2024年高考押題預測數(shù)學試題（上海卷1）含解析

絕密★啟用前

2024年上海高考押題預測卷01【上海卷】

數(shù)學

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，

1.集合A={xeZ|log2%,1},B={.r|x2-x-2,,0},則=.

2.己知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=8的共軌復數(shù)為

2-i

3.已知等差數(shù)列{%}滿足q+4=12,4=7，則。3=.

4.(2?-與展開式中的常數(shù)項為一.

X

5.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N(3,4),且尸?<5)=6尸(4<1),則尸(1<看<3)=.

1Q

6.己知函數(shù)/(2x+l)為奇函數(shù)，/(尤+2)為偶函數(shù)，且當xe(0,1］時，/(x)=log2%,則/(1)=.

7.某班為了響應(yīng)“學雷鋒”活動，將指定的6名學生隨機分配到3個不同的校辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個

辦公室至少分配1人,6名學生中甲、乙兩人關(guān)系最好,則恰好甲、乙兩人獨立打掃一個辦公室的概率為—.

8.設(shè)。：/+丁=1與工：/+⑶一2)2=4相交于A,B兩點,貝.

9.已知/(x)=2'+x,則不等式/(|2x—3|)<3的解集為.

10.圓臺002母線長為3,下底直徑為10,上底直徑為5,過圓臺兩條母線作截面，則該截面面積最大值

是—.

22

11.已知直線y=x-2與雙曲線C:餐-斗=1(。>08>0)的兩條漸近線分別交于點A,3(不重合)線段互

ab~

的垂直平分線過點(4,0),則雙曲線C的離心率為—.

12.正三棱錐S—ABC中，底面邊長AB=2,側(cè)棱AS=3,向量。，6滿足a?(a+AC)=a?,

b-(b+AC)=b-AS,則|a-6]的最大值為.

二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題,每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16

題5分。

13.已知直線4:3x-(o+2)y+6=0,直線:^+(2a-3)y+2=0,貝U“q=-9"是"Z,//4”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

14.若a>0,b>0,Iga+Igb=Ig(a+3b),則o+6的最小值為()

A.4^/3B.4+2后C.6D.3+3百

15.如圖是根據(jù)原衛(wèi)生部2009年6月發(fā)布的《中國7歲以下兒童生長發(fā)育參照標準》繪制的我國7歲以下

女童身高(長)的中位數(shù)散點圖，下列可近似刻畫身高y隨年齡x變化規(guī)律的函數(shù)模型是()

A.y=mx+n(m>0)B.y=myfx+n｛m>0)

x

C.y=ma+n(jn>0,a>1)D.y=mlogax+n(in>0,a>1)

16.已知函數(shù)/(無)=苫3+值(d=+刈+1,若等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且/Q-l)=-9,

7(^-3)=11,貝I$2024=()

A.-4048B.0C.2024D.4048

三、解答題(本大題78分)本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17(14分).已知函數(shù)y=/(x),其中/(%)=sinx.

(1)求/(十一?)=暫在xe[0,加上的解；

⑵已知且⑺二曲⑺“丹9-/(x)/(x+?)’若關(guān)于x的方g④一加4在xe[。,§時有解，求實數(shù)機

的取值范圍.

18.（14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PB=5懸M在PD

上，點N為3C的中點，且尸3//平面M4c.

（1）證明：CM//平面上4N；

（2）若尸C=3,求平面X4N與平面M4c夾角的余弦值.

19.（14分）某微信群群主為了了解微信隨機紅包的金額拆分機制，統(tǒng)計了本群最近一周內(nèi)隨機紅包（假

設(shè)每個紅包的總金額均相等）的金額數(shù)據(jù)（單位：元），繪制了如圖頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計紅包金額的平均值與眾數(shù)；

（2）群主預告今天晚上7點將有3個隨機紅包，每個紅包的總金額均相等且每個人都能搶到紅包.小明是

該群的一位成員，以頻率作為概率，求小明至少兩次搶到10元以上金額的紅包的概率.

