2024年二輪數(shù)學(xué)講義 數(shù)列

■H專題突破

"專題三數(shù)列

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列

［考情分析］1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點,經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)2等差、

等比數(shù)列求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點.

考點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算

【核心提煉】

等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(“GN*)

(1)等差數(shù)列的通項公式：a?=ai+(n—l)d,

an=a,”+(〃-/?2M.

(2)等比數(shù)列的通項公式：

——?

(3)等差數(shù)列的求和公式：

c"(ai+a")1)

Sn-------2---=M十2"

(4)等比數(shù)列的求和公式：

，⑷，(7=1.

例1(1)(2023?全國甲卷)設(shè)等比數(shù)列｛?。母黜椌鶠檎龜?shù)，前〃項和為S〃，若0=1,&=553

一4,則S4等于()

A.當(dāng)B母C.15D.40

OO

答案c

解析方法一若該數(shù)列的公比4=1,代入55=58-4中，

有5=5X3—4,不成立，

所以q豐1.

］一/］一/

由4,

化簡得/-5/+4=0,

所以夕2=1(舍)或爐=4,

由于此數(shù)列各項均為正數(shù),

1一.4

所以(7=2,所以§4=?_夕=15.

方法二由題知l+q+q2+q3+/=5(l+q+q2)-4,

即q3+g4=4g+4q2,

即q3+g2_4g_4=0,

即(q—2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以q=2.

所以$4=1+2+4+8=15.

(2)(2023?安康模擬)中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減

半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天

的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第五天行走的里程數(shù)約為()

A.2.76B.5.51

C.11.02D.22.05

答案D

解析設(shè)該馬第〃(〃CN*)天行走的里程數(shù)為斯，

由題意可知，數(shù)列｛斯｝是公比為3的等比數(shù)列，

所以該馬七天所走的里程為『=*=7。0,解得M="停2

1-2一

7

故該馬第五天行走的里程數(shù)為的=。吊1=7片X妥350**1=鬻OQn七n22.05.

規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略

(1)抓住基本量，首項0、公差d或公比q.

(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前〃項和為S“=a〃2+加(“，方是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通

n

項公式為an=p-q~'(p,q#0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列.

(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前〃項和公式中變量”在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值

的方式)進行相關(guān)計算.

跟蹤演練1(1)(2023?河南聯(lián)考)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、

雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長

依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為28.5尺，最后三個節(jié)氣日影長之和為1.5尺，則

春分時節(jié)的日影長為()

A.4.5尺B.3.5尺

C.2.5尺D.1.5尺

答案A

解析冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十

二個節(jié)氣日影長構(gòu)成等差數(shù)列｛斯｝,設(shè)公差為乩由題意得

+。2+。3=28.5,

所以afi=a\-\-(n—l)d=11.5—〃，

所以〃7=11.5—7=4.5,

即春分時節(jié)的日影長為4.5尺.

(2)(2023?石家莊質(zhì)檢)己知數(shù)列｛?。秊楦黜椌鶠檎龜?shù)的等比數(shù)列，0=4,53=84,則

10g2〃l〃243…〃8的值為()

A.70B.72C.74D.76

答案B

解析設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為小則夕>0,S3=a[(l+4+q2)=4(l+q+/)=84,

整理可得爐+夕-20=0,解得q=4(負值舍去)，

所以斯=4同"一1=4",

所以*,?8=log2(4*X42X43X???X48)

=2X(l+2+3+-+8)=2X^^8)><8=72.

考點二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)

【核心提煉】

I.通項性質(zhì)：若m-\-n=p-\-q=2k(m,n,p,q,Z：GN*),則對于等差數(shù)列，有am+an=ap

+at/=2ak；對于等比數(shù)列，有ainan=apaq=dl.

2.前〃項和的性質(zhì)：

(1)對于等差數(shù)列有S?,S2,?-Sm,S3m-S2m,…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有S?,Szmf,

S3m-S2m,…成等比數(shù)列(q=-l且根為偶數(shù)時除外).

(2)對于等差數(shù)列有S2?-I=(2n-!)??.

例2(1)(多選)(2023?濟寧質(zhì)檢)已知等差數(shù)列｛〃“｝的前”項和為S",且0>0,。4+“”>0，。7a8<0,

則()

A.數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列

B.Se>S<)

C.當(dāng)〃=7時，S〃最大

D.當(dāng)5〃>0時，〃的最大值為14

答案BCD

解析???在等差數(shù)列｛m｝中，ai>0,

〃4+。11=。7+〃8>0,。7。8<0,

〃8<0,

???公差80,數(shù)列｛斯｝是遞減數(shù)列,A錯誤;

,**Sg—§6=+。9=3〃8<0,

:?S>S9,B正確;

V^7>0,〃8<0,數(shù)列｛〃〃｝是遞減數(shù)列，

，當(dāng)〃=7時，S〃最大，C正確；

?7>0,〃8<0,

.14(。1+〃14)14伍4+〃11)

??314—2-2>。，

15(。］+〃15)15X2&8

55=2=-2—<0,

.?.當(dāng)S,>0時，”的最大值為14,D正確.

