3.2.1圓的對稱性-圓心角、弧、弦的關系

圓的對稱性——圓心角、弧、弦的關系（2014?貴港）如圖，AB是⊙O的直徑，==，∠COD=34°，則∠AEO的度數(shù)是（）A．51° B．56° C．68° D．78°【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】數(shù)形結合．【分析】由==，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，繼而可求得∠AOE的度數(shù)；然后再根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內(nèi)角和定理來求∠AEO的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵==，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．故選：A．【點評】此題考查了弧與圓心角的關系．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．（2013?廈門）如圖所示，在⊙O中，，∠A=30°，則∠B=（）A．150° B．75° C．60° D．15°【考點】圓心角、弧、弦的關系．【分析】先根據(jù)等弧所對的弦相等求得AB=AC，從而判定△ABC是等腰三角形；然后根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等得出∠B=∠C；最后由三角形的內(nèi)角和定理求角B的度數(shù)即可．【解答】解：∵在⊙O中，，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C；又∠A=30°，∴∠B==75°（三角形內(nèi)角和定理）．故選B．【點評】本題綜合考查了圓心角、弧、弦的關系，以及等腰三角形的性質．解題的關鍵是根據(jù)等弧對等弦推知△ABC是等腰三角形．（2013?內(nèi)江）如圖，半圓O的直徑AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，則AD的長為（）A．cm B．cm C．cm D．4cm【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定與性質；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，運用圓周角定理，可證得∠DOB=∠OAC，即證△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根據(jù)勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理，可求AD的長．【解答】解：連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分線的性質），∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD==4（cm）．故選：A．【點評】本題考查了翻折變換及圓的有關計算，涉及圓的題目作弦的弦心距是常見的輔助線之一，注意熟練運用垂徑定理、圓周角定理和勾股定理．（2013?臺灣）如圖，是半圓，O為AB中點，C、D兩點在上，且AD∥OC，連接BC、BD．若=62°，則的度數(shù)為何？（）A．56 B．58 C．60 D．62【考點】圓心角、弧、弦的關系；平行線的性質．【專題】壓軸題．【分析】以AB為直徑作圓，如圖，作直徑CM，連接AC，根據(jù)平行線求出∠1=∠2，推出弧DC=弧AM=62°，即可求出答案．【解答】解：以AB為直徑作圓，如圖，作直徑CM，連接AC，∵AD∥OC，∴∠1=∠2，∴弧AM=弧DC=62°，∴弧AD的度數(shù)是180°﹣62°﹣62°=56°，故選A．【點評】本題考查了平行線性質，圓周角定理的應用，關鍵是求出弧AM的度數(shù)．（2011?自貢）若圓的一條弦把圓分成度數(shù)比為1：3的兩條弧，則優(yōu)弧所對的圓周角為（）A．45° B．90° C．l35° D．270°【考點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．【專題】計算題．【分析】因為弧的度數(shù)就是它所對圓心角的度數(shù)，所以弧的比就是圓心角的比，據(jù)此即可求出圓周角的度數(shù)．【解答】解：∵圓的一條弦把圓分成度數(shù)比為1：3的兩條弧，∴∠AOB：大角∠AOB=1：3，∴大角∠AOB=360°×=270°．∴優(yōu)弧所對的圓周角為：270÷2=135°，故選C．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，要知道，弧的度數(shù)就是它所對圓心角的度數(shù)．（2011?臺灣）如圖，△ABC的外接圓上，AB，BC，CA三弧的度數(shù)比為12：13：11．自劣弧BC上取一點D，過D分別作直線AC，直線AB的平行線，且交于E，F(xiàn)兩點，則∠EDF的度數(shù)為（）A．55° B．60° C．65° D．70°【考點】圓心角、弧、弦的關系；平行線的性質．【專題】探究型．【分析】先根據(jù)AB，BC，CA三弧的度數(shù)比為12：13：11求出、的度數(shù)，再根據(jù)其度數(shù)即可求出∠ACB及∠ABC的度數(shù)，由平行線的性質即可求出∠FED及∠EFD的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠EDF的度數(shù)．【解答】解：∵AB，BC，CA三弧的度數(shù)比為12：13：11，∴=×360°=120°，=×360°=110°，∴∠ACB=×120°=60°，∠ABC=×110°=55°，∵AC∥ED，AB∥DF，∴∠FED=∠ACB=60°，∠EFD=∠ABC=55°，∴∠EDF=180°﹣60°﹣55°=65°．故選C．【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關系及平行線的性質，能根據(jù)AB，BC，CA三弧的度數(shù)比為12：13：11求出∠ABC及∠ACB的度數(shù)是解答此題的關鍵．（2009?福州）如圖，弧是以等邊三角形ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周，P為弧上任意一點，若AC=5，則四邊形ACBP周長的最大值是（）A．15 B．20 C．15+ D．15+【考點】圓心角、弧、弦的關系；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】因為P在半徑為5的圓周上，若使四邊形周長最大，只要AP最長即可（因為其余三邊長為定值5）．【解答】解：由于AC和BC值固定，點P在弧AD上，而B是圓心，所以PB的長也是定值，因此，只要AP的長為最大值，∴當P的運動到D點時，AP最長為5，所以周長為5×3+5=15+5．故選C．【點評】本題考查的是勾股定理和最值．本題容易出現(xiàn)錯誤的地方是對點P的運動狀態(tài)不清楚，無法判斷什么時候會使周長成為最大值．（2009?臺灣）如圖，圓上有A，B，C，D四點，其中∠BAD=80度．若，的長度分別為7p，11p，則的長度為何（）A．4p B．8p C．10p D．15p【考點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補知，∠A=80°，∠C=100°，由于，的長度分別為7p，11p，則圓的周長為18p，由∠A=80°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補知，∠C=100°，故弦把圓分成10p和8p兩部分，是優(yōu)弧，所以它的長度是10p．【解答】解：∵∠A=80°∴∠C=100°∵，的長度分別為7p，11p∴圓的周長為18p∵∠A=80°，∴∠C=180°﹣80°=100°，∴的長度為×18p=10p，故選C．【點評】本題利用了圓內(nèi)接四邊形的對角互補和圓周角與弧的關系求解．下列命題是真命題的是（）A．對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形B．平移不改變圖形的形狀和大小C．對角線互相垂直的梯形是等腰梯形D．相等的弦所對的弧相等【考點】圓心角、弧、弦的關系；菱形的判定；等腰梯形的判定；平移的性質．【分析】根據(jù)菱形的判定，等腰梯形，弦與弧的關系，平移等知識判斷．【解答】解：A、錯誤，對角線相等且互相垂直的四邊形可以是箏形；B、正確；C、錯誤，應為：對角線互相垂直且相等的梯形才是等腰梯形；D、錯誤，沒有強調(diào)是同圓或等圓中．故選B．【點評】本題考查命題的真假判斷，菱形的判定，等腰梯形，弦與弧的關系，平移等知識．易錯易混點：學生易忽略其中某個知識而錯選．（2008?泰安）如圖，在⊙O中，∠AOB的度數(shù)為m，C是弧ACB上一點，D、E是弧AB上不同的兩點（不與A、B兩點重合），則∠D+∠E的度數(shù)為（）A．m B．180°﹣ C．90°+ D．【考點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．【專題】計算題．【分析】根據(jù)圓心角與弧的關系及圓周角定理不難求得∠D+∠E的度數(shù)．【解答】解：∵∠AOB的度數(shù)為m，∴弧AB的度數(shù)為m，∴弧ACB的度數(shù)為360°﹣m，∴∠D+∠E=（+）=（360°﹣m）÷2=180°﹣．故選B．