（3）在春節(jié)期間，群主為了活躍氣氛，在群內(nèi)發(fā)起搶紅包游戲.規(guī)定：每輪“手氣最佳”者發(fā)下一輪紅包，

每個紅包發(fā)出后，所有人都參與搶紅包.第一個紅包由群主發(fā).根據(jù)以往搶紅包經(jīng)驗，群主自己發(fā)紅包時，

搶到“手氣最佳”的概率為工；其他成員發(fā)紅包時，群主搶到“手氣最佳”的概率為工.設(shè)前〃輪中群主

42

發(fā)紅包的次數(shù)為X,第〃輪由群主發(fā)紅包的概率為2.求匕及X的期望夙X）.

20(18分).已知橢圓G：/+y2=l(a>l)與拋物線C2：y2=2必(0>O)在第一象限交于點Q(xQ,%),A,

3分別為C］的左、右頂點.

(1)若％=1,且橢圓G的焦距為2,求C2的準線方程；

(2)設(shè)點E(l,0)是C1和C2的一個共同焦點，過點歹的一條直線/與G相交于C,。兩點，與C?相交于E,

G兩點，CD=AEG,若直線/的斜率為1,求彳的值；

(3)設(shè)直線QA,直線分別與直線x=a+l交于A/,N兩點，△。肱V與AQAB的面積分別為品，邑,

若興的最小值為:，求點。的坐標.

21.(18分)已知有窮等差數(shù)列｛a,,｝:%,%,，4“(帆?3,〃?eN*)的公差d大于零.

(1)證明：｛%｝不是等比數(shù)列；

(2)是否存在指數(shù)函數(shù)y=/(x)滿足：y=/(x)在x=%處的切線的交x軸于(出，0),y=f(x)在尤=出處

的切線的交x軸于(生，0),,y=/(x)在尤=a“i處的切線的交x軸于(q“，0)?若存在，請寫出函數(shù)

y=〃無)的表達式，并說明理由；若不存在，也請說明理由；

(3)若數(shù)列｛4｝中所有項按照某種順序排列后可以構(gòu)成等比數(shù)列屹“｝,求出所有可能的"7的取值.

2024年上海高考押題預測卷01【上海卷】

數(shù)學?全解全析

一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，

2

1.集合A={xeZ\log2x,,1},B={x|x-x-2?0},則_{x|%=1或x=2}_.

【分析】由題意，解指數(shù)不等式、一元二次不等式求出A和5,再根據(jù)兩個集合的交集的定義，求出

【解答】解：?集合A={%￡Z|log2工,1}={%|%=1或九=2},B={x\x1-x-2^()}={x|-1落2},

「.A3={%|x=1或%=2}.

故答案為：=1或%=2}.

【點評】本題主要考查指數(shù)不等式、一元二次不等式的解法，兩個集合的交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=W的共朝復數(shù)為---i.

2-i一55一

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算結(jié)合共輾復數(shù)的概念求解.

3+2

【解答】解：由題意可得：z=l±jL=(0(2+0=4+7,>

2-i(2-z)(2+055

所以復數(shù)z的共軟復數(shù)為彳=3-L.

55

故答案為：---i.

55

【點評】本題主要考查了復數(shù)的運算，考查了共輾復數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知等差數(shù)列{a“}滿足q+4=12,a4=7,則4=5.

【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，%+4=4+。3=12,解得見=5.

故答案為：5.

【點評】本題考查的知識點：等差數(shù)列的性質(zhì)，主要考查學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(26-工)6展開式中的常數(shù)項為240.

X

【分析】由題意，利用二項式定理，求出通項公式，再令尤的幕指數(shù)等于0,求得廠的值，即可求得展開式

中的常數(shù)項的值.

_]J_6—3r

【解答】解：由于.(26-與6展開式的通項公式為：加=6(2/產(chǎn)(_/丫=C；(-iyx26T尤丁，

令—/=0,解得：r=2,

2

4

可得常數(shù)項為T3=C；(-X2=240,

故答案為：240.

【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知隨機變量J服從正態(tài)分布N(3,4)，且P(J<5)=6PC<1),則P(1<J<3)=_2_.

―14―

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解.

【解答】解：J~N(3,/)，則PC<1)=PC>5),

所以由于?<5)=6尸?<1)得1—尸?>5)=6尸(?>5),

所以尸C>5)=g,

所以尸(1<€<5)=1-2尸(彳>5)=3，P(l<J<3)=gp(l<J<5)=a.

