浙江省2023-2024學(xué)年高二年級下冊3月四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023學(xué)年第二學(xué)期3月四校聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1,已知直線x+2y_4=0與直線2%+程+加+3=0互相垂直，則加為（）

1

A.——B.1C.-1D.2

2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線垂直的一般式的結(jié)論即可得出答案.

【詳解】兩直線垂直，則有44+用為=0,即2+2祇=0,解得771=—1.

故選：c

2.已知｛4｝是等比數(shù)列，則“4>q〉0”是"｛4｝為遞增數(shù)歹『’的（）

A,充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.

【詳解】當(dāng)%>q>0,則公比4=&〉1,

一％

所以q=〃?〃T>0,

則4旦=q>l,所以%w>%,所以｛4｝為遞增數(shù)列，

an

若4=—[g],此時數(shù)列｛4｝遞增數(shù)列，而0〉％〉。1，

所以“外>%>0”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：B

3.已知直線3x+4y—4=0與圓C相切于點T（0,l）,圓心C在直線x—y=0上，則圓C的方程為（）

2222

A.(X-3)+(J-3)=13B.(X-3)+(J+3)=25

C.(X+3)2+(J-3)2=13D.(X+3)2+(J+3)2=25

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓心。的坐標(biāo)，利用左cr=]求出點。坐標(biāo)，進(jìn)而求出半徑度=|。刀，得解.

【詳解】由題意，設(shè)C(a,a)(awO),圓。的半徑為,，

a—14

kCT=----=—，解得a=-3,

a3

所以圓心c(—3,—3),半徑r=|CT\=J(-3-0)2+(-3-1)2=5，

所以圓C的方程為(X+3)2+(y+3『=25.

故選：D.

4.已知等比數(shù)列｛4｝的前幾項和為=12且％，生+6,生成等差數(shù)列，則變?yōu)?)

A.244B.243C.242D.241

【答案】A

【解析】

【分析】首先根據(jù)條件求公比，再代入等比數(shù)列的前幾項和公式，即可求解.

【詳解】由題意可知，%+g=12且a+/=2(4+6),

設(shè)等比數(shù)列的公比為4，

則q+q/=2%q+q+axq,得q=3，

&=>-31^=1+35=244.

S5i-35

1-3

故選：A

22

5.已知橢圓C:j+￡=l(a〉6〉0)的左右焦點分別是可，F(xiàn)],過耳的直線與C相交于A,B兩點,

若|明|=2忸耳|,巡I，則。的離心率為()

A.1B.2C.mD.好

2325

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)橢圓的定義得到|A用=|Ag|=a,|AB|=]a,再由等腰三角形的性質(zhì)得到

a

91

COSZBAF2=^=~,最后由二倍角的余弦公式得到離心率.

由題意可得忸閭+|班|=2a,因為|明=忸閭,

3

所以仙用=|4q=可4同=54，

a

設(shè)出閶=2c,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得cosZBAF2=齊=J，

-a

2

2

因為ZBAF2=2ZOAFX,所以cosZBAF,=l-2sinZOA^,

又sinNOAK=f,所以1=1—ne=走，

a3{aj3

故選：B.

6.己知正三棱臺ABC-A§iG的上、下底面的邊長分別為2和4,且棱臺的側(cè)面與底面所成的二面角為

60，則此三棱臺的表面積為（）

A.7月B.10石C.11V3D.1273

【答案】C

【解析】

【分析】求得棱臺的斜高，進(jìn)而計算出三棱臺的表面積.

【詳解】設(shè)DQ分別是的中點，連接AD，A2,

設(shè)o,q分別是正三角形ABC和正三角形4耳￡的中心，

則OeAD,O]且4。=-AD.=B,BD=LAD=^^，

3333

由于oq，平面ABC,BCu平面ABC,所以O(shè)qLBC,

由于AD_LBC,ADnOO{=O,AD,OOXu平面ADDXA1,

所以平面AD2A，由于。，u平面AD2A，

所以所以NQDA是棱臺的側(cè)面與底面所成的二面角的平面角,

所以NQZM=60。，過a作垂足為石，則。石=O?！?/p>

所以。2=孚

2

所以三棱臺的表面積為,x2?xsin60°+—x4xsin60°+xx3=11省.