【點評】本題利用了一個周角是360°和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．（2008?臺灣）如圖，圓上有A，B，C，D四點，圓內(nèi)有E，F(xiàn)兩點且E，F(xiàn)在BC上．若四邊形AEFD為正方形，則下列弧長關系，何者正確（）A．＜ B．= C．＜ D．=【考點】圓心角、弧、弦的關系．【分析】由圖知，BC＞AD，根據(jù)大弦對大弧知，＜．【解答】解：A、因為四邊形AEFD為正方形，所以AD=AE，則其所對的弧相等，因為AB＞AE，所以AB＞AD，故不正確；B、因為四邊形AEFD為正方形，所以AD=AE，因為AB＞AE，所以AB＞AD，則可得＞，故不正確；C、弦AB＜AE+BE（三角形兩邊之和大于第三邊），弦BC=EF+BE+FC＞EF+BE=AE+BE＞弦AB，所以＞，故正確；D、由圖可看出其不相等，故錯誤．故選C．【點評】本題利用了在同圓或等中大弦對大弧求解．如圖，MN為⊙O的弦，∠M=50°，則∠MON等于（）A．50° B．55° C．65° D．80°【考點】圓心角、弧、弦的關系；三角形內(nèi)角和定理．【分析】先運用了等腰三角形的性質求出∠N，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可得．【解答】解：∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°．再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，得：∠MON=180°﹣50°×2=80°．故選D．【點評】運用了等腰三角形的性質：等邊對等角；考查了三角形的內(nèi)角和定理．（2007?仙桃）如圖，已知：AB是⊙O的直徑，C、D是上的三等分點，∠AOE=60°，則∠COE是（）A．40° B．60° C．80° D．120°【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】計算題．【分析】先求出∠BOE=120°，再運用“等弧對等角”即可解．【解答】解：∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=120°，∴的度數(shù)是120°，∵C、D是上的三等分點，∴弧CD與弧ED的度數(shù)都是40度，∴∠COE=80°．故選C．【點評】本題利用了鄰補角的概念和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．（2006?濟南）如圖，弧BE是半徑為6的圓D的圓周，C點是上的任意一點，△ABD是等邊三角形，則四邊形ABCD的周長P的取值范圍是（）A．12＜P≤18 B．18＜P≤24 C．18＜P≤18+6 D．12＜P≤12+6【考點】圓心角、弧、弦的關系；等邊三角形的性質；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】四邊形ABCD的周長P就是四邊形的四邊的和，四邊中AB，AD，CD的長是BD長度確定，因而本題就是確定BC的范圍，BC一定大于0，且小于或等于BE，只要求出BE的長就可以．【解答】解：∵△ABD是等邊三角形∴AB+AD+CD=18，得P＞18∵BC的最大值為當點C與E重合的時刻，BE=∴P≤18+6∴p的取值范圍是18＜P≤18+6．故選：C．【點評】本題解題的關鍵是找到臨界點，將動態(tài)問題轉化為普通的幾何計算問題．如圖，已知AB是⊙O的直徑，==．∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A．40° B．60° C．80° D．120°【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】計算題．【分析】根據(jù)圓心角與弦的關系可求得∠BOE的度數(shù)，從而即可求解．【解答】解：∵==，∠BOC=40°∴∠BOE=3∠BOC=120°∴∠AOE=180﹣∠BOE=60°故選B．【點評】本題主要考查圓心角、弧、弦的關系的掌握情況．（2006?綿陽）如圖，AB是⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，則∠BCD=（）A．105° B．120° C．135° D．150°【考點】圓心角、弧、弦的關系．【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圓，從而不難求得∠BCD的度數(shù)．【解答】解：由題意知，弦BC、CD、DA三等分半圓，∴弦BC和CD和DA對的圓心角均為60°，∴∠BCD=120°．故選B．【點評】本題利用了弧、弦與圓心角的關系求解，注意半圓對的圓心角為180°．（2005?桂林）如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，且∠AOC=50°，作AE∥CD，交⊙O于E，則弧AE的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．80°【考點】圓心角、弧、弦的關系；平行線的性質；圓周角定理．【專題】計算題．【分析】先用兩直線平行，內(nèi)錯角相等和圓周角定理求出∠A和∠B，再運用在同圓工等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．即可得．【解答】解：連接BE，OE，∵AE∥CD∴∠A=∠AOC=50°，∵AB是直徑，∴∠E=90°，∠B=40°，∴∠AOE=80°，即弧AE的度數(shù)為80°．故選D．【點評】本題利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．（2005?遼寧）如圖，在⊙O中，∠B=37°，則劣弧的度數(shù)為（）A．106° B．126° C．74° D．53°【考點】圓心角、弧、弦的關系；三角形內(nèi)角和定理．【專題】計算題．【分析】注意圓的半徑相等，再運用“等腰三角形兩底角相等”即可解．【解答】解：連接OA，∵OA=OB，∠B=37°∴∠A=∠B=37°，∠O=180°﹣2∠B=106°．故選A．【點評】本題利用了等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理求解．（2005?哈爾濱）半徑為6的圓中，圓心角α的余弦值為，則角α所對的弦長等于（）A． B．10 C．8 D．6【考點】圓心角、弧、弦的關系；特殊角的三角函數(shù)值．【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值1求出α的度數(shù)，再根據(jù)等邊三角形的判定定理及性質解答即可．【解答】解：∵cosα=，∴α=60°．又∵圓心角的兩邊為半徑，一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形，∴∠α所對的弦長等于6．故選D．【點評】熟記特殊角的三角函數(shù)值和掌握等邊三角形的判定是解題的關鍵．（2004?昆明）如圖是中國共產(chǎn)主義青年團團旗上的圖案，點A、B、C、D、E五等分圓，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是（）A．180° B．150° C．135° D．120°【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)點A、B、C、D、E五等分圓可求出每條弧的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可得出答案．【解答】解：∵點A、B、C、D、E五等分圓，∴======72°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∵∠ADB==×72°=36°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5×36°=180°．故選A．【點評】本題考查的是圓心角、弧、弦的關系，能根據(jù)題意得出每條弧的度數(shù)是解答此題的關鍵．（2003?江西）如圖所示，AB是所對的弦，AB的垂直平分線CD分別交，AC于C，D，AD的垂直平分線EF分別交AB，AB于E，F(xiàn)，DB的垂直平分線GH分別交，AB于G，H，則下面結論不正確的是（）A． B． C．EF=GH D．【考點】圓心角、弧、弦的關系；垂徑定理；圓周角定理．【分析】熟記“圓內(nèi)兩直線平行，則直線所夾的弧相等；在同圓中，弦心距相等，則弦相等及中點的性質”逐一分析即可．【解答】解：A、正確，CD是AB的中垂線，點C也是弧AB的二等分點，B、正確，在同圓中，兩直線平行，則直線所夾的弧相等，C、正確，在同圓中，弦心距相等，則弦相等，弦的一半也相等D、錯誤．點F是AD的中點，但點E不一定是弧AC的二等分點．故選D．【點評】本題利用了：圓兩直線平行，則直線所夾的弧相等；在同圓中，弦心距相等，則弦相等及中點的性質．（2003?成都）下列說法中，正確的是（）A．到圓心的距離大于半徑的點在圓內(nèi)B．圓的半徑垂直于圓的切線C．圓周角等于圓心角的一半D．等弧所對的圓心角相等【考點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；點與圓的位置關系；切線的性質．【分析】根據(jù)點與圓的位置關系，半徑與切線的關系以及圓周角定理進行解答．【解答】解：A、應為到圓心的距離大于半徑的點在圓外，所以錯誤；B、應為圓的半徑垂直于過這條半徑外端點的圓的切線，所以原錯誤；C、應強調(diào)在等圓或同圓中，同弧或等弧對的圓周角等于它對圓心角的一半，所以錯誤；D、符合圓心角與弧的關系，所以正確．