2023屆陜西省漢中市高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷（理）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省漢中市2023屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷（理）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集為，集合，，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若，且，則的值為（）A．B．C．D．4.蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.5.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知點(diǎn)在圓上，且，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值（）A.0 B. C. D.7.定義在上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)于任意的，都有；②函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；③對(duì)于任意的，都有；則、、的大小關(guān)系是（） A. B.C. D.8.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列敘述不正確的結(jié)論是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為9.已知函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：①函數(shù)是奇函數(shù)；②，且．若函數(shù)在上存在最小值，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．10.已知函數(shù)的定域?yàn)?，圖象恒過點(diǎn)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（

）A．B． C． D．11.已知雙曲線左，右焦點(diǎn)分別為，以為圓心，為半徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線在軸左側(cè)交于兩點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A．B．C.D．12.設(shè)分別是函數(shù)和的零點(diǎn)（其中），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13.已知向量，，且與垂直，則______．14.在中，，，,在線段上，若與的面積之比為，則__________.15.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的方程為，直線與交于兩點(diǎn)，若，則面積的最小值為________.解答題：共70分.解答題寫出文字說明、證明過程和演算步驟.第17～21題是必考題，每個(gè)考生都必須作答.第22、23題是選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心.據(jù)此，某網(wǎng)站調(diào)查了人們對(duì)生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)注情況，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參與調(diào)查的人員中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人員中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這200人的平均年齡（每一組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；（2）現(xiàn)在要從年齡在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的3人中至少1人的年齡在第1組中的概率；（3）用頻率估計(jì)概率，從所有參與生態(tài)文明建設(shè)關(guān)注調(diào)查的人員（假設(shè)人數(shù)很多，各人是否關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)互不影響）中任意選出3人，設(shè)這3人中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望.18.（本小題滿分12分）如圖，等腰梯形中，，，，E為中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（平面ABCD）．（1）求證：；（2）若把折起到當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.從:①；②；③中選出一個(gè)能確定的條件，補(bǔ)充到橫線處，并解答下面問題.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.（本小題滿分12分）已知過點(diǎn)的橢圓：的焦距為2，其中為橢圓的離心率．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，且點(diǎn)恰好在上，試問：平行四邊形的面積是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是，說明理由．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行．（1）求實(shí)數(shù)的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求.23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)，（1）求的解集；（2）設(shè)的最小值為,若求的最小值.——★參考答案★——一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.題號(hào)123456789101112〖答案〗BABDADDCCBAD二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.14.115.-64016.16三、解答題：共70分.第17～21題是必考題，第22、23題是選考題，考生根據(jù)情況作答.（一）必考題：每小題12分，共60分.17.解：（1）由小矩形面積和等于1可得：，＝0.035平均年齡····2分（2）第1組總?cè)藬?shù)為200×0.01×10＝20，第2組總?cè)藬?shù)為200×0.015×10＝30故用分層抽樣后，第1組抽取人，第2組抽取人再?gòu)倪@5人中抽取3人，設(shè)至少1人的年齡在第1組中的事件為A，其概率為·········6分（3）由題意可知X服從二項(xiàng)分布X～B（3，），，，.········10分∴X的分布列為：X0123P的數(shù)學(xué)期望········12分18.解：（1）連接，設(shè)的中點(diǎn)為，∵，，······2分∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，為等邊三角形，∴，，折疊后，，又，∴平面，又平面，∴·······6分（2）若，即平面，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令得，······8分又平面，∴為平面的一個(gè)法向量，·······10分設(shè)平面與平面夾角為，則，由圖觀察知，二面角是鈍角，二面角的余弦值為．··········12分19.解：（1）選①作條件因?yàn)椋瑪?shù)列奇數(shù)項(xiàng)確定，但未知，故數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)不確定，因此數(shù)列不確定，不能選①選②作條件，，故，則當(dāng)········2分，所以········4分又因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，，所以是以1位首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，·······6分選③作條件所以是以1位首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，········3分又因?yàn)?，所以······?分（2）由（1）知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，于是，·····8分所以·······12分20.解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，由題意可得解得故的標(biāo)準(zhǔn)方程為········4分（2）平行四邊形的面積為定值，理由如下：由（1）可得：，則有：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，若為平行四邊形，則點(diǎn)為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)，可得解得故平行四邊形的面積；·······6分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程消去y得········7分則可得∵，若為平行四邊形，則點(diǎn)在橢圓上，則整理可得，滿足，則，可得·······10分點(diǎn)到直線的距離····11分故平行四邊形的面積綜上所述：平行四邊形的面積為定值.·······12分21.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，故，解得，·······2分所以，所以．當(dāng)時(shí)，，又，則，故，所以在上單調(diào)遞減．······3分設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，是增函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，所以，因此在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．·······6分（2）不等式可化為，設(shè)，由已知可得在上恒成立，滿足題意．·······7分因?yàn)?，令，則，令，則，所以即在上是增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，·······8分函數(shù)即在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以恒成立，原不等式恒成立；······9分當(dāng)時(shí)，則，又，所以存在，使得，時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，······10分又，所以時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，于是當(dāng)時(shí)，，不合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．