2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷（測(cè)試范圍：新高考數(shù)學(xué)全部?jī)?nèi)容）（原卷版+解析+參考答案+答題卡）

高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

測(cè)試范圍：新高考數(shù)學(xué)全部?jī)?nèi)容

一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

1.（5分）已知i為虛數(shù)單位，貝i|z=—上一在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

l-2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（5分）設(shè)集合M={尤|x=2〃，aeZ},N={Mr=4〃±2,”eZ},則（）

A.M星NB.M叁N

C.M=ND.以上都不正確

3.（5分）A,B,C,D,E,尸六人站成一排，滿足A,8相鄰，C,。不相鄰，E不站兩端的不同站法的種

數(shù)為（）

A.48B.96C.144D.288

4.（5分）己知偶函數(shù)無(wú)）=依2+公+1的定義域[a-1,2],則函數(shù)/（%）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（-8,1）B.（-8,1]C.[-3,1]D.[1,+8）

22

5.（5分）設(shè)橢圓與三=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為為、F2,P是橢圓上一點(diǎn)，ZFIPF2=60°,

2,2

ab

\PF1\=X\PF2\則橢圓的離心率的最小值為（)

3

A.-1B.AC.工D.近

24164

6.（5分）已知/（%）=sinx,g（x）=/川%|+（ex）2,則/（x）?g（x）>0的解集是（）

A.{x|-工V%V0或工VxVn或2zmVxV（2幾+1）ir,n￡Z,且〃WO}

ee

B.{%|-TTVXV-2或工VxVn或2mrVxV（2n+l）ir,nEZ,且

ee

C.{x|-」VxV0或0<%V工或VxV（2n+l）n,讓Z,且〃W0}

ee

D.{x\-A<x<0或[〈jcVn或（2〃-1）7T<x<2nn,〃€Z,且〃W0}

ee

7.（5分）已知cosa=3,a6（3兀，2兀），則sinQ-=（）

512）2

A.近_B.一匹C.—D.漢5_

5555

8.（5分）設(shè)Si是等比數(shù)列｛斯｝的前w項(xiàng)和.若22=2,54=4,則S8等于（）

a4

A.12B.24C.16D.32

二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合

題目要求的.

（多選）9.（5分）已知菱形紙片ABC。的邊長(zhǎng)為2,且NABC=60°,將△ABC繞AC旋轉(zhuǎn)180°,旋轉(zhuǎn)

過(guò)程中記點(diǎn)8位置為點(diǎn)P,則（）

A.直線AC與點(diǎn)尸的軌跡所在平面始終垂直

B.尸2+尸。的最大值為十

C.二面角AC的大小與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)

D.旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為Tt

（多選）10.（5分）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸

的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知平行于

無(wú)軸的光線從點(diǎn)M射入，經(jīng)過(guò)拋物線Cf=8x上的點(diǎn)尸反射，再經(jīng)過(guò)C上另一點(diǎn)。反射后，沿直線

/2射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N,貝IJ（）

A.若/1的方程為y=2,則|PQ=8

B.若/1的方程為y=2,豆/PQM=NMQN,則M（13,2）

C.分別延長(zhǎng)尸。，NQ交于點(diǎn)則點(diǎn)。在C的準(zhǔn)線上

D.拋物線C在點(diǎn)尸處的切線分別與直線嚇，人所成角相等

（多選）11.（5分）已知函數(shù)/（%）=xcosx-sinx,下列結(jié)論中正確的是（）

A.函數(shù)f（x）在x=弓時(shí)取得極小值-1

B.VxG[0,n],f（x）W0恒成立

C.若0Vxi〈x2Vn,則」-V1——L

x2sinx2

D.若邑＜6,VxG（0,A）恒成立，則。的最大值為2,6的最小值為1

x2打

（多選）12.（5分）某社團(tuán)開(kāi)展“建黨100周年主題活動(dòng)--學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽“，甲、乙兩人能得滿分的

概率分別為3,2,兩人能否獲得滿分相互獨(dú)立，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

43

A.兩人均獲得滿分的概率為工

2

B.兩人至少一人獲得滿分的概率為二

12

C.兩人恰好只有甲獲得滿分的概率為國(guó)

4

D.兩人至多一人獲得滿分的概率為包

12

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)度為3的線段A2的兩個(gè)端點(diǎn)分別在無(wú)軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是直線

x+y-4=0上的動(dòng)點(diǎn)，貝||應(yīng)+而|的最小值為.

