直線與拋物線的位置關(guān)系

直線與拋物線的位置關(guān)系TOC\o"13"\h\z\u題型1直線與拋物線的交點坐標(biāo) 1題型2拋物線的切線方程 6題型3弦長問題 13題型4拋物線中的通徑 23題型5最值取值范圍 29題型1直線與拋物線的交點坐標(biāo)【方法總結(jié)】直線與拋物線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程組是否有實數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個數(shù)問題，此時要注意分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的運用。【例題1】（2023·北京海淀·?？既＃佄锞€C:y2=4x的焦點為F，直線y=【答案】3或1【分析】先求得A，B兩點的坐標(biāo)，再利用拋物線定義求得AF,BF的值，進而求得【詳解】拋物線C:y2=4x的焦點F(1,0)由y2=4xy=解之得x=3或x=13，則A則AF=3+1=4,BF=則AF:BF故答案為：3或1【變式11】1.（2023·全國·高二課堂例題）已知探照燈的軸截面是拋物線y2=x（如圖），平行于x軸的光線照射到拋物線上的點【答案】1【分析】根據(jù)拋物線方程可知F14,0【詳解】因為拋物線y2=x的焦點為F14,0由于Qx,y是拋物線與直線PF聯(lián)立方程y=-43x-14故點Q的坐標(biāo)為116【變式11】2.（2021秋·高二課時練習(xí)）已知直線y=kx+2k>0與拋物線C:y2=8x【答案】233【分析】由聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達定理結(jié)合拋物線的定義計算得A、B坐標(biāo)，并由余弦定理計算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)Ax1,由直線與拋物線方程聯(lián)立y=kx+2y2∴x1x由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及定義可知：p=4，F(xiàn)A=∴x1=2由①②得x1則A4,42,B1,22由余弦定理得，cos∠AFB=故答案為：233【變式11】3.（2022秋·四川成都·高二校考期中）已知拋物線關(guān)于x軸對稱，頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F，點P1,2，Ax1(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)若AF=2【答案】(1)y2=4x；(2)±22【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解拋物線方程，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)即可求其準(zhǔn)線方程；(2)根據(jù)向量得到A、B坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)A、B在拋物線上得到兩個方程，聯(lián)立方程組求出坐標(biāo)即可求得直線AB的斜率．【詳解】（1）由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y2∵點P1,2∴22=2p×1故拋物線的方程是y2=4x，其準(zhǔn)線方程是（2）AxAF=2∵A、B在拋物線上，∴y1由①②③④聯(lián)立可得x2=1由③－④得：y1即kAB【變式11】4.（2022秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：y2=4x焦點為F，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(1)請寫出一組滿足∠AEF=∠BEF的點A，B的坐標(biāo)；(2)證明：∠AEF=∠BEF；(3)若過點M8,0的直線與拋物線交于A'，B'兩點，點E'-8,0【答案】(1)A(1,2)，B(1,-2)時滿足∠AEF=∠BEF；(2)證明見解析；(3)96.【分析】（1）寫出AB⊥x軸時對應(yīng)的A，B的坐標(biāo)即可；（2）過A,B分別作AC,BD垂直準(zhǔn)線于C,D，根據(jù)拋物線定義及平行線性質(zhì)易證Rt△ACE～Rt△BDE（3）設(shè)直線A'B'為x=ky+8，聯(lián)立拋物線及韋達定理得y【詳解】（1）當(dāng)直線AB⊥x軸，顯然A,B關(guān)于x軸對稱，此時∠AEF=∠BEF，由F(1,0)，若A,B分別在一、四象限，則A(1,2)，B(1,-2)滿足.