2024高考二模模擬訓練數(shù)學試卷5（解析版）

備戰(zhàn)2024高考二模模擬訓練卷(5)

一、單選題

1.若集合/={x|y=%}，5={x|J2=ln(x+1)},貝!]4口8=()

A.[0,+oo)B.(0,1)C.(-l,+℃)D.(-℃,-!)

【答案】A

【分析】求募函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義域確定集合B,再由集合交運算求結果.

【詳解】由/=“|了=X2卜{刈》20},8={x|y=ln(x+l)}={x|x>-l},則/門2={x|x20}.

故選：A

2.已知復數(shù)z滿足目=1,則|z+3-4i|(i為虛數(shù)單位)的最大值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】^z=cos0+isin^,根據(jù)復數(shù)模的計算公式和三角恒等變換的知識可得到

匕+3-4i|=j26+10cos(e+0),由此確定最大值.

【詳解】由目=1可設：z=cose+isin。，

z+3-4i=(cos9+3)+(sin6-4)i,

.\|z+3-4i|=J(cos3+3)2+(sin<9-4『二^cos20+sin20+(6cos0-8sin0)+25=，26+10cos(6+0)(其中

34

cos^?=—,sin^=—),

.,.當cos(6+0)=l時，即z=1—：i時，

|z+3-4i|=。26+10=6.

IImax

故選：c.

3.在一組樣本數(shù)據(jù)(4乂)，(3,%),…，(X”,h)(?>2,A，*2，…，當互不相等)的散點圖中，若

所有樣本點(4％)(，=12都在直線，y=-2x+100±,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為()

A.-1B.0C.yD.I

【答案】A

試卷第1頁，共20頁

【解析】由所有樣本點都在一條直線上，可知這組樣本數(shù)據(jù)完全負相關，結合相關系數(shù)的意義，可得出答

案.

【詳解】由題意，所有樣本點區(qū),%）（，=1,2,...,"）都在直線＞=-2工+100上，所以這組樣本數(shù)據(jù)完全負相關，

即相關系數(shù)為-1.

故選：A.

【點睛】本題考查相關系數(shù)，考查正相關及負相關，屬于基礎題.

4.若數(shù)列｛%｝中，%=46-3",則當S”取最大值時，n=（）

A.14B.15C.15或16D.16

【答案】B

【分析】令%=46-3〃W0,解出即可得到答案

46

【詳解】令%=46-3心0,解得〃4彳

所以〃415

所以當，取最大值時〃=15

故選：B

【點睛】本題考查的是求等差數(shù)列前〃項和的最值，較簡單.

5.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行黨史知識比賽，決出第1名到第5名的名次（名次無重復），其中

前2名將獲得參加市級比賽的資格.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得參加市級比賽

的資格.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析，5人的排名有（）種不同情況.

A.24B.36C.60D.72

【答案】C

【分析】由題意甲不是1或2名，乙不是最后一名，由此分類討論可得.

【詳解】根據(jù)甲的名次分類討論可得：4+444=60.

故選：C.

6.已知拋物線C：/=8x的焦點為R過點尸作兩條互相垂直的直線j"，且直線4,4分別與拋物線C

交于2和。，E,則四邊形4D3E面積的最小值是（）

A.32B.64C.128D.256

【答案】C

【分析】兩條直線的斜率都存在且不為0,因此先設一條直線斜率為左，寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立

求出相交弦長，同理再得另一弦長，相乘除以2即得四邊形面積，再由基本不等式求得最小值.

試卷第2頁，共20頁

【詳解】由題意拋物線的焦點為/(2,0),顯然4,4斜率存在且不為0,

設直線4方程為y=2),設/(看,%)1心,％),由"中一"，得—2-(4/+8%+4后2=0

[y=8x')

OO

則%I+%2=4+必?,即=%]+%2+4=8+,

設直線12的方程為y=(x-2),設C6,%),0(%,%)

k

由卜Ta"，得--償+8?0

|/=8xk{k)k

則演+x4=4+8/，即\CD\=Xi+.%+4=8+&2,

2

/.S=^AB\fD\=!?j(8+8t)=32(2+/+十)>32(2+鼻k?x.)=128,當且僅當左？=，，即左=±1

時等號成立.

