人教A版2019高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊 數(shù)學(xué)歸納法 講義（解析版）

數(shù)學(xué)歸納法

【人教A版2019】

模塊導(dǎo)航

?模塊一數(shù)學(xué)歸納法

.模塊二課后作業(yè)

模塊一1數(shù)學(xué)歸納法

基礎(chǔ)知識

1.數(shù)學(xué)歸納法

一般地，證明一個與正整數(shù)〃有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

第一步（歸納莫基），證明當(dāng)〃取第一個值"0（為￡孵）時命題成立；

第二步（歸納遞推），以當(dāng)n=k（k>n0，左GN*）時命題成立為條件，推出當(dāng)n=k+1時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從“。開始的所有正整數(shù)〃都成立.

上述證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.

2.數(shù)學(xué)歸納法的重要結(jié)論及適用范圍

1+2+3H-------\-n—+1)

I2+22H------\-n2=—n{n+V)(2n+1)

數(shù)學(xué)歸納6

法的重要

I3+23H-------n3—；幾2(〃+])2

結(jié)論

1+3+5H------k(2〃-1)=〃2

2+4+6H------1-2〃=〃2+〃

適用范圍只適用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題

考點剖析

【考點1數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟】

【例1」】（2023春?陜西西安?高二?？计谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明“^+++亳+…+盍>1”時,假設(shè)

n=k時命題成立，則當(dāng)n=k+l時，左端增加的項為（）

111

A.B.

3/C+43k+4k+1

111112

C...D.,

3k+23k+33k+43k+23k+43(k+l)

【解題思路】分別求出當(dāng)九=k和71=k+1時，不等式左邊，二者比較即可得到答案.

【解答過程】當(dāng)〃時，左邊為擊+京+擊+…+康，

當(dāng)幾=卜+1時，左邊為念+念+”?+康+康+羨+康

所以增加的項為:

(111111\

U+2Z+33/c+l3k+23/c+33/c+4/

/I111\112

\fc+l+fc+2+k+3+…+3fc+l/3fc+2+3k+4-3(。+1)

故選：D.

【例1.2](2023春?上海?高二期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)ri為正奇數(shù)時，％九+丫九能被久+y整除"，第二步

歸納假設(shè)應(yīng)寫成()

A.假設(shè)n=2/c+l(fceN*)正確，再推ri=2k+3正確

B.假設(shè)九=2k—l(/ceN*)正確，再推ri=2k+1正確

C.假設(shè)九=/c(/ceN*)正確，再推九二々+1正確

D.假設(shè)幾=k(k>1)正確，再推?1=fc+2正確

【解題思路】注意九為正奇數(shù)，觀察第一步取到1,即可推出第二步的假設(shè).

【解答過程】解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意"為奇數(shù)，

所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)71=2左一1(4€[4*)正確，再推九=2/c+l正確；

故選:B.

【變式1.1](2023?全國?高三對口高考)已知/(n)=1+/打…+式n6N*),證明不等式f(2")冶時,

/(2丘1)比/(29多的項數(shù)為()

A.2fc-1B.2kC.2fc+1D.2fe+1

【解題思路】由f(n)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，然后寫出了(2丘1)和/(29進(jìn)行比較可得答案.

【解答過程】H*f(2k+1)=1+1+1+-+^,/(2k)=1+|+|+-+^,

所以"2日】)-心)=六+六+…+島P

所以〃2.1)比/21)多的項數(shù)是2匕

故選：B.

【變式1.2](2023?全國?高三專題練習(xí))我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)知識，知道數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明

與正整數(shù)”相關(guān)的命題.下列三個證明方法中，可以證明某個命題pS)對一切正整數(shù)”都成立的是()

①p(l)成立，且對任意正整數(shù)左，“當(dāng)lWEWk時，p(i)均成立“可以推出“p(k+1)成立“

②p(l),p(2)均成立，且對任意正整數(shù)匕"p(k)成立”可以推出“p(k+2)成立”

③p(2)成立，且對任意正整數(shù)k>2,“p(k)成立”可以推出“p(2k)成立且p(k-1)成立"

A.②③B.①③C.①②D.①②③

【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義逐一分析即可得出答案.

