2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點突破第1章集合常用邏輯用語不等式第3講不等關(guān)系與不等式考點2不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

不等式的性質(zhì)及應(yīng)用角度1不等式的性質(zhì)1.(多選題)已知a>b>0，c>d>0，則下列不等式中一定成立的是(ABD)A．a(chǎn)＋c>b＋d B．a(chǎn)－d>b－cC.eq\f(a,c)>eq\f(b,d) D．eq\r(ac)>eq\r(bd)[解析]對于A，因為a>b>0，c>d>0，所以a＋c>b＋d成立；對于B，因為a＋c>b＋d，所以a－d>b－c成立；對于C，舉反例，如a＝6，b＝2，c＝3，d＝1，可知eq\f(a,c)＝eq\f(b,d)，故C錯誤；對于D，因為a>b>0，c>d>0，所以ac>bd>0，故eq\r(ac)>eq\r(bd)成立．故選ABD.2．若a，b，c∈R，則下列命題為假命題的是(B)A．若a>b，則eq\r(3,a)>eq\r(3,b)B．若a>b，則ac2>bc2C．若a<b<0，則eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D．若ac2<bc2，則a<b[解析]利用不等式的性質(zhì)，逐項分析、判斷作答．a(chǎn)>b，則a－b＝(eq\r(3,a))3－(eq\r(3,b))3＝(eq\r(3,a)－eq\r(3,b))[eq\r(3,a)2＋eq\r(3,a)eq\r(3,b)＋(eq\r(3,b)2)]>0，而(eq\r(3,a))2＋eq\r(3,a)eq\r(3,b)＋(eq\r(3,b))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,a)＋\f(1,2)\r(3,b)))2＋eq\f(3,4)(eq\r(3,b))2>0，因此eq\r(3,a)－eq\r(3,b)>0，即eq\r(3,a)>eq\r(3,b)，A正確；a>b，當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，B錯誤；a<b<0，有ab>0，兩邊同時除以ab，則有eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，C正確；ac2<bc2，則c≠0，此時c2>0，于是a<b，D正確．故選B.3．(多選題)(2024·長沙調(diào)研)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式中正確的是(AC)A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a(chǎn)－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2[解析]由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0.A中，因為a＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<0，eq\f(1,ab)>0.故有eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)，即A正確；B中，因為b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B錯誤；C中，因為b<a<0，又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則－eq\f(1,a)>－eq\f(1,b)>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，故C正確；D中，因為b<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以lnb2>lna2，故D錯誤．由以上分析，知A，C正確．名師點撥：1．在判斷一個關(guān)于不等式命題的真假時，先把要判斷的命題和不等式的性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并根據(jù)性質(zhì)判斷命題的真假，有時還要用到其他知識，如本例中冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等．2．在應(yīng)用不等式的性質(zhì)時，不可以強化或弱化不等式成立的條件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正數(shù)不等式”才可以相乘．3．在不等關(guān)系的判斷中，賦值法是非常有效的方法．角度2利用不等式的性質(zhì)求范圍問題1.已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是(－4,2),3x＋2y的取值范圍是(1,18)，eq\f(x,y)的取值范圍是.[解析]∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6,∴1<3x＋2y<18.由2<y<3，得eq\f(1,3)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2)，當(dāng)0<x<4時，0<eq\f(x,y)<2，當(dāng)x＝0時，eq\f(x,y)＝0，當(dāng)－1<x<0時，0<－x<1，∴0<－eq\f(x,y)<eq\f(1,2)，∴－eq\f(1,2)<eq\f(x,y)<0，綜上－eq\f(1,2)<eq\f(x,y)<2.[解析]設(shè)3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝3，,μ－λ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(5,2)，))∴3x＋2y＝eq\f(1,2)(x－y)＋eq\f(5,2)(x＋y)．∵－1<x－y<4,2<x＋y<3，∴－eq\f(1,2)<eq\f(1,2)(x－y)<2,5<eq\f(5,2)(x＋y)<eq\f(15,2)，∴eq\f(9,2)<eq\f(1,2)(x－y)＋eq\f(5,2)(x＋y)<eq\f(19,2).故3x＋2y的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，\f(19,2))).名師點撥：利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質(zhì)；二是在多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴大了變量的取值范圍．解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運算求解范圍．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(多選題)(2023·張家口一模)若a>b，則下列不等式中正確的有(AB)A．a(chǎn)－b>0 B．2a>2bC．a(chǎn)c>bc D．a(chǎn)2>b2[解析]對于A，因為a>b，所以a－b>0，故A正確；對于B，因為a>b，且指數(shù)函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，所以2a>2b，故B正確；對于C，若c<0，則ac<bc，故C錯誤；對于D，當(dāng)a＝1，b＝－2時，a2<b2，故D錯誤．選AB.2．(角度1)(多選題)(2023·泰州調(diào)研)若a>b>0>c，則(ABD)A.eq\f(c,a)>eq\f(c,b) B．eq\f(b－c,a－c)>eq\f(b,a)C．a(chǎn)c>bc D．a(chǎn)－c>2eq\r(－bc)[解析]對于A，因為a>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，又c<0，∴eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，A正確；對于B，a(b－c)－b(a－c)＝(b－a)c>0，∴a(b－c)>b(a－c)，兩邊除以a(a－c)，∴eq\f(b－c,a－c)>eq\f(b,a)，B正確；對于C，由冪函數(shù)y＝xc(c<0)，得ac<bc，C錯；對于D，由已知得，ac<bc，∴－ac>－bc，又a－c＝a＋(－c)≥2eq\r(－ac)>2eq\r(－bc)，∴D正確．故選ABD.3．(角度2)若1<α<3，－4<β<2，則eq\f(α,2)－β的取值范圍是.[解析]由1<α<3得eq\f(1,2)<eq\f(α,2)<eq\f(3,2)，由－4<β<2得－2<－β<4，所以eq\f(α,2)－β的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(11,2))).4．(角度2)已知－3<a<－2,3<b<4，則eq\f(a2,b)的取值范圍為(A)A．(1,3) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(9,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))