2024年新高考數(shù)學(xué)九省聯(lián)考新題型-綜合能力題（九省聯(lián)考模式）

2024年新高考九省聯(lián)考新題型--綜合能力題

題目0（2024.全國(guó).校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若項(xiàng)數(shù)為MKCN*,3）的有窮數(shù)列｛七｝滿足：OWaiVo2V為〈…

〈領(lǐng),且對(duì)任意的「，（1<1<，&勸，%+5或%—%是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，則稱數(shù)列｛冊(cè)｝具有性質(zhì)P.

（1）判斷數(shù)列0,1,2是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)數(shù)歹IJ｛〃｝具有性質(zhì)P,%（i=1,2,…，乃是｛冊(cè)｝中的任意一項(xiàng),證明：a*—%一定是｛%｝中的項(xiàng)；

（3）若數(shù)列｛a?｝具有性質(zhì)P,證明：當(dāng)后>5時(shí)，數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

題目團(tuán)（2024.全國(guó)?校聯(lián)考一模）關(guān)于。的函數(shù)/㈤=In。+2x-b（b>2）,我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過(guò)“二分

法”求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法--“牛頓切線法”

（1）證明：/Q）有唯一零點(diǎn)a,且ae（Lb）；

（2）現(xiàn)在,我們?nèi)稳C（La）開始,實(shí)施如下步驟：

在（a?i，y（a?i））處作曲線/3）的切線，交⑦軸于點(diǎn)3,0）;

在但,/（珀）處作曲線/Q）的切線，交刀軸于點(diǎn)（的,0）；

在（4,/（4））處作曲線/（。）的切線，交。軸于點(diǎn)3?1,0）；

可以得到一個(gè)數(shù)列｛4｝,它的各項(xiàng)都是/Q）不同程度的零點(diǎn)近似值.

⑴設(shè)xn+1=g3n）,求g（xn）的解析式（用如表示xn+1）；

（瘋）證明：當(dāng)ge（l,a）,總有xn<4+iVa.

???

題目團(tuán)(2024.全國(guó).校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))“讓式子丟掉次數(shù)”:伯努利不等式

伯努利不等式(Berno加勿如)，又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見的一種不

等式,由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利提出：對(duì)實(shí)數(shù)me(—l,+8),在me口,+8)時(shí)，有不等式(1+。)”>

1+儂C成立;在ne(0,1)時(shí)，有不等式(l+z)yl+nm成立.

(1)猜想伯努利不等式等號(hào)成立的條件；

(2)當(dāng)外>1時(shí),對(duì)伯努利不等式進(jìn)行證明；

(3)考慮對(duì)多個(gè)變量的不等式問(wèn)題.己知的,。2-、/(代€叢)是大于一1的實(shí)數(shù)(全部同號(hào)),證明

(1+Oj)(1+02),?,(1+a”)>1+01+(12+--Fein

?1,1?1,2"?ai,m

值(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))己知4=02,1°2,2包"2)是77?個(gè)正整數(shù)組成的小行

m列的數(shù)表，當(dāng)l&iVs<m,l時(shí)，記4(4,,%￡)=\aitj—aSij\+|asj—a5,t|.設(shè)九EN*,若小滿

足如下兩個(gè)性質(zhì)：

②對(duì)任意kE{1,2,3,…m},存在ie{1,2,…,鬲,，￡{1,2,…,m},使得外產(chǎn)配則稱4n為「n數(shù)表.

123、

⑴判斷4=231是否為「3數(shù)表，并求或以1，02,2)+或02,2，。3,3)的值；

<312,

(2)若一數(shù)表4滿足或心力生+必+1)=16=1,2,3;彳=1,2,3),求44中各數(shù)之和的最小值；

⑶證明：對(duì)任意「4數(shù)表4o,存在l&iVs《10,1V±&10,使得“氣力—)=0.

???

題目可（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正整數(shù)數(shù)列Ag,的，…，aN（N>3）滿足其中1&i

如果存在A;C{2,3,…，N},使得數(shù)列A中任意k項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù),則稱A為”階平衡數(shù)列”

⑴判斷數(shù)列2,4,6,8,10和數(shù)列1,5,9,13,17是否為“4階平衡數(shù)列”?

（2）若N為偶數(shù)，證明:數(shù)列A1,2,3,…，N不是”階平衡數(shù)列”，其中KC{2,3,…,N}

（3）如果?2019,且對(duì)于任意ke{2,3,…,N},數(shù)列月均為”階平衡數(shù)列”，求數(shù)列月中所有元素之和的

最大值.

題目立（2024.江蘇?徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦

有應(yīng)用.設(shè)A,3,C,D是直線Z上互異且非無(wú)窮遠(yuǎn)的四點(diǎn),則稱奈?g（分式中各項(xiàng)均為有向線段長(zhǎng)

度，例如AB=—A4）為A,B,C,。四點(diǎn)的交比，記為（ABC,。）.

⑴證明⑷

（2）若小」2/3」4為平面上過(guò)定點(diǎn)。且互異的四條直線，上1，%為不過(guò)點(diǎn)P且互異的兩條直線，區(qū)與兒的

13,。的交點(diǎn)分別為4,Bi，G，功,42與21/2/3」4的交點(diǎn)分別為42,耳，G，。2,證明：（4B；G,Di）=

（4,瑪；&,。2）:

（3）已知第（2）問(wèn)的逆命題成立，證明:若尸G與△￡'尸G的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn),

則ZXE尸G與△￡'尸'G對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.