故答案為：—.

14

【點評】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

19

6.已知函數(shù)/(2x+l)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，且當xe(0,1］時，/W=log2x,則f(f=1.

【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)的周期，然后利用周期及已知區(qū)間上的函數(shù)解析式即可求解.

【解答】解：因為函數(shù)/(2彳+1)為奇函數(shù)，/(尤+2)為偶函數(shù)，

所以y(_2x+l)+y(2x+l)=0,f(2+x)=/(2-.r),

所以/(元)的圖象關(guān)于(1,0)對稱，關(guān)于x=2對稱，

即/(2-x)=—/(x),f(2-x)=f(2+x),

所以『(2+0=一/(》)，

所以,f(4+x)=.f(x),即函數(shù)的周期7=4,

當xe(0,1］時，f(x)=log2x,

io31

則/(y)=/(-)=-/(-)=1?

故答案為：L

【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及周期性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.某班為了響應(yīng)“學雷鋒”活動，將指定的6名學生隨機分配到3個不同的校辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個

辦公室至少分配1人，6名學生中甲、乙兩人關(guān)系最好，則恰好甲、乙兩人獨立打掃一個辦公室的概率為

7

而一,

【分析】利用排列組合知識，結(jié)合古典概型的概率公式求解.

【解答】解：6名學生隨機分配到3個不同的校辦公室打掃衛(wèi)生，要求每個辦公室至少分配1人,

共有.C：?c?.國+c.C；??閥+?C；。4.禺=90+360+90=540種分法,

44

甲、乙兩人獨立打掃一個辦公室的情況有c4?M+CV?僵）=42種情況,

所以所求概率尸===’.

54090

故答案為：—.

90

【點評】本題主要考查了排列組合問題，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.設(shè)q：f+y2=i與。2：彳2+(3；-2)2=4相交于人，3兩點，則|48|=_半_.

【分析】先求出兩圓的公共弦所在的直線方程，然后求出其中一個圓心到該直線的距離，再根據(jù)弦長、半

徑以及弦心距三者之間的關(guān)系求得答案.

【解答】解：將。［：/+9=1和。2：/+(,一2)2=4兩式相減：

得過A,3兩點的直線方程：y=~,

-4

則圓心Q(0,0)到y(tǒng)=；的距離為:，

所以|4B|=2jl-

故答案為：?

【點評】本題考查的知識要點：圓與圓的位置關(guān)系，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知/(x)=2'+x,則不等式/(|2x-3|)<3的解集為_(L2)_.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，以及絕對值不等式的解法，即可求解.

【解答】解：f{x)=2x+x,

則/(無)在R上為單調(diào)遞增函數(shù),

f⑴=3，

不等式/(|2x-3|)<3=/(1),

貝力2無一3|<1,解得l<x<2,

故不等式的解集為(1,2).

故答案為：(1,2).

【點評】本題主要考查絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

10.圓臺002母線長為3,下底直徑為10,上底直徑為5,過圓臺兩條母線作截面，則該截面面積最大值

【分析】求出軸截面時所補成的等腰三角形的頂角的余弦值，則判斷其為鈍角，再計算出截面積的表達式,

得到最值.

【解答】解：由題意作出軸截面ABCD,并將其補充成等腰三角形ABE,

則AB=10,CD=5,AD=BC=3,

因為OC//AB,DC=-AB,

2

所以DC為三角形1的中位線，則DE=￡C=AZ)=3,

在AABE中利用余弦定理得，cosZAEB=6…=—'

2x6x618

■JT

因為ZA￡B=(0㈤，所以ZA￡Be(m，辦

過圓臺兩條母線所作截面也為等腰梯形，并將其補成的等腰三角形，設(shè)其頂角為c,

1127

貝US截面=-x6x6sina--x3x3sina=-sina

因為<z>0,且％仆=乙4￡?,則當￡=會時，S截面的最大值為g.

故答案為：—.

