人教版九年級數(shù)學(xué)上冊第二十四章《圓》（單元教學(xué)設(shè)計(jì)）

生命不息，學(xué)習(xí)不止。知識無涯，進(jìn)步無界!Shengmingbuxi,xuexibuzhizhishiwuya,jingbuwujie！第第頁第二十四章圓24．1圓的有關(guān)性質(zhì)24．1.1圓教師備課素材示例●置疑導(dǎo)入(1)向?qū)W生展示我國女子鉛球運(yùn)動員的照片及其比賽場景，提出問題：鉛球比賽投擲區(qū)是什么形狀的？(2)在新建成的操場上，你會利用標(biāo)槍和繩子設(shè)計(jì)鉛球比賽場地投擲區(qū)嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：講解用繩子畫圓的方法．建議：讓學(xué)生先在操場動手操作.●懸念激趣現(xiàn)實(shí)生活中，路上行駛的各種車輛都是圓形的輪子，為什么要把輪子做成圓形的？為什么不能做成三角形、四邊形或橢圓形呢？eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))【備注】引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下分析：如圖②，把車輪做成圓形，車輪上各點(diǎn)到車輪中心(圓心)的距離都等于車輪的半徑，當(dāng)車輪在平面上滾動時(shí)，車輪中心與地面的距離保持不變，因此當(dāng)車輛在平坦的路上行駛時(shí)，坐車的人會感覺到非常平穩(wěn)；如果做成其他圖形，比如正方形，因?yàn)檎叫蔚闹行?對角線的交點(diǎn))距離地面的距離隨著正方形的滾動而改變，因此中心到地面的距離就不是固定不變的，因此坐車的人會感覺到不平穩(wěn)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：由生活中車輪為什么做成圓形這一問題，得出圓的概念．建議：學(xué)生分組討論車輪為什么做成圓形．命題角度1圓的有關(guān)概念一般直接考查弦、直徑、弧、半圓、等弧等．【例1】(1)如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是OB上的任一點(diǎn)(不包括O，B兩點(diǎn))，CD，EF是過點(diǎn)P的兩條弦，則圖中的弦有__AB，CD，EF__，以點(diǎn)B為端點(diǎn)的劣弧有__eq\x\to(BD)，eq\x\to(BC)，eq\x\to(BE)，eq\x\to(BF)__；(2)有下列說法：①半徑是弦；②半圓是弧，但弧不一定是半圓；③面積相等的兩個(gè)圓是等圓．其中正確的是__②③__．(填序號)命題角度2圓定義的應(yīng)用證明幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，即證明這幾個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等．【例2】在△ABC中，∠C＝90°，求證：A，B，C三點(diǎn)在同一個(gè)圓上．證明：如圖，點(diǎn)O是AB邊的中點(diǎn)．∵在△ABC中，∠C＝90°，∴OC＝OA＝OB＝eq\f(1,2)AB，∴A，B，C三點(diǎn)在同一個(gè)圓上．命題角度3利用圓的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算和推理利用圓的半徑和直徑特點(diǎn)解決相關(guān)幾何問題．【例3】(1)如圖，已知∠AOB＝60°，AB＝1cm，則⊙O的直徑為__2__cm；eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的⊙O上有一點(diǎn)C，∠COA＝45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(C)A．(eq\r(2)，eq\r(2))B．(eq\r(2)，－eq\r(2))C．(－eq\r(2)，eq\r(2))D．(－eq\r(2)，－eq\r(2))高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．理解圓、弧、等弧、弦、等圓、半圓、直徑等有關(guān)概念．2．能初步應(yīng)用“同圓的半徑相等”及“圓心是任一直徑的中點(diǎn)”進(jìn)行簡單的證明和計(jì)算．▲重點(diǎn)圓、等圓、弧、等弧、弦、半圓、直徑等有關(guān)概念的理解．▲難點(diǎn)圓、等圓、弧、等弧、弦、半圓、直徑等有關(guān)概念的區(qū)別與聯(lián)系．◆活動1新課導(dǎo)入1．你能說出生活中的圓形實(shí)例嗎？(至少三個(gè))答：生活中的圓形實(shí)例有：光盤、鐵餅、硬幣等．2．為什么人們把車輪做成圓的呢？答：圓有這樣一個(gè)特性：圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離都是相等的，這個(gè)相等的距離，叫做半徑．因此，人們把車輪做成圓形的，并使車軸通過圓心，當(dāng)車輪在地面上滾動時(shí)，車軸離開地面的距離就總是等于車輪半徑那么長，這樣行駛起來才會平穩(wěn)．◆活動2探究新知1．教材P79～80例1以上內(nèi)容．提出問題：(1)圓是生活中常見的圖形，你還能說出其他除課本上以外的圓形實(shí)例嗎？(2)請同學(xué)們在草稿紙上畫圓，體驗(yàn)圓的形成過程．大家畫的圓的位置和大小一樣嗎？圓的位置和大小分別由什么決定？(3)動手量一量，圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離相等嗎？為什么？(4)反過來，平面內(nèi)到圓心的距離等于半徑長的點(diǎn)都在圓上嗎？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P80例1以下內(nèi)容．◆活動3知識歸納1．在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做__圓心__，線段OA叫做__半徑__．2．以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“__⊙O__”，讀作“__圓O__”．3．圓的新定義：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)組成的圖形．4．與圓有關(guān)的概念：(1)連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做__弦__，如圖，線段AC，AB；(2)經(jīng)過圓心的弦叫做__直徑__，如圖，線段AB；(3)圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做__圓弧__，簡稱__弧__，以A，B為端點(diǎn)的弧記作eq\x\to(AB)，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．大于半圓的弧(用三個(gè)點(diǎn)表示，如圖中的eq\x\to(ABC))叫做__優(yōu)弧__，小于半圓的弧(如圖中的eq\x\to(AC))叫做__劣弧__；(4)圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做__半圓__；5．能夠__重合__的兩個(gè)圓叫做等圓．容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等．在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做__等弧__．◆活動4例題與練習(xí)例1如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，則A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？若在，說出圓心的位置，并畫出這個(gè)圓．解：A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上．連接BD，取BD的中點(diǎn)O，連接OA，OC.∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴OA＝OC＝eq\f(1,2)BD.即OA＝OB＝OC＝OD.∴A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在以BD的中點(diǎn)為圓心，BD長的一半為半徑的圓上．畫圖略．例2如圖，以點(diǎn)O為圓心的圓記作__⊙O__，圓中有__2__條直徑，記作__直徑AC、直徑BD__；圓中有__4__條弦，記作弦AB，AD，AC，BD；圓中劣弧有__4__條，記作__eq\x\to(AB)，eq\x\to(AD)，eq\x\to(DC)，eq\x\to(BC)__；圓中以點(diǎn)B為一個(gè)端點(diǎn)的優(yōu)弧有__2__條，記作__eq\x\to(BCA)，eq\x\to(BAC)__．例3如圖，在⊙O中，AB是直徑，C，D，E三點(diǎn)分別在⊙O上，則：(1)OC__＝__OD__＝__OE；(2)eq\x\to(AD)__<__eq\x\to(ACD)，eq\x\to(ACB)__＝__eq\x\to(ADB)；(3)弦CD所對的弧有__eq\x\to(DAC)，eq\x\to(DC)__．練習(xí)1．教材P81練習(xí)第1，2，3題．2．下列說法中，正確的是(C)A．同一條弦所對的兩條弧一定是等弧B．長度相等的兩條弧是等弧C．正多邊形一定是軸對稱圖形D．三角形的外心到三角形各邊的距離相等3．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是OB上的任一點(diǎn)(不包括O，B)，CD，EF是過點(diǎn)P的兩條弦，則圖中的弦有__AB，CD，EF__，以B為端點(diǎn)的劣弧有__eq\x\to(BD)，eq\x\to(BC)，eq\x\to(BE)，eq\x\to(BF)__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4．如圖，CD是⊙O的直徑，E為⊙O上一點(diǎn)，∠EOD＝48°，A為DC延長線上一點(diǎn)，AE交⊙O于點(diǎn)B，且AB＝OC，則∠A的度數(shù)為__16°__．◆活動5課堂小結(jié)1．圓的定義及表示法．2．弦、弧、等圓、等弧的概念．3．圓的有關(guān)概念及運(yùn)用．1．作業(yè)布置(1)教材P89習(xí)題24.1第1題；(2)對應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思24.1.2垂直于弦的直徑教師備課素材示例●情景導(dǎo)入課件出示關(guān)于趙州橋的引例引例：你知道趙州橋嗎？它是我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦長)為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，現(xiàn)在有個(gè)人想要知道它主橋拱的半徑是多少．同學(xué)們，你們能幫他求出來嗎？學(xué)完了本節(jié)課的內(nèi)容，我們一起來解決這個(gè)問題．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過趙州橋引例，導(dǎo)入圓的軸對稱性及垂徑定理．建議：學(xué)生提前收集有關(guān)圓的對稱圖形．●歸納導(dǎo)入(1)操作1：拿出準(zhǔn)備的圓，沿著圓的直徑折疊圓，你有什么發(fā)現(xiàn)？