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)=ln(G-，)的單調區(qū)間是(1,+s),那么函數(shù)g(x)=『E)G+D在區(qū)間(-1,2)上()

A.當。>1時，有最小值無最大值B.當。>1時，無最小值有最大值

C.當0<a<l時，有最小值無最大值D.當0<a<l時，無最小值也無最大值

【答案】D

【分析】依題意不等式辦-6>0的解集為(1,+oo),即可得到”>0且。-6=0,即。=6>0,再根據(jù)二次

函數(shù)的性質計算g(x)在區(qū)間(-1,2)上的單調性及取值范圍，即可得到函數(shù)的最值情況.

【詳解】因為函數(shù)〃x)=皿辦-6)的單調區(qū)間是(1,+8),

即不等式辦-6>0的解集為(1，+oo),

所以a>0且a-6=0,即a=b>0,

所以g(x)=i-=/"-

當0>1時，y=a(x+l)2在(T,2)上滿足0<a(x+l)2<9a,

故g(x)=此時為增函數(shù)，既無最大值也無最小值，由此A,B錯誤；

當0<a<l時，y=a(x+l)2在(一1,2)上滿足0<?x+l)?<9a,

此時g(x)=/""2為減函數(shù)，既無最大值也無最小值，故C錯誤，D正確，

故選：D.

8.在四棱錐S-43CD中，側面&4。，底面4BCD,側面是正三角形，底面48co是邊長為2月的正方

試卷第3頁，共20頁

形，設P是該四棱錐外接球表面上的動點，則三棱錐P-必。的體積最大值為（）

A.V15B.2+V15C.V3+3V15D.3+721

【答案】D

【分析】作圖分析，確定四棱錐外接球球心位置，求得其半徑，確定三棱錐P-必。的高的最大值，根據(jù)棱

錐體積公式，即可求得答案.

【詳解】如圖，設G為底面正方形/BCD的中心，

設4D的中點為「連接防，因為側面S4D是正三角形，故ML4D,

又側面SAD1底面ABCD,側面SADc底面ABCD=AD,SFu平面SAD,

故跖，底面/BCD,設￡為A"。的中心，則￡在防上，

過點G作底面/BCD的垂線/,貝!!/〃斯，過點E作平面的垂線，

交/于點。，即為四棱錐S-/3CD的外接球的球心，且四邊形OGFE為矩形，

則在正三角形ASAD中，SE=-x2A/3x—=2^\OE=GF=

32

故外接球半徑R=OS=722+（V3）2=V7,

由于P是該四棱錐外接球表面上的動點，則P到側面SAD的最大距離為R+OE=S+73,

故三棱錐尸-&4D的體積最大值為展;x?x（2gjx（近+6）=3+5,

故選：D

二、多選題

9.已知三棱錐的各棱長均為2,則下列說法正確的是（）

A.該三棱錐的體積為逆

3

47r

B.該三棱錐的內切球的體積為低

C.該三棱錐的外接球的表面積為6兀

D.直線/C與平面所成角的余弦值為立

3

【答案】ACD

試卷第4頁，共20頁

【分析】A.將正三棱錐放在正方體中，即可求三棱錐的體積;

B.利用等體積公式，先求內切球的半徑，再求內切球的體積;

C.將三棱錐外接球轉化為正方體的外接球，即可求外接球的半徑，再求表面積;

D.利用線面角的定義作圖，易求線面角的余弦值.

【詳解】由題意可得三棱錐/-BCD為正四面體,

對于A,如圖，棱長為2的正四面體可放在棱長為血的正方體中，其體積為所在正方體體積減去

四個角處的三棱錐的體積，即正方體體積的三分之一,

即％==gx（亞）=2§2,故A正確;

對于B,設內切球的半徑為小則由等體積法/=4*1*,*2*2*立*廠=漢1,解得『="，可得棱長為2

32236

的正四面體的內切球半徑為逅，所以內切球的體積為±仃3=?,故B錯誤；

6327

對于C,棱長為2的正四面體的外接球可看成棱長為血的正方體的外接球，則外接球的直徑

2R=?也丫+（逝『+（何=在,所以外接球的表面積為5=4油2=6兀，故C正確;

對于D,由點C向平面48。做垂線，記垂足為。，則/。。為直線/C與平面所成角，且易得

AO=^AB=^273

所以小“/。=任行,故D正確.