???

題目?(2024.河北.校聯(lián)考一模)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)拉3)滿足:對(duì)于任意的。CR,都有何。+2兀)=

人3)+九(2兀)，則稱函數(shù)ZiQ)具有性質(zhì)P.

(1)判斷函數(shù)/3)=2i,gQ)=cose是否具有性質(zhì)「；(直接寫出結(jié)論)

(2)已知函數(shù)f(x)=sinQ。+⑼怎V3V期V都判斷是否存在孫伊,使函數(shù)f㈤具有性質(zhì)P?若存

在，求出3夕的值;若不存在，說(shuō)明理由；

(3)設(shè)函數(shù)/Q)具有性質(zhì)P,且在區(qū)間［0,2兀］上的值域?yàn)椋?(0),62兀)］.函數(shù)gQ)=sin(/Q)),滿足

gQ+2兀)=g(cc),且在區(qū)間(0,2兀)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).求證：/(2兀)=2兀.

題目瓦(2024.江西吉安?吉安一中?？家荒?對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛冊(cè)｝，“若存在am—ak=t(mfkEN*、m>1c)，必有

^Wi-i-ak+l=產(chǎn),則稱數(shù)列｛3｝具有尸㈤性質(zhì).

(1)若數(shù)列｛冊(cè)｝滿足冊(cè)9”*、，判斷數(shù)列｛冊(cè)｝是否具有HD性質(zhì)？是否具有尸Q)性

質(zhì)？

(2)對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛冊(cè)｝,設(shè)T=｛引0=出一麗iV，｝,求證:若數(shù)列｛廝｝具有P(O)性質(zhì)，則T必為有限集；

(3)己知｛冊(cè)｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且｛冊(cè)｝既具有尸(2)性質(zhì)，又具有P(3)性質(zhì)，是否存在正整數(shù)N,

上使得小，aN+1,aN+2,-,aN+k,-成等差數(shù)列.若存在,請(qǐng)加以證明；若不存在，說(shuō)明理由.

?A

題目回(2024.全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知有窮數(shù)列A%,02,-,an(n>3)中的每一項(xiàng)都是不大于n的正整

數(shù).對(duì)于滿足1的整數(shù)令集合月(館)=｛上限=??1,k=l,2,…，燈｝.記集合47To中元素的個(gè)

數(shù)為s(m)(約定空集的元素個(gè)數(shù)為0).

⑴若A:6,3,2,5,3,7,5,5,求力(5)及s(5)；

(2)若J4--^―H--1--J=九，求證：…,an互不相同；

s(%)s(a2)s(an)

(3)己知。1=。,02=6,若對(duì)任意的正整數(shù)力，(1金，，i+J<n)都有i+j€A(4)或i+,EA(%),求5+02

+…+an的值.

題目回(2024.河南鄭州.鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))記U=｛1,2,…,100｝.對(duì)數(shù)列｛4｝("eN*)和U的

子集T，若7=0,定義ST=0；若T=｛友也,…，4｝，定義SLA+ot/l-F%.例如：T=｛1,3,66｝時(shí)，ST=

ai+a3+a66.現(xiàn)設(shè)｛4｝("eN*)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T=｛2,4｝時(shí)，ST=30.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)任意正整數(shù)Ml100),若TG｛1,2,…,日,求證：SrV4+1；

⑶設(shè)。7[7,。^。,5(7〉52，求證：SC+SCQ2SD.

???

題目叵(2024.江西南昌?南昌二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若存在的e。使得對(duì)任意06。恒成立，

則稱為為函數(shù)/3)在。上的最大值點(diǎn),記函數(shù),3)在。上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為加

(1)若f(c)——X2+2X+1,O=R,求集合A/；

(2)若f(s)=C=求集合八八

(3)設(shè)a為大于1的常數(shù)，若/儂)=a+asinx,D=[0,6]，證明，若集合A/中有且僅有兩個(gè)元素,則所有滿足

條件的b從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.

題目|1g1(2021江西撫州?臨川一中?？家荒?若各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列｛6｝滿足:對(duì)于WmCN*,溫i—涌=

d,其中d為非零常數(shù),則稱數(shù)列｛aj為。數(shù)列.記bn=an+1-an.

(1)判斷無(wú)窮數(shù)列a“=5/萬(wàn)和0n=2”是否是。數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(2)若｛5｝是。數(shù)列，證明：數(shù)列｛bj中存在小于1的項(xiàng)；

(3)若｛a?｝是。數(shù)列，證明：存在正整數(shù)門,使得Z—>2024.

i=l°?

題目叵］(2021江西南昌.南昌二中?？家荒?若一個(gè)兩位正整數(shù)rn的個(gè)位數(shù)為4,則稱m為“好數(shù)”.

(1)求證:對(duì)任意“好數(shù)”一定為20的倍數(shù)；

(2)若m且pq為正整數(shù),則稱數(shù)對(duì)(p)g)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：H(m)=義,例如24=52-儼,稱數(shù)

P

對(duì)(5,1)為“友好數(shù)對(duì)”,則H(24)=”,求小于70的“好數(shù)”中,所有“友好數(shù)對(duì)”的H(m)的最大值.

