2024屆安徽省皖江名校聯(lián)盟高三下學期4月模擬數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三下學期4月模擬數(shù)學試題一、選擇題1.已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D2.已知集合，，，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，所以，又，所以，故選:C.3.已知是直線，，是兩個不同的平面，下列正確的命題是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗選項A：根據(jù)給定條件有或；選項B：根據(jù)給定條件有或；選項C：根據(jù)給定條件有與的位置可能平行、相交或m在α內；選項D：因為，所以存在直線使得，又因，所以，因為，所以.故選：D.4.已知數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列滿足，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，時，，由，，得公比，所以，故，所以.故選：A．5.已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（）A.第5項 B.第6項 C.第7項 D.第8項〖答案〗C〖解析〗由已知，故，故通項為（，1，…，8），故奇數(shù)項的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)為負數(shù)，故最大，因此第七項的系數(shù)最大，故選：C．6.已知函數(shù)且有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為函數(shù)且有兩個零點，所以且有兩個零點，即函數(shù)的圖像與直線有兩個公共點，當時，由圖①得1，故；當時，由圖②得，不符合題意.，故選：A7.已知的內角A，，對邊分別為，，，滿足，若，則面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，由正弦定理得，又，且，所以，故，又，所以，由，即，得，面積的最大值為，故選：C．8.已知函數(shù)滿足，當時，，則（）A.為奇函數(shù) B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗令，，，所以；令，，則．令，得，故為偶函數(shù)．A錯誤，任取，，，則，則，故在上為減函數(shù)．由已知，可得，故，解得，且．B錯誤，若，則，C正確，若，則，，，所以，故D錯誤，故選：C．二、選擇題9.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖，則（）A. B.函數(shù)的圖象關于軸對稱C.函數(shù)在上單調遞減 D.函數(shù)在有4個極值點〖答案〗BD〖解析〗A:由圖可知的周期為：，又，所以；由，，且，所以；由，所以，故A錯誤；B：由A的分析知，所以因為為偶函數(shù)，故B正確；C：由，得，故在上單調遞增，故C錯誤；D：因為，，，，故D正確.故選：BD.10.已知雙曲線：（，）左右焦點分別為,，.經過的直線與的左右兩支分別交于，，且為等邊三角形，則（）A.雙曲線的方程為B.的面積為C.以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相交D.以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相切〖答案〗BD〖解析〗由已知得，由雙曲線定義知：，因為，所以，故，，在中，由余弦定理得：，解得：，所以，方程為，A錯誤.的面積為，B正確.取的中點，，兩圓內切，故C錯誤.取的中點，則，兩圓外切，故D正確.故選：BD11.已知正方體的棱長為1，，分別為棱，上的動點，則（）A.四面體的體積為定值 B.四面體的體積為定值C.四面體的體積最大值為 D.四面體的體積最大值為〖答案〗BCD〖解析〗A：因為的面積為，到平面的距離不是定值，所以四面體的體積不是定值，故A錯誤；B：因為的面積為，P到矩形的距離為定值，所以到平面的距離為，則四面體的體積為，故B正確；C：當Q與重合時，取得最大值，為，當與重合時，到平面的距離d取得最大值，在正中，其外接圓的半徑為，則，故四面體的體積最大值為，故C正確；D：過點作，，，設，，則，，，，，，故四面體的體積為，其最大值為，故D正確．故選：BCD三、填空題12.一組樣本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位數(shù)是________．〖答案〗37.5〖解析〗從小到大排序為：10，12，14，16，20，24，30，35，40，43；，故第80百分位數(shù)是．故〖答案〗為：37.513.已知拋物線的焦點，直線過與拋物線交于，兩點，若，則直線的方程為________，的面積為________（為坐標原點）．〖答案〗〖解析〗因為拋物線過點A，所以，解得，所以拋物線的方程為，則，得直線的方程為，與聯(lián)立整理得，設，故，，故的面積為．故〖答案〗為：；14.已知函數(shù)，當時最大值與最小值的和為________．〖答案〗〖解析〗，當時，，遞增；當時，，遞減；，，，故最大值與最小值的和為：．故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在點處切線方程；（2）求的單調區(qū)間和極值.