3332=

AC2

故選：ACD.

10.如圖，正方形/BCD中，E為48中點,M為線段上的動點,BM=XBE+nBD,則下列結論正確

的是（）

試卷第5頁，共20頁

AMD

3

A.當W為線段上的中點時，A+//=j

B.2〃的最大值為3

C.〃的取值范圍為［0』

D.%+〃的取值范圍為1,2

【答案】ABC

【分析】以8為原點，而，第為XJ軸正方向建立平面直角坐標系，結合向量的坐標表示及向量的坐標運

算表示條件，由此判斷各選項.

【詳解】以5為原點，前,法為無/軸正方向建立平面直角坐標系，設BC=2,

則8（0,0）,￡（0,1）,。（2,2）,

設M&2）,則0W2,

因為痂=施+〃而，所以&2）=處0,1）+〃（2,2）=（2〃"+2〃）,

所以2〃=f,2+2〃=2,即/1=2_/,必=；,

13

對于選項A,因為W為線段4。上的中點，所以/=1,故％+〃=2-5=5,A正確；

對于選項B,2〃=（2-/）；=/-9，0</<2,當7=1時，2,取最大值為B正確；

對于選項C,因為〃=；,0<?<2,所以OV〃V1,〃的取值范圍為［0』，C正確；

對于選項D,2+〃=2-;，0<?<2,所以1V4+〃V2,所以2+〃的取值范圍為［1,2］,D錯誤.

故選：ABC.

試卷第6頁，共20頁

y

E

B

11.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學模型是函數(shù)歹=/sin而，我們聽到的

聲音是由純音合成的，稱之為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)［(x)=sinx+；sin2x,則下列結論正

確的是

A./(x)的圖象關于點(兀⑼對稱

B./⑺在。仁上是增函數(shù)

/(X)的最大值為半

C.

若/(X)/(X2)=-1|，則以］-%|2兀

D.

Imin3

【答案】AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性、單調性、最值、周期等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】依題意，，(x)=siiu+；sin2x,

/(2兀一x)=sin(27i-x)+；sin(47i-2x)=-sinx-^-sin2x=-f(x),

所以/(%)的圖象關于點(兀,0)對稱，A選項正確.

.711.71V2+1,.711.1V2+I

sin一■F—sin—=--------,fsin—H■—sin兀=1<--------，B選項錯誤.

4222222

由于sinxWl,；sin2x,所以/(%)=

sinx+—sin2x<1+—=—<，C選項錯誤.

2222

/'(%)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=(cosx+1)(2cosx-1)

所以在區(qū)間2H-j,2A：7r+-1，左EZ上r(x)20J(x)單調遞增,

,_、__.7T_.5兀

區(qū)間2^71+—,2^71H—z上r(x)?oj(x)單調遞減,

“5兀兀,(；

2knH-------2左兀一名=2/(x+27i)=sin(x+27i)+gsin2x+47i)=sinx+sin2x,

3

結合/(x)的單調性可知/(x)的最小正周期為2兀,

試卷第7頁，共20頁

所以當x=2E+；#eZ時，/(x)取得最大值為:

271373

+-si4t7i+——=sin

3J

當x=24兀-時，/(x)取得最小值為:

+—sin4foi-----

而/(網(wǎng)＞/(%)=-笠

所以卜-％[—~,D選項正確.

