2024屆山東菏澤市高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2024屆山東荷澤市高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.已知雙曲線二-斗=1(。＞0油＞0)的左右焦點(diǎn)分別為4(-c,0),工(c,0),以線段耳E為直徑的圓與雙曲線在第

ab

二象限的交點(diǎn)為P,若直線尸鳥與圓E：(x-+y2=［相切，則雙曲線的漸近線方程是()

A.)=±xB.y=i2xC.y=±y/3xD.y=±y/2x

2.執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的S的值為63,則判斷框中可以填入的關(guān)于i的判斷條件是()

S=0,i=l

S=S+2'"

H?=f-n|

,「

//出s/

I..1

A.i<5B.i<6C.z<7D.z<8

3.函數(shù)y=j4—%2的定義域?yàn)锳,集合3={x|k)g2(x+l)>l},則AB=()

A.|x|l<x<2jB.{x|-2<%<2}C.1x|-2<x<3}D.|x|l<x<3}

4.已知向量a=(2,—4),b=(k,3),且a與人的夾角為135°，則/=()

A.-9B.1C.—9或1D.—1或9

2x-y-6＜0

5.在x-y+220條件下，目標(biāo)函數(shù)2=依+外(a＞0力＞0)的最大值為40,則*+工的最小值是()

b

6.已知雙曲線7-版="a>0力>0）,其右焦點(diǎn)月的坐標(biāo)為匕0,點(diǎn),4是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，滿足|Q4|=1,線段n戶交雙曲線于點(diǎn)若何為4尸的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）

A.也B.2C.半D.\

7.已知復(fù)數(shù)z滿足z-i=z+i,則1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.如果匕<a<0,那么下列不等式成立的是（）

A.log2|/?|<log2|a|<]￡|

C.b3>a3D.ab<b2

9.在四面體P—A5C中，ABC為正三角形，邊長(zhǎng)為6,PA=6,PB=8,PC=10,則四面體P—A3C的體

積為（）

A.8VHB.8A/10C.24D.1673

10.已知函數(shù)/（x）=n，關(guān)于x的方程尸（力+（m+i）/（x）+?7+4=o（?1eR）有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根測(cè)根的取值范

圍是（）

A.「仆一工）B.（-4,-3）C「e-77T,-3）D,^-e-——

11.已知集合4={%,<1},3=卜,'<1},則（）

A.AC5={H%<1}B.AD5={%[X<e}

C.=D.AnB=1x|0<x<l}

12.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

d—2—>QO

1EMR9?RMM

A.一兀B.—71C.2?D.3%

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y-l<0,

13.已知x,y滿足約束條件<2%+y—4V0,,則2=%+丁的最小值為.

、y<2%,

r2v2x3y

14.設(shè)P(x,y)為橢圓二+匕=1在第一象限上的點(diǎn)，則^—+」的最小值為_______.

16124-x6-y

15.已知集合4=口€11|1-2元<5｝,5=｛-2,-1,1,2｝,則AB=.

2

16.(5分)已知橢圓方程為必+21=1,過其下焦點(diǎn)廠作斜率存在的直線/與橢圓交于A,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

2

則面積的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在極坐標(biāo)系中，已知曲線G:夕cos。-J5Psi118-1=0,C?:夕=2cos￡.

(1)求曲線G、G的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；

(2)若曲線G、交于A、B兩點(diǎn),求兩交點(diǎn)間的距離.

18.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S”，且點(diǎn)5，Sj(〃eN*)在函數(shù)了=2川-2的圖像上；

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足：>=0,bn+l+bn=an,求也｝的通項(xiàng)公式；

(3)在第(2)間的條件下，若對(duì)于任意的“cN*，不等式2<友如］恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

19.(12分)記拋物線C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為口，點(diǎn)。,E在拋物線C上，且直線。石的斜率為1,當(dāng)直線OE

過點(diǎn)尸時(shí)，1。石1=4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若G(2,2),直線DO與EG交于點(diǎn)H,。/+￡7=0,求直線印的斜率.