【歸納】圓是__軸對稱__圖形，__任何一條直徑所在直線__都是圓的對稱軸．(2)操作2：將這個(gè)圓二等分、四等分、八等分．(3)操作3：按下面的步驟做一做：第一步，在一張紙上任意畫一個(gè)⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個(gè)圓對折，使圓的兩部分重合；第二步，展開，得到一條折痕CD；第三步，在⊙O上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作折痕CD的垂線，沿垂線將紙片折疊；第四步，將紙打開，得到新的折痕，其中點(diǎn)M是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B，如圖.在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的弧？【歸納】垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。窘虒W(xué)與建議】教學(xué)：通過對剪圓和折疊圓的操作，活躍課堂氣氛．建議：在學(xué)生操作、分析、歸納的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納垂直于弦的直徑的性質(zhì)．命題角度1垂徑定理及推論的辨析根據(jù)圓的軸對稱性得到垂直于弦的直徑所具有的性質(zhì)．【例1】(1)如圖，⊙O的弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(C)A．∠AOD＝∠BODB．AD＝BDC．OD＝DCD．eq\x\to(AC)＝eq\x\to(BC)(2)下列命題中錯(cuò)誤的命題有__②③④__．(填序號)①弦的垂直平分線經(jīng)過圓心；②平分弦的直徑垂直于弦；③梯形的對角線互相平分；④圓的對稱軸是直徑．命題角度2直接利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算構(gòu)造以半徑、弦長的一半、弦心距為三邊長的直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】(1)如圖，⊙O的半徑OA＝4，以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于點(diǎn)B，C，則BC的長為(A)A．4eq\r(3)B．5eq\r(2)C．2eq\r(3)D．3eq\r(2)eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D(如圖)．若大圓的半徑R＝10，小圓的半徑r＝8，且圓心O到直線AB的距離為6，則AC的長是__8－2eq\r(7)__．命題角度3垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用圓弧形拱橋等問題，常通過作輔助線，使之符合垂徑定理的直角三角形，運(yùn)用勾股定理求解．【例3】好山好水好紹興，石拱橋在紹興處處可見，小明要幫忙船夫計(jì)算一艘貨船是否能夠安全通過一座圓弧形的拱橋，現(xiàn)測得橋下水面AB寬度16m時(shí)，拱頂高出水平面4m，貨船寬12m，船艙頂部為矩形并高出水面3m.(1)請你幫助小明求此圓弧形拱橋的半徑；(2)小明在解決這個(gè)問題時(shí)遇到困難，請你判斷一下，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？說說你的理由．解：(1)連接OB.∵OC⊥AB，∴D為AB中點(diǎn)．∵AB＝16m，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝8m．又∵CD＝4m，設(shè)OB＝OC＝r，則OD＝(r－4)m.在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理，得r2＝(r－4)2＋82，解得r＝10.答：此圓弧形拱橋的半徑為10m；(2)連接ON.∵CD＝4m，船艙頂部為矩形并高出水面3m，∴CE＝4－3＝1(m)，∴OE＝r－CE＝10－1＝9(m).在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝102－92＝19，∴EN＝eq\r(19)(m)，∴MN＝2EN＝2eq\r(19)m＜12m，∴此貨船B不能順利通過這座拱橋．魔術(shù)蛋魔術(shù)蛋是九塊板，這九塊板合起來是一個(gè)橢圓，形如鳥蛋，用它可以拼出各種鳥形，因而又名“百鳥拼板”．要制作一個(gè)魔術(shù)蛋，先繪制一個(gè)橢圓形鳥蛋：上部為半圓，下部為橢圓．(1)作一個(gè)圓，圓心為O，并通過圓心，作直徑AB的垂線MN；(2)連接AN.并適當(dāng)延長，再以A為圓心，AB的長為半徑作圓弧交AN的延長線于點(diǎn)C；(3)連接BN.并適當(dāng)延長，再以B為圓心，BA的長為半徑作圓弧交BN的延長線于點(diǎn)D；(4)以N為圓心，NC為半徑，作圓弧CD，于是下部成為橢圓；(5)在OM上作線段MF等于NC，以F為圓心，MF為半徑作圓弧，交AB于點(diǎn)G，H，連接FG，F(xiàn)H，這樣魔術(shù)蛋便制好了．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．探索并了解圓的對稱性和垂徑定理．2．能運(yùn)用垂徑定理解決幾何證明、計(jì)算問題，并會解決一些實(shí)際問題．▲重點(diǎn)垂徑定理、推論及其應(yīng)用．▲難點(diǎn)發(fā)現(xiàn)并證明垂徑定理．◆活動1新課導(dǎo)入1．請同學(xué)們把手中的圓對折，你會發(fā)現(xiàn)圓是一個(gè)什么樣的圖形？答：圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸．2．請同學(xué)們再把手中的圓沿直徑向上折，折痕是圓的一條什么呢？通過觀察，你能發(fā)現(xiàn)直徑與這條折痕的關(guān)系嗎？答：折痕是圓的一條弦，直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。艋顒?探究新知1．教材P81探究．提出問題：(1)通過上面的折紙，圓是軸對稱圖形嗎？有幾條對稱軸？(2)“圓的任意一條直徑都是它的對稱軸”這種說法對嗎？若不對，應(yīng)該怎樣說？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P82例2以上內(nèi)容．提出問題：(1)證明了圓是軸對稱圖形后，觀察圖24.1－6，對應(yīng)線段、對應(yīng)弧之間有什么關(guān)系？由此可得到什么結(jié)論？(2)若把P81的條件“直徑CD⊥AA′于點(diǎn)M”改為“直徑CD平分弦AA′(不是直徑)于點(diǎn)M”，還能證明出圖形是軸對稱圖形嗎？此時(shí)對應(yīng)線段、對應(yīng)弧之間有什么關(guān)系？(3)當(dāng)?shù)?2)問中的弦AA′為直徑時(shí)，相關(guān)結(jié)論還成立嗎？為什么？學(xué)生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．圓是__軸__對稱圖形，任何一條__直徑所在的直線__都是它的對稱軸，它也是中心對稱圖形，對稱中心為__圓心__．2．垂直于弦的直徑__平分__弦，并且__平分__弦所對的兩條弧，即一條直線如果滿足：①__AB經(jīng)過圓心O且與圓交于A，B兩點(diǎn)__；②__AB⊥CD交CD于點(diǎn)E__；那么可以推出：③__CE＝DE__；④eq\x\to(CB)＝eq\x\to(DB)；⑤eq\x\to(CA)＝eq\x\to(DA).3.__平分弦(不是直徑)__的直徑垂直于弦，并且__平分__弦所對的兩條?。岢鰡栴}：“推論”里的被平分的弦為什么不能是直徑？學(xué)生完成并交流展示．◆活動4例題與練習(xí)例1教材P82例2.例2如圖，D，E分別為eq\x\to(AB)，eq\x\to(AC)的中點(diǎn)，DE交AB，AC于點(diǎn)M，N.求證：AM＝AN.證明：連接OD，OE分別交AB，AC于點(diǎn)F，G.∵D，E分別為eq\x\to(AB)，eq\x\to(AC)的中點(diǎn)，∴∠DFM＝∠EGN＝90°.∵OD＝OE，∴∠D＝∠E，∴∠DMB＝∠ENC.∵∠DMB＝∠AMN，∠ENC＝∠ANM，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN.練習(xí)1．教材P83練習(xí)第1，2題．2．已知弓形的弦長為6cm，弓形的高為2cm，則這個(gè)弓形所在的圓的半徑為__eq\f(13,4)__cm__．3．如圖，AB為⊙O的直徑，E是eq\x\to(BC)的中點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)D，BD＝3，AB＝10，則AC＝__8__．4．如圖，⊙O中弦CD交半徑OE于點(diǎn)A，交半徑OF于點(diǎn)B，若OA＝OB，求證：AC＝BD.證明：過點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)G.∵OG過圓心，∴CG＝DG.∵OA＝OB.∴AG＝BG，∴CG－AG＝DG－BG，∴AC＝BD.◆活動5課堂小結(jié)垂徑定理及其推論，以及常用的輔助線(作垂徑)和解題思路(構(gòu)造由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形)．1．作業(yè)布置(1)教材P90習(xí)題24.1第8，11題；(2)對應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思24.1.3弧、弦、圓心角教師備課素材示例●情景導(dǎo)入(1)觀察圖片，我們會發(fā)現(xiàn)圓繞著圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，所得的圖形與原圖形重合．(2)如圖①，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心上，我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．(3)如圖②，連接AB，圓心角∠AOB所對的弦為弦AB，所對的弧為eq\x\to(AB)，那么圓心角與它所對的弧、弦這三個(gè)量之間有什么關(guān)系呢？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過實(shí)驗(yàn)操作，探索圓的旋轉(zhuǎn)不變性與“如果兩個(gè)圓心角相等，那么它們所對的弧、弦是不是相等”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．建議：盡量讓學(xué)生自己動手操作，引導(dǎo)學(xué)生得出等量關(guān)系．●歸納導(dǎo)入(1)圓是中心對稱圖形嗎？它的對稱中心在哪里？【歸納】圓是中心對稱圖形，對稱中心是O點(diǎn)．(2)如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到∠A′OB′的位置，我們發(fā)現(xiàn)∠AOB__＝__∠A′OB′，弦AB__＝__A′B′，eq\x\to(AB)__＝__eq\x\to(A′B′).【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過歸納中心對稱圖形的定義，引入圓這個(gè)中心對稱圖形和圓的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得出圓心角、弧、弦之間的關(guān)系．