2223

Z7—Y

7.已知曲線y=存在過坐標(biāo)原點的切線，則實數(shù)。的取值范圍是()

e

A.[-4,0]B.(-OO,T]D[0,+8)

C.(-4,0)D._(0,+co)

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)出切點橫坐標(biāo)％,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于為的方程，根

據(jù)此方程應(yīng)有實數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】：尸匕，

,-\-a+x

*.y=-------

ex

設(shè)切點為(%,%),則以一：■，切線斜率左=1:+>，

CC

..切線方程為y-與含=T：：+%(x_%),

CC

??切線過原點,

-aJ=1(—Xo),整理得：xl-ax0-a=0,

cc

.?存在過坐標(biāo)原點的切線，

A=a2+4tz>0.解得aW-4或。20,

..實數(shù)。的取值范圍是(―”,T]u[0,+”).

故選：B.

8.已知〃=見也，b=3,c=￡3,貝Um。，c的大小關(guān)系為(

4e23

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

【答案】D

【解析】

1TlJC1TlJC

【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/(X)=F，利用導(dǎo)數(shù)判斷出/(X)=F的單調(diào)性，進(jìn)而得到a,b,

XX

C的大小關(guān)系.

1nY

【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)/(x)=一，

X

x-2xinxl-21nx

4

Xx3

令/'(%)<。，則x>&'，令r(x)>。,得0<x</,

因此〃x)=坐在倒，回單調(diào)遞增，在[店+8)單調(diào)遞減，

X

而"竽=限=〃4)，八!=但=〃吩。=?=/(6)

因為4〉e>百〉/，所以a<6<c

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列求導(dǎo)正確的是（）

A-(lnlO)'='B

〔T=2X+「

C.(xe)=(x+l)evD.(cos3x)=-sin3x

【答案】BC

【解析】

【分析】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運算法則計算即可.

I

【詳解】（lnlO）'=O,九2=2x+J，

x

xex\=ex+xe*=(x+1)e*,(cos3x)=-3sin3x.

故選：BC.

10.已知圓C:(x—5)?+(y—5)2=9,A(2,0),B(0,2),則()

A.在圓C上存在點P,使得忸可=3

B.在圓C上存在點P,使得點P到直線AB的距離為5

C.在圓C上存在點尸.使得NAPS=90。

D.在圓C上存在點P,使得|/m=忸尸|=4

【答案】AB

【解析】

【分析】求出后—3〈忸。|＜四+3判斷A；根據(jù)尸到直線AB的距離d?[4A歷-3,4行+3]判斷B；

轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系判斷C；求出垂直平分線與圓的交點判斷D.

【詳解】由0:（%-5）2+（丁—5）2=9可得，圓心。（5,5）,半徑廠=3,

對于A.,因為忸C|=J（O-5）2+（2-5）2=衣，

所以用—3＜忸,＜用+3,取一3＜3〈取+3,所以在圓。上存在點P,使得忸P|=3,正

確；

xy|5+5-2|?—

對于B,A3的方程為一+2=1,即x+y—2=。，C到A3的距離為J~~1=442,

22V2

P到直線AB的距離dG[4拒—3,40+3],而5e[4后—3,40+3],

所以在圓C上存在點P,使得點P到直線A3的距離為5,正確;

對于C,以A(C0),5(0,2)為直徑端點的圓E：(x—iy+(y—l)2=2,

圓心石(1,1),半徑q=J5,|EC|=41J+(1—5)2=40〉3+0，兩圓外離，兩圓沒有交點,

所以在圓。上不存在點P.使得NAPfi=90。，錯誤；

對于D,AB垂直平分線方程為丁=%,直線,=%與圓。:(%—5『+('—5)2=9相交，

L3后.3應(yīng)）

122J

1+逑,5+迪、時，|4尸|=忸/#4,所以在圓。上不存在點P,使得|AP|=忸。|=4,錯誤.

I2

故選：AB.

11.如圖所示，在棱長為2的正方體ABC。—44Goi中，點E是棱CG的中點，則下列結(jié)論中正確的是

A.點A到平面5DE的距離為布

異面直線AG與BE所成角的余弦值為叵

B.

10

C.三棱錐A-5DE的外接球的表面積為11兀

D.若點/在底面A8CD內(nèi)運動，且點M到直線AG的距離為百，則點用的軌跡為一個橢圓的一部分

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用點到平面的距離公式處理即可，對于B,利用線線角的向量求法處理即可，對于C,

利用球的方程解出半徑再求面積即可，對于D,利用圓柱與平面的截面即可判斷.