(2)(2023?全國乙卷)已知｛〃〃｝為等比數(shù)列，。2〃4。5=〃3〃6，〃9〃10=—8,則〃7=

答案一2

解析方法一｛“〃｝為等比數(shù)列，??.〃4。5=〃3〃6,

??。2=1,

又。2。9〃10=〃7〃7。7,

???1X(—8)=(勿)3,

???。7=-2.

方法二設(shè)｛如｝的公比為q(qr0),

則。2〃4〃5=。3。6=。2。。54，

顯然

則04=q2,即aiq3=q2,

則a\q—1,

因為a9aio=-8,

則出產(chǎn)防爐=-8,

則?I5=(^5)3=—8=(—2)3,

則爐=—2,則ai=a\q(f=(f=-2.

規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略

(1)抓關(guān)系，抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手，選擇恰當(dāng)?shù)男?/p>

質(zhì)進行求解.

(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函

數(shù)的性質(zhì)解題.

跟蹤演練2(1)(2023?咸陽模擬)已知等差數(shù)列｛如｝,｛兒｝的前"項和分別為工，T,,,若(2〃+

3)Sn=nT,?則￡等于()

3I±IL

入A7BC=25DU25

答案A

解析(2〃+3)*=%=*5氣，

99

又59=](“1+。9)=5*2。5=9的，

99

Tg=/(加+勿)=5X2bs=9b5,

所嫖=性，

《59_9_3

X79-2X9+3-7,

所以曾4

(2)(2023?滄州質(zhì)檢)己知等比數(shù)列｛斯｝的前n項和為S”，若53=2,56=6,則亂4=.

答案510

解析因為數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)知，

$3,$6—S3,Sg—Sf,,S24—S21,…構(gòu)成首項為53=2,

公比為4=矢且=胃=2的等比數(shù)列，且S24是該等比數(shù)列的前8項和，

圻門C2(f

所以S24-—2-510.

考點三等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明

【核心提煉】

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義法an+\^an=d一蛔R0)

n

通項法〃〃=〃]+(〃-l)dan=a\q~'

中項法2如=小-1+〃〃+](〃22)曷=小-|斯+】(〃22,

2

前n項和法Sn=an+bn(a9b為常數(shù))S,尸kq八一k(k?0,4#0/)

證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法.

例3(2023?濰坊模擬)已知數(shù)列｛斯｝和｛兒｝滿足卬=3,加=2,an+i=an+2b?,bn+i=2an+bn.

(1)證明：｛斯+0｝和｛斯一瓦｝都是等比數(shù)歹!j；

⑵求｛“瓦｝的前〃項和S,,.

(1)證明因為小+1=a,,+2瓦”b”+i=2a?+bn,

所以Cln+1+bn+]—3(?！?bti),

an+1—bn+1=—(arl—h,i),

又由3=3,t>i=2得ai—bi=l,a\H-b\—5,

所以數(shù)列｛斯+?。鞘醉棡?,公比為3的等比數(shù)列，

數(shù)列｛斯一4)是首項為1,公比為一1的等比數(shù)列.

(2)解由(1)得知+兒=5X3"r,

如一瓦=(-1)門，

用”5乂3門+(_1)門

所以an--------2-------，

5X3'LI—

""=2，

上2,5X3"〉+(一1)"「|門25X3獷2-]

=

所以anbn2X,

所以S=251^,^25X(9--1)-8H

歷以)4入]—94.32,

易錯提醒(1)晶=%-心,+|(〃22,"WN*)是｛斯｝為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一

個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.

(2)｛如｝為等比數(shù)列，可推出由，a2,43成等比數(shù)列，但ai,Z,的成等比數(shù)列并不能說明｛斯｝

為等比數(shù)列.

(3)證明｛m｝不是等比數(shù)列可用特值法.

跟蹤演練3(2023?日照模擬)已知數(shù)列｛”“｝滿足：ai=2>0,“"斯+1=2,

⑴當(dāng);I君時,求數(shù)列｛血｝中的第10項;

(2)是否存在正數(shù)人使得數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列？若存在，求出4值并證明；若不存在，請說

明理由.

解(1)由已知。必“+1=27-汽

所以當(dāng)〃22時，4,01=29-2",

1

如

相

除得--4-

'

又-2-25

al眈

所以“2=2?