【解答過程】解：對于①，對任意正整數(shù)比“當(dāng)IWiWk時，p(i)均成立，

則當(dāng)n=k時，P(n)成立，

故①可證明某個命題p5)對一切正整數(shù)n都成立；

對于②，因為p(l),p(2)均成立，p(k+2)成立，

則當(dāng)n為奇數(shù)時，p(n)成立，

當(dāng)n為偶數(shù)數(shù)時，p(n)成立，

所以②可以證明某個命題p(n)對一切正整數(shù)n都成立；

對于③，因為p(2)成立，對任意正整數(shù)kN2,p(k-1)成立，所以P(l)也成立，

又p(k)成立，p(2k)成立，則P(2)-l)也成立,

所以③可以證明某個命題p(n)對一切正整數(shù)”都成立.

故選：D.

【考點2用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式】

【例2.1](2023?全國?高二隨堂練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(1)1+3+5+…+(2n—1)=n2(neN+)；

2

(2)1x4+2x7+3xl0+…+n(3n+1)=n(n+l)(neN+).

【解題思路】(1)記Sn=1+3+5+—F(2n-1)=聲，驗證當(dāng)n=1時，等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k(kEN+)

時，等式成立，然后證明出當(dāng)n=k+l(k€N+^^等式成立，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論成立；

2

(2)記〃=1X4+2X7+3X10H------Fn(3n+1)=n(n+l)(nEN+),驗證當(dāng)n=1時，等式成立；假

設(shè)當(dāng)n=k(keN+)時，等式成立，然后證明出當(dāng)n=k+l(keN+)時，等式成立，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得

結(jié)論成立.

【解答過程】(1)證明：記%=1+3+5+—I-(2n-1)=n2,

當(dāng)n=l時，則有S1=l=12,等式成立，

假設(shè)當(dāng)n=fc(fcGN+),等式成立，即品=1+3+5+—I-(2k—1)—k2,

則Sk+i=Sk+2(fc+1)—1=Ze?+2k+1=(k+I)?,

這說明當(dāng)71=fc+l(fcGN+)時,等式成立，

2

故對任意的荏6N+,1+3+5+—F(2n-1)=n.

(2)證明：設(shè)〃=lx4+2x7+3xl0+-+M3n+l)=7i0i+l)2(7iEN+),

當(dāng)九=1時，/=1x4=1X(1+I)2,等式成立，

假設(shè)當(dāng)?i=/c(/c€N+)時，等式成立，

即九=1x4+2x7+3x10+-+fc(3/c+1)=fc(fc+l)2,

所以，T/c+i=T/c+(k+l)[3(fc+1)+1]=fc(fc+l)2+(fc+l)(3fc+4)=(k+l)[fc(fc+1)+3k+4]

=(fc+l)(/c2+4/c4-4)=(fc+l)(fc+2)2,

這說明當(dāng)ri=k+l(/cGN+)時，等式成立，

所以，對任意的九￡N+，1X4+2X7+3X10H----Fn(3n+1)=n(n+l)2(n6N+).

【例2.2](2023秋?iWi二課時練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明1?九十2,(九一1)+3,(九一2)+…+71,1=

-n(n+l)(n+2)(n為正整數(shù)).

6

【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟，首先驗證當(dāng)n=1時成立，進(jìn)而假設(shè)n=k時等式成立，證明n=

k+1時，等式也成立；即可得證.

【解答過程】設(shè)/'(n)=1-n+2-(n-1)+3.(n-2)+-??+(n-1)-2+n-1.

①當(dāng)?i—1時，左邊=1,右邊=1x1x(1+1)x(1+2)=1,等式成立；

②設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即/■(k)=1-/c+2-(fc-1)+3-(fc-2)+???+(/c-1)-2+/c-1=+

l)(fc+2),

則當(dāng)幾=k+1時,

/(/c+1)=1-(fc+1)+2[(fc+1)-1]+3[(fc+1)-2]+-+[(fc+1)-2]?3+[(fc+1)-1]-2+(fc

+1)-1

=/(々)+1+2+3+…+/c+(/c+l)

11

=7k(k+l)(/c+2)+—(fc+l)(fc+1+1)

62

=-(fc+l)(fc+2)(fc+3).

6

由①②可知當(dāng)neN*時等式都成立.

【變式2.1](2023?高二校考課時練習(xí))觀察下面等式：1=I?,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=

52,4+5+6+7+8+9+10=49=7?,…寫出由這些等式歸納的一般規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【解題思路】總結(jié)規(guī)律后由數(shù)學(xué)歸納法證明

【解答過程】一般規(guī)律：n+(n+1)+—F(3n-2)=(2n—l)2,

證明：(1)n=1時，左=右，等式成立；

(2)假設(shè)幾=k時，等式成立，即k+(k+1)+-??+(3k-2)=(2k-I)2,

則當(dāng)n=k+1時,k+l+k+2+…+(3k-2)+(3k—1)+3k+(3k+1),

=(2k-I)2+8/c=4fc2+4/c+1=(2k+1產(chǎn)等式也成立，

由(1)(2)得當(dāng)幾eN*時等式都成立.