故選D．【點評】本題考查了點與圓的位置關系，半徑與切線的關系，圓周角定理．解題的關鍵是熟練掌握相關定義及定理，抓住細節(jié)從而找出問題．（2003?廣州）在⊙O中，C是的中點，D是上的任一點（與點A、C不重合），則（）A．AC+CB=AD+DBB．AC+CB＜AD+DBC．AC+CB＞AD+DBD．AC+CB與AD+DB的大小關系不確定【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】壓軸題．【分析】欲求AC+CB和AD+DB的大小關系，需將這些線段構建到同一個三角形中，然后利用三角形的三邊關系求解．【解答】解：如圖；以C為圓心，AC為半徑作圓，交BD的延長線于E，連接AE、CE；∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB；∵∠DAC=∠CBE，∴∠DAC=∠CEB；∵AC=CE，∴∠CAE=∠CEA，∴∠CAE﹣∠DAC=∠CEA﹣∠CED，即∠DAE=∠DEA；∴AD=DE；∵EC+BC＞BE，EC=AC，BE=BD+DE=AD+BD，∴AC+BC＞BD+AD；故選C．【點評】能夠將與已知和所求相關的線段構建到同一個三角形中，是解答此題的關鍵．（2002?十堰）如圖，在⊙O中，弦AB=CD，圖中的線段、角、弧分別具有相等關系的量共有（不包括AB=CD）（）A．10組 B．7組 C．6組 D．5組【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】壓軸題．【分析】先找到4條半徑，得到6組相等的量，再運用“同圓中相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等”可得4組相等的量．【解答】解：線段OA，OB，OC，OD每兩條都相等，因而有6對；∠AOB=∠COD，∠AOC=∠BOD，=，=．故選A．【點評】本題主要考查了同圓中相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等，圓的半徑都相等．（2000?武漢）已知下列四個命題：①過原點O的直線的解析式為y=kx（k≠0）；②有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等；③有兩邊和其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等；④在同圓或等圓中，若圓周角不等則所對的弦也不等．其中不正確的命題是（）A．只有①② B．①②③ C．①②④ D．②③④【考點】圓心角、弧、弦的關系；一次函數(shù)的性質；全等三角形的判定．【專題】壓軸題．【分析】此題涉及到一次函數(shù)的性質，全等三角形的判定，圓心角、弧、弦的關系等多個知識點，需要對這些知識點分別進行判斷．【解答】解：①當過原點O的直線與x軸重合時，此直線的解析式為y=0，k=0，故①錯誤；②此題忽略了銳角和鈍角三角形高的位置不相同的情況，如②錯誤；③此題可先通過全等三角形證得兩對應邊的夾角相等，從而由SAS判定兩個三角形全等，故③正確；④圓內(nèi)接四邊形（所有內(nèi)角都不是90°）的對角不相等，但是它們都對著同一條弦（即四邊形的對角線），故④錯誤；所有正確的結論只有②，故選C．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)的性質、全等三角形的判定、及圓心角、弦的關系；需注意的是同圓或等圓中，一條弦所對的圓周角有兩種情況，且它們互補．（1998?四川）如圖，AB和CD是⊙O的兩條直徑，弦DE∥AB，弧DE為50°的弧，那么∠BOC為（）A．115° B．100° C．80° D．50°【考點】圓心角、弧、弦的關系；平行線的性質．【分析】連接OE，根據(jù)弧DE為50°，求出∠EOD=50°，根據(jù)OE=OD，求出∠OED=∠ODE=65°，根據(jù)DE∥AB，求出∠AOE=∠OED=65°，∠AOD=∠AOE+∠EOD=65°+50°=115°，最后根據(jù)∠BOC=∠AOD即可求出答案．【解答】解：連接OE，∵弧DE為50°，∴∠EOD=50°，∴∠OED+∠ODE=130°∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE=65°，∵DE∥AB，∴∠AOE=∠OED=65°，∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=65°+50°=115°，∴∠BOC=∠AOD=115°．故選A．【點評】此題考查了圓心角、弦、弧之間的關系，用到的知識點是圓心角、弦、弧之間的關系、平行線的性質、等腰三角形的性質，關鍵是做出輔助線，求出∠AOD的度數(shù)．（2014?菏澤）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，則的度數(shù)為50°．【考點】圓心角、弧、弦的關系；三角形內(nèi)角和定理；直角三角形的性質．【專題】幾何圖形問題．【分析】連接CD，求出∠B=65°，再根據(jù)CB=CD，求出∠BCD的度數(shù)即可．【解答】解：連接CD，∵∠A=25°，∴∠B=65°，∵CB=CD，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠BCD=50°，∴的度數(shù)為50°．故答案為：50°．【點評】此題考查了圓心角、弧之間的關系，用到的知識點是三角形內(nèi)角和定理、圓心角與弧的關系，關鍵是做出輔助線求出∠BCD的度數(shù)．（2012?西寧）一條弧所對的圓心角為135°，弧長等于半徑為5cm的圓的周長的3倍，則這條弧的半徑為40cm．【考點】圓心角、弧、弦的關系．【分析】設出弧所在圓的半徑，由于弧長等于半徑為5cm的圓的周長的3倍，所以根據(jù)原題所給出的等量關系，列出方程，解方程即可．【解答】解：設弧所在圓的半徑為r，由題意得，，解得，r=40cm．故應填40．【點評】解決本題的關鍵是熟記圓周長的計算公式和弧長的計算公式，根據(jù)題意列出方程．（2010?泰州）如圖，⊙O的半徑為1cm，弦AB、CD的長度分別為cm，1cm，則弦AC、BD所夾的銳角α=75度．【考點】圓心角、弧、弦的關系；三角形的外角性質；勾股定理；垂徑定理．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可證△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OBA=45°，又由已知可證△COD是等邊三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根據(jù)圓周角的性質可證∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求α．【解答】解：連接OA、OB、OC、OD，∵OA=OB=OC=OD=1，AB=，CD=1，∴OA2+OB2=AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等邊三角形，∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，∴α=180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD=180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）=180°﹣45°﹣60°=75°．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，圓周角的性質，等邊三角形的性質以及三角形的內(nèi)角和定理．（2010?揚州）如圖，AB為⊙O直徑，點C、D在⊙O上，已知∠BOC=70°，AD∥OC，則∠AOD=40度．【考點】圓心角、弧、弦的關系；平行線的性質．【專題】計算題．【分析】首先由AD∥OC可以得到∠BOC=∠DAO，又由OD=OA得到∠ADO=∠DAO，由此即可求出∠AOD的度數(shù)．【解答】解：∵AD∥OC，∴∠BOC=∠DAO=70°，又∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO=70°，∴∠AOD=180﹣70°﹣70°=40°．【點評】此題比較簡單，主要考查了平行線的性質、等腰三角形的性質，綜合利用它們即可解決問題．（2010?麗水）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點D是的中點，已知∠AOB=98°，∠COB=120°，則∠ABD的度數(shù)是101度．【考點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)周角為360°，可求出∠AOC的度數(shù)，由圓周角定理可求出∠ABC的度數(shù)，關鍵是求∠CBD的度數(shù)；由于D是弧BC的中點，根據(jù)圓周角定理知∠DBC=∠BAC，而∠BAC的度數(shù)可由同弧所對的圓心角∠BOC的度數(shù)求得，由此得解．【解答】解：∵∠AOB=98°，∠COB=120°，∴∠AOC=360°﹣∠AOB﹣∠COB=142°；∴∠ABC=71°；∵D是的中點，∴∠CBD=∠BAC；又∵∠BAC=∠COB=60°，∴∠CBD=30°；∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=101°．【點評】此題主要考查了圓心角、圓周角的應用能力．（2010?廣安）如圖，在⊙O中，點C是弧AB的中點，∠A=50°，則∠BOC等于40度．