20.(12分)/(x)=x2-4xsinx-4cosx.

(1)討論函數(shù)_/U)在［-兀，制上的單調(diào)性；

(2)證明：函數(shù)/>)在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

21.(12分)已知在多面體A5CDEE中，平面CD尸平面ABCD,且四邊形ECDE為正方形，且DC〃AB,

AB=3DC=6,AD=BC=5,點(diǎn)P,Q分別是3E,AD的中點(diǎn).

(1)求證：PQ//平面EEC。；

(2)求平面AEE與平面PC。所成的銳二面角的余弦值.

22.(10分)第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、

田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)，329個(gè)小項(xiàng).共有來自100多個(gè)國(guó)家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺(tái)競(jìng)技.前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開,

武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng)，努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí)，并倡議大家

做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對(duì)軍運(yùn)會(huì)知識(shí)的知曉情況，在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查，民眾參與度極高，

現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者，他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)5304050452010

(1)若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計(jì)總體，設(shè)〃，分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差

(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表)，求〃，。的值(〃，。的值四舍五入取整數(shù))，并計(jì)算尸(51<X<93)；

(2)在(1)的條件下，為感謝大家參與這次活動(dòng)，市體育局還對(duì)參加問卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分

低于〃的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于〃的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，在一次抽獎(jiǎng)中，抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A

2I

的概率為彳，抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品3的概率為一.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者，記y

33

為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值，求丫的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.

(參考數(shù)據(jù)：P(〃—S<X<4+5)^0.6827；尸(〃—23<X<〃+23)a0.9545；

-33<X<〃+33)a0.9973.)

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】

先設(shè)直線P層與圓石+、2=［相切于點(diǎn)以，根據(jù)題意，得到EM//PK，再由深1

=7,根據(jù)勾股定理

求出b=2a,從而可得漸近線方程.

【題目詳解】

設(shè)直線PK與圓石：1―+丁2=［相切于點(diǎn)加，

因?yàn)锳P大乙是以圓。的直徑4耳為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以/耳「耳=90,

又因?yàn)閳AE與直線尸工的切點(diǎn)為"，所以EM//P4,

FyE111b

又QT"所以附1=4%”,

因此|。閶=2a+b,

因此有片+(2a+b)2=4°2,

所以b=2a,因此漸近線的方程為y=±2x.

故選B

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

2、B

【解題分析】

根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，直到S的值為63,結(jié)束循環(huán)，即可得出判斷條件.

【題目詳解】

執(zhí)行框圖如下：

初始值：S=0,i=l,

第一步：s=0+l=l,，=l+l=2,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第二步：S=1+2=3,i=2+l=3,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第三步：S=3+4=7,7=3+1=4,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán);

第四步：5=7+8=15,7=4+1=5,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第五步：5=15+16=31,，=5+1=6,此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；

第六步：5=31+32=63,7=6+1=7,此時(shí)要輸出，結(jié)束循環(huán)；

故，判斷條件為云6.

故選B

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查完善程序框圖，只需逐步執(zhí)行框圖，結(jié)合輸出結(jié)果，即可確定判斷條件，屬于?？碱}型.

3、A

【解題分析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合A,解對(duì)數(shù)不等式得到集合B,然后直接利用交集運(yùn)算求解.

【題目詳解】

解：由函數(shù)y=，4一得4—%2?0,解得—2WXW2,即4={吊—2<x<2}；

Xlog2(x+1)>1=log22,解得l>1,即3={x|x>l},

則AnB=1x|l<x<2}.

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.

4、C

【解題分析】

由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，求上的值.

【題目詳解】

M4時(shí)生一r4a，b2k-120

解：由題意可得acos135=-------=,~/=------->

⑷?屹I74716.7^+92

求得上=—9,或左=1,

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解題分析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點(diǎn)，再利用均值不等式得到答案.