所以^20=210X=2^=256,

（2）存在.假設(shè)存在正數(shù)人使得數(shù)列｛m｝是等比數(shù)列，由42m=25得〃2=芋，

A

由a2a3=8,得°3=不

因為｛3｝是等比數(shù)列，所以內(nèi)的=龍,

即下=64,解得i=8.

下面證明當(dāng)4=8時數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，

由（1）知數(shù)列｛｝和｛他“｝都是公比是:的等比數(shù)列，所以痣,1=8（"）門=25-2"；

42"=4（；）廠|=24-2",

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時，%=24-"；

當(dāng)〃為偶數(shù)時，斯=2="，

所以對一切正整數(shù)〃，都有斯=2廠"，

所以竽=9,〃WN*,

所以存在正數(shù)2=8使得數(shù)列｛”“｝是等比數(shù)列.

專題強化練

一、單項選擇題

1.若首項為正數(shù)的等比數(shù)列｛4.｝的前6項和為126,且“5=2S+84”則“4的值為（）

A.32B.16C.8D.4

答案B

解析設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列僅“｝的公比為虱4>0）,

\a\+〃q+4聞2+4］夕3+〃］爐+4聞5=］26,

則，

10夕4=2夕4+8〃1,

\ci\=2,

解得（負值舍去）

⑵一2,

??〃4=。1夕3=16.

2.（2023?全國甲卷1記S“為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和.若〃2+期=10，"38=45,則Ss等于（）

A.25B.22C.20D.15

答案C

解析方法一設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為乩首項為⑶，依題意可得，

。2+。6=。1+d+〃l+5"=10,

即s+3d=5,①

又。4〃8=3i+360（〃]+7d）=45,②

①②聯(lián)立，解得d=l,ai=2,

5X4

所以S5=5tzi+^y-XJ=5X2+10=20.

方法二依題意可得，

〃2+。6=2。4=10,。4。8=45,

所以〃4=5,〃8=9,

于是〃3=⑷-d=5-l=4,

所以55=5。3=20.

3.（2023?鄭州模擬）在等比數(shù)列｛”“｝中，公比q=2,且（；+1+、；+、；=&，則密+“^+頷

+02等于（）

A.3B.12C.18D.24

答案B

解析-^+―+—+—=f~+^-j+f~+^~）=6r9^~6Z12+6ri0-*~ai1

。9。10。12V/9^12/Cl\\）Q9a12。1皿11

〃9+〃lo+〃ll+々12a9+〃l（）+ai1+〃】2

⑼]2品）

.649+00+411+02

',品—2曲）

.?.ag+aio+au+02=12.

4.（2023?安慶模擬）林業(yè)部門規(guī)定：樹齡500年以上的古樹為一級，樹齡300?500年之間的

古樹為二級，樹齡100?299年之間的古樹為三級，樹齡低于100年的不稱為古樹.林業(yè)工作

者為研究樹木年齡，多用年輪推測法，先用樹木測量生長錐在樹干上打孔，抽取一段樹干計

算年輪個數(shù)，由經(jīng)驗知樹干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列.現(xiàn)為了評估某棵大

樹的級別，特測量數(shù)據(jù)如下：樹干周長為3.14m,靠近樹芯的第5個年輪寬度為0.4cm,靠

近樹皮的第5個年輪寬度為0.2cm,則估計該大樹屬于（兀取3.14）（）

A.一級B.二級

C.三級D.不是古樹

答案C

解析設(shè)樹干的截面圓的半徑為r,

樹干周長2兀r=3.14,r=0.5m=50cm,

從內(nèi)向外數(shù)，?5=0.4,斯—4=0.2,

____”(。5+%-4>〃八°

Scn—r—50—2—。.3〃，

500

?n=^167年,

???估計該大樹屬于三級.

5.(2023?新高考全國I)記S”為數(shù)列｛%｝的前"項和，設(shè)甲：｛”“｝為等差數(shù)列；乙：｛)｝為等

差數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案C

解析方法一甲：｛斯卜為等差數(shù)列，設(shè)其首項為⑶，公差為“，

Id*C4

L—M

,〃(〃—1)Sd-+

則尸〃n212

Sm+F—d,-=ai2,?1"

因此｛｝｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

反之,乙:引為等差數(shù)列，

口口S〃+]SntlS+\一(〃+1)S〃Hdn+\—S?山灰女、兒也

即干一7='f1〃(〃￥1)一二訴9為常數(shù),設(shè)為‘‘

HCln+|Sn

即a文司■一

則Sn=na,i+1—t-n(n+1),

有SLI=(〃—1)?！ā?，?〃(〃—1),〃22,

=

兩式相減得annari+\—(n—\)afl—2tn9

=

即斯+i-cifJ2t,對n—1也成立，

因此｛〃“｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

方法二甲：｛〃〃｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛?。氖醉棡閰n，公差為4

即S“="Q]+~

mi*」_(、—])jdd

則T=0+2公呼+0

因此｛曰｝為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件;