解：（1）函數(shù)，求導得，則，解得，于是，，所以所求切線方程為：，即.（2）由（1）知，函數(shù)，定義域為，求導得，當或時，，當時，，因此函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，取得極大值，當時，取得極小值，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極大值，極小值.16.為發(fā)展體育運動增強學生體質，甲乙兩班各選3名同學進行乒乓球單打比賽，3場比賽每人參加一場比賽，各場比賽互不影響，每場比賽勝者本班獲得相應積分，負者班級積分為0.據(jù)統(tǒng)計可知甲班3名參賽學生的情況如下表：學生獲勝概率0.40.60.8獲勝積分654（1）求甲班至少獲勝2場的概率；（2）記甲班獲得積分為，求的分布列與數(shù)學期望．解：（1）記，，參賽獲勝事件分別記為，，表示，參賽失敗分別記為，，，所以，，，，，則甲班至少獲勝2場事件記為，則所以甲班至少獲勝2場的概率為0.656；（2）由已知取值為0，4，5，6，9，10，11，15，，，，，，，，，所以.17.將正方形繞直線逆時針旋轉，使得到的位置，得到如圖所示的幾何體．（1）求證：平面平面；（2）點為上一點，若二面角的余弦值為，求．（1）證明：由已知得平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又平面，故，因為是正方形，所以，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖.設，，則，，，，故，，設平面的法向量為，則，故，取，則，所以設平面的法向量為，，故，取，則，所以，所以，由已知得，化簡得：，解得或（舍去）故，即.18.已知點在橢圓：的外部，過點作的兩條切線，切點分別為，．（1）①若點坐標為，求證：直線的方程為；②若點的坐標為，求證：直線的方程為；（2）若點在圓上，求面積的最大值．（1）證明：①當斜率存在時，，設方程為：與：聯(lián)立整理得：，由已知得：，化簡得：因為，則，即，所以，方程為：，即，則，故直線的方程為當斜率不存在時，，直線的方程為或滿足上式.；所以直線的方程為；②由①知，設點坐標為，則直線的方程為，由點的坐標為，則，，則，兩點都在直線上，由于兩點確定一條直線，故直線的方程為；（2）證明：由（1）知直線的方程為，由題意知，與：聯(lián)立整理得：因為，所以因為，，則，，所以，點到直線的距離為：，所以面積，當時，令，所以，故在單調遞增，所以的最大值為，由對稱性可知當時，的最大值也為，故面積的最大值為.19.在平面直角坐標系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點變換為點的坐標，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示．（1）在平面直角坐標系中，將點繞原點按逆時針旋轉得到點（到原點距離不變），求點的坐標；（2）如圖，在平面直角坐標系中，將點繞原點按逆時針旋轉角得到點（到原點距離不變），求坐標變換公式及對應的二階矩陣；（3）向量（稱為行向量形式），也可以寫成，這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐標公式①可以表示為：，則稱是二階矩陣與向量的乘積，設是一個二階矩陣，，是平面上的任意兩個向量，求證：．（1）解：可求得，設，則，，設點，，故，所以（2）解：設，，則，，，故所以坐標變換公式，該變換所對應的二階矩陣為（3）證明：設矩陣，向量，，則．，對應變換公式為：，，所以故對應變換公式同樣為所以得證.安徽省皖江名校聯(lián)盟2024屆高三下學期4月模擬數(shù)學試題一、選擇題1.已知復數(shù)，則的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D2.已知集合，，，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，所以，又，所以，故選:C.3.已知是直線，，是兩個不同的平面，下列正確的命題是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗選項A：根據(jù)給定條件有或；選項B：根據(jù)給定條件有或；選項C：根據(jù)給定條件有與的位置可能平行、相交或m在α內；選項D：因為，所以存在直線使得，又因，所以，因為，所以.故選：D.4.已知數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列滿足，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，時，，由，，得公比，所以，故，所以.故選：A．5.已知的展開式二項式系數(shù)和為256，則展開式中系數(shù)最大的項為（）A.第5項 B.第6項 C.第7項 D.第8項〖答案〗C〖解析〗由已知，故，故通項為（，1，…，8），故奇數(shù)項的系數(shù)為正數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)為負數(shù)，故最大，因此第七項的系數(shù)最大，故選：C．6.已知函數(shù)且有兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為函數(shù)且有兩個零點，所以且有兩個零點，即函數(shù)的圖像與直線有兩個公共點，當時，由圖①得1，故；當時，由圖②得，不符合題意.