新疆維吾爾自治區(qū)普通高中2024屆高考全國統(tǒng)考預測卷數(shù)學試卷含解析

新疆維吾爾自治區(qū)普通高中2024屆高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知點4-3,0）,8（0,3）,若點尸在曲線y=—詔二7上運動，則△243面積的最小值為（）

93/-93/—

A.6B.3C.----v2D.—I—72

2222

2.第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環(huán)所占面積與

單獨五個環(huán)面積之和的比值P,某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10,寬為6的長方形奧運會旗

內(nèi)隨機取N個點，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點數(shù)為“個，已知圓環(huán)半徑為1,則比值尸的近似值為（）

22

3.已知橢圓三+2=1（。〉沙〉0）的左、右焦點分別為片、區(qū),過點片的直線與橢圓交于尸、。兩點.若APgQ的

內(nèi)切圓與線段尸&在其中點處相切，與PQ相切于點片，則橢圓的離心率為（）

A.也B.旦C.也D.3

2233

J）19

4.若（1-九y°i9=%+4（*+］）++a2019（x+l）,xeR,則+++4019.3239的值為（）

A.-1-22019B.-1+22019C.1-22019D.1+22019

5.復數(shù)z=—^的共朝復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于（）

l+2z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.點。為AA5C的三條中線的交點，且。4,03,AB=2,則ACBC的值為（）

A.4B.8C.6D.12

7.下列函數(shù)中，圖象關于V軸對稱的為（）

X

A./(x)=B./(%)=，7+2x+J7-2x，xe[-l,2]

Jr2+1

ex+e

C./(x)=sin8xD.以x)=-

8.甲、乙、丙、丁四人通過抓閹的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完閹后，甲說：“我沒抓到.”乙

說：“丙抓到了.”丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到.”已知他們四人中只有一人說了真話，根據(jù)他們的說法，可以斷定

值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

9.（2,—1）（2—2”了的展開式中8'的項的系數(shù)為（）

A.120B.80C.60D.40

10.已知/（%+2）是偶函數(shù)，〃兄）在（-8,2］上單調(diào)遞減，f（0）=0,則/（2-3%）〉。的解集是

22

A.（-℃,—）I（2,+co）B.（—，2）

12.已知非零向量.，人滿足（a—（b-血單b,則。與人的夾角為（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.能說明“在數(shù)列｛4｝中，若對于任意的加〃eN+,am+n>am+an,則｛4｝為遞增數(shù)列”為假命題的一個等差數(shù)

列是.（寫出數(shù)列的通項公式）

14.已知變量看e（0,7"）（m>0）,且玉<%，若X）<%為恒成立，則山的最大值

15.在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,4c,且acosB=acosC+ccosA,若ABC外接圓的半徑為冬8,

3

則ABC面積的最大值是.

22

16.如圖，K、工分別是雙曲線工-與=1的左、右焦點，過工的直線與雙曲線。的兩條漸近線分別交于A、B兩

a~b~

點，若居A=AB,F；BF,B=O,則雙曲線C的離心率是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-依+a,其中a>0.

(1)討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；

(2)求證：eT+sinx>xlnx+l.

18.(12分)如圖，四棱錐尸-A3CD中，底面A5C。是矩形，面底面ABC。，且AR4D是邊長為2的等

邊三角形，PC=在PC上，且PA面AffiD.

(1)求證:"是PC的中點;

AF

(2)在Q4上是否存在點尸，使二面角b-5D-M為直角？若存在，求出「的值；若不存在，說明理由.

AP

19.（12分）已知函數(shù)/（x）=Inx—a*?+（〃—萬―i）x+b+i（a,/,w尺）.

⑴若a=O,試討論/(尤)的單調(diào)性;

⑵若。<“,』，實數(shù)2為方程/⑺”收的兩不等實根,求證：1+f>4-2?.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx-21nx+3x—5,g(x)=lnx+""+二.

x%■

37)

(1)求證：/(x)在區(qū)間(1,內(nèi))上有且僅有一個零點七,且

2J4r

(2)若當時，不等式g(x)之0恒成立，求證：。〈一.

4

21.(12分)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降

價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關.如

果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,

需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為丫(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出y的所

有可能值，并估計y大于零的概率.

22.(10分)已知函數(shù)=.