建議：讓學(xué)生操作試驗(yàn)，得出圓心角、弧、弦的等量關(guān)系．命題角度1利用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算在同圓或等圓中，兩個(gè)相等圓心角，它們所對的弧、弦、弦心距對應(yīng)相等．【例1】(1)如圖，如果AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，那么下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是(D)A．CE＝DEB．eq\x\to(BC)＝eq\x\to(BD)C．∠BAC＝∠BADD．AC＞ADeq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，已知AB和CD是⊙O的兩條等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別為點(diǎn)M，N，BA，DC的延長線交于點(diǎn)P.連接OP.下列四個(gè)說法中：①eq\x\to(AB)＝eq\x\to(CD)；②OM＝ON；③PB＝PD；④∠BPO＝∠DPO，其中正確的是__①②③④__．(填序號)命題角度2利用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系進(jìn)行證明在同圓或等圓中，利用弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理證明圓心角、弧、弦相等.【例2】(1)如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點(diǎn)，且BD∥OC.求證：eq\x\to(AC)＝eq\x\to(CD).證明：∵OB＝OD，∴∠D＝∠B.∵BD∥OC，∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，∴∠AOC＝∠COD，∴eq\x\to(AC)＝eq\x\to(CD).(2)如圖，C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點(diǎn)，且OD∥BC.求證：AD＝DC.證明：如圖，連接OC.∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．能識別圓心角．2．探索并掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系，了解圓的中心對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性．3．能用弧、弦、圓心角的關(guān)系解決圓中的計(jì)算題、證明題．▲重點(diǎn)探索圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理并利用其解決相關(guān)問題．▲難點(diǎn)圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理中的“在同圓或等圓中”條件的理解及定理的證明．◆活動1新課導(dǎo)入1．你能舉出生活中的圓形商標(biāo)的實(shí)例嗎？(至少三個(gè))寶馬車商標(biāo)：星巴克標(biāo)志：曼秀雷敦標(biāo)志：2．把這些圓形圖案繞圓心旋轉(zhuǎn)一定的角度，你有什么發(fā)現(xiàn)？旋轉(zhuǎn)前后圓中的弧、弦會有變化嗎？答：圖案繞圓心旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，旋轉(zhuǎn)前后圓中的弧、弦不會有變化．◆活動2探究新知1．材料P83探究．提出問題：(1)把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°，所得圖形與原圖形重合嗎？由此你得到什么結(jié)論？(2)圓是中心對稱圖形嗎？對稱中心是什么？(3)把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，所得圖形與原圖形重合嗎？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P84思考．提出問題：(1)我們把∠AOB連同eq\x\to(AB)繞圓心O旋轉(zhuǎn)，使OA與OA′重合，旋轉(zhuǎn)前后你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？(2)若∠AOB和∠A′OB′分別在兩個(gè)相等的圓中，上述等量關(guān)系還存在嗎？(3)總結(jié)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；(4)反過來，在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角、所對的弦有什么關(guān)系？如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角、所對的弧有什么關(guān)系？◆活動3知識歸納1．頂點(diǎn)在__圓心__的角叫做圓心角，能夠重合的圓叫做__等圓__；能夠__重合__的弧叫做等??；圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能夠與原來的的圖形重合，這就是圓的__旋轉(zhuǎn)不變__性．2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧__相等__，所對的弦也__相等__．3．在同圓或等圓中，兩個(gè)__圓心角__，兩條__弦__，兩條__弧__中有一組量相等，它們所對應(yīng)的其余各組量也相等．◆活動4例題與練習(xí)例1教材P84例3.例2下列說法正確嗎？為什么？(1)如圖，因?yàn)椤螦OB＝∠A′OB′，所以eq\x\to(AB)＝eq\x\to(A′B′)；(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB＝A′B′，那么eq\x\to(AB)＝eq\x\to(A′B′).解：(1)(2)都是不對的．在圖中，因?yàn)椴辉谕瑘A或等圓中，不能用定理．對于(2)也缺少了等圓的條件．例3如圖，AD＝BC.求證：AB＝CD.證明：∵AD＝BC，∴eq\x\to(AD)＝eq\x\to(BC).∵eq\x\to(AC)＝eq\x\to(AC)，∴eq\x\to(AC)＋eq\x\to(AD)＝eq\x\to(AC)＋eq\x\to(BC).∴eq\x\to(DC)＝eq\x\to(AB).∴AB＝CD.練習(xí)1．教材P85練習(xí)第1，2題．2．如圖，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分別為C，F(xiàn)，則下列說法中正確的有(D)①∠DOE＝∠AOB；②eq\x\to(AB)＝eq\x\to(DE)；③OF＝OC；④AC＝EF.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．如圖，AB是⊙O的直徑，eq\x\to(AC)＝eq\x\to(CD)，∠COD＝60°.(1)△AOC是等邊三角形嗎？請說明理由；(2)求證：OC∥BD.解：(1)△AOC是等邊三角形．理由如下：∵eq\x\to(AC)＝eq\x\to(CD)，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形；(2)∵eq\x\to(AC)＝eq\x\to(CD)，∴OC⊥AD.∵∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.∵OD＝OB，∴△ODB為等邊三角形．∴∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠COD＝60°，∴OC∥BD.◆活動5課堂小結(jié)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系是證明圓中等弧、等弦、等圓心角的常用方法．1．作業(yè)布置(1)教材P89習(xí)題24.1第2，3題；(2)對應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思24.1.4圓周角第1課時(shí)圓周角定理及其推論教師備課素材示例●情景導(dǎo)入在如圖中，當(dāng)球員在B，D，E處射門時(shí)，他所處的位置對球門AC分別形成三個(gè)張角∠ABC，∠ADC，∠AEC.這三個(gè)角的大小有什么關(guān)系？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過學(xué)生感興趣的足球活動引入本課內(nèi)容，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．建議：教師要關(guān)注學(xué)生是否理解示意圖，是否理解圓周角的定義．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入(1)如圖①，∠AOB是圓心角，頂點(diǎn)在__圓心__的角叫做圓心角；(2)在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角__相等__，所對的弦__相等__；(3)觀察圖②，發(fā)現(xiàn)∠ACB的頂點(diǎn)在圓周上，∠ACB是圓周角．eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖③))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖④))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖⑤))(4)觀察圖③④⑤，比較∠AOB與∠ACB的度數(shù)關(guān)系．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過復(fù)習(xí)圓心角的概念，導(dǎo)入圓周角的概念及圓周角定理．建議：在探索圓周角定理時(shí)，實(shí)踐操作畫出同弧上的圓周角和圓心角．命題角度1圓周角定理這類題利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，解決角的度數(shù)問題．【例1】(1)如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，點(diǎn)B是eq\x\to(AC)的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是(D)A．70°B．55°C．35.5°D．35°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，AB是⊙O的直徑，若∠BDC＝40°，則∠BOC的度數(shù)為__80°__．命題角度2圓周角定理的推論1在進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換時(shí)，注意“同弧”“等弧”在角度轉(zhuǎn)換中的過渡作用．【例2】(1)如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，∠ADC＝28°，則∠BOC的度數(shù)為(C)A．28°B．42°C．56°D．