（2）過A,B分別作AC,BD垂直準(zhǔn)線于C,D，如下圖示，所以|AF|=|AC|,|BF|=|BD|，AC//BD//x軸，由平行線分線段等比例性質(zhì)知：|DE||CE|=|AF|所以Rt△ACE～Rt△BDE又∠CAE=∠AEF,∠DBE=∠BEF，所以∠AEF=∠BEF.（3）由題設(shè)，可設(shè)直線A'B'為x=ky+8，代入y所以y2-4ky-32=0，則yA'y故yA'=8,所以S△【變式11】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓F：x-22+y2=1，動圓P與圓F外切，且與定直線x=-3(1)求E的方程；(2)若直線l過點F，且與E交于A，B兩點，與y軸交于M點，滿足MA→=λAF→，MF→=μFB→（【答案】(1)y2(2)λ=μ.【分析】（1）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得R=x+3，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可得R=x-2（2）設(shè)直線l的方程為y=kx-2、Ax1,y1、【詳解】（1）解：設(shè)Px,y，圓P的半徑為R，由題可知，點P在直線x=-3因為圓P與定直線x=-3相切，所以R=x+3．又圓P與圓F外切，所以R=|PF|+1=x-2所以x+3=x-22+y2+1，化簡得（2）解：由（1）得F2,0，設(shè)直線l的方程為y=kx-2，Ax則M0,-2k，因為MA→=λAF→因為點A在E上，所以y12=8x1同理，由MF→=μFB所以μx21+μ=2，-2k+μy因為點B在E上，所以y22=8x2由4λ1+λ=4μ1+μ因為λ>0，μ>0，所以λ+μ+1≠0，即λ-μ=0．題型2拋物線的切線方程【方法總結(jié)】在利用拋物線的切線方程時，一般利用以下方法進行直線：（1）設(shè)切線方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，由Δ=0（2）拋物線y2=2pxp≠0在其上一點x0,y0【例題2】（2023·全國·高二課堂例題）已知點A(0,2)和拋物線C:y【答案】x=0或3x-4y+8=0【分析】根據(jù)直線l是否存在斜率進行分類討論，結(jié)合一元二次方程的判別式進行求解即可.【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，由直線l過點A0,2可知，直線l就是y軸，其方程為x=0由x=0,y2=6x消去未知數(shù)x得y如果直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=kx+2．由方程組y=kx+2,消去x，整理得ky2-6y+12=0．為了使得這個方程是一元二次方程且只有一個實數(shù)解，必須有k≠0因此可解得k=3此時直線l的方程為y=34x+2綜上可知，直線l的方程為x=0或3x-4y+8=0．【變式21】1.（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點，點M，N在拋物線C:x2=4y(1)證明：直線MN過定點；(2)設(shè)C在點M，N處的切線相交于點P，求MNOP【答案】(1)證明見詳解；(2)1,【分析】（1）設(shè)直線方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合平面向量數(shù)量積計算即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出過M、N的切線方程，求出切線的交點P坐標(biāo)，結(jié)合弦長公式得出比值，利用函數(shù)研究計算其范圍即可.【詳解】（1）由題意可設(shè)直線MN的方程為：y=kx+m，Mx聯(lián)立拋物線方程y=kx+mx所以x1又OM=化簡得x1解之得m=2，即直線MN為：y=kx+2，顯然過定點0,2；（2）由拋物線C:x則點Mx1,易知y1=x結(jié)合（1）可知x=2k，∴y=kx故P2k,-2，OP由弦長公式及（1）可得MN=所以MNOP易知k2即MNOP2的取值范圍為【變式21】2.（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線E:y2=2px(p>0)，焦點為F.過拋物線外一點P（不在x軸上）作拋物線C的切線PA,PB，其中A、B(1)求CA?(2)證明：①FP是FA與FB的等比中項；②FP平分∠AFB.【答案】(1)0(2)詳見解析【分析】（1）先利用題給條件求得點C的坐標(biāo)，進而利用向量數(shù)量積求得CA?