對于A：以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),5(2,2,0),E(0,2,l),A(2,0,2),

故。3=(2,2,0),DE=(0,2,1),D\=(2,0,2),

設(shè)面BDE的法向量n=(X,y,Z),點A到平面BDE的距離為d,

則2x+2y=0,2y+z=0,令x=—l,解得y=l,z=—2,

故〃=—2),

由點到平面的距離公式得d=上土土=布，故A正確，

J1+1+4

對于B：易知A(2,0,0),￡(0,2,2),故苑=(—2,2,2),BE=(-2,0,1),

4+2、后

設(shè)異面直線AG與班所成角為。，則cos。=7~產(chǎn)=*,故B錯誤，

V5xV125

對于C：設(shè)三棱錐A-BDE的外接球的方程為(x—a)2+(y—6)2+(c-z)2=R2,

將4,5,代入球的方程，

(a-2)2+(Z?-0)2+(c-2)2=7?2

用彳J-2)2+0-2)2+(°一0)2=改

口守(a-0)2+(Z?-2)2+(c-l)2=7?2'

(a-0)2+(Z?-0)2+(c-0)2=7?2

(a-2)2+(c-2)2=(a-0)2+(c-0)2

利用加減消元法可得「J,)：)

(a-2)+(c-0)=(Q—0)+(C-1)

h-c1+0—0/+1|—o]=R2

75(6

解得。=—,c=—，代入方程中可得

66IG-2

j+("—0)2+['—2]=R2

解得心平

b=~,故表面積為x4x兀=11兀，故C正確,

6

對于D：因為/到直線4c的距離為百，故M的軌跡是以4。為對稱軸的圓柱，

而M又在底面上，底面與對稱軸不垂直，

故M在底面與圓柱的截面上，此截面必為橢圓的一部分，

故D正確.

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：空間中的幾何體的外接球，可以通過綜合法確定球心的位置，也可以利用球的方程

確定球心坐標(biāo)和球的半徑，而空間中動點的軌跡，則需利用幾何體的特征確定動點的幾何特征，結(jié)合線面

關(guān)系確定軌跡.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

223

12.雙曲線2L—土=1的離心率為一，則其漸近線方程是______.

4m2

【答案】y=七正x

-5

【解析】

【分析】由題意可得出e=￡=《4+”=3,求出機的值即可求出其漸近線方程.

a22

22

【詳解】由匕—二=1可得：m>0且a=2,b=而,

4m

所以c=Ja2+/=yj4+m，

所以e=$=業(yè)g=3,解得：m=5,

a22

所以雙曲線2―H=l,則其漸近線方程為：>=±撞尤

455

故答案為：y=±x.

-5

13.在數(shù)列｛4｝中，％=1,%=7,若數(shù)列Iog2（4+1）為等差數(shù)列，則

【答案】1-

【解析】

【分析】設(shè)4=皿2（%+1）,根據(jù)q=l,6=7求出乙和得到也｝的通項公式，進(jìn)而得到｛叫的通

項公式，最后利用等比數(shù)列求和公式求和即可.

【詳解】設(shè)2=log2（%+l），貝￡%｝為等差數(shù)列，設(shè)他”｝的公差為d，

%=1,4=7,4=log2（q+1）=1，&=log2（/+l）=3，

人臺—匕,

則2d=b]=2,d=L.,bn=

則〃=log2（%+l），?.?%=2〃T,

i二i

(2n+1-i)-(r-i)2"UJ

2

故答案為：1—1gj.

/、x.Inx7-x9Inx,小

14.若對任意的不、x2e（m,+oo）,且玉<%2，-------------------<2，則加的最小值是

【答案】-

e

【解析】

【分析】分析出函數(shù)/（x）=@五2在（加,轉(zhuǎn)）上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/（%）的單調(diào)遞減區(qū)間,

即可求得實數(shù)加的最小值.