⑴若/(x)=x—L—ln%在％A%)處導數(shù)相等，證明：/(石)+/(42)>3—21n2；

X

(2)若對于任意,直線，=辰+人與曲線y=/(x)都有唯一公共點，求實數(shù)b的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

求得直線A5的方程，畫出曲線表示的下半圓，結合圖象可得P位于(-1,0),結合點到直線的距離公式和兩點的距離

公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.

【詳解】

解：曲線y=—加一。表示以原點。為圓心,1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，

直線的方程為x-y+3=0,

|-1-0+3|

可得|A5|=3立，由圓與直線的位置關系知P在(-L0)時，P到直線A5距離最短，即為=V2,

則APAB的面積的最小值為gx3&x0=3.

【點睛】

本題考查三角形面積最值，解題關鍵是掌握直線與圓的位置關系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數(shù)形結

合思想易得.

2、B

【解析】

根據(jù)比例關系求得會旗中五環(huán)所占面積，再計算比值P.

【詳解】

設會旗中五環(huán)所占面積為S,

義工Snffl-ruc60〃

由于二==7，所以S=-^

60NN

「川nS12〃

故可得P=,=

5萬兀N

故選：B.

【點睛】

本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.

3、D

【解析】

可設的內(nèi)切圓的圓心為/，設|尸耳上根，歸閭="，可得加+〃=2a,由切線的性質(zhì):切線長相等推得m=g〃，

解得加、〃，并設|Q娟=/,求得/的值，推得“心。為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結合離心率公式可得所

求值.

【詳解】

可設的內(nèi)切圓的圓心為/,M為切點,且為尸工中點，??」尸耳|=|五閘=慳司，

設|尸耳|=機，歸閭=〃，則機=；〃，且有〃z+〃=2a,解得機=與，〃=?,

設|Q周=/，|。耳|=2aT,設圓/切Q8于點N,則|N用=|M￡卜g,|QV|=|QG|=f,

由2aT=|Q閭=|QN|+|N￡|=/+?,解得音，.?.閘=>+\=?,

DJD

所以為等邊三角形，

\PF2\=\QF2\=^,APQQ

所以，2c=叵處,解得￡=走.

23a3

因此，該橢圓的離心率為走.

3

故選：D.

【點睛】

本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡運算能力，屬

于中檔題.

4、A

【解析】

取得到。取尤=則+。2019計算得到答案.

x=—1,0=22°\2,4+4-32?32++?2019-3=-1,

【詳解】

取x=—l,得到%=2~"9；取光=2,則4+q?3+出?3~++%019.3~"9=—L

故20192019

qS+g-B?++?2019.3=-1-2.

故選：A.

【點睛】

本題考查了二項式定理的應用，取x=-1和％=2是解題的關鍵.

5^D

【解析】

由復數(shù)除法運算求出z,再寫出其共物復數(shù)，得共朝復數(shù)對應點的坐標.得結論.

【詳解】

ii（l-2i）i+221.-2121

=+z,Z=---i,對應點為（1,—三），在第四象限.

1+2，—（1+27）（1—2，）JJJDDDD

故選：D.

【點睛】

本題考查復數(shù)的除法運算，考查共朝復數(shù)的概念，考查復數(shù)的幾何意義.掌握復數(shù)的運算法則是解題關鍵.

6、B

【解析】

2AC-BC=3AO[AC=2AO+BO

可畫出圖形，根據(jù)條件可得，從而可解出，然后根據(jù)03,AB=2進

2BC-AC=3BO[BC=2BO+AO

行數(shù)量積的運算即可求出ACBC=（2AO+BC^（2BO+A。）=8.

【詳解】

如圖：

A

點。為AABC的三條中線的交點

A(9=1(AB+AC)=1(2AC-BC),BO=^(BA+BC)=1(2BC-AC)

2AC-BC=3AO[AC=2AO+BO

，由〈可得：〈，

2BC-AC=3BO[BC=2BO+AO

又因AB=2,

.,.....2.2.2

ACBC=(2AO+BO}-(2BO+AO)=2AO+2BO~=2AB=8-

故選:B

【點睛】

本題考查三角形重心的定義及性質(zhì)，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運

算及向量的數(shù)量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.

7、D

【解析】

圖象關于y軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)，用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項進行判斷可解.