反之，乙：｛興為等差數(shù)列，

設(shè)數(shù)歹乃｝的公差為。，

則磊號=5-1)"

即S"=〃Si+w(〃-1)。，

當(dāng)心2時，S?-i=(n-l)Si+(n-l)(n-2)D,

上邊兩式相減得S,-SLI=SI+2(〃-1)。，

所以a,,=a\+2(//—1)D,

當(dāng)〃=1時，上式成立，

又斯+L“"=4|+2〃￡>—3+2("—1)￡>]=2Q為常數(shù)，

因此｛如｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

6.(2023?新高考全國1[)記&為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和,若54=-5$=2152，則58等于()

A.120B.85C.-85D.-120

答案C

解析方法一設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,首項為0,

若<7=1,則$6=60=3X2”1=352,不符合題意，

所以qWT.

由S=—5,$6=21S2,

3(1—44)

可得5,

i—q

0(1一方,0(1一爐)公

1Z1入1,\iz

1~q1-q

由①可得，1+力+/=21,解得q2=4,

所以+^)=-5x(1+16)=-85.

方法二設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為g,

因為S4=—5,S6=21S2,

所以qW—1,否則S4=0,

從而$2,SLSZ,SLSA,Sg—§6成等比數(shù)列，

所以（一5—S2）2=S2（21S2+5）,

解得S2=-l或S2=l，

當(dāng)S2=—1時，52,S4—S2,§6—§4,Sg—§6,

即為一1,—4,—16,5s+21,

易知S8+21=-64,即§8=—85；

當(dāng)$2=1時，

$4=41+42+43+44=（0+〃2）（1+。2）=（1+爐）52>0,

與&?=-5矛盾，舍去.

綜上，5s=-85.

二、多項選擇題

7.（2023?揚州模擬）設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為q,其前“項和為S”,前”項積為7,”并且滿足

條件.>1,熊。7>1，/*<0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.q>\

B.0</）〃8<1

C.S“的最大值為S7

D.7；的最大值為〃

答案BD

解析由題意得，〃1>1,?6?7>1>0,

:?。6,〃7同號，即〃6與。的同號，

:?C16,。7一個比1大,一個比1小，

a（,>1,0<?7<1,

并且斯=aq「i>0,a\>a2>-">an,即｛““｝是遞減的正項數(shù)列，A錯誤；

.".0<O64ig=a?<l,B正確；

S?-Sn-i=an>0,即S“>S1T對任意的“GN*都成立,C錯誤；

:當(dāng)"27時,斯VI,當(dāng)1W〃W6時，an>l,

八是T"的最大值，D正確.

8.（2023?保定模擬）已知數(shù)列｛?。那?項和為工,且滿足0=1,該=2,即+1=4%一3斯-I，

則下面說法正確的是（）

A.數(shù)列｛為+1—斯｝為等比數(shù)列

B.數(shù)歹lj{%+1-3&}為等差數(shù)列

n]

C.an=3~+\

答案ABD

EL斯+1—%（4?！ā?斯-1）一斯3（?！ā?］）c

解析因為-------=---------------=----------=3,

cin~cin-\an—an-\an—an-\

所以數(shù)列｛%+1一如｝為公比為3的等比數(shù)列，故A正確；

因為3?！ǎ┮唬?十1-4?！?3?！?1=0,即?！笔?—3斯=如-3斯-1,

所以數(shù)列｛斯+1一3%｝為常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，故B正確；

W-1

由以上分析可得an^\—an=1X3,且斯+1—3?！?—1,

3,,-1+1

解得?！?，一，故C錯誤；

=

Sna\+a2-\-----\~an

30+113,+1..3門+1

=M+M+…+^-

^^X（30+3H---F3'「i）+?

11—3",〃3"—

2X1-3+2~4+2,故D正確.

三、填空題

9.（2023?全國甲卷）記*為等比數(shù)列｛?。那啊椇?若8s6=7S3,則｛?。墓葹?/p>

答案一

解析若q=l,

則由8s6=75得8-6苗=7-30，

則“1=0,不符合題意.

所以qWl.