故選：AD

12.1990年9月，CraigF-Whitaker給《Parade》雜志“AskMarilyn”專欄提了一個問題(著名的蒙提霍爾問

題，也稱三門問題)，在蒙提霍爾游戲節(jié)目中，事先在三扇關著的門背后放置好獎品，然后讓游戲參與者在

三扇關著的門中選擇一扇門并贏得所選門后的獎品，游戲參與者知道其中一扇門背后是豪車，其余兩扇門

背后是山羊，作為游戲參與者當然希望選中并贏得豪車，主持人知道豪車在哪扇門后面.假定你初次選擇的

是1號門，接著主持人會從2,3號門中打開一道后面是山羊的門.則以下說法正確的是()

A.你獲得豪車的概率為:

B.主持人打開3號門的概率為g

C.在主持人打開3號門的條件下，2號門有豪車的概率為g

D.在主持人打開3號門的條件下，若主持人詢問你是否改選號碼，則改選2號門比保持原選擇獲得豪

車的概率更大

【答案】ABD

【分析】設4,4,4分別表示1,2,3號門里有豪車，用片,耳,凡分別表示主持人打開1,2,3號門，然后用全概

率公式和貝葉斯公式對選項進行分析即可

【詳解】設4,演4分別表示1，2,3號門里有豪車，用織不，星分別表示主持人打開1,2,3號門.

對于A,如題意所述，游戲參與者初次選擇了1號門，因為在做選擇的時候不知道豪車在哪個門里，故不

影響豪車在三個門中的概率分配，所以事件4,4,4發(fā)生的概率仍然為:，即A正確；

對于B,在選擇了1號門的前提下，主持人打開1號門外的一個門有以下幾種可能的情況：

試卷第8頁，共20頁

豪車在1號門里，主持人打開2,3號門，故P（閔/J=g,

豪車在2號門里，主持人只能打開3號門，故尸（見4）=1，

豪車在3號門里，主持人只能打開2號門，故尸（網(wǎng)4）=0，

由全概率公式尸（息）=±*4）2㈤4）=；x[1+l]=；,即B正確；

z=i312/2

對于C,由貝葉斯公式，在3號門打開的條件下，1號門和2號門里有豪車的條件概率為

尸（4）尸（閡4）尸尸㈤2

尸（⑷&）==g，尸⑷&)=（4）4）

m）P（B）3

故選2號門會使獲得豪車的概率更大，是正確的決策，即C錯誤，D正確.

故選：ABD

三、填空題

13.（x+2y）（3x-y）4的展開式中/必的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】-162

【分析】利用二項式展開式的通項公式求解（3x-y『的通項公式，進而求出答案.

【詳解】（3》7）4屬開式的通項公式為=c；（3x）/（-燈..當，=2時，x（3x-yy的展開式中上產(chǎn)的系數(shù)

為3°C：=54；當r=1時2"3》-4的展開式中。2的系數(shù)為一2、3七；=-216.,故（x+2y）（3x—y＞的展開

式中/V的系數(shù)為一162.

故答案為：-162

14.設S”是正項等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，S“+S“+4=2S,+2,則｛4｝的公比4=.

【答案】1

【分析】將S“+S“+4=2S“+2變形為S“+4-S/2=Sn+2~sn,再利用等比數(shù)列性質求解即可.

【詳解】由Sa+S.+4=2S“+2,得S"+4-S"+2=S,+2—,即a”+3+。"+4=+。”+2,

所以（%+1+。”+2）?/=。”+1+%+2，因為｛%｝是正項等比數(shù)列，所以。0+1+?！?2片0，q＞。，所以q=i.

故答案為：1.

【點睛】本題考查等比數(shù)列前〃項和公式以及等比數(shù)列的性質，是基礎題.

15.在“8C中，a,b,C分別是角45,C的對邊，的面積為S,（a2+Zj2）tanC=85,且

試卷第9頁，共20頁

sinAcosB=2cos4sinB,貝|cosA=.

【答案】甄

15

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)的基本關系，三角形的面積公式，余弦定理化簡可得/+"=202,在利

17S

用余弦定理，正弦定理化簡sin/cosB=2cos4sinB可得/一〃=一°2,聯(lián)立可求出/=—C2/=一〃，進而

366

利用余弦定理即可求出答案.

272_2

【詳解】因為(/+/)tanC=8S,所以可得力+從=%：cosC=”一°，

2ab

化簡得，/+/=2,2①，

又因為sin/cos5=2cos4sin5,

22_A2722_21

根據(jù)正余弦定理可得ax"=2bJ+<i=&_g[②，

2ac2bc3

由①②得/:二/方；：,？，所以cos/=-+c2-一=畫.