【詳解】

圖象關于y軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)；

x

A中，xeR故f(x)=為奇函數(shù);

A/X2+1

8中，/(X)=j7+2x+J7-2x的定義域為[-1,2],

不關于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù);

C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，/(%)=sin8x為奇函數(shù);

。中，xeR且xwO,/(—x)==3=/(x),故/(x)=U^為偶函數(shù).

(一元)X

故選：D.

【點睛】

本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法：

⑴定義法：對于函數(shù)/Xx)的定義域內(nèi)任意一個X都有〃x)=-/(-X),則函數(shù)/(x)是奇函數(shù)；都有/(%)=/'(-X),

則函數(shù)“X)是偶函數(shù)

(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)<=>函數(shù)圖象關于原點(V軸)對稱.

8、A

【解析】

可采用假設法進行討論推理，即可得到結論.

【詳解】

由題意，假設甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，

T：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；

假設甲：我沒有抓到是假的，那么?。何覜]有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以斷定值班人是甲.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了合情推理及其應用，其中解答中合理采用假設法進行討論推理是解答的關鍵，著重考查了推理與分析

判斷能力，屬于基礎題.

9、A

【解析】

化簡得到(2*-1)(2-2*了=2'?(2-2"『-(2-2'1，再利用二項式定理展開得到答案.

【詳解】

(2^-1)(2-2工7=2,?(2—2'丫—(2—2工了

展開式中8‘的項為2-rC；23(-2*)2-C；22(-2*)3=120x8\

故選：A

【點睛】

本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.

10、D

【解析】

先由/'(x+2)是偶函數(shù)，得到了(元)關于直線x=2對稱；進而得出了(元)單調(diào)性，再分別討論2-3x22和2-3x<2,

即可求出結果.

【詳解】

因為/(x+2)是偶函數(shù)，所以/(元)關于直線尤=2對稱；

因此，由/(0)=。得*4)=0；

又于(x)在(-8,2］上單調(diào)遞減，則;'(X)在［2,+⑹上單調(diào)遞增；

所以，當2—3x22即x<0時，由/(2-3x)>0得/'(2-3x)>/(4),所以2—3x>4,

解得x<—；

3

當2—3x<2即尤>0時，由/(2-3幻>0得了(2-3彳)>/(0),所以2-3<<0,

解得工〉2；

3

因此，/(2-3x)>0的解集是(—,-|)J(|,+8).

【點睛】

本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對應不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于常考題型.

11、A

【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計算x=l時的函數(shù)值可排除三個選項.

【詳解】

x>0時，函數(shù)為減函數(shù)，排除B,T<x<0時，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D,又x=l時，y=l—ln2>0,排除C,

只有A可滿足.

故選：A.

【點睛】

本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除，可通過

特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負，函數(shù)值的變化趨勢排除，最后剩下的一個即為正確選項.

12、B

【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關系化簡，即可由平面向量數(shù)量積定義求得a與b的夾角.

【詳解】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關系可得-血與.a=L-0a2=。，

｛b-yf2a^-b—b->j2a-b-0,

r|1|

所以o'=￡=6a-b，即a

由平面向量數(shù)量積定義可得M=閭。州cos卜,可，

所以cos(3號而(a,"e[0,司，

71

即a與6的夾角為一.

4

故選：B

【點睛】

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，平面向量夾角的求法，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、答案不唯一，如a“=-1

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.

【詳解】

由題意知，不妨設

a

則m+n=~(m+n)-l>-(m+n)-2=am+an,

很明顯｛4｝為遞減數(shù)列，說明原命題是假命題.

所以1,答案不唯一，符合條件即可.

【點睛】

本題考查對等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解，關鍵是假設出一個遞減的數(shù)列，還需檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎

題.

14、e

【解析】

InY

在不等式兩邊同時取對數(shù)，然后構造函數(shù)/(X)=——，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結論.

