2022年高考物理一輪-磁場對運(yùn)動電荷的作用教師講解版

10.2磁場對運(yùn)動電荷的作用

必備知識清單

一、洛倫茲力的大小和方向

i.定義：磁場對運(yùn)動電荷的作用力.

2.大小

時，F(xiàn)=0；

(2)O_L8時，F(xiàn)=qvB；

(3)。與B的夾角為。時，F(xiàn)=qvBsin0.

3.方向

(1)判定方法：應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動方向或負(fù)電荷運(yùn)動的反方向；

(2)方向特點：F±B,即寺垂直于8、。決定的平面.(注意B和?？梢杂腥我鈯A角)

4.做功：洛倫茲力不做功.

二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

1.若帶電粒子以入射速度。做勻速直線運(yùn)動.

2.若。，8時，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度。做勻速圓周運(yùn)動.

3.基本公式

(1)向心力公式：qvB=rrr^；

(2)軌道半徑公式：r=骨；

(3)周期公式：7=鬻.

注意：帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的周期與速率五差.

命題點精析(一)洛倫茲力的理解和應(yīng)用

1.洛倫茲力方向的特點

(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動電荷速度方向和磁場方向確定的平面。

(2)當(dāng)電荷運(yùn)動方向發(fā)生變化時，洛倫茲力的方向也隨之變化。

(3)左手定則判斷洛倫茲力方向，但一定分清正、負(fù)電荷。

2.洛倫茲力與電場力的比較

洛倫茲力電場力

產(chǎn)生條件oWO且v不與B平行電荷處在電場中

大小F=qvB(V-LB)F=qE

力方向與場正電荷受力與電場方向相同，負(fù)電

一定是F±v

方向的關(guān)系荷受力與電場方向相反

做功情況任何情況下都不做功可能做正功、負(fù)功，也可能不做功

只改變電荷的速度方既可以改變電荷的速度大小，也可

作用效果

向，不改變速度大小以改變運(yùn)動的方向

典型例題

【例1（多選）如圖所示，粗糙木板豎直固定在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場中.1=0時，

一個質(zhì)量為加、電荷量為q的帶正電物塊沿MN以某一初速度豎直向下滑動，則物塊運(yùn)動的

0一/圖象可能是（）

M

xx/7

x彼

XX/

B6

XX4

【答案】ACD

【解析】設(shè)初速度為。0,貝U尺=3夕。0,若滿足相8=居=〃r，即mg-Bqvo,物塊向下

做勻速運(yùn)動，選項A正確；若mg>"Bqs,則物塊開始有向下的加速度，由0="吆必可

知，隨速度增加，加速度減小，即物塊先做加速度減小的加速運(yùn)動，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，選

項D正確；若mgqiBq%,則物塊開始有向上的加速度，做減速運(yùn)動，由"吆可知,

隨速度減小，加速度減小，即物塊先做加速度減小的減速運(yùn)動，最后達(dá)到勻速狀態(tài)，則選項

C正確.

【練1】（多選）如圖所示，這是一個質(zhì)量為機(jī)、帶電荷量為+q的圓環(huán)，可在水平放

置的足夠長的粗糙細(xì)桿上滑動，細(xì)桿處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3、方向垂直于紙面

向里的勻強(qiáng)磁場中?，F(xiàn)給圓環(huán)向右的初速度00,在以后的運(yùn)動過程中，圓環(huán)運(yùn)動

的0—/圖像可能是下圖中的（)

XBX

【答案】BC

【解析】當(dāng)"3=mg時，圓環(huán)做勻速直線運(yùn)動，此時圖像為B,故B正確；當(dāng)

時，F(xiàn)^=qvB—mg,此時〃尺=加。，所以圓環(huán)做加速度逐漸減小的減速

運(yùn)動，直到時，圓環(huán)開始做勻速運(yùn)動，故C正確；當(dāng)如3<3時，F(xiàn)N

=mg—qvB,此時〃尾=加。，所以圓環(huán)做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動，直至停止，