（2）先求得點P的坐標(biāo)，進而利用等比中項定義證得FP是FA與FB的等比中項；先利用向量求得cosFA,FP=cosFB,【詳解】（1）拋物線E:y2=2px(p>0)焦點F設(shè)拋物線C的切線PA,PB的方程分別為：y-由y-y1=由Δ=可得k1=p則拋物線C的切線PA,PB的方程分別為：y-則C0,y1則CA=y（2）①由（1）可得FPFA=y1則FA?FP2則FP2=FA?FB，故FP②FAcos=y12cos=y2則cos∠AFP=cos∠BFP,又故FP平分∠AFB.【變式21】3.（2023秋·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線C1:y2=2(1)已知F為拋物線C1的焦點，若PF的中點坐標(biāo)為1,1，求p(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線OP的斜率為k1.若斜率為k2的直線l與拋物線C1和C【答案】(1)2(2)證明見解析，定值為0【分析】（1）利用中點坐標(biāo)公式可直接求解；（2）先聯(lián)立兩拋物線方程求出P點坐標(biāo)，從而求出k1，再設(shè)出直線l的方程，然后分別與拋物線C1和C2聯(lián)立，從而根據(jù)直線l與拋物線C1和【詳解】（1）由C1:y2=2因為PF的中點坐標(biāo)為1,1，所以p1解得p1（2）

聯(lián)立y2=2p1x所以P2所以直線OP的斜率k1設(shè)直線l的方程為y=k聯(lián)立y2=2p1x因為直線l與拋物線C1所以Δ=4k2若k2b-p所以k2b-p1聯(lián)立x2=2p2y因為直線l與拋物線C2所以Δ=4p22由①②可得k2=-3故k1【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．【變式21】4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知A、B是拋物線C:y2=8x上的兩點，M是線段AB的中點，過點A和B分別作C的切線l1(1)證明：PM⊥y軸：(2)若點P的坐標(biāo)為-4,2，求△PAB的面積.注：拋物線y2=2px在點x0【答案】(1)證明見解析(2)54【分析】（1）設(shè)點Ax1,y1、Bx2,y2，寫出直線（2）求出點M的橫坐標(biāo)，根據(jù)點P的坐標(biāo)求出y1+y2、【詳解】（1）證明：設(shè)Ax1,y1、Bx2,y所以，x1≠x2，且由題意可知，直線l1的方程為y1y=4x+x聯(lián)立直線l1、l2的方程得y1所以，點P、M的縱坐標(biāo)相等，故PM⊥y軸.（2）解：因為點P的坐標(biāo)為-4,2，由（1）可知，xM=yy1+y由于PM⊥y軸，則S=1即△PAB的面積為54.題型3弦長問題【方法總結(jié)】弦長公式（1）已知直線y=kx+m與拋物線y2=2px(p>0)交于Ax（2）若直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點且與拋物線交于Ax1,【例題3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）過拋物線C:y2=4x的焦點F的直線與C交于M,N兩點，從點M,N分別向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1,N1【答案】5【分析】設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2可得【詳解】由已知得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，F(xiàn)1,0設(shè)Mx所以M1,N1的中點A的坐標(biāo)為設(shè)直線MN的方程為x=my+1，與拋物線方程聯(lián)立x=my+1y2=4x可得y2-4my-4=0所以x1所以MN=故答案為：5.【變式31】1.（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線C：y2(1)當(dāng)AB=8(2)求證：以AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切．【答案】(1)x+y-1=0或x-y-1=0(2)證明見解析【分析】（1）解法1：分l斜率不存在和存在兩種情況討論，根據(jù)AB=8即可求出l的方程；解法2：根據(jù)題意可知l斜率存在時，斜率不為0，由此可設(shè)l:x=my+1，根據(jù)AB（2）幾何法：取AB的中點M，則M為以AB為直徑的圓的圓心，過M作MN⊥準(zhǔn)線于N，過A作AA1⊥準(zhǔn)線于A1，過B作BB代數(shù)法：設(shè)l:x=my+1，求出AB和AB中點M到準(zhǔn)線的距離d，根據(jù)d和AB關(guān)系即可證明．