X

【詳解】

X1

不等式兩邊同時取對數(shù)得Inxj<lnx2,

即X2lnx\<Zx\lnx2,又石，/￡(°,

InxInx

即一L<--成9立,

X2

Inx

設/(x)=---,(0,m),

x

Vxi<x2,/(xi)<f(x2),則函數(shù)/(x)在(0,m)上為增函數(shù),

新的且新--x-lnx

函數(shù)的導數(shù)八乃=^^1-Inx,

X

由/(x)>0得1-得加xVL

得OVxVe,

即函數(shù)/(“)的最大增區(qū)間為(0,e),

則m的最大值為e

故答案為：e

【點睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)之間的應用，根據(jù)條件利用取對數(shù)得到不等式,從而可構造新函數(shù)，是解決本題的關鍵

15、G

【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式，結合范圍臺€(0,萬)可求B的值，利用正弦定理可求5的值,

進而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求優(yōu)的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

解：2Z?cosB=(2cosC+ccosA,

/.由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),

,/A+B+C—7i,

/.sin(A+C)=sinB,

1TT

又一BG(0,^-),/.sinB^O,.-.2cosB=l,即cosB=—,可得：B=—

23

?「ABC外接圓的半徑為冬8,

3

,b2一

.n~'3,解得匕=2,由余弦定理Z?2=/+才-2〃ccos5,可得/+/—〃c=4,又。之十片..？〃。，

sin—

2

4=a2+c2-ac..2ac-ac=ac(當且僅當〃=。時取等號)，即最大值為4,

：.^,ABC面積的最大值為-x4sinB=73.

2

故答案為：百.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應

用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

16、2

【解析】

b

根據(jù)三角形中位線證得A0〃3耳，結合耳、己3=0判斷出A0垂直平分典，由此求得[的值，結合求

得二的值.

a

【詳解】

VF2A=AB,，A為2月中點，AOHBF,,VFXBF,B=Q,二49垂直平分8耳，

ZAOF,=ZAOB=ZBOF,=60°,即？=tan60°=逐，,6=&,c2=3a2+a2=4a2，即e='=2.

aa

故答案為：2

【點睛】

本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a=l時，f(x)有一個零點；當。>0且awl時，/(無)有兩個零點；(2)見解析

【解析】

(D利用/(%)的導函數(shù)，求得/(%)的最大值的表達式，對。進行分類討論，由此判斷出了(%)的零點的個數(shù).

(2)由InxWx-l,得至(Jxlnx+lw/-％+1和,構造函數(shù)々(x)=e*+sinx-%2+尤一1,利用導數(shù)證得

7z(x)>0,即有產(chǎn)+sinx>必一%+1,從而證得Q+sinx>x?_%+i>x]n尤+1,即e*+sin尤>xlnx+L

【詳解】

(1)f(X)=-——(6Z>0,X>0),

X

工當%￡(o")時，/(x)>0,當xw(',+8)時，f'(x)<0,「./(九)在(0-)上遞增，在d,+oo)上遞減，

aaaa

/.f(%)<f(一)=-Ina+a—1.

a

令g(x)=-lnx+x-1=-(Inx-x+1),g(x)在(0,1)上遞減，在(一)上遞增，

gMNg(l)=。，.-.-lna+a-l>0,當且僅當a=1時取等號.

①。=1時，/(%)有一個零點；

②a>］時，-w(0,1),/(—)=—lna+ae(0,1),/1|=—ina-^-a—l>0,/(1)=0,f(―)=-<0,此時f(x)

aaa\ajee

有兩個零點；

③0<avl時，一〉1,/(一)=—In〃+〃—1〉0,/(I)=0,/(——)=—2InCL---1-ct9令

aaaa

(p(x)=-21nx--+x(x>1),(p(x)=――>0,(p{x}在(0,1)上遞增,

xx

夕(x)<0(1)=0,/(4)=-21ntz--+a<0,此時/X*)有兩個零點；

aa

綜上:a=l時，/(%)有一個零點;當〃>0且awl時，八>)有兩個零點；

(2)由(1)可知：InxS%-L；.%ln%+lS%2—%+i,%s/T,

令h(x)=ex+sinx-x2+x-l,li(x)=ex+cosx-2x+l>ex-2x+l+cosx>0,h(x)在(0,+。)上遞增，

h(x)>h(0)=0,ex+sinx>x2-x+1>xlnx+1.

【點睛】

本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，考查利用導數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)

化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.

AF3

18、(1)見解析;(2)「=w.

AP8

【解析】

試題分析：(1)連AC交3。于E可得E是AC中點，再根據(jù)面"BD可得PAME,進而根據(jù)中位線定理可得結

果；(2)取AO中點。，由(1)知。4,0E,。尸兩兩垂直.以。為原點，。4,。2。尸所在直線分別為工軸,y軸，z軸

建立空間直角坐標系，求出面A/BD的一個法向量”，用彳表示面匯BZ)的一個法向量加，由“?7”=0可得結果.