【題目詳解】

如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知:

當(dāng)x=8,y=10時(shí)，z=8。+106有最大值為40,即z=8a+10Z?=40,故4a+5b=20.

125+旦四>^(25+27100)=|

20ab

7,25b4a104口―一

當(dāng)---——9即ana=—,b7=—時(shí)r等t節(jié)成立.

ab33

本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

6、C

【解題分析】

計(jì)算得到，(c,9,Me,5),代入雙曲線化簡(jiǎn)得到答案.

【題目詳解】

雙曲線的一條漸近線方程為y=3,4是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，|04|=。

故兒生F(c,0),故小，野,代入雙曲線化簡(jiǎn)得到：^=1,故e=￥.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

7、A

【解題分析】

設(shè)2=。+4&力￡氏），由z.i=z+i得：（a+4N=a+S+1"，由復(fù)數(shù)相等可得。力的值，進(jìn)而求出三，即可得解.

【題目詳解】

z=a+bi（a,beR）,由z-i=z+i得：（a+4），=a+S+l）i,即ai-匕=a+（Z?+l）i,

1

a——

-b=a

由復(fù)數(shù)相等可得：解之得:<2,則z=；-g,所以[=1+，?，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（〈,〈）,

,1zz2，LL

D=----

[2

在第一象限.

故選：A.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查共甄復(fù)數(shù)的求法，考查對(duì)復(fù)數(shù)相等的理解，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于?？碱}.

8^D

【解題分析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.

【題目詳解】

log1/?|>log\a\,332

b<a<0,22>Q)b<a>ab<b?

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解題分析】

推導(dǎo)出分別取3C,PC的中點(diǎn)。,石,連結(jié)AD,AE,DE,則A。，3cAELPCOELBC,推導(dǎo)出

AELDE，從而平面PBC,進(jìn)而四面體P—A3C的體積為匕5BC=KJPBC=gsPBC-AE，由此能求出結(jié)果.

【題目詳解】

解：在四面體P-ABC中，，,ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6,

PA=6,PB=8,PC=10,

:.PB2+BC2=PC2,

:.PBYBC,

分別取8C,PC的中點(diǎn)。,石，連結(jié)AD,AE,DE,

則AD±BC,AE±PC,DELBC,

S.AD=y/3&9=3y/3,DE=4,AE=L36-25=而，

.-.AE2+DE2=AD2>

:.AE上DE,

PCDE=E,PCu平面「5C,DEu平面「5C,

AE_L平面P3C,

二四面體P—A5C的體積為：

=

^P-ABC匕-PBC=§,SPBC-AE

=-x-xPBxBCxAE=-x-x8x6xVll=8A/il.

32J32

故答案為：8A/11.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.

10、A

【解題分析】

一x（n

小)=>\，當(dāng)光>0時(shí)/'（耳=上9二1=0m=1,%6（0/）時(shí),/（工）單調(diào)遞減，尤時(shí),〃％）

--,x<0X

、%

單調(diào)遞增，且當(dāng)xe（0,1）時(shí),/（%）e（e,+8），當(dāng)xe（1,+。）時(shí),/（x）e（e,+。），當(dāng)光<0時(shí)，/（％）=—eC"0>o恒

成立，xe(―。,0)時(shí),/(x)單調(diào)遞增且/(x)e(0,+⑹，方程/(x)+(帆+1)/("+機(jī)+4=0(meR)有四個(gè)相異的

實(shí)數(shù)根.令f{x}=t,t2+(〃z+l"+w+4=0貝!J

4

0<%<e,/2>e,e~+e+m+4<0,_H.O+(〃/+1)0+加+4>0,即me-4,-e-

e+1

11、C

【解題分析】

求出集合3,計(jì)算出A8和A5,即可得出結(jié)論.

【題目詳解】

A=1x|x<ij,3=同短<1}={x|x<O},.1.AnB=O},AoB=1x|x<lj.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查交集和并集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、B

【解題分析】

三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體，利用割補(bǔ)法可求其體積.