2

【點評】本題主要考查了圓臺的結(jié)構(gòu)特征，考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

22

11.已知直線y=x-2與雙曲線C:二-與=1(。>0,6>0)的兩條漸近線分別交于點A,3(不重合)線段

ab

的垂直平分線過點(4,0),則雙曲線C的離心率為—當

【分析】由已知結(jié)合直線垂直的斜率關(guān)系和直線過的點根據(jù)直線的點斜式方程得出線段AB的垂直平分線的

方程，即可聯(lián)立兩直線得出AB的中點坐標為(3,1),設(shè)4(占，乂)，B(X2,%)，分別代入雙曲線方程后作

差整理得出.竺1匹=土，再根據(jù)線段中點與端點坐標關(guān)系與兩點的斜率公式得出％+馬=6,

玉+x2x1-x2a

?+%=2,且二匹=1,即可得出與，在根據(jù)雙曲線離心率公式變形后代入?即可得出答案.

xl-x2aa

【解答】解：直線y=x-2與線段AB的垂直平分線垂直,

則線段AB的垂直平分線的斜率為-1,

線段AB的垂直平分線過點(4,0),

線段AB的垂直平分線為：y=-(*-4),即x+y-4=0,

二二?！獾?x=3

聯(lián)立

J=1

即的中點坐標為(3,1),

設(shè)A?,7i)>B?,%)，

卜…2-0

b2

則,兩式作差可得正匹.M__一%.=

￥—0%+%七一%a

AB的中點坐標為(3,1),AB的斜率為1,

二.%+%=6,%+%=2，————=1,

---一玉-々

貝￡=2xi=L

a263

所以雙曲線C的離心率e=jZJ=J|=與.

故答案為：巫.

3

【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

12.正三棱錐S—ABC中，底面邊長AB=2,側(cè)棱AS=3,向量a,6滿足。?(a+AC)=a?A3,

b-(b+AC)=b-AS,則la-切的最大值為4.

【分析】根據(jù)向量的線性運算法則與數(shù)量積的運算性質(zhì)化簡已知等式，設(shè)。=?！?，b=CN,將向量等式轉(zhuǎn)

化為動點的軌跡問題，再利用球的性質(zhì)計算出兩球的球面上的兩點間距離的最大值，即可得到本題的答案.

【解答】解：由三棱錐S—ABC1是正三棱錐，可得AS*=3S=CS=3,_&AB=BC=CA=2,

由人(〃+4。)=〃-45化簡得/=分。3,木艮據(jù)6.(6+4。)=6?45化簡得/=6?。5.

^a=CM,b=CN,代入/=々.圓，b?=b-CS,分別化簡得MC-MH=0且NCNS=0,

1iQ

因此，點M在以為直徑的球面上，半徑4=上3。=1；N在以SC為直徑的球面上，半徑G=^CS=—.

12222

1333

分別取線段BC、SC的中點石、F,則跖=—BS=—,i^\a-b\^MN\=\EF\^+^=--^l+-=4.

22maxmax22

【點評】本題主要考查向量的線性運算、向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、球的性質(zhì)等知識，屬于中檔題.

二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16

題5分。

13.已知直線4:3x-(“+2)y+6=0,直線:依+(2a-3)y+2=0,貝U"。=一9”是“'/4”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【分析】根據(jù)直線平行，充分必要條件的定義，判斷即可.

【解答】解：直線&:3x-(a+2)y+6=0,直線(：ox+(2a-3)y+2=0,

3,(2a—3)+(〃+2)?〃=0

解得a=-9.

—2?(〃+2)—6?(2a—3)wO

則“a=-9”是“4/4”的充要條件，

故選：C.

【點評】本題考查直線平行，充分必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

14.若〃>0,b>0,Iga+Igb=lg(a+3b),則a+Z?的最小值為()

A.4百B.4+2括C.6D.3+34

【分析】由々>0,Z?>0,Iga+Igb=lg(a+3b)得"=a+3Z?得上+工=1,貝Ua+b=(〃+人)(3+!)=4+上+烏，

ababab

然后結(jié)合基本不等式可求得a+b的最小值.

3131

【解答】解：由。>0,b>0,lga+/gb=/g(a+3b)得ab=a+3b得一+—=1,貝！Ja+6=(a+Z?)(—十—)

abab

筋—ab=a+3b即|“=3+f時a+b的最小值4+2..