試題解析：(1)證明：連AC交5。于E,連ME.A5CD是矩形，.?.￡是AC中點.又PA面"BD,且ME是面PAC

與面"D3的交線，是PC的中點.

⑵取A。中點。，由（1）知。4,OE,OP兩兩垂直.以。為原點，0AoEOP所在直線分別為x軸，

V軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），則各點坐標為

A（l,0,0）,B（l,3,0）,D（-l,0,0）,C（-l,3,0）,P（0,0,V3）,wf-1,|,^.

I222J

設存在E滿足要求，且竺=2,則由河=2”得：F（1-2,0,A/32）,面"BD的一個法向量為〃=11,一匕至

AP''33

面的一個法向量為m=1,-g,42-23

,由4加二。，得1+^+——=0,解得％=—,故存在R,使二面角

9328

4F3

F—BD—M為直角,此時——=-.

AP8

19、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得了'（尤），分6W-L與b＞-1討論即可得到函數(shù)〃光）的單調(diào)性;

/、Inx-Inx.

（2）根據(jù)題意構造函數(shù)g（x）,得g（xJ=g（X2）=根，參變分離得a—2=-；9二%

分析不等式即轉(zhuǎn)化為:"一2吸，設于=?＞1）,再構造函數(shù)g?）=21n—+；,利用

導數(shù)得單調(diào)性，進而得證.

【詳解】

（1）依題意尤＞0,當a=0時，/'（x）=L—3+1）,

X

①當1時，尸。）＞0恒成立，此時了（無）在定義域上單調(diào)遞增;

②當"T時’若.°,￡￡,+8，?。?。;

,f\x)>0；若xe

故此時了(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,|,單調(diào)遞減區(qū)間為[1工,+s].

Ib+lj\b+l)

(2)方法1：由/(x)=相一ax?得In尤+(a—2)無+2—m=0

令g(x)=Inx+(a-2)x+2,則g(%)=g(x2)=m,

cInx,-Inx

依題意有InX]+(a-2)引=Inx+(?-2)x,即a-2=----=---------,

2一一2Xj一%2

11,-X+-2(lnx-InxJ

要證---1-->4-2a,只需證------>2(2-d)---------?--------(不妨設玉<馬)，

占x2玉%2%-%2

即證土一21n2,

x2石不

x1211

令二=/?〉1),設g?)=2hUT+;則g'(/)=二一1—3=一(——1)2<0,

x\tttt

???g⑺在(L+8)單調(diào)遞減，即g?)vg⑴=0,從而有，+'->4-2〃.

x1x2

方法2：由/(%)=根—ax2得Inx+(a—2)x+2一根=0

令g(x)=lnx+(a—2)%+2,則=gQ)=根，g\x)=--(2-a)

x

當xe(0,」一)時g'(x)>0,xe(」一,+(?)時g'(x)<0,

2-a2-a

故g(x)在(0,')上單調(diào)遞增，在(，,+oo)上單調(diào)遞減，

2-a2-a

不妨設％v/，則。<玉v」一<9'

2—a

11xx1

2G

要證一+—>4-2a9只需證再~~---,易知7^一7),

巧x2(4-2a)x2-1(4-2a)x2-12-a

故只需證g(xj<gj::—7),即證g(z)<g(A/；—-)

(4-2a)x2-1(4-2a)x2-1

JQ1

令為(x)=g(x)—g(/“c、(X〉----),

(4-2a)x-l2-a

1Y

貝(]〃(()己------;----隹*'("r、)

川x)=g'x+[(4-2a)x-lJ(4-2a)—x-7l

1-(2-。)尤+1(2-a)x-1-4(2-a)[(2-a)x-1]

x[(4-2a)x-l]2LxJ[(4-2a)x-l]2<，

(也可代入后再求導)

/i(x)在一—,+8上單調(diào)遞減，；.丸(x)</z(—)=0,

—aJ2—a

1JQ11

故對于x〉----時，總有g(x)<g(~-).由此得一+—>4-2a

2-a(4-2a)x-lXXX2

【點睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

20、(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】

(D利用求導數(shù)，判斷了(x)在區(qū)間(1,y)上的單調(diào)性，然后再證7?§),/?(：)異號，即可證明結論；

(2)當時，不等式g(x)20恒成立，分離參數(shù)只需無>1時，av『(lnx+2)恒成立,

x-1

設〃(x)=r(lnx+2)需必好1nm〈號，根據(jù)(1)中的結論先求出飄x)1n,再構造函數(shù)結合導數(shù)法,

x-14

49

證明"(')min<7即可?

