2023年新高考全國Ⅰ卷模擬測數(shù)學(xué)試卷09（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年新高考全國Ⅰ卷模擬測試卷09數(shù)學(xué)一、單選題1．集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因為，，所以．故選：C.2．已知的頂點，，，則頂點的坐標為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因為，，，由平行四邊形可得，設(shè)，則，所以，即的坐標為.故選：B.3．設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗當時，由，得，則不為遞增數(shù)列；當為遞增數(shù)列時，，若，則，所以“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D4．某學(xué)校選派甲，乙，丙，丁，戊共5位優(yōu)秀教師分別前往四所農(nóng)村小學(xué)支教，用實際行動支持農(nóng)村教育，其中每所小學(xué)至少去一位教師，甲，乙，丙不去小學(xué)但能去其他三所小學(xué)，丁，戊四個小學(xué)都能去，則不同的安排方案的種數(shù)是（

）A．72 B．78 C．126 D．240〖答案〗B〖解析〗要求每所小學(xué)至少去一位教師，則需要將5人分成4組，則①甲，乙，丙中有2位教師去同一所學(xué)校有：種情況，②甲，乙，丙中有1位教師與丁去同一所學(xué)校有：種情況，③丁，戊兩人選擇同一所學(xué)校有：種情況，所以滿足題意的情況為：，故選：B.5．2023年3月11日，“探索一號”科考船搭載著“奮斗者”號載人潛水器圓滿完成國際首次環(huán)大洋洲載人深潛科考任務(wù)，順利返回三亞．本次航行有兩個突出的成就，一是到達了東南印度洋的蒂阿曼蒂那深淵，二是到達了瓦萊比-熱恩斯深淵，并且在這兩個海底深淵都進行了勘探和采集．如圖1是“奮斗者”號模型圖，其球艙可以抽象為圓錐和圓柱的組合體，其軸截面如圖2所示，則該模型球艙體積為（

）.A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由模型的軸截面可知圓錐的底面半徑為，高為；圓柱的底面半徑為，高為，故該模型球艙體積為（），故選：C6．已知點，分別為雙曲線：的左、右焦點，點是雙曲線的一條漸近線上一點，且.若的面積為，則雙曲線的實軸長為（

）A． B．1 C．2 D．4〖答案〗B〖解析〗雙曲線的漸近線方程為.如圖，由，知，過點作于點，則，，因為，所以.由，得，故雙曲線的實軸長為1.故選：B.7．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗易知，，，令，則，，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以，即．故選：D.8．已知函數(shù)滿足，若，且，則的值為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因為滿足，所以，所以，，又，所以，得，因為，，所以，所以，，，因為，所以.故選：D.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，，則（

）A．B．C．D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限〖答案〗AB〖解析〗A：，對；B：，對；C：，錯；D：由C分析知：對應(yīng)點為在第四象限，錯.故選：AB10．已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在處的切線方程為B．C．若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于坐標原點對稱，則D．有唯一零點〖答案〗ABD〖解析〗對于A，函數(shù)，求導(dǎo)得，有，所以在處的切線方程為，即，A正確；對于B，函數(shù)，有，而，所以，B正確；對于C，函數(shù)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于坐標原點對稱，所以，C錯誤；對于D，函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，令，，當時，當時，，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，由零點存在性定理知在內(nèi)存在唯一零點，所以有唯一零點，D正確.故選：ABD11．在正三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別是棱BC，AC上的動點（不包括端點），且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點E，使得 B．直線與異面C．三棱錐體積最大值為 D．二面角的最大值為60°〖答案〗ACD〖解析〗由正三棱柱，平面，且平面，可得，又，時，因為，，則，即，而，是平面內(nèi)的兩條相交直線，由線面垂直的判定定理可得平面，而平面，則，即存在點E，使得，故A正確；當時，，故B錯誤；如圖，在中，

由余弦定理得，，，當且僅當時，等號成立，所以，故C正確；如圖，過點F作，垂足為D，則平面，過點D作，垂足為G，連結(jié)FG，

則就是二面角的一個平面角，，所以，當且僅當，即時等號成立，故D正確.故選：ACD.12．如圖拋物線的頂點為，焦點為，準線為，焦準距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準線為，焦準距為6．和交于、兩點，分別過、作直線與兩準線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則（