所以其圖像的斜率應(yīng)該逐漸增大，故A、D錯誤。

【練2】科學(xué)家預(yù)言，自然界存在只有一個磁極的磁單極子，磁單極N的磁場分布

如圖甲所示，它與如圖乙所示正點電荷。的電場分布相似。假設(shè)磁單極子N和

正點電荷。均固定，有相同的帶電小球分別在N和。附近（圖示位置）沿水平面

做勻速圓周運(yùn)動,則下列判斷正確的是（）

A.從上往下看，圖甲中帶電小球一定沿逆時針方向運(yùn)動

B.從上往下看，圖甲中帶電小球一定沿順時針方向運(yùn)動

C.從上往下看，圖乙中帶電小球一定沿順時針方向運(yùn)動

D.從上往下看，圖乙中帶電小球一定沿逆時針方向運(yùn)動

【答案】A

【解析】根據(jù)圓周運(yùn)動受力條件可以從圖乙中判斷帶電小球帶的一定是負(fù)電，且

在電場中小球的運(yùn)動方向與電場力的方向無關(guān)；由甲圖中帶電小球做勻速圓周運(yùn)

動，可知洛倫茲力方向，根據(jù)左手定則可知，帶電小球一定沿逆時針方向運(yùn)動。

命題點精析（二）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

1.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的思想方法和理論依據(jù)

一般說來，要把握好“一找圓心，二定半徑，三求時間”的分析方法。在具體問

題中，要依據(jù)題目條件和情景而定。解題的理論依據(jù)主要是由牛頓第二定律列式:

「廿42mv十、一一Lm廿□e=2兀-=271m

qvB=m—,求半徑r=布及運(yùn)動周期T~~^B°

2.圓心的確定方法

法一若已知粒子軌跡上的兩點的速度方向，則可根據(jù)洛倫茲力F±v,分別確

定兩點處洛倫茲力R的方向，其交點即為圓心，如圖甲。

法二若已知粒子運(yùn)動軌跡上的兩點和其中某一點的速度方向，則可作出此兩點

的連線（即過這兩點的圓弧的弦）的中垂線，中垂線與過已知點速度方向的垂線的

交點即為圓心，如圖乙。

3.半徑的確定和計算

利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑（或圓心角），求解時注意以下幾何特點：

粒子速度的偏向角（e）等于圓心角（a）,并等于AB弦與切線的夾角（弦切角⑨的2

倍（如圖），即（p=a=28=a>t。

偏向角）

4.運(yùn)動時間的確定

粒子在磁場中運(yùn)動一周的時間為T,當(dāng)粒子運(yùn)動的圓弧所對應(yīng)的圓心角為a時,

其運(yùn)動時間可由下式表示：

片離或'譚4/!（/為弧長）。

5.常見運(yùn)動軌跡的確定

（1）直線邊界（進(jìn)出磁場具有對稱性，如圖所示）。

（2）平行邊界（存在臨界條件，如圖所示）。

(3)圓形邊界(沿徑向射入必沿徑向射出，如圖所示)。

6.常用解題知識

⑴幾何知識：三角函數(shù)、勾股定理、偏向角與圓心角關(guān)系。根據(jù)幾何知識可以

由已知長度、角度計算粒子運(yùn)動的軌跡半徑，或根據(jù)粒子運(yùn)動的軌跡半徑計算未

知長度、角度。

(2)半徑公式、周期公式：R,、7=繁。根據(jù)兩個公式可由q、m、。、B計

算粒子運(yùn)動的半徑、周期，也可根據(jù)粒子運(yùn)動的半徑或周期計算磁感應(yīng)強(qiáng)度、粒

子的電荷量、質(zhì)量等。

⑶運(yùn)動時間計算式：計算粒子的運(yùn)動時間或已知粒子的運(yùn)動時間計算圓心角或

周期時，常用至|"=4兀

2兀

【例2】如圖所示，直線上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，電子1從磁場邊界上的a點垂

直和磁場方向射入磁場，經(jīng)九時間從b點離開磁場.之后電子2也由。點沿圖示方向以

相同速率垂直磁場方向射入磁場，經(jīng)G時間從。、6連線的中點c離開磁場，貝哈為()

A.3B.2C，2D.g

【答案】A

【解析】

電子1、2在磁場中都做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)題意畫出兩電子的運(yùn)動軌跡，如圖所示:

XXXXX

Ma\/cbN

\、j/

電子1垂直邊界射進(jìn)磁場，從6點離開，則運(yùn)動了半個圓周，即為直徑，c點為圓心，電

子2以相同速率垂直磁場方向射入磁場，經(jīng)殳時間從6連線的中點c離開磁場，根據(jù)半

iri7)

徑廠=蕩可知，電子1和2的半徑相等，根據(jù)幾何關(guān)系可知，△aOc為等邊三角形，則電子

T7TWTirw

2轉(zhuǎn)過的圓心角為60°,所以電子1運(yùn)動的時間九=7=方-,電子2運(yùn)動的時間介=/=

zDQojoq

所以9=3,故A正確，B、C、D錯誤.