14.（5分）四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，下底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，四條側(cè)棱的長(zhǎng)均為丁5,則

該四棱臺(tái)的體積為.

15.（5分）已知圓/+y2+4%-6y+〃=0關(guān)于直線y=x+b成軸對(duì)稱圖形,貝U〃-b的取值范圍是.

TT

16.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（（ox+（p）（a）＞0）.若f（x）的圖象向左平移——個(gè)單位所得的圖象與/（x）

3

的圖象重合，則3的最小值為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）在△A2C中，42=4,AC=2&,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)￡,使AE=3Z）E.

（1）若DE=1,求/8AC的余弦值；

（2）若求線段BE的長(zhǎng).

4

+

18.(12分)己知數(shù)列｛金｝滿足“1=",(an+1+1)(an+l)=2anl.n€N*-

(1)求數(shù)列｛板｝的通項(xiàng)公式；

、*1

(2)證明：對(duì)，(710243+。2a3。4+…+。"。"+1?！?2<.

12

19.(12分)某公司為了解所開(kāi)發(fā)APP使用情況，隨機(jī)調(diào)查了100名用戶.根據(jù)這100名用戶的評(píng)分，繪

制出了如圖所示的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40,50),[50,60),[90,100].

(1)求頻率分布直方圖中。的值；

(2)若采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從評(píng)分在[40,60),[60,80),[80,100)的中抽取20人，則

評(píng)分在[40,60)內(nèi)的顧客應(yīng)抽取多少人？

(3)用每組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替該組數(shù)據(jù)，試估計(jì)用戶對(duì)該APP評(píng)分的平均分.

20.(12分)如圖，在三棱錐P-ABC中，ZkAPC為等邊三角形，AC=4,平面APC_L底面ABC,AB=BC

=2&,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱8C上，BM=XBC,且二面角M-C為30°,求入的值.

21.(12分)已知雙曲線：25-%=1(其中。>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸1(-c,0)、F2(c,0)

(其中c>0).

(1)若雙曲線過(guò)點(diǎn)(2,1)且一條漸近線方程為y考_x；直線/的傾斜角為十，在y軸上的截距為-

2.直線/與該雙曲線交于兩點(diǎn)A、B,M為線段AB的中點(diǎn)，求△MF1F2的面積；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P.過(guò)尸作圓的切線，若

切線的斜率為f舊，求雙曲線的離心率.

22.(12分)己知函數(shù)/'(x)—X1-axlnx+1+a,aCR,f'(無(wú))為/(無(wú))的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論,(%)的極值；

(2)若存在正[2,e],使得不等式/(/)<0成立，求。的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷

參考答案

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

12345678

BBBCAAAA

多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9101112

ABDBCDBCDBCD

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.4A歷-3.

14.皿

6

15.(-8,8).

16.6

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.解：（1）VZ）E=1,AE=3DE,；.A￡）=2,

'/ZADB+ZADC—Tt,cosZADB+cosZADC—Q,

由題意設(shè)BO=OC=x,AB=4,AC=2-/2,

222

則在△ADB中，由余弦定理得cosZADB=BD+AD-AB—x：+4-16—x：-12

2BD-AD4x4x

由余弦定理得儂加。=噫#x乙+4-8—x?-4

在△ADC中,

4x4x

22

...X-12+X-4=0,解得x=2&,

4x4x

：.BC=2BD=4-/2,

在△ABC中,由余弦定理得C0S/2AC=ABI+ACI-BC[=16+8—32廠.=""；

2AB-AC2X4X264

(2)VAB=4,AC=2近,ZABC=—,

4

.,.在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB?BCCOS/A8C,即8=16+2。？-2X4X亞BC,解得