【變式2.2](2023?全國?高二隨堂練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(1)1+3+5+???+(2n-1)=n2；

(2)1+2+22+■■■+2nt=2n-1；

(3)l3+23+33+?1?+n3=[|n(n+1)1.

【解題思路】先證n=1時等式成立；再假設(shè)n=k時等式成立，證明幾=k+l時等式也成立即可.

【解答過程】(1)當(dāng)n=1時，等式左邊=1,右邊=1,所以等式成立；

假設(shè)n=k時等式成立，即1+3+5+???+(2k—1)—k2,

則當(dāng)n=k+1時,1+3+5+…+(2k—1)+(2fc+1)=k?+(2k+1)=(k+I)2,

故n=k+1時等式成立，

綜上可知，等式1+3+5H---F(2n-1)=1成立.

(2)當(dāng)n=1時，等式左邊=1,右邊=1,所以等式成立；

假設(shè)?1=k時等式成立，即1+2+22+…+2—=2k-l,

則當(dāng)n=k+1時，1+2+22+■■?+2^-1+2上=(2上一1)+2卜=2x2上一1=2fe+1-1,

故n=k+1時等式成立，

綜上可知，等式1+2+22+???+2nt=2n-1成立.

(3)當(dāng)葭=1時，等式左邊=1,右邊=1,所以等式成立；

2

假設(shè)n=k時等式成立，即13+23+33+...+4=[|fc(fe+i)],

則當(dāng)n=k+1時，13+23+33+…+1+(k+I)3=+I)]2+(k+I)3=(fc+I)2Qk2+fc+1)=

(k+l)2(|fc+I?=(k+I)2[j(fc+2)『=[/Ze+l)(k+2)『，

故《=k+1時等式成立,

綜上可知，等式13+23+33+-+n3=[|n(n+1)『成立.

【考點3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式】

【例3.1](2023?全國?高三專題練習(xí))證明：不等式三x-x-X-X—＞近不I成立.

2462n

【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

【解答過程】①當(dāng)n=1時，左邊=|＞魚=右邊，不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立，即：xJx：x-X要＞VFFT.

2462/C

③當(dāng)九=k+1時,

2k+l2k+3

左邊=-3X-5x-7X--X----X----

2462k2k+2

2k+3

>Vfc+1x

2k+2

4(fc+l)2+4(fc+1)+1

4(/c+1)

+D+i+J(k+1)+1,

.,.當(dāng)n=/c+1時，不等式也成立.

綜上可得，原不等式恒成立.

【例3.2](2023春?高二課時練習(xí))證明：對于一切自然數(shù)nN1都有2n+2>層.

【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法可證.

【解答過程】(1)當(dāng)n=l時，21+2=4>I2=1,成立；

當(dāng)?2=2時，22+2=6>22=4,成立；

當(dāng)n=3時，23+2=10>32=9,成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k23,k6N)時不等式成立，即2上+2>/￡2,2k>k2—2,

當(dāng)幾=k+1時，2fe+1+2—(k+I/=2?2上+2—(/+2k+1)

>2(/J2—2)+2—(Ji?+2k+1)=1(2—2k—3=(k—3)(fc+1).

因為kN3,BP(fc-3)(/c+l)>0,

所以2七1+2-(k+l)2>0,

即當(dāng)n=k+1時，2k+1+2>(k+1尸時仍成立.

由(1)(2)所述，原不等式得證.

【變式3.1](2022.高二課時練習(xí))試用數(shù)學(xué)歸納法證明卷+2+???+』＞J—

2/3”(n+l)z2n+2

【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可證明.

【解答過程】(1)當(dāng)n=l時,左邊=：,右邊=[,不等式成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(keN*)時，原不等式成立，即。+2+…+占＞：一』，

Z3IKTXI乙K.~vZ.

當(dāng)《=卜+1時，/+京+…+舟訐+后取>----------1--------

2k+2(fc+2)2

?/1___|___z____(±____)=____t__?___t_=____t____>o

'2k+2(fc+2)2\2fc+37k+3k+2(k+2)2(k+3)(k+2)2

.11.11.1.,1,1

??一-—|-----—--KRnH-4--4-???-4---------I--------一---

2k+2(k+2)22fc+3*2232(fc+1)2(k+2)22k+3

所以，當(dāng)7l=k+l時，不等式也成立.