4+—+-^..4+2.—4=4+2A/3,當且僅當36a

ab\ab—=—Z?=l+V3

、ab

故選：B.

【點評】本題考查基本不等式應(yīng)用，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.如圖是根據(jù)原衛(wèi)生部2009年6月發(fā)布的《中國7歲以下兒童生長發(fā)育參照標準》繪制的我國7歲以下

女童身高(長)的中位數(shù)散點圖，下列可近似刻畫身高y隨年齡x變化規(guī)律的函數(shù)模型是()

A.y=mx+n(m>0)B.y=m\[x+n(m>0)

x

C.y-ma+n(m>0,a>1)D.y=mlogax+n(m>0,a>1)

【分析】根據(jù)圖象是否是線性增長，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷ACD,再由選項3中函

數(shù)的性質(zhì)判斷后可得.

【解答】解：A選項，由散點圖知身高y隨時間無變化不是線性增長，故A錯誤；

C選項，指數(shù)函數(shù)模型中y隨x增長越來越快，與圖象不符合；

。選項，對數(shù)函數(shù)模型在x=0時沒有意義；

3選項，符合散點圖中y隨x增長越來越慢，且在x=0時有意義.

故選：B.

【點評】本題主要考查了散點圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知函數(shù)/(x)=x3+/g(Jx2+l+x)+l,若等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為，且/(%-1)=-9,

/(?2021-3)=11,貝1]邑。24=()

A.-4048B.0C.2024D.4048

【分析】直接利用函數(shù)的奇偶性以及對數(shù)的關(guān)系式的變換，進一步求出等差數(shù)列的和.

【解答】解：g(尤)=/(尤)-1=尤3+/g(J尤2+1+X),定義域為R,

31332

故g(-x)=-x+IgQx+1-X)=-x+lg+1+1+R=_[x+lg(y/x+1+x)]=_g(x),

弋X1+1+X

故函數(shù)g。)為奇函數(shù)；

所以/■(-x)-i=-y(x)+i,/(-%)+/(%)=2；

由于y1(%-1)=—9，f(a2021—3)=11,

所以一(%一1)+/(azozi-3)=11—9=2，

所以4—1+—3=。，整理得％+a2021=4,

故邑。24=2。24(7+%。24)=1012x4=4048.

故選：D.

【點評】本題考查的知識點：對數(shù)的運算，函數(shù)的奇偶性，等差數(shù)列的求和公式，主要考查學生的運算能

力，屬于中檔題.

三、解答題(本大題78分)本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17(14分).已知函數(shù)y=/(x),其中/'(x)=sinx.

(1)求日在xe[0,如上的解；

(2)已知g(x)=6/(x)/(x+9-/(x)/(x+?)’若關(guān)于x的方g(x)-機=3在xc[。,§時有解'求實數(shù)優(yōu)

的取值范圍.

【分析】(1)由特殊角的正弦函數(shù)值，可得所求解；

(2)運用二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得所求取值范圍.

【解答】解:(1)/(x--)=sin(x--)=^,

442

可得％=2左%+—+—,或2kji+,BP%=2左％+,或Ikji+,keZ,

43341212

則在xw[0,加上的解為衛(wèi)，[工；

1212

(2)g(%)二石sinxsin(x+—)-sinxsin(x+%)=石sin%cosx+sin2x=sin2x+-一

222

=sin(2A：-—)+—,

62

關(guān)于龍的方程g(x)-m=^,即m=sin(2x-^)xG[0,學時有解.

由工￡[0,-],可得2%-?4-生,—],sin(2x--)e[--,1],

266662

所以，機的取值范圍是[-L，1].

2

【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及方程的根的個數(shù)，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

18(14分).如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=PB=5懸M在PD

上，點N為3C的中點，且尸3//平面M4c.

(1)證明：CM//平面上4N；

【分析】(1)連接BD,交AC于O,連接OM,取24中點，連接MG,GN,先證明M是PD中點，再

證明四邊形MGNC是平行四邊形，即可證明結(jié)論；

(2)依題意建立空間直角坐標系求解.