2

BC=2近,

:點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，:.BD=LBC=M,

2

在△A8￡)中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB'BDcosZABC=16+2-2X&X4X亞=10,即AD

2

V10,

\'AE^3DE,會(huì)書(shū)但挈

AB2+AD2-BD216+10-2sVlO

在△ABO中,由余弦定理得cos/BAE=

2AB-AD2X4XV1010

在△ABE中，由余弦定理得BE1=AB2+AE1-2AB*A￡cosZBA￡=16+()2-2X4義X3y

2210

回，即BE=\l~L0

22

J-*

18.解：(1)由ai=—(a+l)(a+l)=2a+l.n€N，

2n+1nn

an

可得a+l=

n1+an

由m>0,可得an>0,

則_—=1+—,

an+12n

1.1.

即一=1,

an+1an

所以｛｝是首項(xiàng)為

-L2,公差為1的等差數(shù)列,

an

貝-1=〃+1,即an=—^—

ann+1

1

(2)證明:a“=—-—，對(duì)k=1,2,3,…，cikcik+1cik+2

n+1(k+1)(k+2)(k+3)

11

］，

/%+iyxk+2y(k+2)(k+3)

11

所以。102(13+。2a3a4++aan+\an+2——[—-—+???+

n22X33X43X44X5(n+1)(n+2)

1

■]

(n+2)(n+3)

4[2X13(n+2)1(n+3)11

122(n+2)(n+3)

19.解：(1)由(0.004+4+0.022+0.028+0.022+0.018)義10=1,解得a=0.006；

(2)由頻率分布直方圖可知，

評(píng)分在[40,60),[60,80),[80,100]內(nèi)的顧客人數(shù)之比為：(0.004+0.006)：(0.022+0.028)：(0.022+0.018)

=1：5：4,

所以評(píng)分在[40,60)內(nèi)的顧客應(yīng)抽取20X]+：+4=2(人)；

(3)用戶對(duì)該APP評(píng)分的平均分為：

彳=(45X0.004+55X0.006+65X0.022+75XQ.028+85X0.022+95XQ.Ol^BX10=76.2.

20.解：(1)證明：:△APC為等邊三角形，。為AC的中點(diǎn)，

：.PO.LAC,

?.?平面APC_L底面ABC,平面APCC平面ABC=AC,POu平面APC,

；.PO_L平面ABC；

(2)連接80,由(1)可知建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC、OB、OP所在直線為x軸、y軸、z軸的空間

直角坐標(biāo)系。-qZ,如圖所示：

AB=BC=2&,AC=4,貝!|。尸=2?,AB2+BC2=16=AC2,

.?.△ABC等腰直角三角形，貝！]08=2,BOLAC,

：.C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2^3),A(-2,0,0),設(shè)M(x,y,0),

則麗=(龍，廠2,0),BC=(2,-2,0),

'：BM=XBC,.'JX-2,貝!]x=2入，y=2-2A,OW入Wl,

ly-2=-2入

：.M(2A,2-2入，0),

?平面APC_L平面ABC,平面APCCl平面48C=AC,80u平面ABC,

.?.8O_L平面PAC,

平面B4C的一個(gè)法向量為羽=(0,2,0),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為：=(無(wú)，?z),AP=(2,0,2A/3),AM=(2入+2,2-2入，0),

則0安2x+2?z=0，取x=?,則z=-l,尸鳳2

,n?AM=(2、+2)x+(2-2^)y=0入T

平面的一個(gè)法向量為：=(V3,返J+1),-1),

,二面角B4-C為30°

12爪（入+1）?

11

In.0B1cos30°=近，即（―2=4,解得入=3

cos<0B>n>=

Ini,IOBI244+3鋁產(chǎn)2人-1

（不合題意，舍去）或A=—,

3

故A=—.

3

21.解：（1）雙曲線過(guò)點(diǎn)（2,1）且一條漸近線方程為y二絲X，

y2

貝！Ia=&b①,

雙曲線過(guò)點(diǎn)（2,1）,

貝*■￡=]②，

ab

聯(lián)立①②解得，a2=2,b2=l,

2.