62°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，A，B，C是⊙O上三點(diǎn)，∠BAC的平分線AM交BC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)M.若∠BAC＝60°，∠ABC＝50°，則∠CBM＝__30°__，∠AMB＝__70°__．命題角度3圓周角定理的推論2這類題目一般情況下，直徑是尋找直角的重要條件．【例3】(1)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．若∠ACO＝32°，則∠B＝__58°__．eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在⊙O上，AD是⊙O的直徑，AD＝2，∠B＝∠DAC，則AC＝__eq\r(2)__．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．學(xué)習(xí)圓周角、圓周角定理及推論．2．掌握圓周角與圓心角、直徑的關(guān)系，能用分類討論的思想證明圓周角定理．3．理解圓周角定理的推論，并運(yùn)用推論進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明．▲重點(diǎn)理解圓周角定理的推論，并運(yùn)用推論進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明．▲難點(diǎn)1．運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想證明圓周角定理．2．獨(dú)自探索并證明圓周角定理的推論并能應(yīng)用該推論解決問題．◆活動1新課導(dǎo)入1．(1)圓心角指頂點(diǎn)在__圓心__的角；(2)如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦：①如果AB＝CD，那么__eq\x\to(AB)＝eq\x\to(CD)__，__∠AOB＝∠COD__；②如果eq\x\to(AB)＝eq\x\to(CD)，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD__；③如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，__eq\x\to(AB)＝eq\x\to(CD)__．◆活動2探究新知1．將圓心角的頂點(diǎn)進(jìn)行移動，如圖①.(1)當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓心時(shí)，我們知道這樣的角叫圓心角，如∠AOB.當(dāng)角的頂點(diǎn)運(yùn)動到圓周時(shí)，如∠ACB.∠ACB有什么特點(diǎn)？它與∠AOB有何異同？圖①圖②(2)觀察圖②，你能仿照圓心角的定義給這類角取一個(gè)名字并下個(gè)定義嗎？(3)比較概念：圓心角定義中為什么沒有提到“兩邊都與圓相交”呢？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P85～86探究．提出問題：(1)經(jīng)過測量，圖24.1－11中的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB之間有什么關(guān)系？(2)任意作一個(gè)圓，任取一條弧，作出它所對的圓周角與圓心角，測量它們的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(3)一條弧所對的圓心角有幾個(gè)？所對的圓周角有幾個(gè)？(4)改變動點(diǎn)C在圓周上的位置，看看圓周角的度數(shù)有沒有變化？你發(fā)現(xiàn)了什么？(5)如果把上述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論中的“同弧”改為“等弧”，結(jié)論還正確嗎？圖③圖④(6)如圖③，BC是⊙O的直徑．請問：BC所對的圓周角∠BAC是銳角、直角還是鈍角？(7)如圖④，若圓周角∠BAC＝90°，那么它所對的弦BC經(jīng)過圓心嗎？為什么？由此能得出什么結(jié)論？學(xué)生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．頂點(diǎn)在__圓上__，并且兩邊都與圓__相交__的角叫做圓周角．2．在同圓或等圓中，__等弧__或__等弦__所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的__圓心角__的一半．3．在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也__相等__．4．半圓(或直徑)所對的圓周角是__直角__，90°的圓周角所對的弦是__直徑__．◆活動4例題與練習(xí)例1教材P87例4.例2如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在⊙O上，AD是⊙O的直徑，AD＝eq\r(2)，∠B＝∠DAC，則AC＝__1__．例3如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝10cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC，BC的長．解：∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，∴∠ADC＝eq\f(1,2)∠ADE＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°.又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝5cm.∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－52)＝5eq\r(3)(cm).練習(xí)1．教材P88練習(xí)第1，3，4題．2．如圖，已知圓心角∠BOC＝100°，點(diǎn)A為優(yōu)弧eq\x\to(BC)上一點(diǎn)，則圓周角∠BAC的度數(shù)為__50°__．(第2題圖)(第3題圖)3．如圖，OA為⊙O的半徑，以O(shè)A為直徑的⊙C與⊙O的弦AB相交于點(diǎn)D.若OD＝5cm，則BE＝__10__cm__．◆活動5課堂小結(jié)圓周角的定義、定理及推論．1．作業(yè)布置(1)教材P89習(xí)題24.1第5，6，14題；(2)對應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思第2課時(shí)圓內(nèi)接四邊形教師備課素材示例●情景導(dǎo)入如圖，在這個(gè)圓形人工湖邊上造4個(gè)休息亭(即A，B，C，D)，用儀器測得∠A＝75°，∠B＝65°，能求出另兩個(gè)角∠C和∠D的度數(shù)嗎？需要哪些數(shù)據(jù)可以求該圓形人工湖的直徑？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過導(dǎo)入人工湖建休息亭建立圓內(nèi)接四邊形數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．建議：從圓內(nèi)接四邊形的定義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)四邊形的四個(gè)內(nèi)角都是圓周角．●置疑導(dǎo)入(1)什么是圓心角、圓周角？(2)同弧所對的圓周角和圓心角有什么關(guān)系？(3)圓周角定理的推論是什么？(4)如圖，eq\x\to(AD)所對的圓心角是__∠AOD__，所對的圓周角有__∠ABD，∠ACD__，∠ABD__＝__∠ACD，它們都等于∠AOD度數(shù)的__一半__．【教學(xué)與建議】教學(xué)：置疑圓心角、圓周角相關(guān)問題導(dǎo)入課題．建議：學(xué)生回答問題后相互點(diǎn)評．命題角度利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算或證明利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)探索角相等或互補(bǔ)關(guān)系．【例】(1)若ABCD為圓內(nèi)接四邊形，則下列選項(xiàng)可能成立的是(B)A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶3∶2(2)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＝115°，則∠BOD等于__130°__．(3)如圖，△ABC的外角平分線AD交外接圓于D.求證：DB＝DC.證明：∵AD是∠EAC的平分線，∴∠DAC＝∠DAE.∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝∠DAE＋∠BAD＝180°，∴∠DCB＝∠DAE.∵圓周角∠DBC和∠DAC所對的弧都是eq\x\to(CD)，∴∠DBC＝∠DAC，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．掌握圓內(nèi)接多邊形、多邊形的外接圓的概念．2．理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．3．通過探究討論，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力．▲重點(diǎn)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的探究及運(yùn)用．▲難點(diǎn)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的靈活運(yùn)用以及幾何圖形中輔助線的添加．◆活動1新課導(dǎo)入1．圓周角定理及其推論．2．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，連接OA，OB.若∠ABO＝25°，則∠C＝__65°__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，則∠CAO＝__30°__．◆活動2探究新知1．教材P87思考．提出問題：(1)圖24.1－17中，∠A是圓周角嗎？∠ABC，∠C，∠ADC呢？(2)∠A與∠C，∠ABC與∠ADC之間有什么關(guān)系？用圓周角定理嘗試證明；(3)由此你能得出圓內(nèi)接四邊形的什么結(jié)論？學(xué)生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做__圓內(nèi)接多邊形__，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的__外接圓__．2．圓內(nèi)接四邊形的對角__互補(bǔ)__．◆活動4例題與練習(xí)例1在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)的比是3∶2∶7，求四邊形各內(nèi)角的度數(shù)．解：設(shè)∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為3x，2x，7x.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°，∴x＝18°，∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－36°＝144°.例2如圖，已知A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且AC＝BC.