【題目詳解】

根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示，它是一個(gè)圓柱截去上面一塊幾何體，

把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱，

3

其體積為萬X12X3,故原幾何體的體積為一〃.

2

故選:B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積，復(fù)原幾何體時(shí)注意三視圖中的點(diǎn)線關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線、面的對(duì)應(yīng)關(guān)

系，另外，不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來求其體積，本題屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-3

【解題分析】

作出約束條件所表示的可行域，利用直線截距的幾何意義，即可得答案.

【題目詳解】

畫出可行域易知z=X+y在點(diǎn)4(—1,—2)處取最小值為-3.

故答案為：-3

【題目點(diǎn)撥】

本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、4

【解題分析】

利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性

質(zhì)，以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值，即可得到所求最小值.

【題目詳解】

解：設(shè)點(diǎn)P(4cosa,2gsina),其中。＜。＜萬,

X3yx—4+4?3()-6)+18

-----+)

4-x6-y無一4y-6

418、，418

=—4—(------+------)=-4++-------,

x-4y-6----------4-x6-y

由％=4cosa，y=20sina90<6Z<—9

2

418418

可設(shè)Z=----1----=-------1----產(chǎn)-------

4-x6-y4—4cosa6-2^3sina

1?36

1-cosa省一sina

sina3若cosa

導(dǎo)數(shù)為Z'=(1-cosa)2+(73-sina)2，

由，=。，可得3百cosa-6百cos2a+3百cos'a-3sina—sin3a+2也sin2a

=(A/3COSa-sina)(3-6cosa-2y/3sin+3cos26/+sin2a+2A/3sinacosa)=0，

可得A/3COSsincr=0或3—6cosa—2百sina+3cos2a+sin2a+2百sincrcosa=0，

由3-4百sin(a+—)+2+cos2a+』sin2a=5-4百sin(cr+—)+2sin(2a+—)

336

=3-46sin(6r+—)+4sin2(?+—)=(2sin(a+—)-6,>0,(0<cr<—),

3332

可得逐cosa-sina=0，BPtana=6，可得a=(

V/')!')!

由0＜tz(一可得函數(shù)Z遞減；由一＜&＜一,可得函數(shù)Z遞增,

332

1

7T=8_______

可得。二時(shí)，函數(shù)Z取得最小值，且為1+三

31——

。2

X3y

則「+的最小值為1.

6-y

故答案為：L

【題目點(diǎn)撥】

本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡(jiǎn)變形能力和運(yùn)算能力,

屬于難題.

15、{-1,1,2）

【解題分析】

由于A={xeR|l-2x<5}={xeR|x>-2},B={-2-1,1,2},則AB={-1,1,2}.

16、(0當(dāng)

【解題分析】

由題意，a=6,b=\,則。=后二^=1，得砥0,-1).由題意可設(shè)/的方程為丁=近一1,4(和%),3(%,%)，

y=kx-l0〃-12k

聯(lián)立方程組《c22C八，消去y得（左+2）x-2丘一1=0,/>0恒成立，玉%2=，則

2%+y—2=0左2+212左2+2

2近伏2+1）,點(diǎn)0(0,0)到直線/的距離為d=7^,則

IAB\=5。+父）［（7+/）2—4占馬］=

k2+2止+1

12

5AAOB=11AB|-6?=A/2,，k2+1+>2k/k+1x-,1

衍+」，又gf=2,則

k2+22+2+

N+l

夜

0<S/\AOB當(dāng)且僅當(dāng)病17=及、，即左=0時(shí)取等號(hào).故面積的取值范圍是

7^2+i+-^=2,

VF+i

（0亭

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)G：x—石y—1=0表示一條直線，。2：(%-1)2+丁=1是圓心為。,0)，半徑為1的圓；⑵2.