故雙曲線的方程為2-y2=],

直線I的傾斜角為十，在y軸上的截距為-2,

則/的方程為>=尤-2,代入雙曲線方程可得，f-8x+10=0,

設(shè)A（xi,yi）,B（及，>2）,M（x,y）,

則Xl+X2=8,

M為線段A3的中點(diǎn)，

貝!Jx=4,y=x-2=2,BPM（4,2）,

???恒士|=旭

:.△加乃尸2的面積為《IF1左IX函X2=2百;

212

（2）由題意可知，圓的方程為N+y2=c2,

2

聯(lián)立*2y，解得戶aJb2+c),>=直，即尸(型叵豈，bi)；

--fr=lccC

ab

切線的斜率為r?,

則左0P=￡~?/cXL化簡(jiǎn)整理可得，3(c2-a2)=aJ"22,

ca后/3”

故3c4+4/_8〃2c2=0,即3c4-8/+4=0,解得e2=2,

故雙曲線的離心率為正.

22.解：(1)由題意，函數(shù)/(無(wú))—j?-axlnx+l+a,oGR,

可得函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且/(%)=2x-a(1+Z/u),

Xa

設(shè)g(x)=/(x)=2x-a(1+lnx),xE(0,+°°),貝Ug，(x)=2-=^>

XX

①當(dāng)a<0時(shí)，可得g(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(x)沒(méi)有極值；

②當(dāng)。>0時(shí)，若x€(0,-1-);則g(x)<0,f(x)在(0,方)上單調(diào)遞減，

若x€(y,y°°)，則g'(X)>。，f(X)在弓，一)上單調(diào)遞增，

所以，(尤)在x-1處取得極小值，且極小值為/(y)=-alnY在(°，+8)上沒(méi)有極大值,

綜上，當(dāng)時(shí)，f(x)沒(méi)有極值；當(dāng)。>0時(shí)，f'(x)的極小值為-alrr|，無(wú)極大值.

(2)由題意知,存在怎［2,e］,使得/(力=？-atlnt+l+a<0,

即存在re［2,e］,使得t-alnt」^〈O，

構(gòu)造函數(shù)h(t)=t-alnt4,則h'.)=產(chǎn)與"1)(尸-1),

ttJt”

當(dāng)a+lW2,即oWl時(shí)，h(?)。。在［2,e］上恒成立，h⑺單調(diào)遞增，

所以/?(2)<0,可得a>一-—，與aWl矛盾，不滿足題意；

21n2-l

當(dāng)2ca+l<e,即時(shí)，若怎［2,a+1］,則〃⑺WO,h(r)單調(diào)遞減，

若正伍+1,e］,則"⑺20,h(?)單調(diào)遞增，止匕時(shí)〃G)min=h(a+1),

由〃(/)min—h(。+1)<0,可得(。+1)-aln(。+1)+1<0,所以〃+2<。/〃(4+1),

因?yàn)?VQ+1Ve,所以不等式Q+2V〃/〃(a+1)不成立；

當(dāng)〃+lNe,即時(shí)，h'(力W0在怎［2,e］上恒成立，h⑺單調(diào)遞減，

2..

所以/i(e)<0,可得a〉￡三,滿足題意.

e-1

2小

綜上，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(旦二艮，g).

e-l

高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷

條碼粘貼處

試卷類型：A

（正面朝上貼在此虛線框內(nèi)）

姓名：班級(jí)：

準(zhǔn)考證號(hào)

缺考標(biāo)記注意事項(xiàng)

口1、答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚。

考生禁止填涂2、請(qǐng)將準(zhǔn)考證條碼粘貼在右側(cè)的［條碼粘貼處］的方框內(nèi)一.選擇題（共8小題，

缺考標(biāo)記！只能3、選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的

由監(jiān)考老師負(fù)簽字筆填寫，字體工整

；請(qǐng)按題號(hào)’順序在各題的答題區(qū)內(nèi)作答，超出范圍的答案無(wú)效，在草紙、

責(zé)用黑色字跡滿分分,每小題分）

的簽字筆填涂。試卷上作答無(wú)效。405

5、保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙

刀。

6、填涂樣例正確［■］錯(cuò)誤（請(qǐng)用2B鉛筆填涂）

12345678

[A][A][A][A][A][A][A][A]

[B][B][B][B][B][B][B][B]

[C][C][C][C][C][C][C][C]

[D][D][D][D][D][D][D][D]

滿分20分，每小題5分）（請(qǐng)用2B鉛筆填涂）

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（請(qǐng)?jiān)诟髟囶}的答題區(qū)內(nèi)作答）

13.

