2024年新高考九省聯(lián)考新題型-綜合能力題（學(xué)生版）

2024年新高考九省聯(lián)考新題型--綜合能力題

題目工（2024.全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若項(xiàng)數(shù)為k（kEN*,k>3）的有窮數(shù)列｛冊(cè)｝滿足：0WO1<a2Va3<-

<@,且對(duì)任意的1,41414，&“），?或%—魚是數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)，則稱數(shù)列｛@｝具有性質(zhì)P

（1）判斷數(shù)列0,1,2是否具有性質(zhì)P并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)數(shù)列｛an｝具有性質(zhì)P,Q4i=l,2,???,■）是｛%｝中的任意一項(xiàng)，證明：應(yīng)一定是｛a/中的項(xiàng)；

（3）若數(shù)列｛aj具有性質(zhì)P,證明：當(dāng)k>5時(shí)，數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列.

（2024?全國(guó)?校聯(lián)考一模）關(guān)于工的函數(shù)/（C）=Inc+2c—b（b>2）,我們?cè)诒匦抟恢袑W(xué)習(xí)過“二分

法”求其零點(diǎn)近似值.現(xiàn)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，介紹另一種求零點(diǎn)近似值的方法--“牛頓切線法”.

（1）證明：/（，）有唯一零點(diǎn)a,且aC（l,b）；

（2）現(xiàn)在,我們?nèi)稳」（l,a）開始,實(shí)施如下步驟：

在（力1JQ1））處作曲線/（力）的切線，交力軸于點(diǎn)（力2,0）；

在（力2，/（劣2））處作曲線/（力）的切線，交力軸于點(diǎn)（/3,0）；

在（吃,/（4））處作曲線/（劣）的切線，交力軸于點(diǎn)（力九+1,0）；

可以得到一個(gè)數(shù)列｛為｝，它的各項(xiàng)都是/（力）不同程度的零點(diǎn)近似值.

⑴設(shè)xn+1—g（為）,求gQJ的解析式（用力九表示xn+1）；

⑻證明：當(dāng)為V（1,Q）,總有xn<xn+1<a.

題目回（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“讓式子丟掉次數(shù)”:伯努利不等式

伯努利不等式（Bem。加加sTnequa及如），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常見的一種不

等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利提出:對(duì)實(shí)數(shù)xC（―1,+8）,在九C[1,+8）時(shí)，有不等式（1+<>

l+rzc成立；在ne（0,1）時(shí)，有不等式（1+,）”<1+n2成立.

（1）猜想伯努利不等式等號(hào)成立的條件；

（2）當(dāng)九>1時(shí),對(duì)伯努利不等式進(jìn)行證明；

（3）考慮對(duì)多個(gè)變量的不等式問題.已知5,a?,…,MSCN*）是大于一1的實(shí)數(shù)（全部同號(hào)），證明

（1+di）（1+a，2）…（1+a?）>1+ai+ci2+—\-an

/01,101,2…Ql,m、

題目a（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知A?=電/電'27電（”>2）是巾2個(gè)正整數(shù)組成的小行

I12,,,0771,771)

m列的數(shù)表，當(dāng)l&iVs<?n,l&/V力時(shí)3Bd(ai>jfaSyt)=\aiy—aSt-\+\aSjj—aSyt\.設(shè)?iGN*,若4n滿

足如下兩個(gè)性質(zhì):

①陶戶{1,2,3丁?,,?1}(1=1,2,3,山；4=1,2「?,山)；

②對(duì)任意kG{1,2,3,…,?i},存在iE{1,2,…,m},/E{1,2,…,?n},使得Q*尸k,則稱4n為葭數(shù)表.

023]

⑴判斷4=231是否為「3數(shù)表，并求d（Qij,Q2,2）+4（。2,2，。3,3）的值;

、312,

⑵若「2數(shù)表4滿足&（火力氏+1,,+1）=l（i=1,2,3;/=1,2,3）,求力4中各數(shù)之和的最小值;

（3）證明：對(duì)任意「4數(shù)表Ao,存在1&1<$《10,1W/<力410,使得火火力泡工）=0.

題目回（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正整數(shù)數(shù)列Aa0a2,…，恤（">3）滿足氏V%,其中14iV/&N.