?2

【練3】(多選)兩個帶等量異種電荷的粒子分別以速度勿和“射入勻強(qiáng)磁場，兩粒子的入射方

向與磁場邊界的夾角分別為60。和30。，磁場寬度為d,兩粒子同時由A點出發(fā)，同時到達(dá)2

點，如圖所示，貝！1()

XXX

X

融〃XB

XX

30°

XXX

A.°粒子帶正電，6粒子帶負(fù)電

B.兩粒子的軌道半徑之比凡：&=?。?

C.兩粒子的質(zhì)量之比mamb=l：2

D.兩粒子的質(zhì)量之比mJ.mb=2：1

【答案】BD

【解析】由左手定則可得：a粒子帶負(fù)電，b粒子帶正電，故A錯誤；粒子做勻速圓周運(yùn)

動，運(yùn)動軌跡如圖所示

2^5”近

故凡=而/=4&=而而=3d，

所以，Ra：&=小：1,故B正確;

由幾何關(guān)系可得：從A運(yùn)動到B,a粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為60°,6粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為120。,

%=卷=必=與，則Ta:Tb=21,

mu2

再根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：Bvq=~^~,

所以，運(yùn)動周期為：丁=平=需

根據(jù)a、6粒子電荷量相等可得如：板;=〃：〃=2：1,故C錯誤，D正確.

【練4】如圖，邊長為/的正方形abed內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3、方

向垂直于紙面（abed所在平面）向外。a。邊中點有一電子發(fā)射源。，可向磁場內(nèi)沿

垂直于湖邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為上則從a、d兩點射出的電子

的速度大小分別為（

【答案】B

【解析】電子從。點射出時，其軌跡半徑為由洛倫茲力提供向心力，有

eVaB=i-rrL,又且=左，解得加=挈；電子從d點射出時，由幾何關(guān)系有W=F+

ram4

[r,/—2｝，解得軌跡半徑為〃=系由洛倫茲力提供向心力，有eUdB=n^,又端

=k,解得。"=竽，B正確。

命題點精析（三）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的臨界、極值問題

1.解決帶電粒子在磁場中的臨界問題的關(guān)鍵

⑴以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口。

（2）尋找臨界點常用的結(jié)論

①剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡與邊界相切。

②當(dāng)速度。一定時，弧長（或弦長）越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中

運(yùn)動的時間越長。

③當(dāng)速度。變化時，圓心角越大，運(yùn)動時間越長。

2.臨界問題的一般解題流程

［動態(tài)思維臨界狀態(tài)上

器.磁場邊臨界產(chǎn)

（分析臨界列方程I幾何關(guān)系I定圓心］

【例3】如圖所示，在一等腰直角三角形AC。區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感

應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一質(zhì)量為根、電荷量為q的帶正電粒子（重力不計）以速度。從AC邊的中點

。垂直AC邊射入磁場區(qū)域.若三角形的兩直角邊長均為2L要使粒子從C。邊射出，則。

的取值范圍為（）

AqBL7^2\f2qBL

BjW皿

A.—mWuWmmm

c幽V(V2+1W—qBL—)5qBL

C.2o-mWoWm2m2m

【答案】C

【解析】根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力可知，等，因此半徑越大，速度越大；根據(jù)幾何關(guān)

系可知，使粒子軌跡與邊相切時速度最大，如圖，則有AO'71145。=。'E,即（R+L）sin

45。=夫，解得滿足題目要求的最大半徑為R=（g+1）L,故最大速度為5=（艱;當(dāng)身與當(dāng)

粒子從C點出射時，滿足題目要求的半徑最小，為『2=4，故最小速度應(yīng)為。2=^^,

則V

的取值范圍為縹曲產(chǎn)4故C正確，A、B、D錯誤.

【練5】i勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3,方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛

線所示，笈為半圓，ac、〃與直徑aO共線，ac間的距離........