/、xInInx小

【詳解】對任意的毛、A：2G（m,+oo）,且玉<%2，-------------------<2，易知加之。，

即In玉+2>In%+2

則玉In九2—犬21口％<2%2—2%，所以，jq(lnx2+2)<x2(lnxl+2),

令=lnx+2,則函數(shù)〃尤)在(加,+8)上為減函數(shù),

因為/'(彳)=_"1+1,由/<力<0,可得%>：,

所以函數(shù)八％)的單調(diào)遞減區(qū)間為1,+，］，

所以，(〃z,+oo)』L+co］,所以，機2,，因此，實數(shù)加的最小值為工.

yeJee

故答案為：—.

e

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(%)=49-3f-18x+27,xeR.

(1)求〃尤)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求“力在區(qū)間［0,3］上的最大值與最小值.

【答案】(1)答案見解析；

27

(2)最大值為54,最小值為一.

4

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究/(X)的單調(diào)性，并求出極值即可；

(2)根據(jù)(1)結(jié)果，比較區(qū)間內(nèi)端點值、極值大小，即可得最值.

【小問1詳解】

由題設(shè)/'(x)=12d—6x—18=12(x+l)(x—：),令/'(x)=0,得尤=—1或

33(3

當(dāng)/"(x)>。時，即12(x+l)(x—j)>0,解得x〉5或x<—1,單調(diào)遞增區(qū)間為(f,—1)和5，+“

當(dāng)/''(?〈O時，即12(x+l)(x—1)<0,解得—1<X<T，單調(diào)遞減區(qū)間為

函數(shù)/(%)的極大值為/(-I)=38,極小值為/(1)=彳.

【小問2詳解】

由9e［0,3］,/(0)=27,/⑶=54,則/\|)<八0)<〃3)

且了(無)在區(qū)間［0,3］上連續(xù)，函數(shù)/(8)在區(qū)間［0,3］內(nèi)的最大值為54,最小值為1.

16.已知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝和等比數(shù)列他,｝中，6=2=1,4+H=T，%+4=-3.

（1）求數(shù)列{%},{〃}的通項公式;

1n

(2)若7；為數(shù)列------卜的前〃項和，求使4+廠4°成立的九的取值范圍.

n

【答案】16.4=—2〃+3,bn=2-'

17.{1,2}

【解析】

【分析】(1)設(shè)出兩數(shù)列，借助基本量計算即可得；

(2)借助裂項相消法計算出7；后，解出不等式即可得.

【小問1詳解】

nx

設(shè)4=6bn=bxq~,又q=4=l,

則可得%+4=〃1+2d+b、q—1+2d+q=—1,

%+4=%+4d+b1q2=1+4d+/——3,

2d+q=—2d=—2d——1

即有4…2J解得{c或4八，

4J+q——4=219=0

又dwO、鄉(xiāng)。0,故d=—2,q=2,

nx

即為二1一2(〃-1)=—2〃+3,bn=q~=2〃T；

【小問2詳解】

1_1_lp______

[〃〃〃+](-2〃+3)(-2〃+1)2(2〃-32n—1J

?1(11111111"1\—〃

貝口'=5[口+罰-n|=5「1一罰|=n，

n—nn—nn

TH.....----------1---2----------------1---

b32n-l22n-l4

由〃21,即-4〃+〃（2〃-1）＜。，整理得〃（2〃一5）＜。,

解得0?幾《—,又〃wN*，故〃=1或〃=2,

2

即使WO成立的”的取值范圍為{1,2}.

17.如圖，在多面體ABCDEE中，平面ADE，平面A2C￡>,VADE是邊長為2的等邊三角形，四邊形

48CQ是菱形，且NS4D=60°,EF//AB，AB=2EF.

（2）在線段AE上是否存在點使平面MA。與平面M8C夾角的余弦值為心.若存在，請說明點M

5

的位置；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在點點M為線段AE的中點

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出AE.BD=0,從而得出應(yīng)>，”，利用四邊形

ABCD是菱形，得出5。，AC,再利用線面垂直的判定定理即可得出證明；

（2）設(shè)=0W2W1,利用（1）結(jié)果，求出平面MBC一個法向量〃=（0,41）和平面

MW的一個法向量為加=（0,1,0），再根據(jù)條件，利用面面角的向量法即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