662bc15

故答案為：叵.

15

22

16.已知。為坐標原點，動直線/與橢圓“：J+\=l(a>6>0)相切，與圓0:—+/=/相交于43兩點,

ab

2

若ACU3的面積的最大值為幺，則橢圓離心率的取值范圍為.

2

【答案】

【分析】由橢圓的切線方程及圓心到直線的距離列出方程，根據(jù)方程有解得出不等式，求出離心率范圍即

可.

【詳解】如圖，

△O4B的面積最大值為—o存在直線/使ZAOB=90。=。到直線I的距離為—，

22

設月(4,乙)，貝I"為卑+至=1,

a"b~

=旦

d一丁有解，

二。至心的距離為

試卷第10頁，共20頁

平方整理得。與+耳]=2,即5+等=2①,

6Jab

22

又烏+咚=1②

a2b2

兩式相減得邙-再■=，所以*=—L有解，

b4b②-°a2-b2

44

又0</《凡即？^以2,

a"-b

所以/22/=2（/-2）,

..?ev1.

2

故答案為：「牛近」1

四、解答題

17.已知/'(x)=2sinxcosx+6(cos2x-sin2x).

（1）求函數(shù)了=〃x）的最小正周期和對稱軸方程;

（2）若xe0,—,求了=/（尤）的值域.

【答案】⑴對稱軸為"與+展■優(yōu)eZ）,最小正周期7=萬；（2）/（x）e[-l,2]

【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)解析式進行化簡得到/（x）=2sin（2x+g],由周

TTTT74

期公式和對稱軸公式可得答案；（2）由x的范圍得到2X+^￡，由正弦函數(shù)的性質即可得到值域.

【詳解】(1)/(%)=2sinxcosx+sj3(cos2x-sin2x)

=sin2x+\^cos2x=2sin2x+—

I3j

TTTC

令2x+§=IGT+—(keZ),則

fM的對稱軸為x=等+A住eZ),最小正周期T=萬；

/、…「八5?1t'兀\兀1兀

(2)當工￡0,—時，2x+—e—,~T~，

_12J3|_3o_

']Ir)I]L，'J!

因為V=sinx在單調遞增，在單調遞減,

_3zJ|_2o_

在X=g取最大值，在X=g取最小值，

26

試卷第11頁，共20頁

所以sin(2x+?]e[-glj,

所以

【點睛】本題考查正弦函數(shù)圖像的性質，考查周期性，對稱性，函數(shù)值域的求法，考查二倍角公式以及輔

助角公式的應用，屬于基礎題.

18.已知數(shù)列｛%｝的前九項和為S,,4=1,a?+1=AS?+l(neN*,2>0),且為、%+2、%+3成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)令或=(-l)"log2a?-log2an+l,求數(shù)列四｝的前2"項和耳.

【答案】(1)%=2"T

⑵0=2/

【分析】(I)求出出、的，根據(jù)已知條件可得出關于X的等式，結合九>0可求得X的值，可得出。用=S"+1,

令〃22,可得出4,=S,T+1,兩式作差可推導出數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得巴；

(2)計算出2“一+%,，再利用等差數(shù)列的求和公式可求得耳.

(1)

2

解：由題意可得出=2S]+1=X+1,a3=AS2+1=(Z+2)+1=(/i+1),

因為可、出+2、％+3成等差數(shù)列，則2(%+2)=%+%+3,

即2(4+3)=(2+l『+4,整理可得%-1=0,"AO,解得4=1,則出=2,

當〃22時，由4+1=S〃+1①可得％=S〃T+1②，①一②可得。〃+1-。〃=4〃，

所以，?！?1=2%且a?-2%,%=1,

所以，數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為1,公比為2,則?！?1X21=2"T.

(2)

解：=(一1)"1嗨%/唯%+1=(-1廣("一1)"，

對任意的〃eN*,&-1+%=—(2〃—1)(2〃—2)+(2〃—1)-2〃=4/2—2,

令q,=4/7-2,貝lJC"+]-c”=[4(〃+1)-2]-(4〃-2)=4.

