x-22-x

【解答】解：原方程可化為：x-3-（x-2）=旦,

x-22-x

即」

2-x2-x

整理得：2-x=3（2-x）,

解得：x=2,

檢驗：把x=2代入得：x-2—0,

此方程無解.

19.（5分）先化簡再求值：（a-1）2-2〃（〃-1）,其中a二八年.

【解答】解：（。-1）2-2。（o-l）

=cr-2（7+1-2a2^-2a

=-a2+l,

當(dāng)稈-^時，原式=-<-V3）2+1

=-3+1

=-2.

20.(5分)關(guān)于x的一元二次方程/-〃優(yōu)+2〃?-4=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程有一個根小于1,求機(jī)的取值范圍.

【解答】(1)證明：Va=l,b--m,c=2m-4,

:.△=b2-4ac

=(-m)2-4(2機(jī)-4)

=/n2-8m+16

=(/n-4)22o,

???此方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：V△=(m-4)220,

.丫―-b±vb^-4ac

??A--------=m土|m-4|

2a2

??X\=fT1-2,X2=2?

;此方程有一個根小于1.

21.(6分)如圖1,△ABC中，。為4c邊上一動點(不含端點)，過點。作。E〃AB交8c

于點E,過點E作￡F〃AC交AB于點F,連接AE,OF.點。運動過程中，始終有AE

=DF.

(1)求證：ZBAC=90°；

(2)如圖2,若AC=3,tanB=§,當(dāng)AF=A。時，求A￡)的長.

4

圖1圖2

【解答】(1)證明："：DE//AB,EF//AC,

:.四邊形AOEF是平行四邊形.

\'AE=DF,

.“AOEF是矩形.

AZBAC=90Q.

(2)解：當(dāng)AF=AD時，

由(1)知，此時四邊形4DEF是正方形.

方法1.

\'DE//AB,

:.ZDEC=NB,/EDC=/BAC=90°.

tanZDEC—tanB=—.

4

在RtZsOEC中，設(shè)￡>C=3x,則OE=4x.

?.?四邊形AOEF是正方形，

.\AD=DE=4x,

?*?AC=AD+DC=7x=3.

?丫_3

7

.'.4￡>=4X=A^_.

7

方法2：

在RtZXABC中，ZBAC=90°,tanB=3,AC=3,

4

，AB=4.

?.?四邊形AQ￡尸是正方形，設(shè)AD=CE=x.

'：DE//AB,

：./\CED^/\CBA.

???-C-D~-D-E-,

CAAB

即三上

34

解得x=￡,

7

：.AD=^.

7

22.(6分)在平面直角坐標(biāo)系x0)'中，直線y=-x與雙曲線、=上(ZW0)的一個交點為

X

P(V6,ir).

(1)求攵的值；

（2）將直線y=-x向上平移方（8＞0）個單位長度后，與x軸，y軸分別交于點A,點

B,與雙曲線〉=四（％彳0）的一個交點記為Q.若BQ=2AB,求匕的值.

X

【解答】解：（1）???直線y=-工經(jīng)過戶（&，n）.

/.m=-V6?

??,點尸（戈，-戈）在丁=乂1W0）上，

x

'?k=yf^）X（-）=-6.

（2）如圖，：直線＞=-光向上平移6（匕＞0）個單位長度后的解析式為y=-x+b,

.'.OA=OB=b,

'：BQ=2AB,

.,.池_=工或池_=1,

AQ3AQ

作QCLx軸于C,

，QC〃y軸，

/XABO^^AQC,

.OB=OA=AB=1nvOB=OA=AB=i

QCACAQ3QCACAQ

，點。坐標(biāo)—2b,3b）,或（2b,-b）

-6/?2=-6或-2h2=-6,

h=±l或〃=土我，

?0,

：.b=\或魚.

y

23.（6分）如圖，AB,AZ）是OO的弦，AO平分NBA。.過點8作。。的切線交AO的延

長線于點C,連接CD,BO.延長BO交。。于點E,交于點凡連接4E,DE.

（1）求證：C。是。。的切線；

：BC為圓O的切線，

...NCBO=90°.

：A。平分/BA。，

J.ZOAB^ZOAF.

；OA=OB=OD,

：.ZOAB=ZABO=ZOAF=ZODA,

'：ZBOC=ZOAB+ZOBA,ZDOC=ZOAD+ZODA,

：./BOC=NDOC,

在△COB和△CO力中，

fco=co

<ZC0B=ZC0D?

OB=OD

...BOC絲△OOC,

:.NCBO=/CDO=90°,

.,.CD是。。的切線；

(2)'：AE=DE,

?*-AE=DE-

：.ZDAE^ZABO,

：.NBAO=ZOAD=ZABO

：.ZBAO^ZOAD^ZDAE,

：BE是直徑，

AZBAE=90°,

ZBAO=ZOAD=ZDAE=ZABO=30°,

AZAFE=90°,

在RtZ\AFE中，'：AE=3,ND4E=30°,

:.EF=1AE=^-,

22_

?1-AF=VAE2-EF2=^-

24.(6分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線)，=/-Imx+m2與y軸的交點為4過點A

作直線/垂直于y軸.

(1)求拋物線的對稱軸(用含，"的式子表示)；

(2)將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G.點M

(xi,yi),NQxi,")為圖形G上任意兩點.

①當(dāng)〃?=0時、若制V九2,判斷yi與"的大小關(guān)系，并說明理由；

②若對于x\=m-2,xi=m+2,都有ji>y2,求m的取值范圍.

【解答】解：(1)拋物線y=/-2g+混的對稱軸為直線冗=-二細(xì)=團(tuán).

(2)①yi>”.

理由：當(dāng)相=0時，二次函數(shù)解析式是y=/,對稱軸為y軸;

所以圖形G上的點的橫縱坐標(biāo)x和y,滿足y隨尤的增大而減小;

\UX\<X2y

**.yi>y2.

②通過計算可知，尸（〃?-2,4）,Q（〃?+2,4）為拋物線上關(guān)于對稱軸x=m對稱的兩點,

下面討論當(dāng)，〃變化時，y軸與點P,。的相對位置：

如圖2,當(dāng)y軸在點P左側(cè)時（含點P）,

經(jīng)翻折后，得到點M,N的縱坐標(biāo)相同，yi=",不符題意;

如圖3,當(dāng)了軸在點Q右側(cè)時（含點Q）,

點M,N分別和點P,Q重合，yi=”，不符題意;

如圖4,當(dāng)y軸在點尸，。之間時（不含P,Q）,

經(jīng)翻折后，點N在/下方，點、M,P重合，在/上方，yi>>'2,符合題意.

此時有m-2<0</n+2,即-2<m<2.

綜上所述，機(jī)的取值范圍為-2<,“<2.

25.（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0c的半徑為r,P是與圓心C不重合的點，點P

關(guān)于OC的限距點的定義如下：若P為直線PC與（DC的一個交點，滿足，WPP'W2r,

則稱P'為點P關(guān)于0C的限距點，如圖為點P及其關(guān)于。C的限距點P的示意圖.

（1）當(dāng)。。的半徑為1時.

①分別判斷點M（3,4）,N（5,0）,T（1,近）關(guān)于。。的限距點是否存在？若存

2

在，求其坐標(biāo)；

②點。的坐標(biāo)為（2,0）,DE,。尸分別切。。于點E,點凡點P在△￡）《尸的邊上.若

點P關(guān)于。。的限距點P'存在，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）保持（1）中。，E,F三點不變，點P在的邊上沿E一/一。一￡的方向運

動，0C的圓心C的坐標(biāo)為（1,0）,半徑