）A． B．四邊形的面積為100C． D．的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)直線與直線分別交于，由題可知，所以，，故A正確；如圖以為原點建立平面直角坐標系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故B錯誤；連接，因為，所以，所以，故，故C正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當點在拋物線，點在拋物線上時，，當與重合時，最小，最小值為，當與重合，點在拋物線上時，因為，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當點在拋物線，點在拋物線上時，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當，即時取等號，故此時；當點在拋物線，點在拋物線上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知函數(shù)，則___________．〖答案〗〖解析〗因為，且，則.故〖答案〗為：.14．某班有45名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，則理論上在85分到90分的人數(shù)約是________．（按四舍五入法保留整數(shù)）附：，，．〖答案〗6〖解析〗由題意知，，所以，所以理論上在85分到90分的人數(shù)約是.故〖答案〗為：6.15．已知曲線C：，點M與曲線C的焦點不重合．已知M關(guān)于曲線C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在曲線C上，若m＝1時，的值為a，m＝－1時，的值為b，則的值為_____________．〖答案〗或〖解析〗設(shè)曲線C的左右焦點分別為，，若m＝1，則曲線C為橢圓，由中位線及橢圓定義知，，所以；若m＝－1，則曲線C為雙曲線，由中位線及雙曲線定義知，，所以，，a＋b＝或．故〖答案〗為：或.

16．有個編號分別為1，2，…，n的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是______，從第個盒子中取到白球的概率是______．〖答案〗〖解析〗記事件表示從第個盒子里取出白球，則，，所以，，，進而可得，，又，，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故〖答案〗為：；.四、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的大?。唬?）若，，求邊c及的值.解：（1）根據(jù)正弦定理，由可得.即，即，因為，所以.所以，即.（2）由正弦定理，可得，解得，根據(jù)余弦定理可得，即，，解得或（舍去）故.因為，所以，所以，所以，，所以.18．浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之皇”的美譽.東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東岙村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過東岙村和白龍岙村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅一舉多得，對開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗，可以認為東魁楊梅果實的果徑（單位：mm），但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的和都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場為了了解今年的果實情況，從摘下的楊梅果實中隨機取出1000顆，并測量這1000顆果實的果徑，得到如下頻率分布直方圖.（1）用頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)近似代替，標準差s近似代替，已知.根據(jù)以往經(jīng)驗，把果徑與的差的絕對值在內(nèi)的果實稱為“標準果”.現(xiàn)從農(nóng)場中摘取20顆果，請問這20顆果恰好有一顆不是“標準果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）（2）隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場也及時跟進.網(wǎng)絡(luò)銷售在大大提升銷量的同時，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場有一款“”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價80元，客戶在收到貨時如果有壞果，每一個壞果該農(nóng)場要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)滿足，若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)滿足，（為常數(shù)），請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤?參考數(shù)據(jù)：；；；；；.解：（1）由題意得：，所以，，則，，所以，設(shè)從農(nóng)場中摘取20顆果，這20顆果恰好有一顆不是“標準果”為事件A，則（2）由，解得：，所以，采用A款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，采用B款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，令，解得：a=，由于，令，解得：，令，解得：，故當時，采用兩種包裝利潤一樣，當時，采用B款包裝盒，當時，采用A款包裝盒.19．如圖，在三棱臺中，平面，與是分別以和為斜邊的等腰直角三角形，，，與交于點，點在棱上，且.

（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接,在梯形中,,所以，因為,所以,所以.因為平面平面,所以平面；（2）解：取中點,連接,易得，因為平面，所以平面，以為坐標原點,分別以為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,

則由可得,所以,設(shè)平面的法向量為,則有,得,取,得,設(shè)直線與平面所成角為.則所以直線與平面所成角的正弦值20．已知雙曲線的實軸長為，C的一條漸近線斜率為，直線l交C于P，Q兩點，點在雙曲線C上.（1）若直線l過C的右焦點，且斜率為，求的面積；（2）設(shè)P，Q為雙曲線C上異于點的兩動點，記直線MP，MQ的斜率分別為，，若，求證：直線PQ過定點.（1）解：如圖：

因為雙曲線的實軸長為，所以，即.又因為C的一條漸近線斜率為，所以，所以，故雙曲線.則其右焦點坐標為，因為直線l過C的右焦點，且斜率為，所以直線l的方程為：，設(shè)，.聯(lián)立得：，所以由韋達定理得：，.所以，點到直線l的距離為：.所以.（2）證明：如圖