根據(jù)(1)和(2)可知，不等式對任意正整數(shù)都成立，故原不等式成立.

【變式3.2】(2023秋.JWJ二課時練習(xí))設(shè)%1=1+5+5+…+￡(7ieN*),是否存在一*次函數(shù)g(%),使得的+

。2+。3+…+an-l=g(n)9n-1)對九＞2的一切自然數(shù)都成立，并試用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

【解題思路】假設(shè)存在一次函數(shù)g(x)=fcv+。(原0),令則幾=2,九=3可得左=1,b=0,故猜想g(x)=x;然后用

數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

【解答過程】假設(shè)存在一次函數(shù)g(%)=kx+b(kH0),使得

+。2+。3+…+an-l=9(九)(&1-1)對幾＞2的一切自然數(shù)都成立，

則當(dāng)九=2時有,%=9(2)(劭一1)，

又=1,。2=1+5

???g(2)=2,即2k+b=2...①

當(dāng)九二3時有，%+g=＜9(3)(%—1)，

又?=1，。2=1+5，。3=1+耳+丁

???g⑶=3,即3/c+Z?=3............②

由①②可得攵=1,6=0,所以猜想：g(%)=久，

下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

(1)當(dāng)九=2時，已經(jīng)得到證明：

(2)假設(shè)當(dāng)71=做攵22水€可)時，結(jié)論成立，即存在g(k)=/c,使得

%+g+%+…+ak-i=g(k)9k-1)對\＞2的一切自然數(shù)都成立，

則當(dāng)n=k+1時，a-t+a2+a3H----F以=(%+%+%■?---h耿一力+以，

=k(ctk—1)+以=(/c+1)。上一k,

11

▽??=_-|||11,1.1?=1

乂?QkK++11I11-…+1+—U&+;，??dkKQkK+iL-7，

23kk+1Kk+1k+1

a

i+a2+a3----Fak=(k+1)^ak+1--k=(k+l)(afc+1—1),

???當(dāng)幾=k+1時，命題成立.

由(1)(2)知，對一切幾，(7122,幾WN*)有g(shù)(?i)=71,

使得%_+a2+。3+…+an-l=9(^)(,an~1)都成立.

【考點4用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題】

【例4.1](2022.高二課時練習(xí))平面內(nèi)有n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同

的交點，試證明這72個圓把平面分成了"一九+2個區(qū)域.

【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

【解答過程】當(dāng)n=l時，1個圓將平面分為2個區(qū)域，12_I+2=2,顯然命題成立，

假設(shè)當(dāng)n=k時，k個圓將平面分為/—k+2個區(qū)域，

當(dāng)n=左+1時，第(k+1)個圓嬴+1與前％個圓交于整個點，這2左個點把這個圓分為2左段弧，每段弧把它

所在的原有平面分成兩部分，

因此，這時平面被分割的總數(shù)在原來的基礎(chǔ)上又增加了2%個部分，

即1—k+2+2k=1+k+2=(k+一(k+1)+2,

即當(dāng)n=k+1時，命題成立

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可得：平面內(nèi)有幾個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，這

幾個圓把平面分成了n2—n+2個區(qū)域.

【例4.2](2023?高二課時練習(xí))試證明對任何自然數(shù)九》6,每一個正方形都可分成n個正方形.

【解題思路】由圖可得當(dāng)n=6,7,8時結(jié)論成立，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

假設(shè)對于九=k(k>6)時結(jié)論成立,

那么對于九=k+3,我們可以先將正方形分成k個正方形，再將這k個正方形中的一個分成4個小正方形，

從而得到k+3個正方形，即n=k+3時結(jié)論也成立.

從而結(jié)論對任何自然數(shù)n>6均成立.

【變式4.1](2023?全國?高二隨堂練習(xí))已知九22,且平面內(nèi)有八條直線，其中任意兩條不平行，任意三

條不過同一點，證明這些直線的交點的個數(shù)為〃元)=竺

【解題思路】按照數(shù)學(xué)歸納法證明步驟證明即可.