【解題分析】

(1)直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線G的方程化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而可判斷出曲線

'2_22

C］的形狀，在曲線。2的方程兩邊同時(shí)乘以夕得夕2=2夕COS0,由°=*+)'可將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方

pcos0=X

程，由此可判斷出曲線的形狀；

(2)由直線G過圓的圓心，可得出A3為圓。2的一條直徑，進(jìn)而可得出

【題目詳解】

(1)Q:pcos6>-73psin6>-l=0,則曲線G的普通方程為x—gy—1=0,

曲線C表示一條直線；

由。2：2=2cos。，得夕2=2pcosd,則曲線。2的直角坐標(biāo)方程為必+V=2x,即(尤—1了+/=1.

所以，曲線G是圓心為。，0)，半徑為1的圓；

(2)由(1)知，點(diǎn)(1,0)在直線x—石〉—1=0上，，直線G過圓02的圓心.

因此，是圓C2的直徑，，|A^|=2xl=2.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

18、(1)??=2"(neN)(2)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，h=—+-；當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，b=---.(3)(L+8)

')"3333

【解題分析】

⑴根據(jù)4=S"-Sa，討論〃=1與〃22兩種情況,即可求得數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)利用遞推公式及累加法，即可求得當(dāng)“為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)｛2｝的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法，先猜想出通

項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

b

(3)分類討論，當(dāng)〃為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí),分別求得廣的最大值，即可求得2的取值范圍.

【題目詳解】

(1)由題意可知,SR=2"+1—2.

+1

當(dāng)心2時(shí),4=S,—Sa=2"-2-（2--2）=2\

當(dāng)〃=1時(shí),q==21+1-2=2也滿足上式.

所以4=2"("eN*).

(2)解法一：由⑴可知么懶+或=2「(〃eN*),

即仇+1+4=2乂左一)

當(dāng)左=1時(shí)也+4=,①

當(dāng)上=2時(shí),b3+b2—2一,所以一&一打=一2~，②

當(dāng)左=3時(shí)也+4=23,③

當(dāng)k=4時(shí)，么+%=24,所以—4—％=-24,@

當(dāng)左=〃—1時(shí)則為偶數(shù)bn+%=2”T

當(dāng)女=”時(shí),〃為偶數(shù)所以一2—bu=-

以上1個(gè)式子相加，得

23421(2)

b+Z?!=2-2+2-2+---+2^'=["-J=Z1+2

1-(-2)33

2"2

又4=0,所以當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)血,=土+~.

同理，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

2341

bn+bl=2-2+2-2+----2"-=1]=j—j1,

1-(-2)3

2"2

所以，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)也=3-

33

解法二：

猜測(cè)：當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

猜測(cè)：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),

I7

nl22v

bn=2--2"-+----2+2-</、

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

〃=1,命題成立；

假設(shè)當(dāng)"=左時(shí)，命題成立；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),4=2*T-2*.+…+2?一2,

當(dāng)〃=左+1時(shí),"為偶數(shù)，由bk+1+4=2&（左eN*）得

d+i=2、4=2*-21+2^+…-2?+2

故,"=左+1時(shí),命題也成立.

綜上可知，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)％=土2"-士2

同理，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),命題仍成立.

|（"為偶數(shù)）

（3）由（2）可知或=<

_［（，為奇數(shù)）

*2

〃

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),b音=備a=a=32占+2

,i+l

bn+l222m—2

"3_一3

bbK

所以廣隨”的增大而減小從而當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),六的最大值是e=1.

么+1%A

2"2

13

------F—

33

b?b131,

所以廣隨”的增大而增大，且產(chǎn)=彳-而）<7<L

bn+i22m+22

b

綜上,亡的最大值是L

因此，若對(duì)于任意的〃eN*不等式bn<用用恒成立，只需彳>1,

故實(shí)數(shù)彳的取值范圍是(L+8).

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，分類討論奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式及求和方法，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的

單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍，屬于難題.