求證：DC平分∠BDE.解：∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠CDA＋∠ABC＝180°，又∵∠3＋∠CDA＝180°，∴∠3＝∠ABC.又∵AC＝BC，∴∠1＝∠ABC，∴∠1＝∠3.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，即DC平分∠BDE.練習(xí)1．教材P88練習(xí)第2，5題．2．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC等于(C)A．45°B．50°C．60°D．75°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個(gè)外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度數(shù)為__128°__．4．如圖，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度數(shù)．解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A＝180°－∠C＝50°.◆活動5課堂小結(jié)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．1．作業(yè)布置(1)教材P90習(xí)題24.1第7題；(2)對應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思24.2點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系24．2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系教師備課素材示例●懸念激趣我國射擊運(yùn)動員在奧運(yùn)會上屢獲金牌，為祖國贏得榮譽(yù)．如圖是射擊靶的示意圖，它是由許多同心圓(圓心相同、半徑不等的圓)構(gòu)成的，你知道擊中靶上不同位置的成績是怎樣計(jì)算的嗎？(1)要解決上面的問題需要研究點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．(2)點(diǎn)和圓有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外．(3)射擊成績用彈著點(diǎn)位置對應(yīng)的環(huán)數(shù)表示．彈著點(diǎn)與靶心的距離決定了它在哪個(gè)圓內(nèi)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：創(chuàng)設(shè)懸念使學(xué)生對射擊比賽規(guī)則及我國射擊運(yùn)動員所取得的成就有所了解，增強(qiáng)民族自豪感．建議：探索點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時(shí)，可通過畫圖來分析．●歸納導(dǎo)入(1)如圖，足球運(yùn)動員踢出的球在球場上滾動，在其穿越中間圓形區(qū)域的過程中，足球與這個(gè)圓有怎樣的位置關(guān)系？(2)將足球看成一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)和圓具有怎樣的位置關(guān)系？(3)在同一平面內(nèi)，點(diǎn)和圓有幾種位置關(guān)系？eq\o(\s\up7(),\s\do5(點(diǎn)P在⊙O內(nèi)))eq\o(\s\up7(),\s\do5(點(diǎn)P在⊙O上))eq\o(\s\up7(),\s\do5(點(diǎn)P在⊙O外))【歸納】設(shè)⊙O的半徑為r，OP＝d，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系是：點(diǎn)P在圓內(nèi)?__d＜r__；點(diǎn)P在圓上?__d＝r__；點(diǎn)P在圓外?__d＞r__．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過踢足球的情景引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．建議：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，然后小組內(nèi)討論、歸納出判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的方法．命題角度1判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系在判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時(shí)，只需比較點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小即可．【例1】(1)已知⊙O的半徑為6cm，若OP＝5cm，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是(C)A．點(diǎn)P在⊙O外B．點(diǎn)P在⊙O上C．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)D．不能確定(2)若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)為(3，4)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，8)，則點(diǎn)P的位置為(A)A．在⊙A內(nèi)B．在⊙A上C．在⊙A外D．不確定命題角度2點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的逆向應(yīng)用根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，求半徑的取值范圍．【例2】(1)一點(diǎn)和⊙O上的最近點(diǎn)距離為4cm，最遠(yuǎn)點(diǎn)距離為9cm，則這個(gè)圓的半徑是__6.5__cm或2.5__cm__．(2)已知矩形ABCD的邊AB＝6cm，AD＝8cm，以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B，C，D三點(diǎn)至少有一個(gè)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)在圓外，求⊙A的半徑r的取值范圍．解：由題意，得AC＝eq\r(62＋82)＝10(cm)，∴6cm<r<10cm.命題角度3不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓題型主要有兩種，一是已知不在同一直線上的三點(diǎn)繪制一個(gè)圓；二是已知三角形求它的外接圓半徑．【例3】小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了(如圖)，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是(A)A．①B．②C．③D．④命題角度4三角形的外接圓與外心根據(jù)三角形外接圓的定義確定三角形的外心，利用外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)解決線段、角度相等問題．【例4】(1)如圖所示的正方形網(wǎng)格中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，那么△ABC的外接圓圓心是(C)A．點(diǎn)EB．點(diǎn)FC．點(diǎn)GD．點(diǎn)H(2)如圖，⊙O的半徑為5，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.若CD＝3，AC＝6，則BC的長為__5__．命題角度5反證法這類題目一般只考查假設(shè)的第一步．反證法證明一般有三個(gè)步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)推理得出矛盾；(3)肯定原命題的結(jié)論成立．【例5】用反證法證明時(shí)，假設(shè)結(jié)論“點(diǎn)在圓外”不成立，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系只能是__點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)__．歐幾里得喜愛的證法英國著名的數(shù)學(xué)家哈代說過：“歐幾里得所喜愛的間接法(反證法)是數(shù)學(xué)最好的武器之一，它比象棋中任何的‘丟卒保車’走法都高明．因?yàn)橐粋€(gè)棋手提供犧牲的只是一兵一卒，而一個(gè)數(shù)學(xué)家提供的是整個(gè)求證的目標(biāo)．”反證法是一種間接證法，它可以分為兩種：如果所要證明的結(jié)論，它的反面只有一種情況就叫歸謬法；如果結(jié)論的反面有兩種以上情況就叫窮舉法．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．弄清點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系及數(shù)量間的關(guān)系．2．探究過點(diǎn)畫圓的過程，掌握過不在同一條直線上三點(diǎn)畫圓的方法．3．了解運(yùn)用反證法證明命題的思想方法．▲重點(diǎn)過不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓．▲難點(diǎn)探究過三點(diǎn)作圓的過程，明白過同一條直線上的三點(diǎn)不能作圓的道理．◆活動1新課導(dǎo)入1．圓的大小由__半徑__確定；位置由__圓心__確定．2．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)__端點(diǎn)__的距離__相等__．3．到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的__垂直平分線__上．◆活動2探究新知1．教材P92問題．提出問題：(1)請測量圖24.2－2中OA，OB，OC的長度，并比較它們的大??；(2)如何判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，需要比較什么？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P93探究、思考．提出問題：(1)作圓，使圓經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B，你是如何作的？你能作出幾個(gè)這樣的圓？其圓心的分布有什么特點(diǎn)？與線段AB有什么關(guān)系？為什么？(2)作圓，使該圓經(jīng)過三個(gè)已知點(diǎn)A，B，C(其中A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上)，你是如何作的？你能作出幾個(gè)這樣的圓？(3)探究銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的外心的位置．學(xué)生完成并交流展示．3．教材P94思考及以下內(nèi)容．提出問題：(1)經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)A，B，C作⊙O，圓心O如何確定？