當(dāng)qWl時，因為8s6=7S3,

0（1—?。┒?（1—《）

所以8

1—q1~q

即8（1—卜）=7（1一寸）,

即8（1+0（1一而=7（1—辦

即8（1+0=7,解得q=一當(dāng)

10.在數(shù)列｛斯｝中，0=2,1%+1=的+啦，則數(shù)列｛斯｝的通項公式為

答案如=2層

解析由Y“"+l=gL+也得,

A/??+I—y[an=yf2,而■'^i=也，

于是得數(shù)列h/Z｝是以貶為首項，也為公差的等差數(shù)列，則有<￡=<￡+（“一1）”=也+也（〃

-i）=也〃，

所以數(shù)列｛斯｝的通項公式為%=2序.

11.（2023?廈門模擬）公元前5世紀，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出

讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面1000米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度

是烏龜?shù)?0倍.比賽開始后，當(dāng)阿基里斯跑了1000米時，此時烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿

基里斯跑完下一個100米時，烏龜領(lǐng)先他10米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜領(lǐng)先

他1米，…，所以阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，當(dāng)阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰

好為0.1米時，烏龜爬行的總距離為米.

答案111.1

解析根據(jù)題意，這是一個等比數(shù)列模型，

設(shè)“1=100,4=正，%=o.i.

所以a"=0.1=100X闔“-1,

解得〃=4,

1叱［1-闔"104T

所以「修

I—90TUL

12.（2023?南通模擬）已知各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,若0=3,S“=2023,

則n的最大值為.

答案61

解析因為｛%｝為遞增數(shù)列且均為正整數(shù)，0=3,5?=2023,

若〃取最大值，則當(dāng)m<n時，即均需取到最小，

即42=4,（13=5,44=6,…，

即當(dāng)時，可得am—am-i=\,

所以數(shù)列｛a,”｝是以首項為3,公差為1的等差數(shù)列，

則4〃=3+m—1=〃?+2,Sin=3m+2—1

=2'

又因為S60=l950<2023,S6I=2013<2023,

562=2077>2023,

若〃的最大值為61,貝I」恁0=62,?61=2023-1950=73>62,符合題意；

若〃的最大值為62,則。61=63,%2=2023—2013=10<63,不符合題意，

綜上所述，滿足題意的〃的最大值為61.

四、解答題

13.（2023?全國乙卷）記S〃為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和，已知。2=11,Sio=4O.

⑴求｛知｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛|?！▅｝的前〃項和

解（1）設(shè)等差數(shù)列｛?。墓顬閐,

a2=a]+d=11,

由題意可得（10X9

510—10〃i+21d=40,

+d=11,。1=13,

即解得

[2〃i+9d=8,d=-2,

=

所以an13—2(〃-1)=15—2n.

、，“(13+15—2n)

(2)因為Sn~2=14/7-"2,

令斯=15—2〃>0,解得〃<寧，且〃￡N*,

則當(dāng)九二7時,4>0,

可得4=|四|+|。21H---H〃〃l="i+a2H---l-a〃=S"=14〃一層；

當(dāng)時，如<0,

可得及=|。1|+|。2H---卜1斯1

=（〃1+故+…+〃7）—（痣+…+〃”）

=S7—(Sfl—Si)=2s7_Sn

=2X(14X7-72)-(14/7-7?2)=n2-14n+98.

14H—n2,n<7,

綜上所述，T=

nir—14/1+98,雇28.

14.（2023?青島質(zhì)檢）已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為￡,公差d#0,S，8，Ss+4成等差數(shù)

列，的。4,。8成等比數(shù)列.

⑴求工；

（2）記數(shù)列｛為｝的前"項和為T”,26一3等，證明：數(shù)歹時一配為等比數(shù)列，并求｛兒｝的

通項公式.

S5+4+S2=2&,

（1）解由S,S4,Ss+4成等差數(shù)列，。2,〃4,。8成等比數(shù)列，可得，

曷=。2。8，

5al+10d+4+2〃i+d=2(4m+66/),

即彳

[(々I+3t/)2=(ai+(/)(〃]+7的，

(i\=2,

解得

cl=2.

X2="+〃.

Sn=2n-^2

雇-1-2

(2)證明由2bn—Tn=―-得

33

2b\—bi=y解得。1=5,

+〃(〃+])=—干'

21

故2bn+i=Tn+]+^+\~'^+2,

212111

兩式相減可得2%+1-2兒=兒+|+干—1一=+干=小+1一干+澗工

=2,—+*)，

而匠制，

所貼4)為公比為2的等比數(shù)列，且首項為死=1,故"*=2門,

進而瓦=:一士+2〃一】?第2講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用

〃"IJL

[考情分析]1.數(shù)列求和重點考查分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消三種求和方法2數(shù)列的綜合

問題，一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查最值、范圍以及證

明不等式等.3.主要以選擇題、填空題及解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.