14.

15.

16.

四.解答題（共6小題，滿分70分）（請(qǐng)?jiān)诟髟囶}的答題區(qū)內(nèi)作答）

17.答：

18.答:

19.

答:

答:

21.答:

22.答:

高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)摸底考試卷

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

測(cè)試范圍：新高考數(shù)學(xué)全部?jī)?nèi)容

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）已知i為虛數(shù)單位，貝帖=二一在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】對(duì)復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而求出其所在的象限即可.

【解答】解:—i—i(l+2i)--2+i

l-2i(l-2i)(l+2i)5

故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，是一道基礎(chǔ)題.

2.（5分）設(shè)集合M={Rx=2",吒Z},N=Wr=4"±2,〃eZ},則（）

A.B.M我N

C.M=ND.以上都不正確

【分析】對(duì)集合N進(jìn)行變形，可以看到集合M中的元素是2與整數(shù)的乘積的集合，集合N的元素是2與

奇數(shù)的乘積的集合，再判斷即可.

【解答】解：集合M={x|x=2",〃eZ},故集合M中的元素是2與整數(shù)的乘積的集合，

N={尤|尤=4〃±2,〃eZ}={x|x=2（2”±1）,〃eZ},

故集合N的元素是2與奇數(shù)的乘積的集合，

故

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合與集合，集合與元素的關(guān)系，基礎(chǔ)題.

3.（5分）A,B,C,D,E,尸六人站成一排，滿足A,2相鄰，C,。不相鄰，E不站兩端的不同站法的種

數(shù)為（）

A.48B.96C.144D.288

【分析】使用捆綁法，然后恰當(dāng)分類，結(jié)合間接法能求出結(jié)果.

【解答】解：第一步，先排A,B,共有/^=2種排法，將排好的A、3作為一個(gè)整體，記為G；

第二步，(1)先將C,D,G,尸排成一排，再在產(chǎn)生的3個(gè)空位中選擇一個(gè)排E,共有3A：=72種排法，

(2)先將C,。捆綁在一起，記為然后將H,G排成一排，

最后在2個(gè)空位中選一個(gè)排共，共有2AgA,=24種排法，

(3)將C,D,G,F,E排成一排，且C,。不相鄰，E不站兩端的排法有72-24=48種，

綜上，滿足條件的不同排法共有2X48=96種.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列數(shù)的計(jì)算，考查捆綁法，恰當(dāng)分類、間接法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

4.(5分)已知偶函數(shù)/(尤)=a/+bx+l的定義域[a-1,2],則函數(shù)/(%)的值域?yàn)?)

A.(-8,1)B.(-8,1]C.[-3,1]D.[1,+8)

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和性質(zhì)，建立方程求出a,b的值，結(jié)合一元二次函數(shù)值域的性質(zhì)進(jìn)行

求解即可.

【解答】解：：偶函數(shù)/(x)=。/+法+1的定義域[a-1,2],

：.a-1+2=0,得。=7,即函數(shù)的定義域?yàn)閇-2,2],

此時(shí)函數(shù)/(x)=-d+fcv+l,

則對(duì)稱軸為y軸，則-,X；])=。'得b=。，

則/(x)=-/+1,

；-2WxW2,

：.-30(x)W1,即函數(shù)的值域?yàn)閇-3,1],

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

22

5.(5分)設(shè)橢圓=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乃、Fi,P是橢圓上一點(diǎn)，ZFIPF2=60°,

|PF1|=X|PF2|(2W入W3),則橢圓的離心率的最小值為()

3

2a入

僧1|樹(shù)2卜2aX+1rcC

【分析】由J,在△尸為尸2中，由余弦定理,得附2=|尸"2+|尸附2_

|PF1|=X|PF2|嚴(yán)2卜2a

入+1

2|PFI|?|PF2|COS60°,即(2c)2=(孕2_)2+(*_)2-2X^—X-^-X—>求解即可求橢圓的

X+1X+1X+1X+12

離心率的最小值.