【考點】圓心角、弧、弦的關系．【分析】由于點C是弧AB的中點，根據(jù)等弧對等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOA的度數(shù)，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA=OB，∴∠BOA=180°﹣2∠A=80°；∵點C是弧AB的中點，即=，∴∠BOC=∠BOA=40°．故答案為：40．【點評】此題主要考查了圓心角、弧的關系：在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等．（2009?郴州）如圖，在⊙O中，，∠A=40°，則∠B=70度．【考點】圓心角、弧、弦的關系；等腰三角形的性質．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先利用“在同圓中等弧所對的弦也相等”得到AB=AC即△ABC是等腰三角形，則∠B可得．【解答】解：∵，∴AB=AC，∵∠A=40°，∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）÷2=70°．【點評】本題利用了三角形的內(nèi)角和定理和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．（2009?眉山）如圖，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的弦，圓心角∠AOC=130°，AD，CB的延長線相交于P，∠P=40度．【考點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．【專題】壓軸題．【分析】運用同弧所對的圓周角是圓心角的倍得出∠ADC=∠ABC=65°，再求∠DCB，從而求出∠P．【解答】解：設AB與CD交于點E，∵AB⊥CD，∴∠AED=∠CEB=90°，∵圓心角∠AOC=130°，∴∠ADC=∠ABC=65°，∴∠BAD=∠DCB=90°﹣65°=25°，∵∠ADC=∠P+∠DCP，∴∠P=65°﹣25°=40°．【點評】本題利用了直角三角形的性質和三角形的外角與內(nèi)角的關系及圓周角定理求解．（2007?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC=45°，給出下列五個結論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正確結論的序號是①②④．【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】壓軸題．【分析】先利用等腰三角形的性質求出∠ABE、∠ABC的度數(shù)，即可求∠EBC的度數(shù)，再運用弧、弦、圓心角的關系即可求出②、④．【解答】解：連接AD，AB是⊙O的直徑，則∠AEB=∠ADB=90°，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABE=45°，∠C=∠ABC==67.5°，AD平分∠BAC，∴AE=BE，∠EBC=90°﹣67.5°=22.5°，DB=CD，故②正確，∵∠ABE=45°，∠EBC=22.5°，故①正確，∵AE=BE，∴=，又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正確．∵∠EBC=22.5°，BE⊥CE，∴BE＞2EC，∴AE＞2EC，故③錯誤．∵∠BEC=90°，∴BC＞BE，又∵AE=BE，∴BC＞AE故⑤錯誤．故答案為：①②④．【點評】本題利用了：①等腰三角形的性質；②圓周角定理；③三角形內(nèi)角和定理．（2005?梅州）如圖，扇子的圓心角為α，余下扇形的圓心角為β，為了使扇子的外形美觀，通常情況下α與β的比按黃金比例設計，若取黃金比為0.6，則α=135度．【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】壓軸題．【分析】完整圓的周角是360°，根據(jù)比例解出．【解答】解：∵∠α+∠β=360°，且∠α：∠β=0.6，∴∠β=360°÷1.6=225°，∠α=360°﹣225°=135°．故本題答案為：135°．【點評】掌握圓周角的度數(shù)的，與比例知識結合，也可列方程解決．（2005?武漢）長度相等的兩弧是等?。e誤（填“正確”或“錯誤”）【考點】圓心角、弧、弦的關系．【分析】等弧是能夠重合的兩個弧，而長度相等的弧不一定是等?。窘獯稹拷猓阂驗榈然【褪悄軌蛑睾系膬蓚€弧，而長度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圓或等圓中的弧，故錯誤．【點評】本題主要考查了等弧的定義，等弧是能夠重合的兩個弧，而長度相等的弧不一定是等弧．（2005?武漢）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等．正確（填“正確”或“錯誤”）【考點】圓心角、弧、弦的關系．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關系進行分析即可．【解答】解：因為在同圓或等圓中圓心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在這幾組相等關系中，只要有一組成立，則另外幾組一定成立，所以此說法正確．【點評】本題是需要熟記的內(nèi)容．（2004?南寧）如圖，D、E分別是⊙O的半徑OA、OB上的點，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，則與弧長的大小關系是相等．【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定與性質．【分析】已知CD⊥OA，CE⊥OB?∠CDO=CEO=90°，CD=CE，CO=CO?△COD≌△COE．根據(jù)圓心角，弧，弦的關系（在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中只要有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．）可得=．【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB∴∠CDO=∠CEO=90°，CD=CE，CO=CO∴△COD≌△COE∴=．【點評】本題考查的是圓心角，弧，弦的關系以及全等三角形的判定（SAS），難度一般．如圖，A、B、C、D是⊙O上的四點，且D是弧AB的中點，CD交OB于E，∠AOB=100°，∠OBC=55°，那么∠OEC=80度．【考點】圓心角、弧、弦的關系；三角形內(nèi)角和定理；圓周角定理．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)等弧所對的圓心角相等以及圓周角定理，得∠BCD=100°÷4=25°．再根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠OEC=55°+25°=80°．【解答】解：連接OD，∵D是弧AB的中點，∠AOB=100°，∴∠BOD==50°，∴∠BCD==25°，∴∠OEC=∠OBC+∠C=55°+25°=80°．【點評】綜合運用了圓周角定理以及三角形的內(nèi)角和定理的推論．（2004?哈爾濱）如圖，已知：AB和CD為⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，弧CE的度數(shù)為40°，則∠BOC=70度．【考點】圓心角、弧、弦的關系；平行線的性質；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質．【專題】計算題．【分析】利用平行線的性質和等腰三角形的性質即可求出．【解答】解：∵AB和CD為⊙O的兩條直徑，弧CE的度數(shù)為40°，∴連接OE，則OE=OC，∠COE=40°，故∠1=∠2=（180°﹣∠COE）=（180°﹣40°）=70°，∵弦CE∥AB，∴∠BOC=∠1=70°．故填70°．【點評】本題考查的是平行線的性質，等腰三角形的性質及三角形內(nèi)角和定理，比較簡單．（2003?廈門）如圖，在⊙O中，弦AB所對的劣弧為圓的，圓的半徑為4厘米，則AB=厘米．【考點】圓心角、弧、弦的關系；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】過O作OC⊥AB于C點，構建直角三角形．進而解直角三角形可得．【解答】解：過O作OC⊥AB于C．則AC=BC，∠AOC=∠BOC=∠AOB．∴∠AOB=120°，∠AOC=60°，OA=OB=4cm．直角三角形AOC中，AC=OA?sin∠AOC=4×sin60°=2cm．∴AB=2AC=4cm．【點評】本題綜合考查圓心角、弦和解直角三角形的應用能力．（2003?鹽城）如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，點C為圓心、CA為半徑的圓交AB于D點，則弧AD為70度．【考點】圓心角、弧、弦的關系；等腰三角形的性質．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)已知和三角形內(nèi)角和定理即可求得∠ACD的度數(shù)，即得到了弧AD的度數(shù)．【解答】解：連接CD，∵∠ACB=90°，∠B=35°∴∠A=90°﹣∠B=55°∵CA=CD∴∠A=∠CDA=55°∴∠ACD=180°﹣2∠A=70°∴弧AD的度數(shù)是70°【點評】本題利用了直角三角形，三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．