請作出該圓；(2)請用反證法證明：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)能作出一個(gè)圓；(3)總結(jié)用反證法證明的步驟．學(xué)生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外?__d>r__；點(diǎn)P在圓上?__d＝r__；點(diǎn)P在圓內(nèi)?__d<r__．2．經(jīng)過已知點(diǎn)A可以作__無數(shù)__個(gè)圓，經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B可以作__無數(shù)__個(gè)圓，它們的圓心在__線段__AB的垂直平分線__上；經(jīng)過不在同一條直線上的A，B，C三點(diǎn)可以作__一__個(gè)圓．3．經(jīng)過三角形的__三個(gè)頂點(diǎn)__的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的__垂直平分線__的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心．銳角三角形的外心在三角形__內(nèi)部__；直角三角形的外心在三角形__斜邊的中點(diǎn)__；鈍角三角形的外心在三角形__外部__；任意三角形的外接圓有__一__個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有__無數(shù)__個(gè)．4．用反證法證明命題的一般步驟：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾；③由矛盾判定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立．◆活動4例題與練習(xí)例1如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝13，CD⊥AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心，5為半徑作⊙C，試判斷A，D，B三點(diǎn)與⊙C的位置關(guān)系．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(132－122)＝5，∴點(diǎn)B在⊙C上．∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(12×5,13)＝eq\f(60,13)<5，∴點(diǎn)D在⊙C內(nèi)．又∵AC＝12>5，∴點(diǎn)A在⊙C外．例2如圖所示的是殘缺的破圓形輪片，如何找此殘片所在的圓的圓心．(不寫作法，保留作圖痕跡)解：在弧上任意找兩條弦，分別作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)即是圓心．圖略．例3用反證法證明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，則其中至少有一個(gè)角不大于60°.證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C都大于60°.則有∠A＋∠B＋∠C>180°，這與三角形的內(nèi)角和等于180°相矛盾．因此假設(shè)不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一個(gè)角不大于60°.練習(xí)1．教材P95練習(xí)第1，2，3題．2．在直角坐標(biāo)系中，”A，⊙B的位置如圖所示．下列四個(gè)點(diǎn)中，在⊙A外部且在⊙B內(nèi)部的是(C)A．(1，2)B．(2，1)C．(2，－1)D．(3，1)3．在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑是4，圓心A的坐標(biāo)是(2，0)，則點(diǎn)P(－2，1)與⊙A的位置關(guān)系是__點(diǎn)P在⊙A外部__．◆活動5課堂小結(jié)1．點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系．2．三角形外接圓及三角形的外心的概念．1．作業(yè)布置(1)教材P101習(xí)題24.2第1題；(2)對應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思24.2.2直線和圓的位置關(guān)系第1課時(shí)直線和圓的位置關(guān)系教師備課素材示例●情景導(dǎo)入請同學(xué)們在紙上畫一條直線l，把硬幣的邊緣看作圓，在紙上移動硬幣，觀察直線和圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化情況．你能看出公共點(diǎn)最少有幾個(gè)，最多有幾個(gè)嗎？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過實(shí)踐操作，建立幾何模型．建議：分小組操作實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考直線和圓的位置關(guān)系可以分為哪幾類．●類比導(dǎo)入(1)復(fù)習(xí)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，如圖：點(diǎn)P在⊙O外?d__>__r，如圖(a)所示；點(diǎn)P在⊙O上?d__＝__r，如圖(b)所示；點(diǎn)P在⊙O內(nèi)?d__<__r，如圖(c)所示．(2)如圖，把硬幣看作一個(gè)圓，由此你能歸納出直線和圓的位置關(guān)系嗎？【歸納】如圖(a)，直線l和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說這條直線和圓__相交__，這條直線叫做圓的__割線__；如圖(b)，直線和圓只有一個(gè)__公共點(diǎn)__，這時(shí)我們說這條直線和圓__相切__，這條直線叫做圓的__切線__，這個(gè)點(diǎn)叫做__切點(diǎn)__；如圖(c)，直線和圓沒有__公共點(diǎn)__，這時(shí)我們說這條直線和圓__相離__.【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過對點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的回顧，類比發(fā)現(xiàn)直線和圓的位置關(guān)系．建議：由上節(jié)課點(diǎn)和圓的位置關(guān)系導(dǎo)入直線和圓的位置關(guān)系的三個(gè)對應(yīng)等價(jià)關(guān)系．命題角度1判斷直線和圓的位置關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系有兩種方法：(1)直接根據(jù)定義，確定直線和圓的交點(diǎn)數(shù)；(2)判斷直線與圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系．【例1】(1)已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為3eq\r(2)，則直線l與⊙O的位置關(guān)系為(A)A．相交B．相切C．相離D．無法確定(2)⊙O的半徑為5，點(diǎn)A在直線l上，若OA＝5，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是__相切或相交__．命題角度2直線和圓的位置關(guān)系的逆向應(yīng)用這類題目常結(jié)合具體幾何圖形或在平面直角坐標(biāo)系中綜合考查．【例2】(1)以點(diǎn)P(1，2)為圓心，r為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有四個(gè)交點(diǎn)，則r的取值范圍是__r＞2且r≠eq\r(5)__．(2)如圖，半圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，半圓的半徑為1，直線l的解析式為y＝x＋t.若直線l與半圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則t的取值范圍是__t＝eq\r(2)或－1≤t＜1__．?dāng)?shù)學(xué)中的“界”唐朝詩人王維的詩句“大漠孤煙直，長河落日圓”，向我們形象地展示了直線和圓的三種位置關(guān)系——相離、相切、相交．如果我們從時(shí)間的維度來看三種位置關(guān)系的話，在日落過程中，相切可以說是轉(zhuǎn)瞬即逝，這是相離和相交的分界點(diǎn)，由此你聯(lián)想到了哪些數(shù)學(xué)知識呢？數(shù)字中的“0”也有著類似的地位，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)；數(shù)軸上的原點(diǎn)，它是正、負(fù)半軸的分界；平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)軸是各個(gè)象限之間的分界等等．它們都具有“界”的特性，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．通過操作、觀察，理解直線和圓有三種位置關(guān)系．2．根據(jù)圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系判定直線和圓的位置關(guān)系．3．經(jīng)歷探索直線和圓的位置關(guān)系的判定和專題訓(xùn)練，體驗(yàn)從運(yùn)動觀點(diǎn)以及量變到質(zhì)變的過程理解直線和圓三種位置關(guān)系．▲重點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系的判定．▲難點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系的判定．◆活動1新課導(dǎo)入動手操作：用圓規(guī)在紙上畫一個(gè)圓，然后將一個(gè)三角板的一條邊沿某一直線方向由遠(yuǎn)到近逐漸向這個(gè)圓靠近，直至三角板完全遠(yuǎn)離這個(gè)圓，在此過程中，你發(fā)現(xiàn)這條邊與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)有3種情況，分別是__0__個(gè)公共點(diǎn)，__1__個(gè)公共點(diǎn)，__2__個(gè)公共點(diǎn)．◆活動2探究新知1．教材P95思考．提出問題：(1)直線和圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最少時(shí)有幾個(gè)？最多時(shí)有幾個(gè)？(2)根據(jù)上面你觀察發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，你認(rèn)為直線與圓的位置關(guān)系可以分為幾類？你分類的依據(jù)是什么？分別把它們的圖形在草稿紙上畫出來；(3)在剛才的過程中，除了公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)發(fā)生了變化外，還發(fā)現(xiàn)有什么量也在改變？它與圓的半徑有什么樣的數(shù)量關(guān)系？