0

題目AA(2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知無(wú)窮數(shù)列｛aj滿足%=maxfon+i，a^｝—minfan+i.a^｝^=1.

2,3,…)，其中max｛a;,t/｝表示叫y中最大的數(shù)，min｛s,y｝表示了，y中最小的數(shù).

(1)當(dāng)4=1,3=2時(shí)，寫出a4的所有可能值；

(2)若數(shù)列｛七｝中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)；

(3)若%>0(門=1,2,3,…)，是否存在正實(shí)數(shù)使得對(duì)任意的正整數(shù)n,都有0n4河？如果存在，寫出一個(gè)

滿足條件的八/;如果不存在，說(shuō)明理由.

題目(2024.河南.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)P是素?cái)?shù)，集合x=

{1,2,…,p—1},若叫"€X,mEN,記”e0為MO除以p的余數(shù)，“叫”為尸除以p的余數(shù);設(shè)aEX,l,a,

弋…,產(chǎn)2何兩兩不同，若不何=6(九￡{0,1,…乎—2}),則稱口是以a為底b的離散對(duì)數(shù),記為燈=log(p)a

b.

(1)若p=ll,a=2,求

(2)對(duì)rriym^E{0,1,…,p—2},記人④s為仍+S除以p—1的余數(shù)(當(dāng)仍十皿能被p—1整除時(shí)，7nl④

m2=0).證明：k>g(p)a(b?c)=log(p)ofe?log(p)oc，其中b,c￡X：

(p2),0

(3)已知九=log(p)ab,對(duì){1,2,…,p—2},令yi=a&?,的=1?心”.證明：x=y2?yi~.

???

題目@（2024上.浙江寧波.高三鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┰趲缀螌W(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需

要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段卷，其弧長(zhǎng)為As,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從

4沿曲線段助運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線U也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線G，記這兩條切線之間的夾角為A8

（它等于S的傾斜角與心的傾斜角之差）?顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角

固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義衣=|瑞|為曲線段益的平均曲率;顯然當(dāng)B越接近4,

即As越小，K就越能精確刻畫曲線。在點(diǎn)力處的彎曲程度，因此定義K=lim|年=―回:（若極限存

判Asi（1+/戶

在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率.（其中d，/'分別表示y=/3）在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）

（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；

（2）求橢圓亍+y2=1在處的曲率；

（3）定義雙y）=羊咽為曲線y=/Q）的“柯西曲率”.己知在曲線fQ）=x\nx-2。上存在兩點(diǎn)

（1+娟）

J3i））和Q（物,/（的）），且尸，Q處的“柯西曲率”相同，求強(qiáng)十強(qiáng)的取值范圍.

???

題目叵(2024上.山東濰坊?高一統(tǒng)考期末)己知函數(shù)/3)=0(a>0且a￥1)為奇函數(shù),

且9(。)=1/3兒

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若對(duì)于函數(shù)？/=m(a;),。e［p,q］，用a;,(i=0,l,2,…,n,p=as()Va：i<…V%=q)將區(qū)間［p,g］任意劃分成

n個(gè)小區(qū)間，若存在常數(shù)入/>0,使得和式￡|m(S)-7n3i)|&M對(duì)任意的劃分恒成立，則稱函數(shù)m(0)

為［p,g］上的有界變差函數(shù).判斷函數(shù)g3)是否為［一］10go2|,110go4］］上的有界變差函數(shù)？若是，求A/的最

小值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

???

2024年新高考九省聯(lián)考新題型--綜合能力題

題目0(2024.全國(guó).校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若項(xiàng)數(shù)為MKCN*,3)的有窮數(shù)列｛七｝滿足：OWaiVo2V為〈…

V3,且對(duì)任意的彳<k),%+&或是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，則稱數(shù)列｛aj具有性質(zhì)P

(1)判斷數(shù)列0,1,2是否具有性質(zhì)P并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)數(shù)歹IJ｛%｝具有性質(zhì)尸,q(i=L2,…，勸是｛冊(cè)｝中的任意一項(xiàng)，證明：％—%一定是｛5｝中的項(xiàng)；

(3)若數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P證明：當(dāng)k*5時(shí)，數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

【答案】(1)數(shù)列0,1,2具有性質(zhì)P,理由見解析；

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】⑴由數(shù)列0,1,2中，得到出一小,一定是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，即可求解；

(2)根據(jù)題意，得到在十出一定不是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，進(jìn)而證得在一4一定是數(shù)列｛而｝中的項(xiàng)；

(3)根據(jù)題意得到耿+a工｛冊(cè)｝,且出一a戶｛aj,進(jìn)而得到5=0,得到砥一&￡｛an｝,當(dāng)證得出

—〃T=4+1，當(dāng)3<i&k—2,得到ajb-i—aj=%,由k>5時(shí)，得到ak_1—ak_i=%(14i&k—1),兩式相減得

出朝一ai=0f+i—4(1—1),結(jié)合等差中項(xiàng)公式，即可求解.

【詳解】(1)解:數(shù)列0,1,2具有性質(zhì)P.