【詳解】

22

(1)/"(x)=1+Inx---1-3=Inx---1-4,

xx

1?

令/(%)=皿％),則加⑴=—+—■>0,

xx

所以m(x)=f\x)在區(qū)間(1，位)上是增函數(shù),

則/'(%)>/⑴=2,所以/(x)在區(qū)間(1,y)上是增函數(shù).

(3、131

又因為/不二—Klnj—KvO,

\乙J乙乙乙

任］」1/+」(1_1目〉0,

⑷444414J

所以/(X)在區(qū)間(1,y)上有且僅有一個零點X。，且X。e1)

(2)由題意，g(x)=lnx+—3+=20在區(qū)間[L+oo)上恒成立,

JCX

即（x-V）a<x1（In犬+2）在區(qū)間［1,+oo）上恒成立,

當％=1時，a￡R；

當x>l時，aw/（lnx+2）恒成立,

x-1

x2(Inx+2)

設h(x)=(X>1),

x-1

x[(x-2)lnx+3x-5]

所以"(%)=x"(x)

(X-1)2(X-1)2

由（1）可知,3me,使70)=0,

所以，當xe(l,m)時，h\x)<0,當xe(加,+8)時，h'(x)>0,

由此必幻在區(qū)間（1,加）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（相,+8）上單調(diào)遞增,

所以丸(x)min=="。=+2).

m-1

又因為/(附=(加一2)lnm+3m-5=0,

5—3mFH2

所以lnm=一從而以幻疑二久加）=」匚

m-22-m

22

所以<7《_加.令h(ni)=,me

2-m2-m

r?z，/、一根2+4m八

貝!|h(m)=-------->0,

(2-m)2

所以/lO)在區(qū)間上是增函數(shù),

74949

所以/z（刈）<h了，故〃?/1（根）<1.

【點睛】

本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點、極值最值、不等式的證明，分離參數(shù)是解題的關鍵,

意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于較難題.

21、(1)—.(2)一.

55

【解析】

(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間［20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出

六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率.

(2)當溫度大于等于25℃時，需求量為500,求出￥=900元；當溫度在［20,25)℃時，需求量為300,求出丫=300

元；當溫度低于20℃時，需求量為200,求出y=-100元，從而當溫度大于等于20時，y>0,由此能估計估計y大

于零的概率.

【詳解】

解：(1)由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，

得到最高氣溫位于區(qū)間［20,25)和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36=54,

根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：。C)有關.

如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶，

如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25),需求量為300瓶，

如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶，

:.六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率P=氤54=：3.

(2)當溫度大于等于25℃時，需求量為500,

F=450x2=900元，

當溫度在［20,25)℃時，需求量為300,

300x2-(450-300)x2=300元，

當溫度低于20℃時，需求量為200,

F=400-(450-200)x2=-100元，

當溫度大于等于20時，F(xiàn)>0,

由前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得當溫度大于等于20℃的天數(shù)有：

90-(2+16)=72,

724

二估計y大于零的概率尸=癡=歲

【點睛】

本題考查概率的求法，考查利潤的所有可能取值的求法，考查函數(shù)、古典概型等基礎知識，考查推理論證能力、運算

求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

22、(I)見解析(H)Z?>-ln2

【解析】

，

(1)由題X>0,/(%)=l+4--J由f(X)在X=X1,X2(X1/X2)處導數(shù)相等，得到/'(%)=/'(%2)="，得

XX

￡

--+l-m=0

再

--+l-m=0

九2

由韋達定理得3+丁=1，由基本不等式得玉+/=%?工2>26^",得玉由題意得

/(石)+/(%)=玉%2—ln(x1A2)-1，令.=石〉4,則石羽,令

g⑺=f—1W—1">4),,利用導數(shù)性質(zhì)能證明g