【詳解】（1）解法1：由題意，可得F(1,0)，p=2，當(dāng)l斜率不存在時，l為x=1，由x=1y2=4x得x=1當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l:y=k(x-1)，∴y2設(shè)A(x1,根據(jù)拋物線的定義可得AB=x1則2k2+4∴直線l的方程為x+y-1=0或x-y-1=0．解法2：由題意，可得F(1,0)，∵直線l與拋物線相交于A，B，∴l(xiāng)斜率存在時，斜率不為0，故可設(shè)l:x=my+1，則y2設(shè)A(x1∴AB=1+m則直線l的方程為x+y-1=0或x-y-1=0．（2）幾何法：取AB的中點M，則M為以AB為直徑的圓的圓心，設(shè)AB=2r，過M作MN⊥準(zhǔn)線a于N，過A作AA1⊥準(zhǔn)線a于A1，過B作B根據(jù)梯形的性質(zhì)和拋物線的定義可得MN=代數(shù)法：設(shè)A(x1,∵直線l與拋物線相交于A，B，∴l(xiāng)斜率存在時，斜率不為0，故可設(shè)l:x=my+1，則y2則y1+y則M到準(zhǔn)線的距離為d=x又AB=故d=AB【變式31】2.（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l:y=x-2與拋物線C:x(1)求弦長|AB|；(2)判斷OA⊥【答案】(1)2(2)不成立，理由見解析【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程消元得二次方程，由韋達定理得x1+x（2）垂直關(guān)系的判斷，轉(zhuǎn)化為OA?OB=x【詳解】（1）設(shè)Ax則|AB|聯(lián)立方程組y=x-2x消去y，整理可得x2由韋達定理可知x所以x2因此|AB|2=2×84=168（2）設(shè)Ax1,因此OA?又因為由（1）可知x1+x2=-6所以O(shè)A?所以O(shè)A⊥【變式31】3.（2023秋·全國·高二期中）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點F的直線與C交于A,B兩點，點A(1)求直線AB的斜率；(2)若AB=163【答案】(1)3；(2)y2【分析】（1）設(shè)Ax1,y1,Bx2,（2）由題意可設(shè)線AB的方程為y=3x-p2，即x=【詳解】（1）解：設(shè)A因為AF=2p，所以A到準(zhǔn)線x=-p即x1+p代入拋物線方程可得y1=3又因為Fp2,0，所以直線AB（2）解：由（1）知，直線AB的斜率為3，設(shè)直線AB的方程為y=3則x=3由y2=2pxx=所以|AB|因為p>0，所以p=2，所以該拋物線方程為y2【變式31】4.（2024·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點為F，頂點為坐標(biāo)原點O，過點F的直線l與C相交于A,B兩點，當(dāng)點O到直線l(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點B作BD⊥x軸于點D，記線段BD的中點為P，且△OAF與△OPF的面積之和為S，求S的最小值.【答案】(1)y(2)2【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)l:x=my+p2，直線與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合弦長公式得到（2）設(shè)l:x=ny+1，Ax1,y1【詳解】（1）由題意知，F(xiàn)p2,0，直線l設(shè)l:x=my+p2，由x=my+p2yΔ=4p2則AB=1+當(dāng)m=0時，ABmax=2p=4，所以所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y（2）由（1）知F1,0，設(shè)l:x=ny+1，A聯(lián)立x=ny+1y2=4x，則y因為線段BD的中點為P，所以P點縱坐標(biāo)為12所以S=1當(dāng)且僅當(dāng)y1=y所以S的最小值為2【變式31】5.