試卷第12頁，共20頁

19.11月，2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進行

籃球定點投籃比賽(每人各投一次為一輪)，在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投

一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設

甲每次投球命中的概率為:，乙每次投球命中的概率為2,且各次投球互不影響.

(1)經(jīng)過1輪投球，記甲的得分為X,求X的分布列；

(2)若經(jīng)過"輪投球，用P,表示經(jīng)過第i輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率.

①求

②規(guī)定Po=0,經(jīng)過計算機計算可估計得P,=apM+bPi+cp-(b豐1),請根據(jù)①中”也，。3的值分別寫出a，

c關于6的表達式，并由此求出數(shù)列｛4｝的通項公式.

【答案】⑴分布列見解析；(2)①“03=篇；②

636216776J

【分析】(1)經(jīng)過1輪投球，甲的得分X的取值為-1,0』，記一輪投球，甲投中為事件A,乙投中為事件3,

48相互獨立，計算概率后可得分布列；

(2)由(1)得。1，由兩輪的得分可計算出。2,計算2時可先計算出經(jīng)過2輪后甲的得分y的分布列(丫

的取值為-2,-1,0,1,2),然后結合X的分布列和y的分布可計算2，

由P°=o,代入得兩個方程，解得a，c,從而得到數(shù)列也,｝的遞推式，變形后

得出,-P“T｝是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式得％一必T,然后用累加法可求得P”.

12

【詳解】(1)記一輪投球，甲命中為事件A,乙命中為事件B,45相互獨立，由題意尸(4)=萬，P(B)=g,

甲的得分X的取值為-1,0」，

--121

P(X=-1)=P(AB)=P(A)P(B)==

——--12121

P(X=0)=P｛AB)+P(AB)=尸(/)尸(8)+P(A)P(B)=萬'3+。一。一])=5，

——121

尸(X=1)=P(AB)=P(A)P(B)=5X(1-§)=不，

X的分布列為：

X-101

試卷第13頁，共20頁

2=P(X=0)?尸(X=1)+P(X=1)(尸(X=o)+尸(X=1))=:義!+!x(：+，)=J,

2oo2o3o

同理，經(jīng)過2輪投球，甲的得分y取值-2,TO,1,2：

記尸(X=-l)=x,P(X=0)=v，尸(X=l)=z,則

/>(7=-2)=/,P(Y=-l)=xy+yx,P(Y=Q)=xz+zx+y2,P(Y=\)=yz+zy,P(Y=2)=z2

由此得甲的得分y的分布列為;

Y-2-1012

]_131_1

P

9336636

??."xLk(L，)+1x("+L43

333626366366216

Pt=apM+bp：+op-3w1),po=O,

6(1-6)

.”『api+bp、36667

'[Pi=ap+bp+cp43717\-b

32x-----Q+——7b+—c=——

〔216366367

代入Pt=apM+bp[+cp-(b?1)得：Pt=|pM+1Pi

數(shù)列―｝是等比數(shù)列，公比為"j首項為

p?-p?-l=(I)"?

，-01)+-0,-2)+…+(Pl-0。)=(}"+

【點睛】本題考查隨機變量的概率分布列，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查由數(shù)列的遞推式求通

項公式，考查學生的轉化與化歸思想，本題難點在于求概率分布列，特別是經(jīng)過2輪投球后甲的得分的概

率分布列，這里可用列舉法寫出各種可能，然后由獨立事件的概率公式計算出概率.

20.如圖，在四棱錐P-48CD中，側棱尸。，底面4BCD,底面48co為長方形，S.PD=CD=1,E是PC

的中點，作E尸LPB交PB于點F.

試卷第14頁，共20頁

(1)證明：尸5_L平面。所；

(2)若三棱錐/-ADP的體積為:，求二面角。-5P-C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)亞.

5

【分析】(1)先證明5C/平面尸CD,可得。又DELPC,可證明DE1平面尸BC,可得DEL尸5,

又EFLPB,即得證；

(2)建立空間直角坐標系，由七一BOP==；，可得3C=2,分別求解兩個平面的法向量，利用二面角

的向量公式，即得解

【詳解】(1)證明：底面/BCD,BOu平面4BC,.?.尸DL8C,

由于底面/8C。為長方形，而尸。cCD=。，

.?.3C_L平面尸CD,

???DEcPCD,DELBC,

-：PD=CD,E為尸C的中點，DEVPC,

：PCC\BC=C,.1DE，平面尸3C,

DELPB,又EFLPB,DECEF=E,

PB1平面DEF.