取AD中點。，連接

因為VADE為等邊三角形，所以O(shè)ELAZ）,

又平面平面ABCZ）,平面A￡）E|］平面ABCD=A￡>,OEu平面ADE,

所以O(shè)EL平面ABC。，

又四邊形ABC。是菱形，且/9。=60。，所以

故以。為原點，為x軸，。8為y軸，OE為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

z」

因為筋=40=￡￡>=￡^=5￡>=2，EF=1，易知OE=OB=#)，

則A(1,O,O),B(0,V3,0),2,g,0),0(—1,0,0),E(0,0,A/3),

所以AB=C，/0),EF=^AB=一；半0，

得到E,故AF=--^■,-^-,A/3,BD=^-1,-^,0j,

得到AN8。=0，所以B￡>_LAF，

又5￡>_LAC,ACu平面ACP,AFu平面ACRACryAF=A,

：.80/平面ACE

【小問2詳解】

假設(shè)存在點M，使平面MW與平面MBC夾角的余弦值為好，

5

設(shè)AM=XAE，0W4W1,則(%”-1,%/“)=4-1,0,石卜

所以X”=1—X,yM=0,ZM=C"即"(1—九0,國)，

所以5M=(1—2,-百,故)，BC=(-2,0,0),

設(shè)平面MBC的法向量為n=(x,y,z),

則/"=°即［(1一小一屆+&z=0,所以jy=2z,

BC,TI—2.x-0x=0

令Z=l,得x=0,y=/l,所以〃=(o,41),

又平面MW的一個法向量為m=（0,1,0）,

?111#),解得x=,或彳=一工（舍去）,

所以cosm,n\=J?=——

11522

所以，存在點M,使平面MW與平面MBC夾角的余弦值為好,

5

點M為線段AE中點.

18.已知函數(shù)/(x)=&+aln(x+l)有兩個極值點.

(1)求實數(shù)。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)/(X)的兩個極值點分別為百,多,且占<%2，證明：/(-x2)<l-ln2.

【答案】(1)a<-l

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得x+2a?+l=0有2個不同的根，令/=則

『+2G+l=0有2個不同的正根乙4，利用根的判別式及韋達(dá)定理得到不等式，解得即可;

(2)依題意可得%+1+2。丘=0,即可得到。=一義￡，即可得到〃X2)=K—[^ln(X2+l),

設(shè)g⑺“0Z

(?>1),利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到g?)<l-ln2,從而得證;

【小問1詳解】

解：因為/(x)=J^+aln(x+l)定義域為[0,+8),

1a%+2a?+l

所以/''。)=____I_____因為函數(shù)/(尤)的兩個極值點,

2A/XX+1__2A/X(X+1)

二?x+2〃J^+l=0有2個不同的根,

令，=J7NO,則r+2袱+1=0有2個不同的正根%,。，所以A=4a2—4>0且。+L=-2〃>。，解得

uv—1；

【小問2詳解】

解：由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)。<一1時/a)有兩個極值占,當(dāng)且看<々，因為%+l+2aJE=。，所以

所以了(％2)=忘+aln(x,+1)=后一+1)

262

又=1,0<xi<x2,：.x2>1,則叵>1,

、幾,.(廠+l)ln(廠+1)

設(shè)g?)”-——彳——-?〉1)，

It

則⑺=]⑵ln(y+l)+2)一(/+l)ln(r+l)=(1—『)ln(1+l)<0

'2/t2

函數(shù)g?)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

，g?)<g⑴=l-ln2,

?，?/(X2)=g(后)<lTn2.

19.己知拋物線C：y2=2px(p>0),P(-l,2),過焦點戶的直線交拋物線于4(%,%),3(馬,%)兩點，

且%?4=1.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若線段PAP3交y軸于N(O,m兩點，判斷“2+〃是否是定值，若是，求出該值，否則說

明理由.

(3)若直線x="y+"交拋物線于C,O兩點，/為弦CD的中點，|CD|=40,是否存在整數(shù)加，使

得，PCD的重心恰在拋物線上.若存在，求出滿足條件的所有，〃的值，否則說明理由.

【答案】(1)V=4%

(2)m+n=2,為定值

(3)m=l

【解析】

【分析】(1)聯(lián)立直線和拋物線方程由韋達(dá)定理可得凡-々=9=1，即可求出拋物線C的方程；

(2)求出直線的方程得出加,〃的表達(dá)式，由韋達(dá)定理化簡可得利+〃=2；

(3)利用弦長公式可求出|CD|關(guān)于加，〃的式子，再結(jié)合〃?為整數(shù)即可得出m