考點一數(shù)列求和

【核心提煉】

1.裂項相消法就是把數(shù)列的每一項分解，使得相加后項與項之間能夠相互抵湎，但在抵消的

過程中，有的是相鄰項抵消，有的是間隔項抵消.常見的裂項方式有：舟

An2—1—2f2??—12〃+1)

2.錯位相減法求和，主要用于求｛斯?。那啊椇?，其中｛兒｝分別為等差數(shù)列和等比

數(shù)列.

考向1分組轉(zhuǎn)化法

例1(2023?棗莊模擬)已知數(shù)列｛斯｝的首項m=3,且滿足斯+i+2a“=2"Z

(1)證明：伍“一2"｝為等比數(shù)列；

\a,?”為奇數(shù)，

(2)已知兒=,31n淑7；為｛兒｝的前〃項和，求Tio.

Hog2。"，"為偶數(shù)，

⑴證明由a.+1+2""=2""可得

n+,n+1

an+1—2=2—2%=-2((7?—2").

又ci\—21—15^0,

所以｛為一2"｝是以1為首項，一2為公比的等比數(shù)列.

⑵解由(1)可得如一2"=(—2)"-1,

即?！?2"+(—2)”-i.

當(dāng)〃為奇數(shù)時，瓦,=%=2"+(—2)Li=3X2"r；

當(dāng)〃為偶數(shù)時，b“=log2%=log2[2"+(-2)…]

=log22n-1=/l—1.

所以710=31+63+65+67+69)+32+64+66+68+610)

=(3+3X22+3X24+3X26+3X28)+(l+3+5+7+9)

3X(1—4，)(1+9)X5

-1-4+21048.

考向2裂項相消法

例2(2023?沈陽質(zhì)檢)設(shè)“WN*,向量祐=(〃-1,1),送=(〃一1,4〃一1),a,,^ABAC.

(1)令均=a“+i—%,求證:數(shù)列｛5｝為等差數(shù)列；

1113

(2)求證：一+--!---H-＜不

''a\a2atl4

==2—2

證明(1)由題意可得afiABAC(n—l)+4n-1=n+2n,

=

則b,ian+]—〃〃=[(〃++2(〃+1)]一(/+2〃)=2〃+3,

可得b〃+|一d=(2〃+5)—(2〃+3)=2,

故數(shù)列｛為｝是首項加=5,公差d=2的等差數(shù)列.

(2)由(1)可得2=尋方

5一S,

則黜+,七

11111

X-++-

-3-2-4+

+■〃

12

X

=2-2++

、/?

^+2>0,

11A3

故值+?七=9n+1"+2)91

考向3錯位相減法

例3(2023?全國甲卷)記S“為數(shù)列｛如｝的前"項和，已知42=1,25“=〃?！?

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)求數(shù)歹U｛叫的前n項和T,,.

解(1)因為25〃="斯，

當(dāng)〃=1時，2a1=功，即0=0；

當(dāng)n=3時，2(1+的)=3的,即的=2,

當(dāng)九22時,2SM-i=(n—l)an-i,

所以25〃-2S“-]=nan—｛n—\)a,t-\=，

化簡得(〃一2)斯=(〃-11,

%

則當(dāng)〃23時,9

an-\n-2

則為〃〃7.…七

&nT。八-2〃2

n-1n—22

=----.----.???.—,

n~2n~31

哈〃-1,

又因為。2=1,

所以an=n—\9

當(dāng)〃=1,2時都滿足上式,

所以。一1,〃￡N*.

(2)令勿=*=氤

則3?=6+歷+…+?！ㄒ?+?！?/p>

11,2n—1n

5刀產(chǎn)方十公十…十.9"十布'②

由①一②得，尸；+*+%!---^一/

n2+n

i_―布=1~2"+''

1-2

2+〃

即T=2

n2",

規(guī)律方法(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項轉(zhuǎn)化為若干個可求和的數(shù)列通項的和或

差.

(2)裂項相消法的基本思路是將通項拆分，可以產(chǎn)生相互抵消的項.

(3)用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①等比數(shù)列的公比為負數(shù)的情形；②在寫出“SJ和"qS,J

的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便準確寫出'5一必,"的表達式.

跟蹤演練1(1)(2023?淮南模擬)已知數(shù)列｛斯｝滿足斯+i一斯=2",且0=1.

①求數(shù)列｛3｝的通項公式；

②設(shè)方=胃;求數(shù)列｛bn｝的前"項和力"

解①：數(shù)列｛“"｝滿足”"+|一斯=2",且0=1,

當(dāng)“22時，

-n-|,,2

an—(a?—a?-1)+(67?-1—an-2)H-----F(a2ai)+ai=2+2~H-----F2+1=2”—1.

當(dāng)〃=1時也成立，；.%=2"—1("《N*).