（2021秋·高二校考單元測試）已知動圓C過定點F(0,1)，且與直線l1:y=-1相切，圓心C的軌跡為(1)求動點C的軌跡方程；(2)已知直線l2交軌跡E于兩點P，Q，且PQ中點的縱坐標(biāo)為2，則PQ【答案】(1)x(2)6【分析】（1）設(shè)圓心C(x,y)，由點C到點F的距離等于它到l1（2）由題意易知直線l2的斜率存在，分兩種情況討論，當(dāng)直線l2的斜率為0時，得出PQ=42，當(dāng)直線l2的斜率不為0時，設(shè)直線l2的斜率為k，PQ中點坐標(biāo)為t,2,Px1【詳解】（1）設(shè)圓心C(x,y)，由題知，點C到點F的距離等于它到l1則x2兩邊平方得x2+y知點C的軌跡是以F為焦點，l1所求軌跡的方程為x2（2）由題意易知直線l2又拋物線方程為x2當(dāng)直線l2的斜率為0時，令y=2，得x=±22，則PQ=當(dāng)直線l2的斜率不為0時，設(shè)直線l2的斜率為k，PQ中點坐標(biāo)為則有x12=4作差得，x12-則直線l2的方程為y-2=t由y-2=t2(x-t)Δ=4t2由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x則PQ=(1+=(4+因為4+t2>0，8-當(dāng)且僅當(dāng)4+t2=8-t2因為42<6，所以【變式31】6.（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線C：y2(1)若直線PF交C于另外一點A，求AP；(2)若圓E：x-22【答案】(1)25(2)證明見解析【分析】（1）由點在拋物線上求得y2=4x，寫出直線PF方程，聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達定理及拋物線定義求（2）設(shè)M(yM24,yM)，N(yN24,yN)，則MN為4x-(【詳解】（1）由題設(shè)42=2p×4，則p=2，故y2又直線PF過拋物線焦點F，則直線PF:4x-3y-4=0，聯(lián)立直線與拋物線并整理得：y2-3y-4=0，故4+y所以xA結(jié)合拋物線定義知：AP=（2）設(shè)M(yM24,yM所以MN為(y-yM)(y由PM:y-4=yM-4yM而E(2,0)，PM與圓相切，則r=|8+4yM同理可得：(r所以yM,y故yM+yN=8(8-r所以r2(x+2y+8)-16(x+y+1)=0，即x+2y+8=0x+y+1=0所以直線MN過定點(6,-7).【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，設(shè)點坐標(biāo)、PM、PN方程，利用直線與圓相切，應(yīng)用點線距離公式得到y(tǒng)M,y題型4拋物線中的通徑【方法總結(jié)】過拋物線的焦點作垂直于對稱軸Q的直線與拋物線交于兩點，連結(jié)這兩交點的線段稱為拋物線的通徑,它的長為2p,這也是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義?！纠}4】x+12+y-22=4A．12 B．1 C．2【答案】C【分析】根據(jù)圓的通徑的右端點就是拋物線通徑的上端點，可得拋物線y2=2px經(jīng)過點【詳解】因為圓x+12+y-2而拋物線y2=2pxp>0所以圓x+12+y-2且圓的通徑的右端點就是拋物線通徑的上端點，因為圓x+12+y-22=4的圓心為-1,2，半徑為2即拋物線y2=2px經(jīng)過點1,2，則4=2p，即故選：C.【變式41】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下彩瓷．一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為1cm，瓷碗的軸截面可以近似看成是拋物線，碗里不慎掉落一根質(zhì)地均勻、粗細相同長度為22cm的筷子，筷子的兩端緊貼瓷碗內(nèi)壁．若筷子的中點離桌面的最小距離為7cm，則該拋物線的通徑長為（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】建立直角坐標(biāo)系設(shè)Ax1,y1，Bx2【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線為x2=2py(p>0)，焦點F0,p2∵AB=22，AB≤AF+設(shè)線段AB中點為M，則2y由題意知，yM的最小值為6，即12+p=22，得p=10∴該拋物線的通徑長為2p=20.故選：C【變式41】2.（多選）（2023秋·高二課時練習(xí)）以x軸為對稱軸的拋物線的通徑（過焦點且與x軸垂直的弦）長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為（

