高中三角函數(shù)總結(jié)

最全高中三角函數(shù)總結(jié)三角函數(shù)做題技巧與方法總結(jié)知識點(diǎn)梳理1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像2、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式sin（2kπ+α）=sinαsin（π+α）=－sinαsin（－α）=－sinαcos（2kπ+α）=cosαcos（π+α）=－cosαcos（－α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαtan（π+α）=tanαtan（－α）=－tanαsin（π－α）=sinαsin（π/2+α）=cosαsin（π/2－α）=cosαcos（π－α）=－cosαcos（π/2+α）=－sinαcos（π/2－α）=sinαtan（π－α）=－tanαtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαsin2(α)+cos2(α)=14、兩角和差公式5、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosαsin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβcos2α=cos2(α)－sin2(α)=2cos2(α)－1=1－2sin2(α)cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβtan2α=2tanα/(1－tan2(α))cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1－tanα·tanβ)tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα·tanβ)6、半角公式：；；7、函數(shù)最大值是，最小值是，周期是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對稱中心8、由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。(2)當(dāng)，即時(shí)，有最小值；當(dāng)，即，有最大值1。（3）函數(shù)的周期性例5、求下列函數(shù)的周期分析：該例的兩個(gè)函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過變量的替換，將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。（1）把看成是一個(gè)新的變量，那么的最小正周期是，就是說，當(dāng)且必須增加到時(shí)，函數(shù)的值重復(fù)出現(xiàn)，而所以當(dāng)自變量增加到且必須增加到時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此，的周期是。（2）即的周期是。說明：由上面的例題我們看到函數(shù)周期的變化僅與自變量的系數(shù)有關(guān)。一般地，函數(shù)或（其中為常數(shù)，的周期。例6、已知函數(shù)。求的最小正周期、的最大值及此時(shí)x的集合；解：所以的最小正周期，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，最大值為；函數(shù)的奇偶性例7、判斷下列函數(shù)的奇偶性分析：可利用函數(shù)奇偶性定義予以判斷。解：（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)應(yīng)滿足 函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱。 函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。評注：判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，必須先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，如果是，再驗(yàn)證是否等于或，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性，如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)。練習(xí)：已知函數(shù)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域.解：函數(shù)的單調(diào)性例8、下列函數(shù)，在上是增函數(shù)的是（）分析：解：與在上都是減函數(shù)，排除，，知在內(nèi)不具有單調(diào)性，又可排除，應(yīng)選。例9、已知函數(shù)（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)的遞增區(qū)間.解：（Ⅰ）∴最小正周期T=（Ⅱ）由題意，解不等式得的遞增區(qū)間是小結(jié)：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：三角函數(shù)思想方法歸納解析數(shù)形結(jié)合思想oxy圖1oxy圖1y1y2例1．求不等式在上的解集。解析：設(shè)，，在同一坐標(biāo)系中作出在上兩函數(shù)圖像(如圖1)，在上解得的解為或，故由圖像得要使得，即，由于，在上為偶函數(shù)，故在上的解為，得原不等式的解集為分類討論思想分類是根據(jù)對象的本質(zhì)屬性的異同將其劃分為不同種類，即根據(jù)對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類討論是數(shù)學(xué)解題的重要手段，如果對學(xué)過的知識恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。例2．設(shè)，且恒成立，求的取值范圍。解析：令令，由，得，則，，在上恒成立，在上恒成立。由二次函數(shù)圖像分類討論得，當(dāng)時(shí)，需得；當(dāng)時(shí)，需，得；當(dāng)時(shí)，需得綜上所述，得整體思想整體思想方法是一種常見的數(shù)學(xué)方法，它把研究對象的某一部分（或全部）看成一個(gè)整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的有機(jī)聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑。往往能起到化繁為簡，化難為易的效果。例3．求函數(shù)的最大、最小值。解析：由條件和問題聯(lián)想到公式，可實(shí)施整體代換求最值。令，，則，故當(dāng)時(shí)，有最大值，且為；當(dāng)時(shí)，有最小值，且為方程思想方程是研究數(shù)量關(guān)系的重要工具。我們把所要研究的問題中的已知與未知量之間的相等關(guān)系，通過建立方程或方程組，并求出未知量的值，從而使問題得到解決的思想方法稱為方程思想。例4．已知，求的值解：令，則，，故解得，解得，，化歸轉(zhuǎn)化思想化歸轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。處理數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)就是實(shí)現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化、未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化、抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等。例5．若，，試確定的大小。解析：當(dāng)一個(gè)問題直接難以入手或相對比較困難時(shí)，我們可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為我們熟知或容易解答的題型。要比較的大小可轉(zhuǎn)化為與比較大小就容易多了。，又，故，，函數(shù)思想函數(shù)思想就是在解決問題的過程中，把變量之間的關(guān)系抽象成函數(shù)關(guān)系，把具體問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)相應(yīng)問題的解決，達(dá)到解決變量之間具體問題的目的。