······12分（二）選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.解：（1）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去得，直線的普通方程為；······2分由得，，將代入得，曲線的直角坐標(biāo)方程為.·····5分（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線，······6分整理得，，······7分記兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，······8分故，故.······10分23.解：（1）（1）由題知,······4分原不等式的解集······5分（2）由，所以，即·······6分所以的最小值為3，此時(shí)······10分陜西省漢中市2023屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試卷（理）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集為，集合，，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若，且，則的值為（）A．B．C．D．4.蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫圓弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?1段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.5.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知點(diǎn)在圓上，且，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值（）A.0 B. C. D.7.定義在上的函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)于任意的，都有；②函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；③對(duì)于任意的，都有；則、、的大小關(guān)系是（） A. B.C. D.8.如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列敘述不正確的結(jié)論是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為9.已知函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：①函數(shù)是奇函數(shù)；②，且．若函數(shù)在上存在最小值，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．10.已知函數(shù)的定域?yàn)?，圖象恒過點(diǎn)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則不等式的解集為（

）A．B． C． D．11.已知雙曲線左，右焦點(diǎn)分別為，以為圓心，為半徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線在軸左側(cè)交于兩點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A．B．C.D．12.設(shè)分別是函數(shù)和的零點(diǎn)（其中），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13.已知向量，，且與垂直，則______．14.在中，，，,在線段上，若與的面積之比為，則__________.15.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________.16.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的方程為，直線與交于兩點(diǎn)，若，則面積的最小值為________.解答題：共70分.解答題寫出文字說明、證明過程和演算步驟.第17～21題是必考題，每個(gè)考生都必須作答.第22、23題是選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）“綠水青山就是金山銀山”的理念越來越深入人心.據(jù)此，某網(wǎng)站調(diào)查了人們對(duì)生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)注情況，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參與調(diào)查的人員中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人員中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡（單位：歲）分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這200人的平均年齡（每一組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）；（2）現(xiàn)在要從年齡在第1，2組的人員中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的3人中至少1人的年齡在第1組中的概率；（3）用頻率估計(jì)概率，從所有參與生態(tài)文明建設(shè)關(guān)注調(diào)查的人員（假設(shè)人數(shù)很多，各人是否關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)互不影響）中任意選出3人，設(shè)這3人中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望.18.（本小題滿分12分）如圖，等腰梯形中，，，，E為中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（平面ABCD）．（1）求證：；（2）若把折起到當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.從:①；②；③中選出一個(gè)能確定的條件，補(bǔ)充到橫線處，并解答下面問題.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.（本小題滿分12分）已知過點(diǎn)的橢圓：的焦距為2，其中為橢圓的離心率．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，且點(diǎn)恰好在上，試問：平行四邊形的面積是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是，說明理由．21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行．（1）求實(shí)數(shù)的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分.考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求.23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)，（1）求的解集；（2）設(shè)的最小值為,若求的最小值.——★參考答案★——一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.題號(hào)123456789101112〖答案〗BABDADDCCBAD二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.14.115.-64016.16三、解答題：共70分.第17～21題是必考題，第22、23題是選考題，考生根據(jù)情況作答.（一）必考題：每小題12分，共60分.17.解：（1）由小矩形面積和等于1可得：，＝0.035平均年齡····2分（2）第1組總?cè)藬?shù)為200×0.01×10＝20，第2組總?cè)藬?shù)為200×0.015×10＝30故用分層抽樣后，第1組抽取人，第2組抽取人再?gòu)倪@5人中抽取3人，設(shè)至少1人的年齡在第1組中的事件為A，其概率為·········6分（3）由題意可知X服從二項(xiàng)分布X～B（3，），，，.········10分∴X的分布列為：X0123P的數(shù)學(xué)期望········12分18.解：（1）連接，設(shè)的中點(diǎn)為，∵，，······2分∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，為等邊三角形，∴，，折疊后，，又，∴平面，又平面，∴·······6分（2）若，即平面，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令得，······8分又平面，∴為平面的一個(gè)法向量，·······10分設(shè)平面與平面夾角為，則，由圖觀察知，二面角是鈍角，二面角的余弦值為．··········12分19.解：（1）選①作條件因?yàn)?，?shù)列奇數(shù)項(xiàng)確定，但未知，故數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)不確定，因此數(shù)列不確定，不能選①選②作條件，，故，則當(dāng)········2分，所以········4分又因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，，所以是以1位首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，·······6分選③作條件所以是以1位首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，········3分又因?yàn)?，所以······?分（2）由（1）知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，于是，·····8分所以·······12分20.解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，由題意可得解得故的標(biāo)準(zhǔn)方程為········4分（2）平行四邊形的面積為定值，理由如下：由（1）可得：，則有：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，若為平行四邊形，則點(diǎn)為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，不妨設(shè)，可得解得故平行四邊形的面積；·······6分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程消去y得········7分則可得∵，若為平行四邊形，則點(diǎn)在橢圓上，則整理可得，滿足，則，可得·······10分點(diǎn)到直線的距離····11分故平行四邊形的面積綜上所述：平行四邊形的面積為定值.