）A．y2=8x B．y2=-8x【答案】AB【分析】由題意設(shè)y2=2px、y2【詳解】由題意，若y2=2px(p>0)，則焦點為(p2,0)，故y=±p若y2=-2px(p>0)，則焦點為(-p2,0)，故y=±p綜上，p=4，則y2故選：AB【變式41】3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)，過焦點F的直線與拋物線C交于點Ax1,y1，(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點P1,0，直線AP，BP分別與拋物線C交于點C，D①求證：直線CD過定點；②求△PAB與△PCD面積之和的最小值.【答案】(1)C:(2)①證明見解析；②52【分析】（1）利用弦長求解p，即可求解拋物線方程；（2）（i）設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達定理找到坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線方程，即可求出定點；（ii）利用面積分割法求出兩個三角形面積表達式，然后利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）由題意，當(dāng)直線AB垂直于x軸時，x1=p2，代入拋物線方程得y1=±p，則AB=2p（2）（i）設(shè)Cx3,y3與拋物線C:y2=2x聯(lián)立，得y2-2my-1=0設(shè)直線AC:x=ny+1，與拋物線C:y2=2x因此y1+y3=2n，y所以kCD因此直線CD:x=2my-y3令y=0得，x=-2m=2所以直線CD過定點Q2,0（ii）因為S△PABS△PCD所以S△PAB當(dāng)且僅當(dāng)m=0時取到最小值52【變式41】4.（2021秋·上海浦東新·高三校考階段練習(xí)）設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P1，(1)求拋物線C的方程；(2)過點M(3,0)作方向向量為d=(1,a)的直線與曲線C相交于A，B兩點，求△FAB的面積S(a)(3)設(shè)m>0，過點M(m,0)作直線與曲線C相交于A，B兩點，問是否存在實數(shù)m使∠AFB為鈍角？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)y(2)S(a)=26+4(3)存在，m的取值范圍為(6-4【分析】（1）由拋物線通徑的長，可求p的值，得拋物線方程；（2）用點和方向向量表示出直線，與拋物線聯(lián)立方程組，由S△FAB（3）設(shè)出直線方程代入拋物線方程，因為∠AFB為鈍角，所以FA?【詳解】（1）拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F由題意可得P1p2,p,P2（2）直線方程為y=a(x-3)，由y2=8xy=a(x-3)△=64+96a設(shè)A(x1,y1),B(xS△FAB所以S(a)=26+4a2>0所以S(a)的值域為(26（3）設(shè)所作直線的方向向量為d=(b,1)，則直線方程為由y2=8xby=x-m設(shè)A(x1,y1又F(2,0)，則FA=(因為∠AFB為鈍角，所以FA?FB<0即x1x所以m2-12m+4<16b因此m2-12m+4<0，所以又點M與焦點F不重合，有m≠2，因此，當(dāng)m∈(6-42,2)∪(2,6+42)時滿足條件，即【變式41】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C:x2=2py(1)求拋物線C的方程；(2)已知點P2,1，直線m:y=kx+2與拋物線C相交于不同的兩點A，B，設(shè)直線PA與直線PB的斜率分別為k1和k【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）將MN用p表示，得出p的值，進而得拋物線方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)斜率計算公式結(jié)合韋達定理即可得結(jié)果.（1）由題意可得2p=4，得p=2，∴拋物線C:x（2）證明：m:y=kx+2，聯(lián)立y=kx+2x由Δ=16k2+32k>0，得設(shè)Ax1,y1，B∴k=x題型5最值取值范圍【方法總結(jié)】圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【例題5】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知動圓過點F12,0，且與直線x+12=0相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線C；過點F的直線與曲線C交于A，B兩點，曲線C在(1)證明：EF⊥AB；(2)設(shè)AF=λFB，當(dāng)λ∈13,【答案】(1)證明見解析(2)27【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得動圓圓心的軌跡為拋物線，設(shè)直線方程，根據(jù)切線方程可得E點坐標(biāo)，進而可得EF⊥AB；（2）由AF=λFB得m2=(1-λ)24λ，根據(jù)弦長公式，可得AB【詳解】（1）