(4)怎樣用d(圓心與直線的距離)來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？學(xué)生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．直線和圓有__兩__個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該直線和圓相交，直線叫做圓的__割線__．2．直線和圓有__一__個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該直線和圓相切，直線叫做圓的__切線__，這個(gè)點(diǎn)叫做__切點(diǎn)__．3．直線和圓有__零__個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線和圓相離．4．設(shè)⊙O的半徑為r，直線l到圓心O的距離為d，則有：直線l和⊙O相交?__d<r__；直線l和⊙O相切?__d＝r__；直線l和⊙O相離?__d＞r__．◆活動4例題與練習(xí)例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4cm，BC＝2cm，以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與AB有何種位置關(guān)系？請你寫出判斷過程．(1)r＝1.5cm;(2)r＝eq\r(3)cm;(3)r＝2cm.解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.∵AB＝4cm，BC＝2cm，∴AC＝2eq\r(3)cm.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)BC·AC，∴CD＝eq\f(BC·AC,AB)＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3)(cm).(1)r＝1.5cm時(shí)，相離；(2)r＝eq\r(3)cm時(shí)，相切；(3)r＝2cm時(shí)，相交．例2如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半徑為2.當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，AB所在的直線與⊙O相交、相切、相離？解：過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D.∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°，∴OD＝eq\f(1,2)BO＝eq\f(1,2)x.當(dāng)AB所在的直線與⊙O相切時(shí)，OD＝r＝2.∴BO＝4.∴0<x<4時(shí)，相交；x＝4時(shí)，相切；x>4時(shí)，相離．練習(xí)1．教材P96練習(xí)．2．已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為d，若直線l與⊙O相切，則以d，r為根的一元二次方程可能為(D)A．x2－4x＝0B．x2＋6x＋9＝0C．x2－3x＋2＝0D．x2－4x＋4＝03．如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，則直線y＝－x＋eq\r(2)與⊙O的位置關(guān)系是__相切__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝30°，半徑為1cm的⊙P的圓心在射線OA上，且與點(diǎn)O的距離為6cm.如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移動，則經(jīng)過__4或8__s后，⊙P與直線CD相切．◆活動5課堂小結(jié)1．直線與圓的三種位置關(guān)系．2．根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，判斷出直線與圓的位置關(guān)系．1．作業(yè)布置(1)教材P101習(xí)題24.2第2題；(2)對應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思第2課時(shí)切線的判定與性質(zhì)教師備課素材示例●置疑導(dǎo)入(1)用一根細(xì)線系一個(gè)小球，當(dāng)你快速轉(zhuǎn)動細(xì)線時(shí)，小球運(yùn)動形成一個(gè)圓，突然，這個(gè)小球脫落，沿著圓的邊緣飛出去，你知道小球順著什么方向飛出去了嗎？(2)如圖①，下雨天，快速轉(zhuǎn)動雨傘時(shí)，雨傘上的水珠是順著什么方向飛出去的？(3)觀察圖②，過⊙O上一點(diǎn)A作直線l，則直線l與⊙O有哪幾種位置關(guān)系？(4)觀察圖③，當(dāng)所作直線l與OA垂直時(shí)，直線l與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖③))【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過常見實(shí)際問題引入直線和圓相切，并通過作圖來觀察、探究切線．建議：在探究切線的判定方法時(shí)，講解“經(jīng)過半徑的外端”“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入(1)填寫直線和圓的位置關(guān)系表：直線和圓的位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)__2____1____0__公共點(diǎn)名稱__交點(diǎn)____切點(diǎn)__直線名稱__割線____切線__圓心到直線的距離d與r的關(guān)系__d<r____d＝r____d>r__(2)畫出⊙O，在圓周上找一點(diǎn)A，經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A作直線l⊥OA，則圓心O到直線l的距離是多少？直線l和⊙O有什么位置關(guān)系？(3)如果直線l是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過對直線和圓的位置關(guān)系的回顧，探究問題，得出切線的判定定理和性質(zhì)定理．建議：讓學(xué)生通過畫圖體會定理的正確性．命題角度1切線的判定證明直線與圓相切有如下三種途徑：(1)定義法；(2)證明d＝r；(3)判定定理．【例1】(1)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O.求證：AB是⊙O的切線．證明：過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F.∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切線．(2)如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝AC，BC與⊙O交于點(diǎn)D，且DE⊥AC.求證：DE是⊙O的切線．證明：連接AD，DO.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．命題角度2切線的綜合運(yùn)用已知直線是圓的切線時(shí)，通常需要連接圓心和切點(diǎn)，構(gòu)造出直角三角形．【例2】(1)如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，過點(diǎn)P作⊙O的切線PC，切點(diǎn)為C.連接BC，若⊙O的半徑為6，PC＝BC，則線段PC的長為(C)A．3eq\r(3)B．6C．6eq\r(3)D．12(2)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，點(diǎn)O在AB上，OB＝2，以O(shè)B為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，求弦BE的長．解：連接OD.∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AC，∴∠ODC＝90°.作OF⊥BE于點(diǎn)F，∴∠OFC＝90°，BE＝2BF.∵∠C＝90°，∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四邊形ODCF是矩形，∴FC＝OD＝OB＝2，∴BF＝BC－FC＝3－2＝1，∴BE＝2BF＝2.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．掌握切線的判定定理，能判定一條直線是否為圓的切線．2．掌握切線的性質(zhì)定理．3．能綜合運(yùn)用圓的切線的判定和性質(zhì)解決問題．▲重點(diǎn)探索圓的切線的判定和性質(zhì)，并能運(yùn)用．▲難點(diǎn)探索圓的切線的判定方法．◆活動1新課導(dǎo)入在上面三個(gè)圖中，直線l和圓的三種位置關(guān)系分別是__相交__、__相切__、__相離__．◆活動2探究新知1．教材P97第1個(gè)思考．提出問題：(1)已知一個(gè)圓和圓上的一點(diǎn)，如何過這個(gè)點(diǎn)畫出圓的切線？能畫幾條？(2)觀察下面兩個(gè)圖形，直線l是圓的切線嗎？判定直線是圓的切線的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是什么？(3)請總結(jié)一下判定切線共有哪幾種方法？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P97第2個(gè)思考．提出問題：(1)嘗試用反證法證明你的結(jié)論；(2)用簡潔的語言總結(jié)出你剛剛得到的結(jié)論．學(xué)生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．切線的判定定理：經(jīng)過半徑的__外端__并且__垂直于__這條半徑的直線是圓的切線．2．切線的性質(zhì)：①切線和圓只有__一個(gè)__公共點(diǎn)；②切線到圓心的距離等于__半徑__；③圓的切線__垂直于__過切點(diǎn)的半徑．3．當(dāng)已知一條直線是某圓的切線時(shí)，切點(diǎn)的位置是確定的，輔助線常是連接__圓心__和__切點(diǎn)__，得到半徑，那么半徑__垂直于__切線．◆活動4例題與練習(xí)例1教材P98例1.例2如圖，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點(diǎn)C.求證：直線PB與⊙O相切．證明：過點(diǎn)O作OD⊥PB于點(diǎn)D，連接OC.∵⊙O與PA相切于點(diǎn)C，∴OC⊥PA.又∵點(diǎn)O在∠APB的平分線上，∴OC＝OD，∴直線PB與⊙O相切．例3如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D.求證：AC平分∠DAB.證明：連接OC.∵⊙O和直線CD相切，∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠ACO＝∠CAD.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠CAO.∴AC平分∠DAB.練習(xí)1．教材P98練習(xí)第1，2題．2．