【解答】解：(1)證明：連接BD,交AC于O,連接OM,取中點，連接MG,GN,

因為P3//平面且平面PMC平面=P6u平面PBZ),

所以PB//OM,因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)是班)中點，

所以M是PD中點，又G是心中點，

所以A/G//AD,S.MG=-AD,

2

因為N是3c中點，所以NC//AD,且NC=，AO,

2

所以MG//NC,且MG=NC,

所以四邊形MGNC是平行四邊形，所以MC//GV,

因為GNu平面R4N,MC,平面P4N,

所以CM//平面R4N；

(2)因為尸C=3,PB=y/5,BC=2,PC1=PB1+BC2,所以3C_LPB,

因為底面ABCD是正方形，所以3C_LAB,PB[\AB=B,

所以BC_L平面PBA,BCu平面ABCD,所以平面ABCDJL平面PBA,

取AB中點E,取CD中點尸，因為B4=PB,所以PELAB,

平面上鉆C平面ABCD=AB,所以依_L平面ABCD,

所以在點E處有E4、EF、EP兩兩互相垂直，

則以E為原點，EB,EF,中所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示,

則依題意有A(-l,0,0),C(l,2,0),N(1,1,0),0(-1,2,0),

因為PE7PB°-BE?=后二1=2,所以P(0,0,2),M是PD中點，所以M(-j，1,1),

2

所以AP=(1,0,2),AN=(2,1,0),=AC=(2,2,0),

設(shè)平面PAN的一個法向量為m=(x,y,z),

則，"人。x+2z0,令z=],貝ijx=—2,y=4,所以機=(—2,4,1),

m?AN=2x+y=0

設(shè)平面M4c的一個法向量為〃=(a,6,c),

,n-AM=—a+b+c=0-1”…1

則,2，令A〃=1,則人=一1,c=5,所以〃=(1,_1,萬

n-AC=2a+2b=0

設(shè)平面R4N與平面M4c的夾角為6,

則cos0=|cos<m,n>|=1n"

\m\\n\

+1雨

~i——I1~63'

V4+16+1-.1+1+-

【點評】本題考查了空間中直線與平面平行的證明，考查了空間向量的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于

中檔題.

19（14分）.某微信群群主為了了解微信隨機紅包的金額拆分機制，統(tǒng)計了本群最近一周內(nèi)隨機紅包（假

設(shè)每個紅包的總金額均相等）的金額數(shù)據(jù)（單位：元），繪制了如圖頻率分布直方圖.

頻率

I麗

0.066―?

0.054[-J—

0.040-4--------

0.032-------------

0.008-+-----------------1

°510152025余額（單位：元）

（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計紅包金額的平均值與眾數(shù)；

（2）群主預告今天晚上7點將有3個隨機紅包，每個紅包的總金額均相等且每個人都能搶到紅包.小明是

該群的一位成員，以頻率作為概率，求小明至少兩次搶到10元以上金額的紅包的概率.

（3）在春節(jié)期間，群主為了活躍氣氛，在群內(nèi)發(fā)起搶紅包游戲.規(guī)定：每輪“手氣最佳”者發(fā)下一輪紅包，

每個紅包發(fā)出后，所有人都參與搶紅包.第一個紅包由群主發(fā).根據(jù)以往搶紅包經(jīng)驗，群主自己發(fā)紅包時，

搶到“手氣最佳”的概率為工；其他成員發(fā)紅包時，群主搶到“手氣最佳”的概率為1.設(shè)前〃輪中群主

42

發(fā)紅包的次數(shù)為X,第〃輪由群主發(fā)紅包的概率為匕.求匕及X的期望E（X）.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的信息和平均值計算的規(guī)定列式計算即得無，眾數(shù)可根據(jù)定義從圖中直

接讀??；

（2）先由圖中信息求得每個紅包搶到10元以上金額的概率，因3次搶紅包相互獨立，且每次搶只有搶到

10元以上或以下兩種情況，故滿足獨立重復試驗模型，運用其概率公式計算即得；

（3）由題意分析得到匕M與匕的遞推式乙|=；2+3（1-月）,再根據(jù)其特征構(gòu)造等比數(shù)列｛4-g｝,求得匕

的表達式；再設(shè)短為第七輪發(fā)紅包時群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，分析知短服從兩點分布，由此求得

玖盤）=月，因前〃輪中群主發(fā)紅包的次數(shù)為X,則X=q+&+43++4,于是求E（x）即是求數(shù)歹U｛匕｝的

前"項和，計算即得.