由題意得，圓心到點F的距離和直線x+1由拋物線的定義知，曲線C的軌跡為拋物線，由焦點F12,0和準(zhǔn)線方程x+設(shè)l的方程為x=my+12，代入y2設(shè)Ay122,y1，切線AE方程為：y1y=x+y122③由③?④得y2x+y③④，得y1-y2y=當(dāng)m=0時，顯然有EF⊥AB，當(dāng)m≠0時，kEF?k所以EF⊥AB.（2）由題意得：AF=λFB，得y1=-λyy2=2m1-λ，因為AB=1+m所以S△ABE設(shè)y=m2=當(dāng)λ∈13,12時，y所以，當(dāng)λ=12時，m2取得最小值1【變式51】1.（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖：小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫板上面，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細繩，它的長度與另一直角邊相等，讓細繩的一端固定在三角板的頂點A處，另一端固定在畫板上點F處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細繩繃直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動，這時筆尖在平面上畫出了圓錐曲線C的一部分圖象．已知細繩長度為3，經(jīng)測量，當(dāng)筆尖運動到點P處，此時，∠FAP=30°，∠AFP=90°．設(shè)直尺邊沿所在直線為a，以過F垂直于直尺的直線為x軸，以過F垂直于(1)求曲線C的方程；(2)斜率為k的直線過點D0,-3，且與曲線C交于不同的兩點M,N，已知k的取值范圍為0,2，探究：是否存在λ，使得DM=λDN【答案】(1)y(2)存在λ∈0,1【分析】（1）根據(jù)拋物線定義可知軌跡為拋物線，采用待定系數(shù)法，求得P點坐標(biāo)后代入拋物線方程即可；（2）假設(shè)存在λ，將直線MN方程與拋物線方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論，并將λ+1λ表示為關(guān)于t=1【詳解】（1）由題意知：筆尖到點F的距離與它到直線a的距離相等，∴筆尖留下的軌跡為以F為焦點，a為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為y2=2pxp>0由∠FAP=30°，∠AFP=90°，PF+∴P點坐標(biāo)為p2代入拋物線方程得：34=2pp2-12∴軌跡C的方程為y2（2）

假設(shè)存在λ，使得DM=λ設(shè)Mx1,由y=kx-3y2=3x得：k∴x1+∴x∵DM=λDN，∴x1令t=1k∈∴u>12+2∵DM,DN同向，∴λ>0，∴4λ2∴存在λ∈0,14【點睛】思路點睛：本題考查拋物線定義的應(yīng)用、直線與拋物線綜合應(yīng)用中的存在性問題的求解；本題求解λ范圍的基本思路是結(jié)合韋達定理構(gòu)造出與λ有關(guān)的等量關(guān)系，將其表示為關(guān)于1k【變式51】2.（2023秋·高二單元測試）已知F是拋物線C:y2=2pxp>0的焦點，過點F的直線交拋物線C于A、(1)求拋物線C的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點，過點B作y軸的垂線交直線AO于點D，過點A作直線DF的垂線與拋物線C的另一交點為E，AE的中點為G，求GBDG【答案】(1)y(2)1【分析】（1）分析可知AB與x軸不重合，設(shè)直線AB的方程為x=my+p2，設(shè)點Ax1,y1、Bx2,y（2）寫出直線AO的方程，將y=y2代入直線AO的方程，求出D的坐標(biāo)，然后求出AE的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出點G的坐標(biāo)，分析可知G、B、D三點共線，可得出GBGD=1-1【詳解】（1）解：拋物線C的焦點為Fp若直線AB與x軸重合，則直線AB與拋物線C只有一個公共點，不合乎題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+p2，設(shè)點Ax聯(lián)立y2=