如果存在ke{2,3,…，N},使得數(shù)列A中任意k項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù)，則稱A為”階平衡數(shù)列”

⑴判斷數(shù)列2,4,6,8,10和數(shù)列1,5,9,13,17是否為“4階平衡數(shù)列”？

（2）若N為偶數(shù)，證明:數(shù)列A1,2,3,…，N不是"k階平衡數(shù)列”，其中A€{2,3,…,N}

（3）如果aN<2019,且對(duì)于任意k€{2,3,…,N},數(shù)列A均為”階平衡數(shù)列”,求數(shù)列A中所有元素之和的

最大值.

題目回（2024.江蘇彳余州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）交比是射影幾何中最基本的不變量，在歐氏幾何中亦

有應(yīng)用.設(shè)A,B,。是直線I上互異且非無(wú)窮遠(yuǎn)的四點(diǎn),則稱若-筆（分式中各項(xiàng)均為有向線段長(zhǎng)

上（A.U

度，例如4B=—BA）為四點(diǎn)的交比，記為（AB；。,。）.

（1）證明：1—（D,B;C,A）=（BA；。,。）；

（2）若打人〃為平面上過定點(diǎn)P且互異的四條直線，〃，"為不過點(diǎn)P且互異的兩條直線，，與A，4，

13,〃的交點(diǎn)分別為4,Bi，G，Di，L?與6,Z2,13,。的交點(diǎn)分別為4,B2,G，。2,證明：（4B;G,2）=

（4,3；。2,。2）；

（3）已知第（2）問的逆命題成立，證明:若與△E'F'G'的對(duì)應(yīng)邊不平行，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn),

則△EFG與△E'F'G'對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.

〔題目〔7〕（2024?河北?校聯(lián)考一模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)以0滿足:對(duì)于任意的cCR,都有h（x+2兀）=

h（x）+旗2兀），則稱函數(shù)伙/）具有性質(zhì)P.

（1）判斷函數(shù)/（力）=2力,gQ）=cos/是否具有性質(zhì)P；（直接寫出結(jié)論）

（2）已知函數(shù)/㈤=sin（s+以-V。〈年，取V等）,判斷是否存在使函數(shù)具有性質(zhì)P?若存

在，求出的值;若不存在，說(shuō)明理由；

（3）設(shè)函數(shù)/（2）具有性質(zhì)P,且在區(qū)間［0,2汨上的值域?yàn)椋?（O）J（27t）］.函數(shù)g（c）=sin（/（,））,滿足

g（2+2兀）=g（力），且在區(qū)間（。,2兀）上有且只有一個(gè)零點(diǎn).求證：/（2兀）=2兀.

題目回（2024.江西吉安?吉安一中?？家荒＃?duì)于無(wú)窮數(shù)列｛冊(cè)｝,“若存在am-ak=t（m,kEN*,m>k）,必有

aa+i—@+i=t”,則稱數(shù)列｛冊(cè)｝具有P⑴性質(zhì).

（1）若數(shù)列｛aj滿足冊(cè)仁“*、，判斷數(shù)列｛冊(cè)｝是否具有P（l）性質(zhì)？是否具有P⑷性

IZ7Z—0（TIo,TltIV）

質(zhì)？

（2）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛冊(cè)｝,設(shè)T=｛x\x=a廠的iV外,求證:若數(shù)列｛廝｝具有P（O）性質(zhì)，則T必為有限集；

（3）已知｛%｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且｛&｝既具有P（2）性質(zhì),又具有P（3）性質(zhì)，是否存在正整數(shù)N,

k，使得aN，aN+i，aN+2,…，az…成等差數(shù)列.若存在,請(qǐng)加以證明；若不存在，說(shuō)明理由.

「題目回（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知有窮數(shù)列4如電，…，。揄>3）中的每一項(xiàng)都是不大于"的正整

數(shù).對(duì)于滿足1的整數(shù)nz,令集合4nz）=｛%限=館，k=1,2,…，n|.記集合4館）中元素的個(gè)

數(shù)為s（zn）（約定空集的元素個(gè)數(shù)為0）.

⑴若A6,3,2,5,3,7,5,5,求45）及s⑸;

（2）若JH—十…H—J、=n，求證：…,每互不相同；

S（Q1）s（02）S（Q/

（3）已知Q產(chǎn)QQ=仇若對(duì)任意的正整數(shù)i，/（iW/，i+，<九）都有i+，64。）或i+，EA。），求的+。2

+--\-CLn的值.

頷目①（2024.河南鄭州.鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）記。=｛1,2,…,100｝.對(duì)數(shù)列｛O?｝（neN*）和U的

子集T,若T=0,定義5產(chǎn)0；若T=怙也,…，4｝，定義S產(chǎn)以+a辦+…+a捫例如：T=｛1,3,66｝時(shí)，ST=

ai+a3+a66.現(xiàn)設(shè)｛aj（neN*）是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T=｛2,4｝時(shí)，ST=30.