例6．已知，求證：解析：由得，構(gòu)造函數(shù)：顯然，故，即得逆向思想逆向思想通常是指從問題的反向進(jìn)行思考，運(yùn)用于正面考慮繁瑣或難以進(jìn)行時(shí)的一種解題思維策略，正確使用這種策略，往往能問題絕處逢生，找到求解的新途徑。例7．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，再作關(guān)于軸的對稱變換，得到函數(shù)的圖像，求的解析式。解析：我們可以采用倒推的方法，即將整個(gè)變化過程逆過來考慮。關(guān)于軸的對稱變換為，然后再向左平移個(gè)單位得，對照比較原函數(shù)得，商業(yè)策劃書/項(xiàng)目可行性報(bào)告/可行性研究報(bào)告/招股說三角函數(shù)常見題型一、運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半等公式進(jìn)行化簡求值類。例1已知向量。（1）若，求的取值范圍；（2）函數(shù)，若對任意，恒有,求的取值范圍。解：（1），即。（2）。，又二、運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)解題，通?？疾檎摇⒂嘞液瘮?shù)的單調(diào)性、周期性、最值、對稱軸及對稱中心。例2若，在函數(shù)的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為，且當(dāng)時(shí)，的最大值為1。（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的值。解：由題意得，（1）∵對稱中心到對稱軸的最小距離為，∴的最小正周期，。當(dāng)時(shí)，，。。（2）由，得，由，得。故。（1）求；（2）設(shè)函數(shù)，求x為何值時(shí)，取得最大值，最大值是多少，并求的單調(diào)增區(qū)間。解：（1）∴,∴∴，.,∵，∴,∴當(dāng)時(shí)，,要使單調(diào)遞增，∴,,又，∴的單調(diào)增區(qū)間為.例4設(shè)向量.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若函數(shù)，求的最小值、最大值.解：（I） （II）由（I）得：令。時(shí)，三、解三角形問題，判斷三角形形狀，正余弦定理的應(yīng)用。例5已知函數(shù).（I）將寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；（II）如果△ABC的三邊a,b,c滿足b2=ac，且邊b所對的角為，試求的范圍及此時(shí)函數(shù)的值域.解：（I）f(x)=+(1+)=++=sin(+)+.由sin(+)=0，即+=kπ(k∈Z)，得x=(k∈Z)，即對稱中心的橫坐標(biāo)為，(k∈Z).（II）由已知b2=ac，得cosx=≥.∴≤cosx＜1，0＜x≤.∴＜+≤.∵＞，∴sin＜sin(+)≤1.+<sin(+)+≤１+,即f(x)的值域?yàn)椋ǎ?）.例6在△中,角A,B,的對邊分別為a,,c．已知向量,,且．（1）求角的大??；（2）若,求角A的值。解:（1）由得；整理得．即，又．又因?yàn)?所以．（2）因?yàn)?，所?故．由．即,所以．即．因?yàn)椋?故或,∴或．三角函數(shù)的小題涉及三角函數(shù)的所有知識點(diǎn)，因此，熟練掌握公式和性質(zhì)是解好小題的必要條件，在日常訓(xùn)練中一定要改掉學(xué)生邊做題邊看公式的壞習(xí)慣。再者，填空題答案書寫的規(guī)范也需反復(fù)強(qiáng)調(diào)。明書引用/media/zhaogushuoming.shtml三、練習(xí)1.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?.函數(shù)，的值域是()3.函數(shù)的周期為，則=.4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）5.下列函數(shù)中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）（1）（2）（3）（4）6.在區(qū)間上，下列函數(shù)為增函數(shù)的是（）7.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）8.如果，則函數(shù)的最小值是——————9.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?0、求函數(shù)的周期和單調(diào)增區(qū)間．解．∴函數(shù)的周期．當(dāng)≤≤，即≤x≤(k∈Z)時(shí)函數(shù)單調(diào)增加，即函數(shù)的增區(qū)間是[，](k∈Z)．答案：BB3CCDBB1．已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的值域。2.已知函數(shù)的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上的取值范圍.3.（本小題滿分12分）已知向量,且(Ⅰ)求tanA的值；(Ⅱ)求函數(shù)R)的值域.4.．（本小題滿分13分）已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．5.已知函數(shù)（Ⅰ）將函數(shù)化簡成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函數(shù)上的最大值和最小值6.．已知函數(shù).（I）求函數(shù)的最小正周期；（II）當(dāng)且時(shí)，求的值。7．已知，（1）求的值；（2）求函數(shù)的最大值．8.已知函數(shù)（，）為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間．9.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．10.求函數(shù)的最大值與最小值．（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）的最小值正周期是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的最大值，并且求使取得最大值的的集合．11.已知函數(shù)f(x)=sin2x，g(x)=cos，直線與函數(shù)的圖像分別交于M、N兩點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求｜MN｜的值；（2）求｜MN｜在時(shí)的最大值．12．已知函數(shù)，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．13．已知函數(shù)．求：（I）函數(shù)的最小正周期；（II）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．14.設(shè)函數(shù).其中向量. （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值; （Ⅱ）求函數(shù)的最小值.1、如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。2.在△ABC中，內(nèi)角，對邊的邊長分別是.已知.（Ⅰ）若△ABC的面積等于，求;（Ⅱ）若，求△ABC的面積.3.．設(shè)的內(nèi)角所對的邊長分別為，且，．（Ⅰ）求邊長；（Ⅱ）若的面積，求的周長．4.．在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，求的面積．5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知，求：（Ⅰ）A的大小;（Ⅱ）的值.6.在△ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小;(II)若AB邊的長為，求BC邊的長7.已知ΔABC三個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)、B(0，0)、(，0)．(1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值．8.．設(shè)銳角三角形AB