（2003?青島）如圖，點O是∠EPF的平分線上一點，⊙O和∠EPF的兩邊分別交于點A、B和C、D，根據(jù)上述條件，可以推出AB=CD或弧AB=弧CD．（要求：填寫一個你認為正確的結論即可，不再標注其他字母，不寫推理過程）【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】開放型．【分析】先利用角平分線的性質求出OM=ON，再得AB=CD或弧AB=弧CD．【解答】解：如圖：作OM⊥AB，交AB于點M，ON⊥CD，交CD于點N，點O是∠EPF的平分線上一點，∴OM=ON，根據(jù)在同圓中兩弦的弦心距相等，則弦長相等，知，AB=CD，故弧AB=弧CD．【點評】本題利用了：（1）角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．（2）在同圓中兩弦的弦心距相等，則弦長相等．（2003?南通）弦AB分圓為1：5兩部分，則劣弧AB所對的圓心角等于60度．【考點】圓心角、弧、弦的關系．【分析】主要利用“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．”即可解．【解答】解：∵弦AB分圓為1：5兩部分，∴劣弧AB的度數(shù)等于360°÷6×1=60°，∴劣弧AB所對的圓心角等于60度．【點評】本題利用了一個周角為360度，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．（2003?湘潭）如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條弦，OE、OF分別為AB、CD的弦心距，如果AB=CD，則可得出結論（至少填寫兩個）OE=OF，∠AOB=∠COD，其他線段相等，三角形全等，角度相等均可．【考點】圓心角、弧、弦的關系；垂徑定理．【專題】壓軸題；開放型．【分析】根據(jù)在同圓中，等弦所以的弧相等，根據(jù)垂徑定理又可知，垂直于弦的直徑平分弦等性質得出OE=OF，∠AOB=∠COD，其他線段相等，三角形全等，角度相等均可，本題答案不唯一．【解答】解：OE=OF，∠AOB=∠COD，其他線段相等，三角形全等，角度相等均可．【點評】本題要綜合運用圓的有關知識來做，只要正確即可，沒有統(tǒng)一答案．（2002?廣西）如圖，OE、OF分別是⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么AB=CD（只需寫出一個正確的結論）．【考點】圓心角、弧、弦的關系；勾股定理；垂徑定理．【專題】開放型．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理的推論可以直接得到所求的結論．【解答】解：∵OE=OF，∴AB=CD．（在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．答案不唯一）．【點評】在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．（2002?黑龍江）如圖，弦DC、FE的延長線交于圓外一點P，割線PAB經(jīng)過圓心O，請你結合現(xiàn)有圖形，添加一個適當?shù)臈l件：DC=FE（符合要求即可），使∠1=∠2．【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定與性質．【專題】開放型．【分析】要說明∠1=∠2，即證明O在∠DPF的角平分線上，只要證明O到角的兩邊的距離相等，即弦CD，EF的弦心距相等．根據(jù)圓心角，弧，弦的關系，可以證明CD=FE，或∠COD=∠EOF等．【解答】解：添加一個適當?shù)臈l件DC=FE或∠COD=∠EOF．如：添加DC=FE，過點O作OM⊥CD于M、ON⊥EF于N，∵DC=FE∴OM=ON∴△POM≌△PON∴∠1=∠2．【點評】本題主要考查了：在同圓或等圓中圓心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在這幾組相等關系中，只要有一組成立，則另外幾組一定成立．（2001?青海）如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，且AD∥BC，對角線AC與BC相交于點E，那么圖中有3對全等三角形；1對相似比不等于1的相似三角形．【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定；相似三角形的判定．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法和相似三角形的判定可知：全等三角形有△ABE≌△CDE、△ABD≌△CDA、△ABC≌△DCB，共3對；相似比不等于1的相似三角形有：△AED∽△CEB，1對．【解答】解：認真查找，由圖可知，全等三角形有△ABE≌△CDE、△ABD≌△CDA、△ABC≌△DCB，共3對；相似比不等于1的相似三角形有：△AED∽△CEB，1對．【點評】本題考查三角形全等的判定方法和相似三角形的判定以及圓中的有關性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．（2001?烏魯木齊）已知：AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于E，若使弧CB=弧BD，則還需要添加什么條件∠BOC=∠BOD．（填出一個即可）【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】壓軸題；開放型．【分析】此題主要考查同弧所對的圓心角相等，則相等的圓心角所對的弦相等．【解答】解；同弧所對的圓心角相等，所以還需要添加的條件是∠BOC=∠BOD．【點評】本題主要考查了：在同圓或等圓中圓心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在這幾組相等關系中，只要有一組成立，則另外幾組一定成立．（2000?廣西）一條弦把圓分為2：3兩部分，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)為72°或108°．【考點】圓心角、弧、弦的關系．【分析】先求出這條弦所對圓心角的度數(shù)，然后分情況討論這條弦所對圓周角的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接OA、OB．弦AB將⊙O分為2：3兩部分，則∠AOB=×360°=144°；∴∠ACB=∠AOB=72°，∠ADB=180°﹣∠ACB=108°；故這條弦所對的圓周角的度數(shù)為72°或108°．【點評】此題考查了圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質；需注意的是在圓中，一條弦（非直徑）所對的圓周角應該有兩種情況，不要漏解．（1998?天津）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以點C為圓心、AC為半徑的圓交AB于點D，則的度數(shù)為50度．【考點】圓心角、弧、弦的關系；等腰三角形的性質．【專題】壓軸題．【分析】由三角形內(nèi)角和得∠A=90°﹣∠B=65°．再由AC=CD，∠ACD度數(shù)可求，可解．【解答】解：連接CD，∵∠ACB=90°，∠B=25°，∴∠A=90°﹣∠B=65°，∵CA=CD，∴∠A=∠CDA=65°，∴∠ACD=180°﹣2∠A=50°，∴弧AD的度數(shù)是50度．【點評】本題利用了直角三角形，三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．（2011?資陽）如圖，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點．（1）連接AB、AD、AF，求證：AB+AF=AD；（2）若P是圓周上異于已知六等分點的動點，連接PB、PD、PF，寫出這三條線段長度的數(shù)量關系（不必說明理由）．【考點】圓心角、弧、弦的關系；等邊三角形的判定與性質．【專題】動點型．【分析】（1）連接OB、OF，得到等邊△AOB、△AOF，據(jù)此并結合演的性質，即可推理出AB=AF=AO=OD，從而得到AB+AF=AD；（2）由于AD是⊙O的直徑，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點，故點B與點F，點C與點E均關于AD對稱，故分點P在不同的位置﹣﹣﹣在上、在上、在上三種情況討論．【解答】解：（1）連接OB、OF．∵A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分點，∴AD是⊙O的直徑，且∠AOB=∠AOF=60°，∴△AOB、△AOF是等邊三角形．∴AB=AF=AO=OD，∴AB+AF=AD．（2）當P在上時，PB+PF=PD；當P在上時，PB+PD=PF；當P在上時，PD+PF=PB．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系及等邊三角形的判定與性質，要注意題目中的隱含條件﹣﹣﹣半徑相等及分類討論思想的應用．（2010?濰坊）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，且AC=CD．（1）求證：OC∥BD；（2）若BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個三角形，試確定四邊形OBDC的形狀．