理由：根據(jù)有窮數(shù)列｛aj滿足：0<ar<a2Va3V…V且對(duì)任意的i,j(l%+5或a「w是數(shù)

列｛5｝中的項(xiàng),則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P,

對(duì)于數(shù)列0,1,2中，若對(duì)任意的切(1<1&，&勸，可得為—見=0或1或2,

可得%一優(yōu)一定是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，所以數(shù)列0,1,2具有性質(zhì)P.

(2)證明：由a/i=1,2,…，乃是數(shù)列｛aj中的任意一項(xiàng)，

因?yàn)閿?shù)列｛aj具有性質(zhì)P,即%+4或%—4是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，

令，=k，可得依+&或在一a是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)，

又因?yàn)?Vaf<a2V…V4,可得磔+4一定不是數(shù)列｛aj中的項(xiàng),

所以生一久一定是數(shù)列｛詼｝中的項(xiàng).

(3)解：由數(shù)列｛aj具有性質(zhì)P,可得4+a*｛冊(cè)｝,所以念一a代｛6｝,

則0e｛an｝,且ai=0,

又由4+a*｛an｝,所以a左一｛an｝,

又由0=01k—a^Va七一a%—iV一2V…V3—02Va左一的,

①設(shè)2&i4附因?yàn)?4aiVa2V…〈你

可得ak~ak=0，在一afc-l=<^2,ak~ak-2=03?,,?，%—a2=ak-Vak~al=akf

當(dāng)k>5時(shí)，可得縱一a?+i(l—1),(*)

②設(shè)34i&k-2,則^-1+02=",所以%_1+。仔｛an｝,

由0=ak-l—a-fc-1一3一2<…Vak-l-a3Vak-a3=ak-29

又由0&a】Va2V***V_3Va為—2,

可得(lk-1-%_1=Gi，ak-i-CLk-2=3…Vdh-X-O-3?ak-l~a3=%-39

所以Qfc-i—aj=4(14i&k-3),

因?yàn)閗>5,由以上可知：CLk-l~ak-l=ai且為_1—彌_2=S,

所以ak-1—a1=afe_i且ak_1—a2=a—,所以“_1—aj=%(1—1),(**)

由(木)知，。1=&+i(l&i&k-1)

兩式相減，可得ai=4+1—4(1—1),???

所以當(dāng)k>5時(shí)，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列.

題目團(tuán)(2024?全國(guó)?校聯(lián)考一模)關(guān)于a的函數(shù)fQ)=ln0+2e—b(b>2),我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過(guò)“二分

法”求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù),介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法一一“牛頓切線法

(1)證明：/(0有唯一零點(diǎn)a,且aC(1,6)：

(2)現(xiàn)在,我們?nèi)稳〉腃(l,a)開始，實(shí)施如下步驟：

在3/31))處作曲線/3)的切線，交。軸于點(diǎn)(曲,0)；

在(附人的))處作曲線/3)的切線，交0軸于點(diǎn)(。3,0)；

在(%,/(%))處作曲線/(。)的切線，交0軸于點(diǎn)3n+1,0)；

可以得到一個(gè)數(shù)列｛0｝,它的各項(xiàng)都是/(。)不同程度的零點(diǎn)近似值.

⑴設(shè)。?+1=9(傷>)，求g(4)的解析式(用/表示a:*)；

(通)證明：當(dāng)a：iG(l,a),總有xn<0fH4Va.

【答案】(1)證明見解析；

⑵(說(shuō)3“)=—嗎*+1)%；(詞證明見解析

1十Zxn

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可：

14-

(2)(i)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得曲線/3)在(4,/(4))處的切線方程為3/=nx+lnx-b—1,進(jìn)而得

%n

/、-x^nxn+(b+l)a;?

g?)=—i+2^—:

(洲令h(x)=1*%①+lnxn—b—1,進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)F[x)—f(x)—h｛x)=Inx-x—lnccn+l，結(jié)合函數(shù)

xnxn

單調(diào)性證明用iVa,再根據(jù)f㈤)>0,f(Xn)<f(a)=0證明產(chǎn)4-等g>%即可得答案.

【詳解】(1)證明：/3)=Ina;+2x—b(b>2),定義域?yàn)?0,+8),

所以，尸3)=工+2>0在(0,4-00)上恒成立，

x

所以函數(shù)/Q)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)?(I)=Inl+2—b=2—bV0(6>2),/(b)=Inb+2b—b=Inb+b>0(6>2),

所以，存在唯一aE(l,b),使得/(a)=0,即：f(x)有唯一零點(diǎn)a,JLaG(l,b).

(2)解：⑴由(1)知fQ)=工+2,

X

所以，曲線/3)在(5,/(4))處的切線斜率為鼠=」-+2,

Xn

1J-9T

所以，曲線/Q)在(4,/(g))處的切線方程為u—/(g)=f(%)3一g)，即4=———+lnxn-b-1

xn

—rclna?+(6+l)a?

令g=0得c=nnn

1+2%

所以，切線與0軸的交點(diǎn)(7；設(shè)+1)%,0),即0計(jì)產(chǎn)一弋;；：+1)4,

_一媼11%+(6+1)與

所以，g(%)

1+2%

(洲對(duì)任意的xnE(0,4-oo)，由⑴知，曲線/(①)在(%,/(%))處的切線方程為：

y=1+2，"⑦+lnxn—b—1,故令h{x)=]十⑦+\nxn—b—1,

%xn???