例如+1________2"

U4_斯小+I―(2"—1)(2"'—1)

___11

-2n—1-2"'1—r

數(shù)列｛九｝的前〃項和

刀產(chǎn)已7?一2?-1)+(22_]_23_1)卜(2"一12"-|-1)=1-2,,+l-r

(2)(2023?浙江省強基聯(lián)盟模擬)已知”|=1,｛m+1｝是公比為2的等比數(shù)列，｛d｝為正項數(shù)列,

*1=1,當(dāng)"22時，(2n-3)bn=(2n-l)bn-i.

①求數(shù)列｛兒｝的通項公式；

②記C”=a,也.求數(shù)列｛c“｝的前n項和T,,.

解①因為數(shù)列｛斯+1｝為等比數(shù)列,公比為2,首項為m+l=2,所以%+l=2X2"r=2",

所以%=2"—1(〃UN*),

由(2〃-3泡=(2〃一l)b〃—1,

推得B2〃一1

.（心2）,

2n—3

匕匕3例5仇7

所以面=7b^y豆=亍…

bn2〃一1

522),

bn-\2〃一3

故揮”…然;〃-；?；〃-；.…永心2),又f

bn.1bn—22〃-32〃一51

2〃—1

所以當(dāng)〃22時，b?=^—bi=2n-l,又加=1符合上式,

所以6"=2〃-l(〃dN*).

②由題可得金=2"(2〃-1)一(2〃一1),

令d”=2"(2〃-1),{4}的前n項和為P,,.

所以P,=lX2i+3X22+5X23+3+(2〃-l)2",

2P?=1X22+3X23+5X24H-----^(2〃-3)2"+(2〃-1)2"[

兩式相減得一A=2+2(22+23H-----F2")—(2〃-1)2"*?,所以匕=(2〃-1)2/1—2—2(2,,+1-4),

所以P.=6+⑵L3)2"+L

令e“=2〃-1,{%}的前〃項和為E,”

(1+2〃-1)〃

則￡?=_一__7療，

2

n+12

綜上，Tn=P?~E?=(2n-3)2+6-zz.

考點二數(shù)列的綜合問題

【核心提煉】

數(shù)列與函數(shù)、不等式，以及數(shù)列新定義的綜合問題，是高考命題的一個方向，考查邏輯推理、

數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).解決此類問題，一是把數(shù)列看成特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的

圖象、性質(zhì)求解；二是將新數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，利用特殊數(shù)列的概念、公式、

性質(zhì)，結(jié)合不等式的相關(guān)知識求解.

例4(1)分形的數(shù)學(xué)之美，是以簡單的基本圖形，凝聚擴散，重復(fù)累加，以迭代的方式而形

成的美麗的圖案.自然界中存在著許多令人震撼的天然分形圖案，如鸚鵡螺的殼、蕨類植物

的葉子、孔雀的羽毛、菠蘿等.如圖所示，為正方形經(jīng)過多次自相似迭代形成的分形圖形，

且相鄰的兩個正方形的對應(yīng)邊所成的角為15。.若從外往里最大的正方形邊長為9,則第5個

正方形的邊長為()

A81-81#-，一4%

-

A.-rB.-QC.4D.V

4oJ

答案c

解析設(shè)第〃個正方形的邊長為斯，

則由已知可得an=an+\s\n15°+如+icos15°,

.〃〃+1_______1_____________1_____^6

?,cinsin15°+cos15°gsin60。3'

；.｛a“｝是以9為首項，乎為公比的等比數(shù)列，

；.a5=aid=9X(^j4=4.

⑵(2023?武漢模擬)將1,2,…，〃按照某種順序排成一列得到數(shù)列｛m｝,對任意lWiqW〃，如

果勾，那么稱數(shù)對(4,勾)構(gòu)成數(shù)列｛如｝的一個逆序?qū)?若”=4,則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列

｛”“｝的個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

答案B

解析若〃=4,則1WK/W4,

由123,4構(gòu)成的逆序?qū)τ?4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),

若數(shù)列｛?。牡谝粋€數(shù)為4,則至少有3個逆序?qū)Γ?/p>

若數(shù)列｛a,,｝的第二個數(shù)為4,

則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列｛m｝為｛1,4,2,3｝；

若數(shù)列｛a,,｝的第三個數(shù)為4,

則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列｛斯｝為｛1,3,4,2｝或｛2,1,4,3｝；

若數(shù)列｛“”｝的第四個數(shù)為4,

則恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列｛%｝為｛2,3,1,4｝或｛3,1,2,4｝,

綜上，恰有2個逆序?qū)Φ臄?shù)列｛斯｝的個數(shù)為5.

規(guī)律方法數(shù)列的“新定義問題”，主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運

算等，關(guān)鍵是將新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，或者找到新數(shù)列的遞推關(guān)系，主要考查的還

是數(shù)列的基礎(chǔ)知識.