【解答過程】證明：(1)當(dāng)幾=2時，兩條直線的交點只有1個，又/(2)=§二艾=1,

所以?i=2時，命題成立；

(2)假設(shè)7i=keN*且k>2時，命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何左條直線交點個數(shù)f(k)=竺嚴(yán)，

那么，當(dāng)n=k+l時，任取一條直線/,除/以外其他左條直線的交點個數(shù)為=竺尸，

因為任意兩條直線不平行，所以直線/與其他上條直線的交點個數(shù)為左，又任意三條不過同一點，

所以上面七個交點兩兩不同,且與平面內(nèi)其他的/'(k)=^7個交點也兩兩不同，從而4+1條直線共有/(k)+

k個交點，

即/(k+1)=/(k)+k=+k=|fc(fc-1+2)=|fc(/c+1)=|(fc+l)[(/c+1)-1],

所以當(dāng)n=k+l時，命題成立.

綜上，原命題成立.

【變式4.2](2023?高二課時練習(xí))如圖，類似于中國結(jié)的一種刺繡圖案，這些圖案由小正方形構(gòu)成，其數(shù)

目越多，圖案越美麗，若按照前4個圖中小正方形的擺放規(guī)律，設(shè)第九個圖案所包含的小正方形個數(shù)記為f(7l).

(1)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出/(n+1)與/(n)的關(guān)系，并通過你所得到的關(guān)系式，求出/(切

的表達(dá)式；

(2)計算：點+看'總+念l+高，點+卷+就二+看的值’

猜想點+合+看+…+/的結(jié)果,并用數(shù)學(xué)歸納法證明?

【解題思路】(1)由圖知計算出外2)-/(I),f⑶—f⑵,/(4)-/(3),根據(jù)規(guī)律歸納猜想/S+1)與/(n)

的關(guān)系，使用累加法猜想出fO)；

⑵根據(jù)九=2,3,4的計算猜想卷+看+1+…+—=＞會

再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

【解答過程】⑴由圖知,/(I)=1,“2)=5,〃3)=13,

/(2)-/⑴=4,/⑶一/(2)=8,/(4)-/(3)=12,

歸納猜想：f(n+1)=f(n)+4n,

f(2)-f(l)=4,

/(3)-f(2)=8,

f⑷一八3)=12,

f(ji)—f(n—1)=4n—4

以上各式相加得

A-LATI-4

/(n)—/(I)=4+8+—I-4n—4=(n—1)x——-——=2n(n—1),

所以/(幾)=2n2—2n4-1.

⑵)iIi—I」i=5

f⑴十f(2)-11十4244f

1-,1,_1____—5—_,1—3——1—4——,1.1,1,1-—4_,1---——3—1—11

/(1)----/(2)-1/(3)-1-412_-26-3/(1)_/(2)-1/(3)-1/(4)-1-1324___-288

迂大曰1?1?1??131

狷想而+許+而百+…+而百=5一瓦’

3__1_

證明，當(dāng)"2時，總+1=5=三5

/(2)-114422X24’

所以幾=2時猜想成立,

當(dāng)n=k時猜想成立，即

—+—-—+—-—+…+---=---

rd)r(2)-ir(3)-i22k

則n=k+1時,

--------P------p------1-,??+------1--------

r(Dr(2)-i/(3)-irw-iA/C+D-I

]2_lfli)31

=+2

22k丁2(k+l)2-2(fc+l)22晨于k-k)22(k+l)'

所以當(dāng)"=k+l時，猜想成立，由①②可知，對任意TieN*,n22都有

7(1)+/(2)-17(3)-1fW-l~2~2k-

【考點5用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題】

【例5.1](2023秋.高二課時練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3+(n+I)3+(n+2尸能被9整除⑺eN*).

【解題思路】先驗證九=1時，n3+(71+I)3+(n+2尸能被9整除；假設(shè)當(dāng)ri=k時，fc3+(fc+l)3+(k+2>

能被9整除，再證明(k+1>+(k+2T+(k+3產(chǎn)能被9整除，結(jié)合歸納原理可得出結(jié)論成立.

【解答過程】證明：(1)當(dāng)n=1時，13+23+33=36能被9整除，所以結(jié)論成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(keN*)時結(jié)論成立，即1+(k+l)3+(k+2產(chǎn)能被9整除.

則當(dāng)n=k+1時，(k+1尸+(fc+27+(fc+3)3=(fc+l)3+(k+2)3+fc3+9k2+27k+27k

=爐+(k+l)3+(k+2)3+9(1+3k+3),

因為臚+(k+l)3+(k+2產(chǎn)能被9整除,9(fc2+3k2+3)能被9整除，

所以，(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3能被9整除，即即n=k+1時結(jié)論也成立.