等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m,電荷量為q（q>0）的粒：：：：

子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有卜’、：1皮;：1：一；卜一……"

各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運(yùn)動時間

最長的粒子，其運(yùn)動時間為（）

ca\*.??%d

7兀-5Tlm

A?6^BB?硒

4兀加371m

C麗D?9

【答案】C

【解析】

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動，運(yùn)動軌跡如圖所示，由洛倫茲力提供向心力有

層vvrn

qvB=m-,解得r=~運(yùn)動時間,=7=一。為帶電粒子在磁場中運(yùn)動軌跡

，rqbqti

所對的圓心角，粒子在磁場中運(yùn)動時間由軌跡所對圓心角決定。采用放縮法，粒

子垂直于ac射入磁場，則軌跡圓圓心必在直線ac上，將粒子的軌跡半徑從零開

始逐漸放大，當(dāng)rWO.5R（R為防的半徑）和rNL5R時，粒子從ac、灰/區(qū)域射出

磁場，運(yùn)動時間等于半個周期。當(dāng)O.5R<r<l.5H時，粒子從弧。。上射出，軌跡

半徑從0.5R逐漸增大，粒子射出位置從a點沿弧向右移動，軌跡所對圓心角從

兀逐漸增大，當(dāng)半徑為H時，軌跡所對圓心角最大，再增大軌跡半徑，軌跡所對

7T47r

圓心角減小，因此軌跡半徑等于R時，所對圓心角最大，為%>=兀+鼻=苧，粒

子最長運(yùn)動時間為普。

【練6】真空中有一勻強(qiáng)磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為。和3a的同軸圓柱面，

磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為。的電子從圓心沿半

徑方向進(jìn)入磁場。已知電子質(zhì)量為加，電荷量為e,忽略重力。為使該電子的運(yùn)

動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（）

3mv

A-~2ae

3mv3mv

C，D.

~4ae5ae

【答案】C

【解析】為使該電子的運(yùn)動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進(jìn)入句強(qiáng)磁

場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑最大時軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r,軌跡圓圓

心為M,磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為3,由幾何關(guān)系有q/+/+r=3a,解得

1）-3mv

a,電子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動有飩5=行，解得3=肅，C正確。

命題點精析（四）"

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的多解問題

多解分類多解原因示意圖

帶電粒___b

帶電粒子可能帶正電，也可能帶負(fù)電，粒子在磁XX八\

子電性

場中的運(yùn)動軌跡不同

不確定

題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出___b

磁場方向

磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，必須考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向有

不確定/'J

兩種情況

；x

臨界狀態(tài)帶電粒子在飛越有界磁場時，可能直接穿過去了，

不唯一也可能從入射界面反向飛出；V

運(yùn)動的yxpxxx

帶電粒子在空間運(yùn)動時，往往具有往復(fù)性0niwllnn\x

往復(fù)性

【例4】如圖甲所示，M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板，板間距離為d,兩板中央各有一

個小孔0、0'正對，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間的變化如圖乙

所示.有一群正離子在f=0時垂直于/板從小孔。射入磁場.已知正離子質(zhì)量為機(jī)、帶電

荷量為分正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為7b，不考慮

由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計離子所受重力.求:

T?\；2T0(

II

⑴磁感應(yīng)強(qiáng)度治的大小.

(2)要使正離子從0'垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時的速度。o的可能值.

【答案】⑴鬻⑵瑞2=123,…)

【解析】

設(shè)垂直于紙面向里的磁場方向為正方向.

2

(1)正離子射入磁場，洛倫茲力提供向心力瓦“^;寫*

做勻速圓周運(yùn)動的周期n=等

由以上兩式得磁感應(yīng)強(qiáng)度Bo=#

(2)要使正離子從O,孔垂直于N板射出磁場，內(nèi)的方向應(yīng)如圖所示，兩板之間正離子只運(yùn)

動一個周期即7B時，有R=(;當(dāng)兩板之間正離子運(yùn)動n個周期即時，有氏=竟(九=

1,2,3,-).

聯(lián)立求解，得正離子的速度的可能值為

。。=誓=繇5=123,…)

【練7】如圖所示，在無限長的豎直邊界AC和

DE間，上、下部分分別充滿方向垂直于ADEC平面向外的勻強(qiáng)磁場，上部分區(qū)

域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為瓦，OR為上、下磁場的水平分界線。質(zhì)量為機(jī)、帶電荷

量為+q的粒子從AC邊界上與O點相距為。的尸點垂直于AC邊界射入上方磁

場區(qū)域，經(jīng)OR上的Q點第一次進(jìn)入下方磁場區(qū)域，。與。點的距離為3人不

考慮粒子重力。

(1)求粒子射入時的速度大?。?/p>

(2)要使粒子不從AC邊界飛出，求下方磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足的條件；

(3)若下方區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度3=3瓦，粒子最終垂直于DE邊界飛出，求邊界DE