(2)由題意易知。4OC,。尸兩兩垂直，以。為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系

D-xyz,可得。(0,0,0),尸(0,0,1),C(0,l,0),

試卷第15頁，共20頁

p.

/應二…\...

A/y_______''\X

B

設5C=￡,則有匕—8￡)尸=〃—”￡>==],.」=2

.?^(2,1,0),.-.55=(-2,-l,0),麗=(-2,-1,1),E[O,；,￡|,

__[—2x—y=0

設平面尸8。的法向量E=(x,y,z),由￡而=0，n-BP=Q>貝6、

[―2x-y+z=n0

令x=1,則y=-2,z=0,

n=(1,—2,0)-

由(1)平面尸BC,

.?.反為平面P8C的法向量，瓦

設二面角。-BP-C為a,由圖知二面角為銳角

所以二面角D-5P-C的余弦值為四.

5

21.已知雙曲線C：W-4=l(a>0/>0)的左、右焦點分別為片,此，離心率為逅，直線/交C于尸,0兩點,

。b22

且|附|-|P磯=20.

(1)求雙曲線C的標準方程;

(2)若點/(2,1),直線/尸,/0與了軸分別相交于MN兩點，且南+麗=0,0為坐標原點，證明：直線/過

定點.

丫2

【答案】(1)、-r=1

(2)證明見解析

試卷第16頁，共20頁

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義，結合離心率得°=后，c=6進而得答案;

（2）設河（0,加），則N（0,-機），尸（占,乂）,。（乙,%）,進而求出直線N尸，的方程，并與橢圓聯(lián)立方方程

解得再,%,九%,進而得直線尸。的方程為三二并整理得卜=一'二x+1即可證明結論.

%2一占TH+1

【詳解】（1）解：因為11PlH時歸2后,

所以2a=2亞，解得”亞，

設雙曲線。的半焦距為。，因為離心率為"，

2

所以￡=逅，解得,=百，

a2

則6=后=7=1，

所以雙曲線C的標準方程為上-/=1

2

I_I_|_

（2）證明：設“（0,%）,則N（0,-加），尸（玉,必）,。（尤2，%），MM=；-，kAN

1—m

直線4P的方程為V=左.工+冽二三-x+加，

直線N。的方程為＞=向內-加1=+寧mx-加.

聯(lián)立方程F=亍x+僅消去y并整理得x2+2?7（m-l）x-W-2-C

2

X2-2/=2L」

「（1一冽）；0+夜

顯然，rq加,即＜加wi—JI

A=4m2（l-m）2+4（2m2+2）1-（二；）＞0加w—1

仁2m2+22m2+21—m(m+1)2-2

二匚ci2再—y,%=7jJ^i-無］+加=~~

所以，?,(1-/1?)21(m-l)2-2121(m-l)2-2，

1--------------

2

試卷第17頁，共20頁

1+m

y=----x-m(m+1)2

聯(lián)立方程2消去V并整理得1-x2+2w(m+1)x-2m2-2=C,

2

x2-2y2=2

i一皿Lomw-1+V2

2

mw-1-V2,

顯然(m+1)2，即

A=4m2(m+l)2+4(2m2+2)1->0

2

2m2+21+m(ffl-l)2-2

-----;---，必=X,-m=-

(加+1)2-222---2(加+1)2—2'

即當機-±1,"土收+1,砂土應-1時，直線尸。的方程為

(m+l)2-2_m2-l2療+2

將上面求得的士,々，必，%的解析式代入得>+x------------,

(m-1)2—2m2+1(m-1)2-2

整理得y=_Z^x+l,

m+1

所以直線/過定點(0,1).

22.已知函數(shù)/(x)=山工+^/,g(x)=(q+l)x.

(1)若。=-1,求/(%)的最大值；

(2)若函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x),討論以幻的單調性；

(3