由(1)(2)知命題對一切neN*都成立.

【例5.2](2023?全國?高二隨堂練習(xí))設(shè)neN*,用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(n)=3?n+2一加一9是64的倍數(shù).

【解題思路】利用數(shù)學(xué)歸納法來證明，當(dāng)九=1時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時，f(k)=32丘2一8k—9能

夠被64整除，證明當(dāng)n=k+l時，命題也成立.

【解答過程】(1)當(dāng)n=l時，f(l)=34-8-9=64能被64整除，命題成立.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時，f(k)=32k+2-8fc-9能夠被64整除.

當(dāng)幾=k+1時，f(k+1)=32k+4-8(fc+1)-9=9[32k+2-8/c-9]+64k+64=9[32k+2-8fc-9]+

64(fc+1)

???/(fc)=32fe+2-8k-9能夠被64整除，

f(k+1)=9[32fc+2-8fc-9]+64(fc+1)能夠被64整除.

即當(dāng)"=k+l時，命題也成立.

由(1)(2)可知，/(n)=32n+2-8n-9(neN*)能被64整除，即/'(n)=32兀+2—8n一9是64的倍數(shù).

【變式5.1](2023?全國?高二隨堂練習(xí))求證：對任意正整數(shù)n,久?兀一y2n都能被萬一丫整除.

【解題思路】驗證當(dāng)幾=1時結(jié)論成立，然后利用數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論成立.

【解答過程】證明：當(dāng)71=1時，%2-y2=(%-y)(x+y),則/一必能被萬一、整除，

假設(shè)當(dāng)n=CN*)時，/k一丫2k能被萬一丫整除，

則當(dāng)71—k+1時，即尤2k+2_y2k+2=x2k+2_x2ky2+x2ky2—y2k+2

=x2fc(x2-y2)+y2(x2k-y2k),

因為%2—y2、一女一婷^都能被支一丫整除,故產(chǎn)氣“2一＞2)+丫2(%2上一丫29能被工一丫整除,

即％2k+2_y2k+2能被％_y整除，

所以，當(dāng)n=k+l時，命題也成立，

因此，對任意正整數(shù)n,%2n—y2n都能被x—y整除.

【變式5.2](2023?全國?高三對口高考)是否存在正整數(shù)小使得/(元)=(2n+7)?3"+9對任意正整數(shù)n都

能被小整除，若存在，求出最大的小的值，并證明你的結(jié)論.若不存在說明理由.

【解題思路】求出/(1)、/(2)的最大公約數(shù)，可得出山的值，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明出/㈤都能被36整除，

即可得出結(jié)論.

【解答過程】解：/(I)=9x3+9=36,/(2)=11x9+9=108,

所以,『⑴、f(2)的最大公約數(shù)為36,

猜想：對任意的neN*,f(n)能被36整除,

當(dāng)幾=1時，猜想顯然成立；

假設(shè)當(dāng)n=k(k€N*),猜想成立，即/(k)=(2上+7)-3女+9能別36整除，

即存在tGN*,使得f(k)=(2k+7)?3上+9=36t,

則當(dāng)n=k+l(kEN*)時，f(k+1)=[2(fc+1)+7]-3k+1+9=3(2k4-7)-3k+2-3k+1+9=

3(36t-9)+2-3k+1+9

=108t+2-3k+1-18=108t+18(3-1-1),

因為變-1為奇數(shù)，則3-1-1為偶數(shù),貝打8(3^1-1)能被36整除，

所以，f(k+1)能被36整除，

這說明當(dāng)?i=k+l時，猜想也成立，

故對任意的neN*,y(X)=(2n+7)?3"+9對任意正整數(shù)ri都能被ni整除，且m=36.

故小的最大值為36.

【考點6用歸納法解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題】

【例6.1](2023春?遼寧沈陽?高二?？茧A段練習(xí))已知正項數(shù)列｛an｝的前"項和為%,4Sn=磷+

20noiG2*).

(1)計算a2,a3,a4,根據(jù)計算結(jié)果猜想廝的表達(dá)式.

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

￡1

【解題思路】(1)把71=1,2,3,4分別代入4571=3+2%1(71€2)依次計算￡11，￡12，。3，4,根據(jù)結(jié)果容易猜想

a九的表達(dá)式;

(2)按照用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟，利用以+1=5丘1-5^=；(或+1+2以+1-或-2aQ,對該

4

式朝目標(biāo)化簡整理即可.