2a入

pFiMPF*2a.X+1

【解答】解：由

.四1]=入/2|’

P「2卜2a

入+1

在△PHf'2中，由余弦定理，ifl|FiF2|2=|PFi|2+|PF2|2-2|PFir|PF2|cos60°

22

即(2c)=(-^A)+(_2a_)2_2X-^21X_2a_xl,

X+1X+1X+1X+12

2

上式兩邊同除以(2a)2,得e2=(-2^)2+(―^)2-——-~~-=-A-A+]；=1--/——

入+1入+1(x+l)2(x+l)2X2+2X+1

=1-

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)入=1時(shí)成立，故橢圓的離心率的最小值為工.

22

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，解題時(shí)要注意余弦定理的合理運(yùn)用，屬中檔題.

6.(5分)已知/(x)=sinx,g(x)=ln\x\+(ex)2,則/(x)?g(x)>0的解集是()

A.3-2<xV0或工VxVir或2mrVxV(2n+l)n,芯Z,且〃W0}

ee

B.{%|-irVxV-2或工VxVii或2mlVxV(2n+l)n,n￡Z,且〃WO}

ee

C.{x|-工VxVO或0<九<』或2mi<rV(2〃+l)n,尤Z,且〃W0}

ee

D.{x|-工V%V0或工V%VTI或(2〃-l)ir<x<2zzn,nGZ,且〃WO}

ee

【分析】不等式/(xAg(x)>0等價(jià)于或(f由此能求出結(jié)果.

lg(x)>0lg(x)<0

【解答】解：：g(尤)=ln\x\+(ex)2是偶函數(shù),

...當(dāng)x>0時(shí)，g(x)—lnx+(ex)2,g'(x)=工+2/x>。在%>。恒成立，

X

二.g(x)在(o,+8)單調(diào)遞增，且g(A)=0,

e

???當(dāng)xc(-8,-A)u(A,+8)時(shí)，g(X)>0,

ee

當(dāng)尤(-工，0)U(0,工)時(shí)，g(x)<0,

ee

當(dāng)xE(2mr,2mr+jr),時(shí)，f(x)>0,

當(dāng)xW(2mi+m2nn+2n),〃€Z時(shí)，f(x)<0,

(x)>0ff(x)<0

,不等式/(x)?g(x)>o等價(jià)于4

g(x)>01g(x)<0

.?.不等式/(x)?g(x)>0的解集為：

{x|-」<x<0或!<無(wú)<it或2mt<x<(2H+1)it,”eZ,且”W0}.

ee

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的解集的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力,

是中檔題.

分)已知a_

7.(5cosa=3,a€兀,2兀），則sin-()

52

返巫

A.B.一返c.AD,

5555

進(jìn)而根據(jù)二倍角公式即可計(jì)算得解巴的

【分析】由已知可求范圍We(",n),則sin-^—.>0,sin

2422

值.

【解答】解：：cosa=看，a€c|?冗，2打）,

*/cosa=—=1-2sin2-^-,可得sin2-^-=—

5225

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于

基礎(chǔ)題.

軟R

8.（5分）設(shè)S,是等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若一邑=2,54=4,則我等于（）

a4

A.12B.24C.16D.32

【分析】本題先設(shè)等比數(shù)列｛?｝的公比為q,然后根據(jù)等比數(shù)列的定義及已知條件可計(jì)算出1=2,再根

據(jù)等比數(shù)列的求和公式寫出S4及S8的表達(dá)式，進(jìn)一步計(jì)算即可得到S8的結(jié)果.

【解答】解：由題意，設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為必貝I

"3

、

ai(/1-q4)ai

S4=-...................=---=4

1-q1-Q

842

ai(l-q)ai[l-(q)]ai

Ss=—：--------------=--------------------—i-?(l-4)=(-4)X(-3)=12.