在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對角線AC上的任意一點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，以P為圓心的圓與AB相切，則AD與⊙P的位置關(guān)系是(B)A．相離B．相切C．相交D．不能確定3．如圖，A，B是⊙O上的兩點(diǎn)，AC是過點(diǎn)A的一條直線．如果∠AOB＝120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于__60°__時(shí)，AC才能成為⊙O的切線．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長線上，DC切⊙O于點(diǎn)C.若∠A＝25°，則∠D＝__40°__．◆活動5課堂小結(jié)1．用圓的切線時(shí)，常常連接圓心和切點(diǎn)得切線垂直于半徑．2．“連半徑證垂直”與“作垂直證半徑”——判定直線與圓相切．(1)當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，只需“連半徑、證垂直”即可；(2)當(dāng)已知條件中沒有指出圓與直線有公共點(diǎn)時(shí)，常運(yùn)用“d＝r”進(jìn)行判斷，輔助線的作法是過圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長等于半徑．1．作業(yè)布置(1)教材P101習(xí)題24.2第3，4，5題；(2)對應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思第3課時(shí)切線長定理和三角形的內(nèi)切圓教師備課素材示例●情景導(dǎo)入同學(xué)們玩過悠悠球(如圖①)嗎？大家在玩悠悠球時(shí)是否想到過它在轉(zhuǎn)動過程中還包含著數(shù)學(xué)知識呢？圖②是悠悠球在轉(zhuǎn)動的一瞬間的剖面示意圖，從中你能抽象出什么樣的數(shù)學(xué)圖形？這些圖形的位置關(guān)系是怎樣的？eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過悠悠球抽象出幾何模型，并進(jìn)一步導(dǎo)入切線長及切線長定理．建議：教師在課前準(zhǔn)備一個(gè)悠悠球，在課堂上直接展示．●歸納導(dǎo)入[操作]第一步：在透明紙上畫出⊙O，并畫出過⊙O上點(diǎn)A的切線PA，連接PO.第二步：沿著直線PO將紙對折，并用筆標(biāo)出與點(diǎn)A重合的點(diǎn)，記為點(diǎn)B(如圖)．問題：(1)PB是⊙O的切線嗎？(2)判斷圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關(guān)系．發(fā)現(xiàn)：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.【歸納】從圓外一點(diǎn)可以引圓的__兩條__切線，它們的切線長__相等__，這一點(diǎn)和圓心的連線__平分__兩條切線的夾角．【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過實(shí)際動手操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)條件，進(jìn)而解決問題．建議：學(xué)生操作并思考回答問題，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性．命題角度1切線長定理的運(yùn)用在運(yùn)用切線長定理解決實(shí)際問題時(shí)，往往需要構(gòu)建如圖所示的基本圖形．【例1】(1)如圖，PA，PB分別是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，若∠BAC＝35°，則∠P的度數(shù)為(D)A．35°B．45°C．60°D．70°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCD的周長為__44__．命題角度2三角形內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓常與切線長定理結(jié)合使用，注意內(nèi)心與外心、重心的區(qū)別．【例2】(1)如圖，在△ABC中，∠A＝60°，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIC的度數(shù)為(C)A．112°B．110°C．120°D．130°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝__1__．三角形的“心”我們經(jīng)常說要做個(gè)“有心”的人，在多邊形的世界里，三角形就是一個(gè)非?！坝行摹钡膱D形．三角形共有五種“心”．(1)重心：三條中線的交點(diǎn)；(2)外心：三邊中垂線的交點(diǎn)，是三角形外接圓圓心的簡稱；(3)內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn)，是三角形內(nèi)切圓圓心的簡稱；(4)垂心：三條高的交點(diǎn)，垂心的位置隨三角形類型的不同而發(fā)生變化；(5)旁心：三角形旁切圓圓心的簡稱，它是三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和其他兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線的交點(diǎn)，顯然，任何三角形都有三個(gè)旁切圓，三個(gè)旁心．當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，“重心、外心、內(nèi)心、垂心”四心合一，稱為正三角形的中心．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．通過動手操作、度量、猜想、驗(yàn)證，理解切線長的概念，掌握切線長定理；知道三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念．2．通過對例題的學(xué)習(xí)，養(yǎng)成分析問題、總結(jié)問題的習(xí)慣，提高綜合運(yùn)用知識和解決問題的能力，掌握數(shù)形結(jié)合的思想．▲重點(diǎn)切線長定理及其應(yīng)用，三角形的內(nèi)切圓和三角形內(nèi)心的概念．▲難點(diǎn)與切線長定理有關(guān)的證明和計(jì)算問題；三角形內(nèi)切圓的計(jì)算問題.◆活動1新課導(dǎo)入1．直線和圓有哪幾種位置關(guān)系？怎樣判斷它們的位置關(guān)系？答：三種，d>r，相離；d＝r，相切；d<r，相交．2．你覺得這幾種位置關(guān)系哪種最特殊？為什么？答：相切，略．◆活動2探究新知1．教材P99探究．(1)判斷△PBO與△PAO的形狀，并說明理由；(2)求證：△PAO≌△PBO；(3)由△PAO≌△PBO，可以得出哪些結(jié)論？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P99思考．提出問題：(1)三角形內(nèi)切圓的圓心具有什么性質(zhì)？(2)如何確定三角形內(nèi)切圓的圓心？請畫出△ABC的內(nèi)切圓．學(xué)生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和__切點(diǎn)__之間的線段長叫做切線長．2．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長__相等__，這一點(diǎn)和圓心的連線平分__兩條切線__的夾角，這就是切線長定理．3．與三角形各邊都__相切__的圓叫做三角形的內(nèi)切圓．4．三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形__三條角平分線__的交點(diǎn)，叫做三角形的__內(nèi)心__，它到三邊的距離__相等__．◆活動4例題與練習(xí)例1教材P100例2.例2為了測量一個(gè)圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切且測得PA＝5cm，求鐵環(huán)的半徑．解：設(shè)圓心為O，連接OA，OP.∵三角板有一個(gè)銳角為30°，∴∠PAO＝60°.又∵PA與⊙O相切，∴∠OPA＝90°，∴∠POA＝30°.∵PA＝5cm，∴OP＝5eq\r(3)cm.即鐵環(huán)的半徑為5eq\r(3)cm.例3如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，BC為⊙O的直徑．(1)求證：AC∥OP；(2)若∠APB＝60°，BC＝8cm，求AC的長．解：(1)連接OA.∵PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO，∴∠POA＝∠POB.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA，∴∠BOA＝2∠OCA，∴∠POB＝∠OCA，∴AC∥OP；(2)連接AB.易證△PAB為等邊三角形，∴∠PBA＝60°.由(1)，得∠PBO＝90°，∴∠ABO＝30°.∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°.∵BC＝8cm，∴AC＝4cm.練習(xí)1．教材P100練習(xí)第1，2題．2．如圖，過⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是優(yōu)弧eq\x\to(ABC)上不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合的一個(gè)動點(diǎn)，連接AD，CD.若∠APB＝80°，則∠ADC的度數(shù)是(C)A．15°B．20°C．25°D．30°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))3．如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC＝80°，則∠BOC等于(A)A．130°B．120°C．100°D．90°4．如圖，⊙O切△ABC的邊BC于點(diǎn)D，切AB，AC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)，若△ABC的周長為20，則AE＝__10__．◆活動5課堂小結(jié)切線長定理，三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心，直角三角形內(nèi)切圓半徑公式．1．作業(yè)布置(1)教材P101～102習(xí)題24.2第6，11，14題；(2)對應(yīng)課時(shí)練習(xí)．2．教學(xué)反思24.3正多邊形和圓教師備課素材示例●情景導(dǎo)入(1)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽，在公元三世紀(jì)用“割圓術(shù)”求得π的近似值為eq\f(157,50)≈3.14，祖沖之在公元五世紀(jì)又進(jìn)一步求得π的值在3.1415926與3.1415927之間，現(xiàn)代利用電子計(jì)算機(jī)，已有人把π的值算到小數(shù)點(diǎn)后幾十萬位．它是從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐步計(jì)算所得的結(jié)果．(2)在同圓或等圓中，等弧所對的弦__相等__，所對的圓周角__相等__.(