19、(1)y2=lx(2)0

【解題分析】

(1)根據(jù)題意，設(shè)直線。E:y=x—與C:y2=2px(p>0)聯(lián)立，得丁―2抄—/=0,再由弦長(zhǎng)公式,

%一%---------=1

(2)設(shè)。，石等,內(nèi)，根據(jù)直線OE的斜率為L(zhǎng)則yl_y1%+%,得到%+弘=2,再由

\27\27

22

2

DI+EI=Q，所以線段OE中點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為力=1,然后直線。0的方程，=丁%與直線EG的方程

2,

丁=---y(x-2)聯(lián)立解得交點(diǎn)H的縱坐標(biāo)匕，=1,說明直線印//X軸，直線印的斜率為0.

>2+，

【題目詳解】

⑴依題意，F(xiàn)K,0j,則直線DE:y=x—g

y2=2px,

22

聯(lián)立＜p#y-2py-p=0；

設(shè)。(國(guó),％),￡(%,%)，

則IDE\={(%+%)2-4%為二叵-20=4，

解得P=l,故拋物線。的方程為丁=2%.

/2\/2\

⑵D—,E^~,y2,

\27\27

y2f2,]

因?yàn)橹本€OE的斜率為1,則或%+%，所以%+X=2,

T-T

因?yàn)椤?+￡7=0，所以線段OE中點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為力=L

直線。0的方程為.v=必X，即y=2-X①

-%

2-

v-2=%-2（X—2）2

直線EG的方程為.一￡，，即丁=——7（%―2）②

y-2必+2

人—.

聯(lián)立①②解得2即點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為VH=1，即直線印//%軸，

。=1.

故直線印的斜率為0.

如果直線EG的斜率不存在，結(jié)論也顯然成立，

綜上所述，直線印的斜率為0.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

20、見解析

【解題分析】

兀兀

由/（x）=l,x^［-n9九］得x=l或一1或

當(dāng)x變化時(shí)，了⑴和府）的變化情況如下表:

E-f)71(-1.0)(0,1)兀

X1（行

I

f(x)-1+1-1+

f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以y（X）在區(qū)間［-兀,-a，%）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（一手0）,q,兀］上單調(diào)遞增.

TTTT

（2）由⑴得極大值為）1尸-4；極小值為負(fù)-勺⑴<1.

又f（Tt）=f（-n）=Tt2+4>l,

所以/（*）在E，J）,弓,兀］上各有一個(gè)零點(diǎn).

顯然“￡（九，2九）時(shí)，-4xsiiix>l,x2-4cosx>l,所以/（x）>l；

X￡［2TT,+GO）時(shí)，/（X）>X2-4X-4>62-4X6-4=8>1,

所以大幻在(九，+8)上沒有零點(diǎn).因?yàn)?(-x)=(-x)2-4(-x)sin(-x)-4cos(-x)=x2-4xsinx-4cosx^/(x),

所以/(X)為偶函數(shù)，

從而XV-7t時(shí)，f(x)>l9即加0在(-00,F)上也沒有零點(diǎn).

故/(*)僅在［-兀q,用上各有一個(gè)零點(diǎn)，即/(?在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

17

21、(1)證明見解析；(2)—.

【解題分析】

(1)構(gòu)造直線P。所在平面由面面平行推證線面平行；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的

余弦值.

【題目詳解】

(1)過點(diǎn)PHLBC交BC于H點(diǎn),連接如下圖所示：

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC。，且交線為CO,

又四邊形CDEE為正方形，故可得CELCD,

故可得CEJ_平面ABC。，又CBu平面ABC。，

故可得CELCB.

在三角形CBE中,因?yàn)镻為助中點(diǎn)，PH±CB,CE±CB,

故可得PH〃CE,H為CB中點(diǎn);

又因?yàn)樗倪呅蜛BC。為等腰梯形，”,。是。5,4。的中點(diǎn)，

故可得HQ//CD；

又PHcHQ=H,CDcCE=C,

且PH,HQu平面PHQ,CD,CEu平面DFEC,

故面PHQ〃面EFDC,

又因?yàn)镻Qu平面PHQ,

故PQ//面KECD.即正

（2）連接AE,