1-q1-q1-q

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的基本計(jì)算.考查了方程思想，定義法，整體思想，以及邏輯推理能力

和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.本題屬基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

（多選）9.（5分）已知菱形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2,且NABC=60°,將△ABC繞AC旋轉(zhuǎn)180°,旋轉(zhuǎn)

過(guò)程中記點(diǎn)B位置為點(diǎn)P,則（）

A.直線AC與點(diǎn)P的軌跡所在平面始終垂直

B.尸8+尸。的最大值為簿

C.二面角A-P。-C的大小與點(diǎn)尸的位置無(wú)關(guān)

D.旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積為TT

【分析】由題知，點(diǎn)P的軌跡所在平面為平面2。尸，再結(jié)合題意依次分析各選項(xiàng)即可得答案.

【解答】解：如圖，點(diǎn)P的軌跡為以菱形對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心的半圓弧，

即點(diǎn)尸的軌跡所在平面為平面由于在菱形A8C。中，AC±BD,

所以在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AC±OP,

因?yàn)?。尸?。=。，OP,BOu平面

所以AC_L平面8。尸，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?/p>

PDPB22

所以由不等式FD〉（g）4MpD+pB<V2（PD+PB）=2>/6，

當(dāng)且僅當(dāng)尸。=尸8時(shí)等號(hào)成立，故8正確；

對(duì)于C,取PD中點(diǎn)E,連接AE,CE,OE,由AP=AO=PC=P。得P￡）_LAE,PDLCE,

所以，/AEC是二面角A-P。-C的平面角,

所以，由對(duì)稱性可知/AEC=2NAEO,tanZAEO->

OE

因?yàn)镺E的長(zhǎng)度隨著P的位置的變化而變化，

所以，/AE。隨著P的位置的變化而變化，即NAEC的大小與點(diǎn)尸的位置有關(guān)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于。選項(xiàng)，由題知旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為兩個(gè)半圓錐，底面半徑為高為1,

故其體積為^?X兀X（?）2乂1=兀，故。正確.

3

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，二面角的求法，組合體的體積，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推

理能力，屬于中檔題.

（多選）10.（5分）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸

的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知平行于

無(wú)軸的光線人從點(diǎn)M射入，經(jīng)過(guò)拋物線C：上的點(diǎn)尸反射，再經(jīng)過(guò)C上另一點(diǎn)。反射后，沿直線

/2射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N,則（）

A.若/1的方程為y=2,則|尸。|=8

B.若A的方程為y=2,且/尸則M（13,2）

C.分別延長(zhǎng)PO,NQ交于點(diǎn)、D,則點(diǎn)。在C的準(zhǔn)線上

D.拋物線C在點(diǎn)尸處的切線分別與直線FP,人所成角相等

【分析】分別求出P、。的坐標(biāo)，利用焦點(diǎn)弦公式|尸。|=可+尤2+0求出弦長(zhǎng)可得選項(xiàng)A錯(cuò)；求解角的平分

線方程求解〃的坐標(biāo)，可得選項(xiàng)8正誤；通過(guò)求解。的坐標(biāo)，即可判斷C正確；求出拋物線在尸處的

切線方程及其斜率，再求出切線與直線/1及直線RP所成角的正切值，可得選項(xiàng)O正確.

【解答】解:由題意可得P(工，2),又F(2,0),

2

?,?直線相的斜率仁產(chǎn)2-04

3

2-2

直線尸尸的方程為：(無(wú)口),

3

(2

y'=8x

聯(lián)立《4，得2d-17x+8=0,

y=-7(x-2)

Lo

.,.xi=—,X2=8,.'.Q(8,-8),

2

?,JPQ=XI+X2+4=2^,...A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

'2

2-0

直線尸尸的斜率4

3

2-2

設(shè)加。的斜率為上k>0,可得］:三，］一，可得2彥-3左-2=0,

1亍k

可得k=2,

又直線的斜率如0=2,?,?直線的方程為：y+8=2(x-8),即2x-y-24=0