【考點】圓心角、弧、弦的關系；平行線的判定；菱形的判定．【專題】幾何綜合題．【分析】（1）首先由AC=CD得到弧AC與弧CD相等，然后得到∠ABC=∠CBD，而OC=OB，所以得到∠OCB=∠OBC，接著得到∠OCB=∠CBD，由此即可證明結論；（2）首先由BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個三角形根據(jù)三角形的面積公式可以推出OC=BD，而后利用（1）的結論可以證明四邊形OBDC為平行四邊形，再利用OC=OB即可證明四邊形OBDC為菱形．【解答】（1）證明：∵AC=CD，∴弧AC與弧CD相等，∴∠ABC=∠CBD，又∵OC=OB（⊙O的半徑），∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥BD；（2）解：∵OC∥BD，不妨設平行線OC與BD間的距離為h，又S△OBC=OC×h，S△DBC=BD×h，因為BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個三角形，即S△OBC=S△DBC，∴OC=BD，∴四邊形OBDC為平行四邊形，又∵OC=OB，∴四邊形OBDC為菱形．【點評】此題綜合運用了等腰三角形的性質、三角形的面積公式、圓周角定理和等弧對等弦等知識，有一定的難度．（2010?珠海）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=6，AC=4，D是AB邊上一點，P是優(yōu)弧BAC的中點，連接PA、PB、PC、PD．（1）當BD的長度為多少時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形？并證明；（2）在（1）的條件下，若cos∠PCB=，求PA的長．【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；垂徑定理．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)等弧對等弦以及全等三角形的判定和性質進行求解；（2）過點P作PE⊥AD于E．根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識和垂徑定理進行求解．【解答】解：（1）當BD=AC=4時，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形．∵P是優(yōu)弧BAC的中點，∴=．∴PB=PC．又∵∠PBD=∠PCA（圓周角定理），∴當BD=AC=4，△PBD≌△PCA．∴PA=PD，即△PAD是以AD為底邊的等腰三角形．（2）過點P作PE⊥AD于E，由（1）可知，當BD=4時，PD=PA，AD=AB﹣BD=6﹣4=2，則AE=AD=1．∵∠PCB=∠PAD（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），∴cos∠PAD=cos∠PCB=，∴PA=．【點評】綜合運用了等弧對等弦的性質、全等三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)的知識以及垂徑定理．（2009?哈爾濱）如圖，在⊙O中，D、E分別為半徑OA、OB上的點，且AD=BE．點C為弧AB上一點，連接CD、CE、CO，∠AOC=∠BOC．求證：CD=CE．【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定．【專題】證明題．【分析】證CD和CE所在的三角形全等即可．【解答】證明：∵OA=OBAD=BE，∴OA﹣AD=OB﹣BE，即OD=OE．在△ODC和△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（SAS）．∴CD=CE．【點評】兩條線段在不同的三角形中要證明相等時，通常是利用全等來進行證明．（2009?衢州）如圖，AD是⊙O的直徑．（1）如圖①，垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則∠B1的度數(shù)是22.5°，∠B2的度數(shù)是67.5°；（2）如圖②，垂直于AD的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周6等分，分別求∠B1，∠B2，∠B3的度數(shù)；（3）如圖③，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圓周2n等分，請你用含n的代數(shù)式表示∠Bn的度數(shù)（只需直接寫出答案）．【考點】圓心角、弧、弦的關系；垂徑定理．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)條件可以先求出圓的各段弧的度數(shù)，根據(jù)圓周角等于所對弧的度數(shù)的一半，就可以求出圓周角的度數(shù)．【解答】解：（1）垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則是圓的，因而度數(shù)是45°，因而∠B1的度數(shù)是22.5°，同理的度數(shù)是135度，因而，∠B2的度數(shù)是67.5°；（2）∵圓周被6等分∴===360°÷6=60°∵直徑AD⊥B1C1∴==30°，∴∠B1==15°∠B2==×（30°+60°）=45°∠B3==×（30°+60°+60°）=75°；（3）BnCn把圓周2n等分，則弧BnD的度數(shù)是：，則∠BnAD=，在直角△ABnD中，．【點評】本題是把求圓周角的度數(shù)的問題轉化為求弧的度數(shù)的問題，依據(jù)是圓周角等于所對弧的度數(shù)的一半．（2008?錫林郭勒盟）如圖，，D、E分別是半徑OA和OB的中點，CD與CE的大小有什么關系？為什么？【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定與性質．【分析】應該是相等的關系，可通過構建全等三角形來實現(xiàn)，連接OC，只要證明三角形OCD和OEC全等即可．有了一條公共邊，根據(jù)圓心角定理我們可得出∠AOB=∠BOC，又有OD=OE（同為半徑的一半），這樣就構成了SAS的條件．因此便可得出兩三角形全等．【解答】解：CD=CE．理由是：連接OC，∵D、E分別是OA、OB的中點，∴OD=OE，又∵，∴∠DOC=∠EOC，OC=OC，∴△CDO≌△CEO，∴CD=CE．【點評】此題考查簡單的線段相等，可以通過作輔助線構建全等三角形來證明．（2008?天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉，且直線CE，CF分別與直線AB交于點M，N．（Ⅰ）當扇形CEF繞點C在∠ACB的內(nèi)部旋轉時，如圖1，求證：MN2=AM2+BN2；（思路點撥：考慮MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決．可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，只需證DN=BN，∠MDN=90°就可以了．請你完成證明過程．）（Ⅱ）當扇形CEF繞點C旋轉至圖2的位置時，關系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【考點】圓心角、弧、弦的關系；勾股定理．【專題】證明題；壓軸題；探究型．【分析】（Ⅰ）考慮MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決．可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，只需證DN=BN，∠MDN=90°就可以了；（Ⅱ）還將△ACM沿直線CE對折，得△GCM，連GN，△GCM≌△ACM，然后由勾股定理即可證明．【解答】（Ⅰ）證明：∵將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，∴△DCM≌△ACM（1分）∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A又∵CA=CB，∴CD=CB（2分），∴∠DCN=∠ECF﹣∠DCM=45°﹣∠DCM∠BCN=∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM=90°﹣45°﹣∠ACM=45°﹣∠ACM∴∠DCN=∠BCN（3分）又∵CN=CN，∴△CDN≌△CBN．（4分）∴DN=BN，∠CDN=∠B．∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5分）∴在Rt△MDN中，由勾股定理∴MN2=DM2+DN2，即MN2=AM2+BN2．（6分）（Ⅱ）解：關系式MN2=AM2+BN2仍然成立．（7分）證明：∵將△ACM沿直線CE對折，得△GCM，連GN，∴△GCM≌△ACM．（8分）∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM，又∵CA=CB，得CG=CB．∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°∴∠BCN=∠ACB﹣∠ACN=90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）=45°+∠ACM得∠GCN=∠BCN．（8分）又∵CN=CN，∴△CGN≌△CBN．