跟蹤演練2(1)如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會(簡稱ICME—7)的會徽圖案，會徽的主題圖

案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知OA1=A1A2=A2A3=AM4=/U45=A5A6=

A6A7=A7A8=…=2,Ai，A2，A3…為直角頂點，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)

2

列為｛〃“｝，令為=，S〃為數(shù)列｛1%｝的前〃項和，則S120等于()

an—2

A.8B.9C.

答案C

解析由OAI=A1A2=A2A3=A/4=A4A5=A5A6=4647=4748=…=2

可得04=2吸，0A3=2小，OA〃=2g,

所以an=OAn+OAn+1+44+1=2y[n+2yjn+1+2,

21

所以b—

na〃一？5+7n+1

所以前〃項和+左+…—1+,\/3—>\/2+?,?+,1+1—y[n=yln"\~1—1,

所以SI2O=A/12O+1-1=10.

(2)(2023,鄭州模擬)“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲I,后來一位名叫角谷靜夫

的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個

正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1,如果是偶數(shù)就除以2,這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到

1.對任意正整數(shù)的,按照上述規(guī)則實施第〃次運算的結(jié)果為小(〃￡N),若〃5=1，且。(i=l,2,3,4)

均不為1,則如等于()

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

答案B

3an+l9斯為奇數(shù),

解析由題知斯+i

y,斯為偶數(shù),

因為a5=l,則有,

若44為奇數(shù),則〃5=3。4+1=1,得44=0,不合題意,所以〃4為偶數(shù)，且。4=2〃5=2；

若。3為奇數(shù),則〃4=3的+1=2,得。3=],不合題意,所以。3為偶數(shù),且。3=2〃4=4；

若。2為奇數(shù),則〃3=3公+1=4,得42=1,不合題意,所以〃2為偶數(shù)，且。2=2。3=8；

7

若41為奇數(shù)，則〃2=3〃1+1=8,得功=],不合題意，所以0為偶數(shù)，且41=242=16；

若。o為奇數(shù),則〃1=3〃o+1=16,可得〃o=5；若a0為偶數(shù),貝！|4（）=2司1=32.

綜上所述，出=5或處=32.

專題強化練

一、單項選擇題

1.數(shù)列｛斯｝滿足2斯+1=〃,,+如+2，且〃8，。4040是函數(shù)人》）=/—8工+3的兩個零點，則〃2024

的值為（）

A.4B.-4

C.4040D.-4040

答案A

解析因為。8,〃4040是函數(shù)yU）=/—8x+3的兩個零點，

2

即asf04040是方程x—8x+3=0的兩個根，

所以48+〃4040=8.

又2%+]—Un+Cl〃+2,

所以數(shù)列｛跖｝是等差數(shù)列，

所以。8+。4040=2。2024=8,

所以“2024=4.

2.（2023?阜陽模擬）在數(shù)列｛3｝中，已知如+]+斯=3?2〃，則｛如｝的前10項和為（）

A.1023B.1024

C.2046D.2047

答案C

解析??,斯+|+。〃=3?2”,

?'?公+⑶=3義2,44+03=3x23,

7

%+〃5=3義25,^8+^7=3X2,。]（）+。9=3*29,

2—29X4

則｛斯｝的前10項和為3X（2+23+25+27+29）=3X—=2046.

3.已知函數(shù)式x）=3+bx的圖象在點A（l,11））處的切線的斜率為3,數(shù)列恰卜勺前n項和

為S“，則S2026的值為（)

2023R2024

A

-2024D2025

20252026

rD

0262027

答案D

解析由題意得ff（x）=2x~\~b,

：.f(1)=2+Z>=3,解得人=1,

；._/(")=〃2+〃，

.1_1_1」,1

',j(n)/+""(w+1)n"+1*

11_11_1_1,111_2026

,,52026==1-2+2-3+3-4+…+2026—2027=1-2027=2027,

4.(2023?佛山模擬)已知數(shù)列｛為｝的通項公式為%=/+如+2,若對于"WN*,數(shù)列｛%｝為遞

增數(shù)列，則實數(shù)2的取值范圍為()

A.左》——3B.大》——2

C.k>—3D.k>一2

答案C

解析因為數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，

所以斯+1>斯，

即(〃+1)2+后("+1)+2>/+如+2,

整理得k>—(2〃+1),

因為當(dāng)〃GN*時,式")=一(2〃+1)單調(diào)遞減，

/(n)maX=Xl)=-(2Xl+l)=-3,

所以"一3.

5.(2023?鹽城模擬)將正整數(shù)”分解為兩個正整數(shù)配比的積，即〃=%