設(shè)直線PQ的方程為：，設(shè)，.聯(lián)立得：.，即所以：，.而，則，.因為，所以整理的：，所以，所以：，所以，整理得：，代入韋達定理得：，所以，整理得：，即，則或.當時，直線線PQ的方程為：，所以過定點；當時，直線線PQ的方程為：，所以過定點.即為，因為P，Q為雙曲線C上異于點的兩動點，所以不符合題意.故直線PQ過的定點為.21．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.（1）解：的定義域為，，令，得：，當變化時的關(guān)系如下表：01無意義0無意義在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（2）證明：要證，只需證：根據(jù)，只需證：不妨設(shè)，由得：；兩邊取指數(shù)，，化簡得：令：，則，根據(jù)（1）得在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（如下圖所示），由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使且，則必有，即由得：.要證，只需證：，由于在上單調(diào)遞增，要證：，只需證：，又，只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，即證，令，只需證：，，令，在上單調(diào)遞減，所以，所以所以在上單調(diào)遞減，所以所以所以：.2023年新高考全國Ⅰ卷模擬測試卷09數(shù)學(xué)一、單選題1．集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因為，，所以．故選：C.2．已知的頂點，，，則頂點的坐標為（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗因為，，，由平行四邊形可得，設(shè)，則，所以，即的坐標為.故選：B.3．設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗當時，由，得，則不為遞增數(shù)列；當為遞增數(shù)列時，，若，則，所以“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D4．某學(xué)校選派甲，乙，丙，丁，戊共5位優(yōu)秀教師分別前往四所農(nóng)村小學(xué)支教，用實際行動支持農(nóng)村教育，其中每所小學(xué)至少去一位教師，甲，乙，丙不去小學(xué)但能去其他三所小學(xué)，丁，戊四個小學(xué)都能去，則不同的安排方案的種數(shù)是（

）A．72 B．78 C．126 D．240〖答案〗B〖解析〗要求每所小學(xué)至少去一位教師，則需要將5人分成4組，則①甲，乙，丙中有2位教師去同一所學(xué)校有：種情況，②甲，乙，丙中有1位教師與丁去同一所學(xué)校有：種情況，③丁，戊兩人選擇同一所學(xué)校有：種情況，所以滿足題意的情況為：，故選：B.5．2023年3月11日，“探索一號”科考船搭載著“奮斗者”號載人潛水器圓滿完成國際首次環(huán)大洋洲載人深潛科考任務(wù)，順利返回三亞．本次航行有兩個突出的成就，一是到達了東南印度洋的蒂阿曼蒂那深淵，二是到達了瓦萊比-熱恩斯深淵，并且在這兩個海底深淵都進行了勘探和采集．如圖1是“奮斗者”號模型圖，其球艙可以抽象為圓錐和圓柱的組合體，其軸截面如圖2所示，則該模型球艙體積為（

）.A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由模型的軸截面可知圓錐的底面半徑為，高為；圓柱的底面半徑為，高為，故該模型球艙體積為（），故選：C6．已知點，分別為雙曲線：的左、右焦點，點是雙曲線的一條漸近線上一點，且.若的面積為，則雙曲線的實軸長為（

）A． B．1 C．2 D．4〖答案〗B〖解析〗雙曲線的漸近線方程為.如圖，由，知，過點作于點，則，，因為，所以.由，得，故雙曲線的實軸長為1.故選：B.7．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗易知，，，令，則，，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以，即．故選：D.8．已知函數(shù)滿足，若，且，則的值為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗因為滿足，所以，所以，，又，所以，得，因為，，所以，所以，，，因為，所以.故選：D.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，，則（