∴GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°﹣∠CAB=135°，∴∠MGN=∠CGM﹣∠CGN=135°﹣45°=90°，∴在Rt△MGN中，由勾股定理，∴MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2．（9分）【點評】此題的關鍵是輔助線，讓MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，轉化為在直角三角形中解決．做幾何題加輔助線是關鍵，所以學生要盡可能多的從題中總結，加輔助線的規(guī)律．（2008?莆田）如圖，A、B、C、D是⊙O上的四點，AB=DC，△ABC與△DCB全等嗎？為什么？【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定；圓周角定理．【專題】探究型．【分析】要證明△ABC與△DCB全等，已知的條件是AB=DC，那么他們所對的弧就相等，那么優(yōu)弧ADC=優(yōu)弧BAD，∠ABC=∠BCD，又因為∠A，∠D所對的是同一條弦，那么可得出∠A=∠D，這樣就構成了ASA，可以確定其全等．【解答】解：△ABC與△DCB全等．證明：∵圓周角∠A，∠D所對的是同一條弦，那么∠A=∠D∵AB=CD，∴劣弧AB=劣弧CD∴優(yōu)弧ADC=優(yōu)弧BAD∴∠ABC=∠BCD又∵AB=CD，∴△ABC與△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）．【點評】本題考查了全等三角形的判定．要注意本題中圓周角定理的應用．（2008?鎮(zhèn)江）如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H．（1）∠OCD的平分線CE交⊙O于E，連接OE．求證：E為的中點；（2）如果⊙O的半徑為1，CD=．①求O到弦AC的距離；②填空：此時圓周上存在3個點到直線AC的距離為．【考點】圓心角、弧、弦的關系；垂徑定理；特殊角的三角函數(shù)值．【專題】幾何綜合題．【分析】（1）要求證：E為的中點，即要證明CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理就可以；（2）根據(jù)垂徑定理，CH=CD=，在直角△OCH中，根據(jù)勾股定理就可以求出求O到弦AC的距離OH的長度．【解答】（1）證明：∵OC=OE∴∠E=∠OCE（1分）又∠OCE=∠DCE∴∠E=∠DCE∴OE∥CD（2分）又OE⊥AB∴∠AOE=∠BOE=90°∴E為的中點；（3分）（2）解：①∵CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，CD=∴CH=CD=（4分）又OC=1∴sin∠COB=∴∠COB=60°（5分）∴∠BAC=30°作OP⊥AC于P，則OP=OA=；（6分）②OP=，則MP=，即M到AC的距離是，在上其它點到AC的距離一定小于；在上一定有2個點到AC的距離等于．故圓上有3點到AC的距離是．故答案是：3．（7分）【點評】本題主要考查了垂徑定理，可以把求弦長，弦心距的問題轉化為解直角三角形的問題．（2008?成都）如圖，已知⊙O的半徑為2，以⊙O的弦AB為直徑作⊙M，點C是⊙O優(yōu)弧上的一個動點（不與點A、點B重合）．連接AC、BC，分別與⊙M相交于點D、點E，連接DE．若AB=2．（1）求∠C的度數(shù)；（2）求DE的長；（3）如果記tan∠ABC=y，=x（0＜x＜3），那么在點C的運動過程中，試用含x的代數(shù)式表示y．【考點】圓心角、弧、弦的關系；勾股定理；垂徑定理；相似三角形的應用；銳角三角函數(shù)的定義．【專題】壓軸題；動點型．【分析】（1）根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，連OM，OB，可求出∠BOM的度數(shù)，∠C=∠BOM．（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形一外角等于它的內(nèi)對角，可證明△CDE∽△CBA，兩三角形相似對應線段成比例，同時運用（1）中∠C=60°可得的值，能計算出DE的長．（3）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，連接AE，在直角三角形中用三角函數(shù)可求出y與x之間的關系．【解答】解：（1）如圖：連接OB、OM．則在Rt△OMB中，∵OB=2，MB=，∴OM=1．∵OM=，∴∠OBM=30°．∴∠MOB=60°．連接OA．則∠AOB=120°．∴∠C=∠AOB=60°．（2）∵四邊形ABED內(nèi)接于⊙M，∴∠CBA+∠ADE=180°，∵∠CDE+∠ADE=180°，∴∠CDE=∠CBA，在△CDE和△CBA中，∵∠CDE=∠CBA，∠ECD=∠ACB，∴△CDE∽△CBA，∴．連接BD，則∠BDC=∠ADB=90°．在Rt△BCD中，∵∠BCD=60°，∴∠CBD=30°．∴BC=2DC．∴．即．∴DE==×2=．（3）連接AE．∵AB是⊙M的直徑，∴∠AEB=∠AEC=90°．由，可得AD=x?DC，AC=AD+DC=（x+1）?DC．在Rt△ACE中，∵cos∠ACE=，sin∠ACE=，∴CE=AC?cos∠ACE=（x+1）?DC?cos60°=；AE=AC?sin∠ACE=（x+1）?DC?sin60°=．又由（2），知BC=2DC．∴BE=BC﹣CE=．在Rt△ABE中，tan∠ABC=，∴（0＜x＜3）．【點評】本題考查圓周角與圓心角之間的關系，園中相似三角形的運用，以及由直徑所對的圓周角是直角可得直角三角形，在直角三角形中對三角函數(shù)的靈活運用．（2008?廣州）如圖，射線AM交一圓于點B、C，射線AN交該圓于點D、E，且．（1）求證：AC=AE；（2）利用尺規(guī)作圖，分別作線段CE的垂直平分線與∠MCE的平分線，兩線交于點F（保留作圖痕跡，不寫作法），求證：EF平分∠CEN．【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．【專題】作圖題；證明題．【分析】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，連接AO，BO，DO．證△APO≌△AQO，由BC=CD，得CP=EQ后得證；（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN得證．【解答】證明：（1）作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，連接AO，BO，DO．∵，∴BC=DE，∴BP=DQ，又∵OB=OD，∴△OBP≌△ODQ，∴OP=OQ．∴BP=DQ=CP=EQ．直角三角形APO和AQO中，AO=AO，OP=OQ，∴△APO≌△AQO．∴AP=AQ．∵CP=EQ，∴AC=AE．（2）∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC．∴∠ECM=∠CEN．由于AF是CE的垂直平分線，∴CF=EF．∴∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN．因此EF平分∠CEN．【點評】本題主要考查圓、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線、尺規(guī)作圖等基礎知識，考查幾何推理能力和空間觀念．（2008?清遠）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，點A是的中點，AD交BC于點E，AE=4，AB=6，求DE的長．【考點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；相似三角形的判定與性質．【專題】計算題．【分析】顯然可以把要求的線段和已知線段放到兩個相似三角形中，根據(jù)等弧所對的圓周角相等得到∠ABE=∠D，結合公共角，根據(jù)兩角對應相等即可證明兩個三角形相似．根據(jù)相似三角形的性質得到比例式，再進一步計算即可．【解答】解：∵點A是的中點，∴∠ABE=∠D．又∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB，∴，即AD==9，則DE=9﹣4=5．【點評】考查了相似三角形的判定和性質．（2007?沈陽）如圖，已知A、B、C、D是⊙O上的四個點，AB=BC，BD交AC于點E，連接CD、AD．（1）求證：DB平分∠ADC；（2）若BE=3，ED=6，求AB的長．【考點】圓心角、弧、弦的關系；相似三角形的判定與性質．【專題】綜合題．【分析】（1）等弦對等角可證DB平分∠ABC；（2）易證△ABE∽△DBA，根據(jù)相似三角形的性質可求AB的長．【解答】（1）證明：∵AB=BC，∴，（2分）∴∠BDC=∠ADB，∴DB平分∠ADC；（4分）（2）解：由（1）可知，∴∠BAC=∠ADB，又∵∠ABE=∠ABD，∴△ABE∽△DBA，（6分）∴，∵BE=3，ED=6，∴BD=9，（8分）∴AB2=BE?BD=3×9=27，∴AB=3．（10分）【點評】本題考查圓周角的應用，找出對應角證明三角形相似，解決實際問題．（2007?哈爾濱）如圖，AB是⊙O的弦，矩形ABCD的邊CD與⊙O交于點E，F(xiàn)，AF和BE相交于點G，連接AE，BF．（1）寫出圖中每一對全等的三角形（不再添加輔助線）；（2）選擇你在（1）中寫出的全等三角形中的任意一對進行證明．【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定．【專題】證明題；開放型．【分析】（1）根據(jù)已知及全等三角形的判定方法進行分析即可；（2）利用矩形的對邊平行和圓中同弧和相等的弧所對的角相等來找三角形全等的條件．