令尸(])=f(x)—h(x)=Inx-x—lna?n+l.

所以，F(xiàn)'3)=上一工=

Xxnx?x

所以，當(dāng)8w(0,4)時(shí)，R?>0,尸㈤單調(diào)遞增，當(dāng)(%,+8)時(shí)，尸Q)VO,尸3)單調(diào)遞減；

所以，恒有尸(1)&尸(。n)=o,即/3)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)/=為時(shí)等號(hào)成立，

f(x)

另一方面，由⑴知，1n+1=xn—"，且當(dāng)a時(shí)，出n+iWxn9

fM

(若xn=a,則/(4)=/(a)=0,故任意4+i=xn=...=xr=a,顯然矛盾)

因?yàn)?n+i是h(x)的零點(diǎn)，

所以/381)<從。葉1)=/(?)=0,

因?yàn)?3)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以，對(duì)任意的a時(shí)，總有。8iVa.

又因?yàn)閕iVa,

所以，對(duì)于任意九EN*,均有xn<a,

所以，f(%)>O,/(rrn)</(?)=0.

所以c?+i=xn-]叫>xn,

綜上，當(dāng)(l,a),總有xn<□7n+i<a

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第

二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于結(jié)合切線方程，構(gòu)造函數(shù)尸Q)=f(x)—h(x)=Inx—]n為+i,進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的

xn

單調(diào)性證明不等式.

題目瓦(2024.全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))“讓式子丟掉次數(shù)”:伯努利不等式

伯努利不等式(Berno加加，s/ziegita揚(yáng)如)，又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見的一種不

等式,由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利提出:對(duì)實(shí)數(shù)。6(—1,+8),在me[1,+8)時(shí)，有不等式

l+na?成立;在mC(0,1)時(shí)，有不等式(1+a?)11+na;成立.

(1)猜想伯努利不等式等號(hào)成立的條件；

(2)當(dāng)門>1時(shí),對(duì)伯努利不等式進(jìn)行證明；

(3)考慮對(duì)多個(gè)變量的不等式問(wèn)題.已知的,。2,…,是大于一1的實(shí)數(shù)(全部同號(hào))，證明

(1+0x)(1+的)…(1+an)>1+ai+a2+—t-an

【答案】(1)n=0,1,或x—0

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)不等式特征猜想出等號(hào)成立的條件；

⑵設(shè)/(c)=(1+⑼"-nrr—1QV—,注意到/(0)=0,求導(dǎo)得到f(0)=0,二次求導(dǎo)，得到函數(shù)

的單調(diào)性和極值最值情況,證明出結(jié)論；

⑶當(dāng)71=1時(shí)，顯然成立，當(dāng)71>2時(shí)，構(gòu)造數(shù)列｛4｝：Xn=(1+01)(1+02)???(1+a^)—

(1+ai+a2H---Fa”)，作差法得到｛4｝是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列(m>2),結(jié)合的〉。,得到?n>

0(Vn>2),證明出結(jié)論.

【詳解】(1)猜想:伯努利不等式等號(hào)成立的充要條件是n=0,1,或。=0.

當(dāng)？i=0時(shí)，(1+c)°=l+0。，當(dāng)71=1時(shí)，(1+a?)1=1+x,???

當(dāng)a?=0時(shí)，(1+0)"=1+On,其他值均不能保證等號(hào)成立，

猜想，伯努利不等式等號(hào)成立的充要條件是n=0,1,或1=0;

(2)當(dāng)九>1時(shí)，我們需證(1+1廠>1+百，

設(shè)/(re)=(1+a?)"—m—l(rrV—l,a>1),注意到/(0)=0,

f(力)=n(l+i)"T—九="(1+夕廠i—1],令(1+1)7—1=0得□?=0,

即f(0)=0,。=0是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).

令g(x)=f(x)，則，3)=71(71-1)(1+°廠2>0,

所以f'3)單調(diào)遞增.

當(dāng)—l<a?<0時(shí)J3)</(0)=0,當(dāng)x>0時(shí)，，(。)>/(0)=0,

故/3)在(一1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以在必=0處y(a;)取得極小值y(o)=o,

即/(9)>0恒成立，(1++1.

伯努利不等式對(duì)71>1得證.

(3)當(dāng)九=1時(shí)，原不等式即1+%>1+的，顯然成立.

當(dāng)九》2時(shí)，構(gòu)造數(shù)列{aj:%=(1+o-i)(1+例)…(1+an)—(1+<21+02+—Fan),

則xn+l~xn=°n+l[(l+O1)。+°2)…(1+%)-X，

若4>0(i=l,2,…，九+1),由上式易得/n+1—g>0,即。葉1>為;

若一1V440(i=L2,…m+1),則0V1+4V1,所以(1+0!)。+的)…(1+%)—1V0,

故:2?"1一4=a?J(1+5)(1+%)…(1+%)-1]>0,

即此時(shí)Xn也成立.