【解答過程】(1)根據(jù)｛aj為正項數(shù)列，則

當(dāng)九=1時，4%=於+2%,解得的=2或0(舍)，

當(dāng)71=2時，4al+4劭=於+2。2，解得g=4或一2(舍)，

當(dāng)九=3時，4a1+4劭+4。3=送+2的，解得的=6或一4(舍)，

2

當(dāng)71=4時，4al+4a2+4a3+4a4=a4+2a4,解得04=8或一6(舍)，

故猜想冊=2幾

(2)①當(dāng)九二1時，顯然成立，

②假設(shè)當(dāng)九=k,k>2,kEN*時以=2k,則當(dāng)九=k+1時，ak+1=Sk+1-Sk=[(磅+1+2ak+1一味一2aQ

a2

=7(k+i+2ak+1-4fc-4fc),

???4%+1=或+i+2%+1—4k2—4k,

，a1+i-2a上+i—4k(k+1)=0,

a

即：Ck+i+2k)[a^+1—2(k+1)]=0,

Van>0,??.ak+1+2/c>0,ak+1=2(k+1),即當(dāng)九=k+1時，結(jié)論成立.

綜上所述，由①②可知時=2n.

【例6.2](2023春?北京房山?高二統(tǒng)考期末)已知數(shù)列｛&J的通項公式為an=赤系q，記該數(shù)列的前〃項

和為治.

(1)計算SI，S2,S3,S4的值;

(2)根據(jù)計算結(jié)果，猜想％的表達(dá)式，并進(jìn)行證明.

訴

【解題思路】(1)an==7n+1—五,從而可得出S],52,S3,S4,

(2)猜想Sn=V?T不I-lmeN*,然后根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可.

【解答過程】(1)因為廝=尸\=樂了I—低，

〃Vn+vn+1

所以S]=V^-1,s2=V3—V2+V2-V1=V3—1,

S3=V4—V3+V3—V2+V2—V1=V4—1=1,

S4—V5—A/4+V4—V3+V3—V2+V2—VT=V5—1.

（2）猜想Sn=Vn+1—1,1eN*,

下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：

當(dāng)71=1時，=Vl+1-1=V2—1,猜想正確，

假設(shè)當(dāng)n=卜（卜22#61^*）時，猜想也正確，

則有品=花百：—1,

當(dāng)n=k+1時，Sk+i=Sk+耿+1=7k+2—7k+1—7k+1—1=7k+2—1,

所以n=k+l時，猜想也正確，

綜上所述，Sn=Vn+1-1.

【變式6.1］（2023春?山西太原?高二?？茧A段練習(xí)）下題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？

如果有錯誤，錯在哪里？把錯誤的地方改正確.用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的前w項和公式是立=迎等.

證明，①當(dāng)71=1時，左邊=Si=Qi，右邊=的，等式成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k（keN*）時，等式成立，即品=細(xì)等.則當(dāng)n=k+l時，

S/c+i=%+。2+。3+…++縱+1，

S/C+1=以+1+耿+以-1■!-----F。2+%.?

上面兩式相加并除以2,可得品+1="等3,

即當(dāng)幾=k+l時，等式也成立.

由①②可知，等差數(shù)列的前〃項和公式是無=幽野

【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明過程知在第二步?jīng)]有用假設(shè)前提來證明，更改過來應(yīng)該利用假設(shè)的前

提證得品+i=十+1）（：+%1）,

【解答過程】有錯誤，

錯誤在于證明n=k+1時，沒有應(yīng)用n=k時的假設(shè)，而是應(yīng)用了倒序相加法，這不符合數(shù)學(xué)歸納法的證明

過程.

②正確的證明方法：

假設(shè)當(dāng)n=k（keN*）時，等式成立，即品=%警，

k(ai+aQ

k(ai+ai；(k-l)d)+ai+kd

則當(dāng)九=k+1時,S/c+i=5憶+dk+i；rak+l

2(k+l')a1+k(k+l)d_(k+l)[a1+(a1+/cd)]_(k+l)(a1+ak+1)

222

這表明，當(dāng)九=/c+l時，等式也成立.

【變式6.2］（2023秋?江蘇南京?高三?？计谀┮阎獢?shù)列｛aj｛.｝滿足冊+"=2",成-尻=1.

⑴求｛aJ也｝的通項公式；

(2)記數(shù)歹噴｝的前幾項和為S”，證明：Sn<n-^^+l.

【解題思路】(1)根據(jù)已知兩式化簡，分別求得即和心.