，故選：A7.已知的內角A，，對邊分別為，，，滿足，若，則面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，由正弦定理得，又，且，所以，故，又，所以，由，即，得，面積的最大值為，故選：C．8.已知函數(shù)滿足，當時，，則（）A.為奇函數(shù) B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗令，，，所以；令，，則．令，得，故為偶函數(shù)．A錯誤，任取，，，則，則，故在上為減函數(shù)．由已知，可得，故，解得，且．B錯誤，若，則，C正確，若，則，，，所以，故D錯誤，故選：C．二、選擇題9.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖，則（）A. B.函數(shù)的圖象關于軸對稱C.函數(shù)在上單調遞減 D.函數(shù)在有4個極值點〖答案〗BD〖解析〗A:由圖可知的周期為：，又，所以；由，，且，所以；由，所以，故A錯誤；B：由A的分析知，所以因為為偶函數(shù)，故B正確；C：由，得，故在上單調遞增，故C錯誤；D：因為，，，，故D正確.故選：BD.10.已知雙曲線：（，）左右焦點分別為,，.經過的直線與的左右兩支分別交于，，且為等邊三角形，則（）A.雙曲線的方程為B.的面積為C.以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相交D.以為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相切〖答案〗BD〖解析〗由已知得，由雙曲線定義知：，因為，所以，故，，在中，由余弦定理得：，解得：，所以，方程為，A錯誤.的面積為，B正確.取的中點，，兩圓內切，故C錯誤.取的中點，則，兩圓外切，故D正確.故選：BD11.已知正方體的棱長為1，，分別為棱，上的動點，則（）A.四面體的體積為定值 B.四面體的體積為定值C.四面體的體積最大值為 D.四面體的體積最大值為〖答案〗BCD〖解析〗A：因為的面積為，到平面的距離不是定值，所以四面體的體積不是定值，故A錯誤；B：因為的面積為，P到矩形的距離為定值，所以到平面的距離為，則四面體的體積為，故B正確；C：當Q與重合時，取得最大值，為，當與重合時，到平面的距離d取得最大值，在正中，其外接圓的半徑為，則，故四面體的體積最大值為，故C正確；D：過點作，，，設，，則，，，，，，故四面體的體積為，其最大值為，故D正確．故選：BCD三、填空題12.一組樣本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位數(shù)是________．〖答案〗37.5〖解析〗從小到大排序為：10，12，14，16，20，24，30，35，40，43；，故第80百分位數(shù)是．故〖答案〗為：37.513.已知拋物線的焦點，直線過與拋物線交于，兩點，若，則直線的方程為________，的面積為________（為坐標原點）．〖答案〗〖解析〗因為拋物線過點A，所以，解得，所以拋物線的方程為，則，得直線的方程為，與聯(lián)立整理得，設，故，，故的面積為．故〖答案〗為：；14.已知函數(shù)，當時最大值與最小值的和為________．〖答案〗〖解析〗，當時，，遞增；當時，，遞減；，，，故最大值與最小值的和為：．故〖答案〗為：四、解答題15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在點處切線方程；（2）求的單調區(qū)間和極值.解：（1）函數(shù)，求導得，則，解得，于是，，所以所求切線方程為：，即.（2）由（1）知，函數(shù)，定義域為，求導得，當或時，，當時，，因此函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，取得極大值，當時，取得極小值，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極大值，極小值.16.為發(fā)展體育運動增強學生體質，甲乙兩班各選3名同學進行乒乓球單打比賽，3場比賽每人參加一場比賽，各場比賽互不影響，每場比賽勝者本班獲得相應積分，負者班級積分為0.據(jù)統(tǒng)計可知甲班3名參賽學生的情況如下表：學生獲勝概率0.40.60.8獲勝積分654（1）求甲班至少獲勝2場的概率；（2）記甲班獲得積分為，求的分布列與數(shù)學期望．解：（1）記，，參賽獲勝事件分別記為，，表示，參賽失敗分別記為，，，所以，，，，，則甲班至少獲勝2場事件記為，則所以甲班至少獲勝2場的概率為0.656；（2）由已知取值為0，4，5，6，9，10，11，15，，，，，，，，，所以.17.將正方形繞直線逆時針旋轉，使得到的位置，得到如圖所示的幾何體．（1）求證：平面平面；（2）點為上一點，若二面角的余弦值為，求．（1）證明：由已知得平面平面，，平面平面，平面，所以平面，又平面，故，因為是正方形，所以，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖.設，，則，，，，故，，設平面的法向量為，則，故，取，則，所以設平面的法向量為，，故，取，則，所以，所以，由已知得，化簡得：，解得或（舍去）故，即.18.已知點在橢圓：的外部，過點作的兩條切線，切點分別為，．（1）①若點坐標為，求證：直線的方程為；②若點的坐標為，求證：直線的方程為；（2