所以{4}是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列伍>2),

由于12=(1+5)(1+。2)—(1+%+?)=0,所以%>12>0(\/九>2),

故原不等式成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)新定義問(wèn)題，命題新穎，常?？紤]函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，奇偶性,值域等，且存

在知識(shí)點(diǎn)交叉，會(huì)和導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列等知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識(shí)遷移，綜合運(yùn)用能力，對(duì)于此類問(wèn)題,

一定要解讀出題干中的信息，正確理解問(wèn)題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.

0-1,2,*

題目1(2024.江蘇南通.模擬預(yù)測(cè))已知4=%,1做20??2,m

(m>2)是n?個(gè)正整數(shù)組成的m行

，

、a1nti^m,2'*a1ntm

m列的數(shù)表，當(dāng)l&iVs<Tn,l&/V土?xí)r，記J=\aitj—aStj\+\aStj—aStt\.設(shè)九eN*,若&滿

足如下兩個(gè)性質(zhì)：

①4,盧{l,2,3;--,n}(i=l,2,--*,m;j=l,2,--,m)；

②對(duì)任意ke{1,2,3,…m},存在iee{1,2「-,m},使得氣;=右,則稱41為1\數(shù)表.

T23、

⑴判斷4=231是否為「3數(shù)表，并求或以i，%,2)+d(%2，。3,3)的值：

、312,

(2)若「2數(shù)表人4滿足&(&,夕@+1"1)=16=1,2,3丁=1,2,3),求4中各數(shù)之和的最小值；

(3)證明：對(duì)任意上數(shù)表4o,存在1<1<5&10,1<，<±&10,使得或心力4/=0.

【答案】(1)是；5

(2)22???

(3)證明見詳解

【分析】(1)根據(jù)題中條件可判斷結(jié)果，根據(jù)題中公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)條件討論生+切的值，根據(jù)?(ojjMsj)=鼠「aj+|%「4/，得到相關(guān)的值，

進(jìn)行最小值求和即可；

(3)當(dāng)時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)A:用從左向右的有向線段連接，則該行有n—1條有向線段,得到橫向有向

線段的起點(diǎn)總數(shù)，同樣的方法得到縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)，根據(jù)條件建立不等關(guān)系，即可證明.

123、

【詳解】(1)4=231是「3數(shù)表,

、312>

或領(lǐng)1,做2)+或。2,2,。3,3)=2+3=5.

⑵由題可知=Mj-aJ+小,「心"|=l(i=l,2,3;j=1,2,3).

當(dāng)a,+ij=1時(shí)，有或<1的5+1什1)=(aitj—1)(%+1,加-1)=1,

所以-+a,+ij+i=3.

a

當(dāng)&+切=2時(shí)，有c/(a<,J,a<+i,J+i)=(2-(2-i+l,j+l)=1,

所以4」+4+1,升1=3.

所以aifj+ai+ltj+1=3(i=1,2,3;J=L2,3).

所以5,1+02,2+03,3+04,4=3+3=6,出,3+3,4=3,a3,i4-a4,2=3.

。1,2+做3+。3,4=3+1=4或者%2+的,3+/4=3+2=5,

生,1+。3,2+。4,3=3+1=4或者?,1+。3,2+包,3=3+2=5,

5,4=1或氣4=2,a^i=1或04,1=2,

故各數(shù)之和>6+3+3+4+4+1+1=22,

(111

11212J

各數(shù)之和取得最小值22.

⑶由于上數(shù)表Ay,中共100個(gè)數(shù)字，

必然存在ke{1,2,3,4},使得數(shù)表中k的個(gè)數(shù)滿足T>25.

設(shè)第i行中k的個(gè)數(shù)為n(i=1,2,…,10).

當(dāng)門>2時(shí)，將橫向相鄰兩個(gè)k用從左向右的有向線段連接，

則該行有八一1條有向線段，

所以橫向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)尺=X(n—l)>X(r-l)=T-10.

田210

設(shè)第，列中K的個(gè)數(shù)為C^j=1,2,-,10).

當(dāng)%>2時(shí)，將縱向相鄰兩個(gè)k用從上到下的有向線段連接，

則該列有q—1條有向線段，

J=1

所以縱向有向線段的起點(diǎn)總數(shù)C=g(q-l)>J：(q-l)=T-10.

所以R+O2T-20,

因?yàn)門>25,所以■R+C-T>2T—20—T=T-20>0.

所以必存在某個(gè)后既是橫向有向線段的起點(diǎn)，又是縱向有向線段的終點(diǎn),

即存在1VQV0410,lVpVq&10,

使得見“=aVtP=aVt4=k,

所以</(%,%)=|Q-I+=0,

則命題得證.

題目團(tuán)(2024.全國(guó).校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)正整數(shù)數(shù)列A:5,3，aN[N>3)滿足&V%,其中IGVj&N.

如果存在kC{2,3,…，N},使得數(shù)列A中任意后項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù),則稱▲為階平衡數(shù)列”

(1)判斷數(shù)列2,4,6,8,10和數(shù)列1,5,9,13,17是否為“4階平衡數(shù)列”？

(2)若N為偶數(shù)，證明：數(shù)列A:1,2,3,…，N不是”階平衡數(shù)列"，其中{2,3,…,N}

(3)如果a后2019，且對(duì)于任意ke{2,3,…,N},數(shù)列A均為”階平衡數(shù)列"，求數(shù)列A中所有元素之和的

最大值.