）A．B．C．D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限〖答案〗AB〖解析〗A：，對；B：，對；C：，錯；D：由C分析知：對應(yīng)點為在第四象限，錯.故選：AB10．已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在處的切線方程為B．C．若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于坐標原點對稱，則D．有唯一零點〖答案〗ABD〖解析〗對于A，函數(shù)，求導(dǎo)得，有，所以在處的切線方程為，即，A正確；對于B，函數(shù)，有，而，所以，B正確；對于C，函數(shù)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于坐標原點對稱，所以，C錯誤；對于D，函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，令，，當時，當時，，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，由零點存在性定理知在內(nèi)存在唯一零點，所以有唯一零點，D正確.故選：ABD11．在正三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別是棱BC，AC上的動點（不包括端點），且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．存在點E，使得 B．直線與異面C．三棱錐體積最大值為 D．二面角的最大值為60°〖答案〗ACD〖解析〗由正三棱柱，平面，且平面，可得，又，時，因為，，則，即，而，是平面內(nèi)的兩條相交直線，由線面垂直的判定定理可得平面，而平面，則，即存在點E，使得，故A正確；當時，，故B錯誤；如圖，在中，

由余弦定理得，，，當且僅當時，等號成立，所以，故C正確；如圖，過點F作，垂足為D，則平面，過點D作，垂足為G，連結(jié)FG，

則就是二面角的一個平面角，，所以，當且僅當，即時等號成立，故D正確.故選：ACD.12．如圖拋物線的頂點為，焦點為，準線為，焦準距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準線為，焦準距為6．和交于、兩點，分別過、作直線與兩準線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則（

）A． B．四邊形的面積為100C． D．的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)直線與直線分別交于，由題可知，所以，，故A正確；如圖以為原點建立平面直角坐標系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故B錯誤；連接，因為，所以，所以，故，故C正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當點在拋物線，點在拋物線上時，，當與重合時，最小，最小值為，當與重合，點在拋物線上時，因為，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當點在拋物線，點在拋物線上時，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當，即時取等號，故此時；當點在拋物線，點在拋物線上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知函數(shù)，則___________．〖答案〗〖解析〗因為，且，則.故〖答案〗為：.14．某班有45名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，則理論上在85分到90分的人數(shù)約是________．（按四舍五入法保留整數(shù)）附：，，．〖答案〗6〖解析〗由題意知，，所以，所以理論上在85分到90分的人數(shù)約是.故〖答案〗為：6.15．已知曲線C：，點M與曲線C的焦點不重合．已知M關(guān)于曲線C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在曲線C上，若m＝1時，的值為a，m＝－1時，的值為b，則的值為_____________．〖答案〗或〖解析〗設(shè)曲線C的左右焦點分別為，，若m＝1，則曲線C為橢圓，由中位線及橢圓定義知，，所以；若m＝－1，則曲線C為雙曲線，由中位線及雙曲線定義知，，所以，，a＋b＝或．故〖答案〗為：或.

16．有個編號分別為1，2，…，n的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是______，從第個盒子中取到白球的概率是______．〖答案〗〖解析〗記事件表示從第個盒子里取出白球，則，，所以，，，進而可得，，又，，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故〖答案〗為：；.四、解答題17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的大??；（2）若，，求邊c及的值.解：（1）根據(jù)正弦定理，由可得.即，即，因為，所以.所以，即.（2）由正弦定理，可得，解得，根據(jù)余弦定理可得，即，，解得或（舍去）故.因為，所以，所以，所以，，所以.18．浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之皇”的美譽.東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東岙村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過東岙村和白龍岙村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅一舉多得，對開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗，可以認為東魁楊梅果實的果徑（單位：mm），但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的和都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場為了了解今年的果實情況，從摘下的楊梅果實中隨機取出1000顆，并測量這1000顆果實的果徑，得到如下頻率分布直方圖.（1）用頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)近似代替，標準差s近似代替，已知.根據(jù)以往經(jīng)驗，把果徑與的差的絕對值在內(nèi)的果實稱為“標準果”.現(xiàn)從農(nóng)場中摘取20顆果，請問這20顆果恰好有一顆不是“標準果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）（2）隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場也及時跟進.網(wǎng)絡(luò)銷售在大大提升銷量的同時，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場有一款“”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價80元，客戶在收到貨時如果有壞果，每一個壞果該農(nóng)場要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)滿足，若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)滿足，（為常數(shù)），請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤?參考數(shù)據(jù)：；；；；；.解：（1）由題意得：，所以，，則，，所以，設(shè)從農(nóng)場中摘取20顆果，這20顆果恰好有一顆不是“標準果”為事件A，則（2）由，解得：，所以，采用A款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，采用B款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，令，解得：a=，由于，令，解得：，令，解得：，故當時，采用兩種包裝利潤一樣，當時，采用B款包裝盒，當時，采用A款