與AC間距離的可能值。

【答案】⑴號2(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度大于學(xué)

(3)見解析

【解析】

(1)設(shè)粒子在。斤上方做圓周運(yùn)動的半徑為R,運(yùn)動軌跡如圖甲所示,

由幾何關(guān)系可知(7?—。)2+(3。)2=7?2

解得R=5a

、〃

由牛頓第二定律可知qvBo=rrr^

5aqBu

解付V=

m-O

⑵當(dāng)粒子恰好不從AC邊界飛出時，運(yùn)動軌跡與AC相切，如圖乙所示，設(shè)粒子

在。尸下方做圓周運(yùn)動的半徑為力，由幾何關(guān)系得

n+ricos0=3a

3

由(1)知cos6=5

所以r1=等

O

根據(jù)qvBi=m—

解得31=畢

故當(dāng)Bi＞華時，粒子不會從AC邊界飛出。

(3)如圖丙所示，當(dāng)5=3%時，根據(jù)卯5=巧;

得粒子在。歹下方的運(yùn)動半徑r=^a

設(shè)粒子的速度方向再次與射入磁場時的速度方向一致時的位置為P\,則P與Pi

的連線一定與。/平行，根據(jù)幾何關(guān)系知PPi@@=4a

所以若粒子最終垂直于DE邊界飛出，

邊界DE與AC間的距離為L=〃PPi@@=4〃a(〃=l,2,3,…)。

【練8】如圖所示，邊長為L的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強(qiáng)磁

場，三角形內(nèi)磁場方向垂直于紙面向外，兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為3。頂點

A處有一粒子源，粒子源能沿NA4c的角平分線發(fā)射不同速率的粒子，粒子質(zhì)量

均為機(jī)、電荷量均為+q,不計粒子重力及粒子間的相互作用力，則粒子能通過

3點時發(fā)射速度00為()

X~XX

2qBL

2qBL

3m

【答案】D

【解析】

粒子帶正電，且經(jīng)過8點，其可能的軌跡如圖所示。

所有圓弧所對圓心角均為60。，所以粒子運(yùn)行半徑

r=.(n=1,2,3,…)

粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得/出=丐7

由此可知，。=鬻的粒子能通過8點，故A、B、C不符合題意，D符合題意。

核心素養(yǎng)大提升

【例5】（多選）（2020?呂梁市第一次模擬）如圖所示，在熒屏上方分布了水平方向

的勻強(qiáng)磁場，方向垂直于紙面向里。距離熒屏d處有一粒子源S,能夠在紙面內(nèi)

不斷地向各個方向同時發(fā)射電荷量為外質(zhì)量為機(jī)的帶正電粒子，不計粒子的重

力，已知粒子做圓周運(yùn)動的半徑也恰好為d,貝!!（）

XXXXXXXX

S

xxxxtxxxx

XXXXXXXX

XXXXXXXX

A.粒子能打到板上的區(qū)域長度為2小d

B.能打到板上最左側(cè)的粒子所用的時間為學(xué)

C.粒子從發(fā)射到打到絕緣板上的最長時間為學(xué)

D.同一時刻發(fā)射的粒子打到絕緣板上的最大時間差為登

【答案】BD

【解析】

打在極板上粒子軌跡的臨界狀態(tài)如圖甲所示：

根據(jù)幾何關(guān)系知，帶電粒子能到達(dá)板上的長度/=R+/H=（l+?。㏑=（l+?。?/p>

d,A錯誤；由運(yùn)動軌跡圖可知，能打到板上最左側(cè)的粒子偏轉(zhuǎn)了半個周期，故

所用時間/=3T，又7=羿，解得/=稱，B正確；設(shè)此時粒子出射速度的大小

為必在磁場中運(yùn)動時間最長（優(yōu)弧1）和最短（劣弧2）的粒子運(yùn)動軌跡示意圖如圖

乙所示：

粒子做整個圓周運(yùn)動的周期T=堂，由幾何關(guān)系可知:

最短時間Z2=1T=^

目13兀d

阪長時間%=47=石

根據(jù)題意得同一時刻發(fā)射的粒子打到絕緣板上的最大時間差%一念

解得△/=鑼，C錯誤，D正確。

【練9】（多選）（2020?郴州二模）如圖所示，在等腰直角三角形A