（1）求數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意正整數(shù)k（lWk<100）,若TQ｛1,2,…,胡,求證：STVa5；

（3）設(shè)ClGU,Sc>S0,求證：SC+SSD>2so.

題目￡(2024?江西南昌?南昌二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若存在gC。使得/(乃<f(x0)對(duì)任意/C。恒成立，

則稱3為函數(shù)八2)在。上的最大值點(diǎn),記函數(shù)/(①)在。上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為河

(1)若/(力)=—/+2/+1,。=/?,求集合同；

(2)若/(力)=—―2^,_D=R,求集合M；

4

(3)設(shè)a為大于1的常數(shù)，若/(乃=c+asinc,。=[0,6],證明，若集合”中有且僅有兩個(gè)元素,則所有滿足

條件的b從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.

題目但(2024?江西撫州?臨川一中校考一模)若各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列｛為｝滿足:對(duì)于VnCN*,送+「鼠=

d,其中d為非零常數(shù),則稱數(shù)列｛&｝為D數(shù)列.記b=an+1-an.

(1)判斷無(wú)窮數(shù)列冊(cè)和冊(cè)=2"是否是。數(shù)列，并說(shuō)明理由；

(2)若｛冊(cè)｝是。數(shù)列，證明：數(shù)列仍”｝中存在小于1的項(xiàng)；

n1

(3)若｛冊(cè)｝是。數(shù)列，證明：存在正整數(shù)打，使得￡—>2024.

i=lai

題目包（2024?江西南昌?南昌二中?？家荒＃┤粢粋€(gè)兩位正整數(shù)館的個(gè)位數(shù)為4,則稱小為“好數(shù)”.

（1）求證:對(duì)任意“好數(shù)”m,m2-16一定為20的倍數(shù)；

⑵若小=p2—q2，且p,q為正整數(shù),則稱數(shù)對(duì)（p,q）為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：,例如24=52-12,稱數(shù)

P

對(duì)（5,1）為“友好數(shù)對(duì)”，則H（24）=；,求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值.

3

［題目14］（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知無(wú)窮數(shù)列｛Q/滿足an—max｛an+i,an+2｝一min｛an+i,an+2｝（n=1,

2,3,…），其中max｛力,g｝表示為，y中最大的數(shù)，min｛劣,g｝表示劣，y中最小的數(shù).

（1）當(dāng)Qi=1,。2=2時(shí)，寫出禽的所有可能值；

（2）若數(shù)列｛QJ中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列缶/中的項(xiàng)；

（3）若@>0（n=1,2,3,…），是否存在正實(shí)數(shù)使得對(duì)任意的正整數(shù)期都有冊(cè)《河？如果存在，寫出一個(gè)

滿足條件的如果不存在，說(shuō)明理由.

7

題目叵(2024.河南.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用.設(shè)p是素?cái)?shù)，集合X=

—1},若EXfmGN,記為ao除以p的余數(shù)，Y年為”小除以p的余數(shù)；設(shè)QGX,l,a,

…,QP-2,?兩兩不同，若d，?=bS￡{0,1,…邛一2}),則稱也是以。為底b的離散對(duì)數(shù)，記為九二匕8^).

b.

(1)若p=11,Q=2,求QP—I?

⑵對(duì)mi,m2E{0,1,…,p—2},記ma十s為他+館2除以0—1的余數(shù)(當(dāng)他+如能被0—1整除時(shí)，m^?

rri2=0).證明：log(p)a(b?c)=log(p)a6十log(p)ac，其中b,cGX；

(3)已知九=log(p)ab.對(duì)力ex,ke{1,2,…,p—2},令%=6?偽,改=力③b"偽.證明：/=紡(殉；6"念.

題目叵）（2024上?浙江寧波?高三鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谀┰趲缀螌W(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需

要刻畫曲線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線。：沙=/（0上的曲線段卷，其弧長(zhǎng)為As,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從

A沿曲線段卷運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，人點(diǎn)的切線U也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到8點(diǎn)的切線加記這兩條切線之間的夾角為

（它等于岳的傾斜角與〃的傾斜角之差）.顯然,當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大;當(dāng)夾角

固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段旗的平均曲率;顯然當(dāng)B越接近

即As越小，K就越能精確刻畫曲線。在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義K=lim|野|=一回二（若極限存

在）為曲線。在點(diǎn)人處的曲率.（其中“，“'分別表