【答案】⑴2,4,6,8,10不是4階平衡數(shù)列；1,5,9,13,17是4階平衡數(shù)列；

(2)證明見解析

(3)12873.

【分析】(1)由2+61S+10不為整數(shù)，數(shù)列1,5,9,13,17為等差數(shù)列，結(jié)合新定義即可得到結(jié)論；

(2)討論A;為偶數(shù)或奇數(shù)，結(jié)合新定義即可得證；

(3)在數(shù)列A中任意兩項(xiàng)a$,0t,(srt),作差可得數(shù)列中任意兩項(xiàng)之差都是右的倍數(shù)，{2,3,…,N-1},

討論數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)超過(guò)8,推得數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)至多7項(xiàng).討論數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)為7,數(shù)列的項(xiàng)數(shù)小于或等于6,

奇數(shù)可得所求最大值.

【詳解】(1)由2+6[8+1。不為整數(shù),

可得數(shù)列2,4,6,8,10不是4階平衡數(shù)列；

數(shù)列1,5,9,13,17為首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列，

則數(shù)列1,5,9,13,17是4階平衡數(shù)列；

(2)證明：若N為偶數(shù)，設(shè)k=2m(znEN*),

考慮1,2,3,…，后這/c項(xiàng)，其和為

所以這后項(xiàng)的算術(shù)平均值為：,二與工二？2滬上，此數(shù)不是整數(shù)；

若k為奇數(shù)，設(shè)k=2m+1,m6N*,考慮1,2,3,4,5,…k—2,〃-1,尼+1;

這k項(xiàng)，其和為S'=+1,

所以這k項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)為：孚="工+4=加+1+^^"^,

k2k2m+1

此數(shù)不是整數(shù)：

故數(shù)列A:1,2,3,4,…，N不是%階平衡數(shù)列“，其中kG{2,3,4,…N};

(3)在數(shù)列A中任意兩項(xiàng)as,4,(s#t),

對(duì)于任意{2,3,4,5,…,N},在A中任意取兩項(xiàng)%,q,相異的k-1項(xiàng)，

并設(shè)這k-1項(xiàng)和為Sn.由題意可得Sn+as,S“+0t都是k的倍數(shù)，

即Sn+as=pk,Sn+at=gk,(p,q為整數(shù))，可得as-at=(p—g)k,

即數(shù)列中任意兩項(xiàng)之差都是A;的倍數(shù)，Jte{2,3,…,N-1},

因此所求數(shù)列A的任意兩項(xiàng)之差都是2,3,…，N—1的倍數(shù)，

如果數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)超過(guò)8,

那么O2-ai,<23—02,…，他一曲均為2,3,4,5,6,7的倍數(shù)，???

即O2-Cli,<13—O2,…，°8一即均為420的倍數(shù)，

（420為2,3,4,5,6,7的最小公倍數(shù)），

a8—01=3―01+。3—例+■?+ag—420X7=2940,

即O8>2940+aj>2940，這與的02019矛盾，

故數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)至多7項(xiàng).

數(shù)列A的項(xiàng)數(shù)為7,

那么02—01,03—02?>即—/均為2,3,4,5,6的倍數(shù)，

即a2—ai,<23—。2,…，加一由均為60的倍數(shù)，

（60為2,3,4,5,6的最小公倍數(shù)），

又OjW2019,且ai<02V…Va?,

所以。6<2019-60,a5<2019-2x60,…，4<2019-6x60,

所以（11+02+,?■+07^2019+（2019—60）H---F（2019—6x60）=12873,

當(dāng)且僅當(dāng)％=2019-60（7-i）=1599+60i（i=1,2…，7）,01+02+…+的取得最大值12873;

驗(yàn)證可得此數(shù)列為階平衡數(shù)列"，JbC{2,3,…,N},

如果數(shù)列的項(xiàng)數(shù)小于或等于6,由0^<2019,

可得數(shù)列中所有項(xiàng)的之和小于或等于2019x6=12114,

綜上可得數(shù)列A中所有元素之和的最大值為12873.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查分類討論思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力推理能力，屬于難題.

題目回（2024.江蘇.徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦

有應(yīng)用.設(shè)A,B,C,D是直線I上互異且非無(wú)窮遠(yuǎn)的四點(diǎn),則稱蕓?黑（分式中各項(xiàng)均為有向線段長(zhǎng)

BCAD

度，例如AB=—BA）為A,B,四點(diǎn)的交比，記為（4BC,。）.

⑴證明⑷

（2）若小為，人。為平面上過(guò)定點(diǎn)p且互異的四條直線，4，心為不過(guò)點(diǎn)p且互異的兩條直線，%與心仙

%的交點(diǎn)分別為A,B1，Ci，D1，4與，1，為，如。的交點(diǎn)分別為4,B2,。2,。2,證明：（A,B1；C1，A）=

（?/42,瑪；。2,。2）:

（3）己知第（2）問(wèn)的逆命題成立，證明:若AEFG與△E'FYT的對(duì)應(yīng)邊不平行,對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn),

則Z\EPG與△￡；'尸'G對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題干所給交比的定義即可證；

（2）把交比轉(zhuǎn)化成面積之比，在利用面積公式把面積之比轉(zhuǎn)化為邊之比;

（3）把三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)點(diǎn)在另外兩個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的直線上.再利用第（2）問(wèn)的結(jié)論得到兩組交

比相等，根據(jù)逆命題也成立即可證明三點(diǎn)共線.