【解答】解：（1）①△ADE≌△BCF；②△ADF≌△BCE：③△AEG≌△BFG；④△AEB≌△BFA；⑤△AEF≌△BFE．（只要正確寫出兩對全等三角形給1分，每多寫出一對全等三角形增加1分，全寫對得4分）（2）以△AEB≌△BFA為例：證明：∵AB∥CD，∴∠AFE=∠FAB．在⊙O中，∠AFE=∠ABE，∴∠ABE=∠FAB．在⊙O中，∠AEB=∠BFA，在△AEB和△BFA中，，∴△AEB≌△BFA．【點評】全等三角形較多時，要有規(guī)律的去找．先找單個全等的，再找兩個或兩個以上部分組成的三角形全等．證在圓中的三角形全等時需注意利用圓中同弧和相等的弧所對的角相等來找三角形全等的條件．（2006?寧波）如圖，在⊙O中，弦AB與CD相交于點M，AD=BC，連接AC．（1）求證：△MAC是等腰三角形；（2）若AC為⊙O直徑，求證：AC2=2AM?AB．【考點】圓心角、弧、弦的關系；等腰三角形的判定；相似三角形的判定與性質．【專題】證明題．【分析】（1）由等弧對等角可得∠MCA=∠MAC，再由等角對等邊得AM=MC；（2）求證△AOM∽△ABC、有AO?AC=AM?AB，而AC=2AO，故有AC2=2AM?AB．【解答】證明：（1）∵弧AD=弧CB，∴∠MCA=∠MAC．∴△MAC是等腰三角形．（2）連接OM，∵AC為⊙O直徑，∴∠ABC=90°．∵△MAC是等腰三角形，AM=CM，OA=OC，∴MO⊥AC．∴∠AOM=∠ABC=Rt△．∵∠MAO=∠CAB，∴△AOM∽△ABC．∴∴AO?AC=AM?AB．∴AC2=2AM?AB．【點評】本題利用了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質，直徑對的圓周角為直角，相似三角形的判定和性質求解．（2005?內(nèi)江）如圖所示，⊙O半徑為2，弦BD=2，A為弧BD的中點，E為弦AC的中點，且在BD上，求四邊形ABCD的面積．【考點】圓心角、弧、弦的關系；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】由A是弧BD的中點，根據(jù)垂徑定理，可知OF⊥BD，且BF=DF=BD=，在Rt△BOF中，利用勾股定理，可求出OF=1，即AF=1，那么，S△ABD=×BD×AF=，而E是AC中點，會出現(xiàn)等底同高的三角形，因而有S四邊形=2S△ABD=2．【解答】解：連接OA交BD于點F，連接OB，∵OA在直徑上且點A是弧BD中點，∴OA⊥BD，BF=DF=在Rt△BOF中由勾股定理得OF2=OB2﹣BF2OF==1∵OA=2∴AF=1∴S△ABD==∵點E是AC中點∴AE=CE又∵△ADE和△CDE同高∴S△CDE=S△ADE∵AE=EC，∴S△CBE=S△ABE．∴S△BCD=S△CDE+S△CBE=S△ADE+S△ABE=S△ABD=∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=2．【點評】本題利用了垂徑定理、勾股定理，還有等底同高的三角形面積相等等知識．（2005?河南）空投物資用的某種降落傘的軸截面如圖所示，△ABG是等邊三角形，C、D是以AB為直徑的半圓O的兩個三等分點，CG、DG分別交AB于點E、F，試判斷點E、F分別位于所在線段的什么位置？并證明你的結論（證明一種情況即可）．【考點】圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理；相似三角形的判定與性質．【專題】探究型．【分析】作出輔助線OC∥AG，便可證明出△AEG∽△OEC，于是可知各線段的比，求出AE=EF=FB，故點E、F均為所在線段的三等分點．【解答】答：點E、F均為所在線段的三等分點．解：連接OC，設圓的半徑長是r，則AB=AG=2r．∵∠COA=60°，∠GAB=60°，∴OC∥AG，∴△AEG∽△OEC，∴OE：AE=CO：AG=r：2r=1：2，又∵OE=OF=EF∴EF：AE=1：1，同理可證：BF：FE=1：1，故AE=EF=FB，即點E、F均為所在線段的三等分點，．【點評】本題將實際問題和三角形相似，圓心角、弧、弦之間的關系聯(lián)系起來，體現(xiàn)了數(shù)學應用于生活，來源于生活的理念．（2004?泉州）如圖，⊙O為四邊形ABCD的外接圓，圓心O在AD上，OC∥AB．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，AD：BC=5：3，試求⊙O的半徑．【考點】圓心角、弧、弦的關系；平行線的性質；勾股定理．【專題】綜合題．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得到內(nèi)錯角相等，再根據(jù)同圓的半徑相等得到∠OAC=∠OCA，運用等量代換的方法即可證明；（2）根據(jù)（1）中的圓周角相等即可得到它們所對的弧相等，則等弧對等弦，即BC=CD．再根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：∵OC∥AB∴∠OCA=∠BAC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=∠BAC即AC平分∠DAB；（2）解：∵AC平分∠DAB，∴弧CD=弧BC∴CD=BC又AD：BC=5：3∴AD：CD=5：3∵AD是圓的直徑，∴∠ACD=90°根據(jù)勾股定理，得AD：CD：AC=5：3：4所以AD=10，即圓的半徑是5．【點評】此題綜合運用了平行線的性質、等邊對等角、圓周角定理的推論、等弧對等弦、以及勾股定理．（2003?江西）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是上一點（不與C、D重合），求證：∠CPD=∠COB；（2）點P′在劣弧CD上（不與C、D重合）時，∠CP′D與∠COB有什么數(shù)量關系？請證明你的結論．【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】幾何綜合題．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理知，弧CD=2弧BC，由圓周角定理知，弧BC的度數(shù)等于∠BOC的度數(shù)，弧AD的度數(shù)等于∠CPD的2倍，可得：∠CPD=∠COB；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB是直徑，AB⊥CD，∴．∴∠COB=∠DOB=∠COD．又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB．（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．理由如下：連接OD，∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP′D+∠COB=180°．【點評】本題利用了垂徑定理和圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質求解．（2003?濰坊）選做題（請從A．B兩題中選做一題即可）A題：在平面內(nèi)確定四個點，連接每兩點，使任意三點構成等腰三角形（包括等邊三角形），且每兩點之間的線段長只有兩個數(shù)值．舉例如下：圖中相等的線段AB=BC=CD=DA，AC=BD．請你畫出滿足題目條件的三個圖形，并指出每個圖形中相等的線段．B題：如圖，已知扇形OAB的圓心角為90°，點C和點D是AB的三等分點，半徑OC、OD分別和弦AB交于E、F．請找出圖中除扇形半徑以外的所有相等的線段，并加以證明．【考點】圓心角、弧、弦的關系；全等三角形的判定與性質；作圖—應用與設計作圖．【分析】這是一道開放性的題，題中指明在平面內(nèi)確定四點，連接每兩點，使任意三點構成等腰三角形（包括等邊三角形），所以得到的圖形中有的可能是等腰三角形有的是等邊三角形，故應該分情況進行分析，且注意每兩點之間函線段長只有兩個數(shù)值．【解答】A題解：①AB=BC=AC，AD=BD=DC②AB=BC=AC=AD，BD=CD③AC=BD=BC，AB=DCB題解：AC=CD=DB=BF=AE，∵AC=CD=BD（三等分點）∴∠AOC=30°又AO=CO，從而∠ACO=（180﹣30）°/2=75°易證△OAB為等腰直角三角形，所以∠AEC=30°+45°=75°=∠AOC，故而AC=AE．同理可證BD=BF；綜上得：AC=CD=DB=BF=AE【點評】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關系、全等三角形的判定及性質，是一道開放性的題，主要考查學生對等腰三角形的判定的理解及靈活運用．（2002?湘西州）己知如圖AB、CD是⊙O的兩條直徑，弦CE∥AB，求證：AD=AE．【考點】圓心角、弧、弦的關系．【專題】證明題．【分析】連接BC，首先根據(jù)在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，得到弧BC=弧AD，再根據(jù)兩條平行弦所夾的弧相等得到弧BC=弧AE，從而得到弧AD=弧AE，則AD=AE．【解答】證明：連接BC，∵AB、CD是⊙O的兩條直徑，∠AOD=∠BOC，∴弧BC=弧AD．∵CE∥AB，∴弧BC=弧AE．∴弧AD=弧AE．∴AD=AE．【點評】此題主要是運用了圓中的四量關系：即在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一組量相等，則其余各組量都相等；兩條平行弦所夾的弧相等的性質．（2002?重慶）如圖，AM是⊙O的直徑，過⊙O上一點B作BN⊥A