(2)由(1)利用求和公式可得%,再利用數(shù)學(xué)歸納法即可得證.

【解答過程】(1)因為碌—肝=1,所以(an+小)(即—如)=1,

n

又a”+bn=2,所以即一%=展，

所以an=2"T+嘉，勾=2/1_/.

(2)由(1)知，即=2/1+/=券，篇=251—肅=寄，

22n+l?

則為=嚴(yán)=曰=____?____=1+______,

2nnnnn

bn2甯2-l(2+l)(2-l)2-l2+l

111111

1.S=77,-1--------------------1----------------------1-???-I----------------------

n2-12+122-l22+l2n-l2n+l

11111

=幾+]----+——-4-,??+---------—--------

2+122-122+12n-12n+1

,i,ii.ii.,ii

=7l+d1-------1---------H-----------\-—卜—--------,

335792n-l2n+l

當(dāng)n=l時，Sn=S1=2-^,71-23_1+1=2/故Sn=九_2“+；_1+1；

21

當(dāng)n=2時'Sn=S2=3-|+|-|=3-|,n-二一+1=3-[故土<九一^^+1;

假設(shè)當(dāng)n=k時，S&Vk-3Z+l,

所以當(dāng)n=k+1時，Sk+1=Sk+^-<k-+1+1+-^71=k+2-

因為2k+2+1-(2k+1+1)=2k+1>0,所以2k+2+1>2k+1+1>0,

柚11

02k+2+l2k+1+l，則———>———,即一看<_____

人」2k+2+l2k+1+l2-+1'

所以k+2-2J+i<k+2-2則鼠+1<k+2-2k+2+1=k+1-2^+1+1,

綜上：Sn<n-2n+^_i+1.

模塊三I課后作業(yè)

1.（2023春?北京豐臺?高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的neN*,l2+22+32+-+（2n）2

n(2n+?(4n+l)?,第一步應(yīng)該驗證的等式是()

..71X1X3

A.I2=-------B.12+22=0￡

33

C.12+22+32=生吆D.〃+22+32+42=彎

3

【解題思路】由數(shù)學(xué)歸納法相關(guān)步驟可得答案.

【解答過程】因neN*,則第一步應(yīng)驗證當(dāng)n=1時，/+22=手是否成立.

故選：B.

2.(2023春?四川成都?高二?？茧A段練習(xí))用數(shù)學(xué)歸納法證明左+京+京+…+/>蕓(心2,幾為正

整數(shù))的過程中，從幾=k遞推到7l=k+l時，不等式左邊需添加的項為()

A.-B.—+—-

2(k+l)2k+l2(fc+l)

C———|--------------—D-...........—

?2fc+l2(fc+l)k+1?2(fc+l)fc+l

【解題思路】計算幾=k^n=k+1時左邊式子，再作差即可判斷.

【解答過程】依題意當(dāng)n=k時左邊=1+工+工+…+!，

k+1k+2k+32k

當(dāng)”=k+l時左邊=擊+高+高+…+2+冊+1

2(k+l)'

所以高+備+$+…+/+康+1一島+上+備+…+?)

2(k+l)

1,11

-----------1-------------------------

2k+l2(k+l)k+1

故從"k遞推珈=k+1時，不等式左邊需添加的項為高+省-普

故選：C.

3.(2023春?高二課時練習(xí))如果命題P(n)對ri=k成立，則它對ri=k+1也成立，現(xiàn)已知P(n)對n=4不

成立，則下列結(jié)論中正確的是()

A.P(n)對neN*成立B.P(n)對幾>4且?guī)譭N*成立

C.P(TI)對n<4且neN*成立D.P(n)對n<4且neN*不成立

(解題思路】根據(jù)歸納法的性質(zhì)分析判斷求解即可.

【解答過程】解：由題知P(n)對n=4不成立，故A選項錯誤；

因為P(?i)對n=4不成立，故P(TI)對n>4且neN*不一定成立，故錯誤；

因為命題P(n)對九=k成立，則它對n=k+1也成立，已知P(n)對幾=4不成立

所以，P(7i)對n=3不成立(否則九=4也成立)，

同理可推得P(n)對n=2,n=l也不成立，故D選項正確，C選項錯誤；

故選：D.

4.(2023?高二課時練習(xí))在數(shù)列｛即｝中，ar=1,Sn表示前〃項和，且Sn,Sn+1,2sl成等差數(shù)列，通過計

算S】、52、S3的值，猜想％等于().

D.1-^-

A.歿271—1B.2^—1C,2n