BC-AD+DC-BABC?(AC+CD)+CD-AB

【詳解】⑴1-（D,BCA）=1-=

上；：BC-AD-BC?AD

BCAC+BCCD+CD-AB=BC?4C+ACCD=ACBD=1

BC-AD—BC-AD—BC-AD-(B,AC,D)

⑵(4B；G，A)

SAPB,G，S由AD???

y-PArPCrsinZAiPCrj-PB『PD「sin/BFA_sin/AFC?sinZ.B1PD1

4?PB「PCi-sinZBjPCi-/?PAt-PDVsinN4PAsin/BFC?sinNAFA

sinNAzPG。sin/BzPASAPE^A2G，昆口?

（42，瑪；3，。2）;

sinZ^PC*?*sinZA2P/^2以區(qū)B2G2。42。2

⑶設(shè)EF與E'F'交于X,FG與F'G交于Y,EG與E'G交于Z,

連接X(jué)V,尸尸'與xy交于L,EE'與XV交于A/,GG與XY交于N,

欲證x,y,z三點(diǎn)共線，只需證z在直線xy上.

考慮線束XP,XE,XM,XE',由第⑵問(wèn)知（P,尸Z,尸）=（P,E

再考慮線束YP,YF,YL,YF,由第⑵問(wèn)知（P,尸/，尸'）=（P,G;N,G）,

從而得到（P,E協(xié)［,E'）=（P,G;N,G）,

于是由第（2）問(wèn)的逆命題知，EG,Am;E'G交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)Z,

從而AW過(guò)點(diǎn)z,故z在直線xy上，x,y,z三點(diǎn)共線.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查射影幾何中交比的性質(zhì)，屬新定義題型，難度較大.

第一問(wèn)直接根據(jù)交比的定義證明即可；

第二問(wèn)首先要理解交比的本質(zhì)就是兩組邊比值的乘積，而邊的比值可以根據(jù)圖形（高相同）轉(zhuǎn)化為面積之

比，而面積之比又可以通過(guò)面積公式轉(zhuǎn)化為邊的比值，從而使得問(wèn)題得證.其核心思想是利用三角形面積

計(jì)算的兩個(gè)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

第三問(wèn)需要根據(jù)第二問(wèn)的結(jié)論以及其逆命題是真命題來(lái)證明，第二問(wèn)是由線共點(diǎn)導(dǎo)出交比相等，第三問(wèn)是

由交比相等導(dǎo)出線共點(diǎn)，所以要想證明第三問(wèn)，必須先導(dǎo)出交比相等，而使用第二問(wèn)的結(jié)論恰好可以導(dǎo)出

兩組交比相等，進(jìn)而根據(jù)傳遞性得到想要證的一組交比相等，從而證明出三線共點(diǎn)，進(jìn)而再說(shuō)明三點(diǎn)共線.

（2024?河北?校聯(lián)考一模）己知定義域?yàn)镽的函數(shù)八⑺滿足:對(duì)于任意的，CR,都有八3+2兀）=

h（x）+八（2乃），則稱函數(shù)無(wú)（a?）具有性質(zhì)P.

（1）判斷函數(shù)/3）=2i,g3）=coso是否具有性質(zhì)P；（直接寫出結(jié)論）

（2）己知函數(shù)/3）=皿*+0《VsV■|■,|同V方）,判斷是否存在3沖,使函數(shù)/3）具有?性質(zhì)P??若存?

在,求出孫0的值;若不存在，說(shuō)明理由：

(3)設(shè)函數(shù)/(⑼具有性質(zhì)產(chǎn)，且在區(qū)間［0,2捫上的值域?yàn)椋?(0),/(2兀)］.函數(shù)gQ)=sin(/Q)),滿足

g(x+27t)=gQ),且在區(qū)間(0,2兀)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).求證：/(2兀)=2兀

【答案】(1)函數(shù)/(⑼=21具有性質(zhì)P;g(x)=cosx不具有性質(zhì)P.

(2)s=2,0=0

(3)證明見解析

【分析】(1)利用定義判斷即可；

(2)假設(shè)函數(shù)/(①)具有性質(zhì)尸,可求出卬=0,進(jìn)而可得口=2,從而可得/Q)=sin2］,再根據(jù)定義進(jìn)行驗(yàn)

證，即可得到答案；

(3)由函數(shù)/(乃具有性質(zhì)P及(2)可知，/(0)=0,進(jìn)而可得/Q)在［0,2兀］的值域?yàn)椋?,辰且">0,

由g(i)在區(qū)間(0,2兀)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)可證明當(dāng)k>2時(shí)不符合題意，再求解當(dāng)k=l時(shí)與g(x)是以

2兀為周期的周期函數(shù)矛盾，從而可得k=2,即可證明.

【詳解】(1)因?yàn)閒(x)=21,則f(x+2K)=2(x+2兀)=2啰+4兀,又/(2兀)