【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得，紅包金額的平均值為：

x=0.066x5x-+0.054x5x—+O.O4Ox5x—+O.O32x5x—+0.008x5x—^9.05,

22222

眾數(shù)為最高矩形的中點坐標，即為2.5；

（2）由題可知，每個紅包搶到10元以上金額的概率為（0.040+0.032+0.008）x5=0.4,且3次紅包相互獨

立，

44

由獨立重復試驗概率公式，至少兩次搶到10元以上金額的概率為C；x0.42x0.6+C；x0.43=0.352二——；

33125

(3)由題意，P{=i,^=-^+-(1-^)=--^,+-，

由Pn+X_g=_；(4一^)，

所以｛只-1｝是以g為首項，,為公比的等比數(shù)列,

所以匕_:=|x(-fl，所以P"=1+]x(—；)"T，

設(shè)短為第七輪發(fā)紅包時群主搶到“手氣最佳”的次數(shù)，

故短服從兩點分布：尸(短=1)=久，尸(4=0)=1一％,k=l,2,3,

所以以盤)=lx號+0x(l_《)=月，

由已知X=5+5+女++4，

則E(X)=E?+芻+&+.+^)=E(^)+E(^2)+E(^)++4女)=4+與+月++Pn

1+-

4

【點評】本題考查了離散型隨機變量的期望與方差、古典概率的計算公式，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

20(18分).已知橢圓C]:―7+9=1(“>1)與拋物線。2：y2=2。尤(p>0)在第一象限交于點Q(x°,yQ),A,

3分別為G的左、右頂點.

(1)若q=1,且橢圓C1的焦距為2,求C2的準線方程；

(2)設(shè)點尸(1,0)是G和G的一個共同焦點，過點尸的一條直線/與G相交于C，D兩點，與C2相交于E,

G兩點，CD=AEG,若直線/的斜率為1,求2的值；

(3)設(shè)直線QA,直線次分別與直線x=a+l交于M,N兩點，AQMN與AQAB的面積分別為廿，S2,

若興的最小值為:，求點。的坐標.

【分析】(1)由題意，根據(jù)焦距和兀=1求出橢圓方程和從而得到p=；,求出準線方程；

⑵先得到C：[+y2=l,6：丁=4工和直線方程，分別聯(lián)立后，得到相應(yīng)的弦長，從而分兩向量方向相

同和相反求出答案;

(3)由三點共線得到%=」^(2。+1)和從而表達出S「S-得到學J“。：>，換元

XQ+aXQ—ciS?a.XQ

后得到'=--------F-------L，結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)求出最小值，得到方程，求出4=2,進一步

$2(-2a-l)4+(2cz+2)--l

tt

求出點。的坐標.

【解答】解：(I)因為橢圓G的焦距為2,

所以2c=2,

解得c=1,

貝!J儲一1=1,

解得4=2,

則橢圓G：J+V=i，

因為。(X。,%)在第一象限,％=1，

所以為=日，

所以。(1,與)，

將點Q的坐標代入y2=2Px(p>0)中，

解得p=L，

4

則C?的準線方程為了=-"；

(2)因為點尸(1,0)是C]和C?的一個共同焦點,

所以=

2

解得a2—2,p=2,

2

則C：萬+y?=l*C2:y=4x,

此時直線/的方程為y=x-l,

y=x-l

聯(lián)立爐消去y并整理得3/一4x=0,

2=1

設(shè)C（X],y）,D（X2,力），

、4

由韋達定理得%+%=］，X1X2=0，

所以|CZ)|=?s/mj(u+x2)2_4xF2=3X'=殍'

聯(lián)立］;2=r?l，消去y并整理得/-6工+1=0,

設(shè)E(W，%)，G(z,y4),

由韋達定理得x,+*4=6，x3x4=1,

24

所以回|=71+17(%3+%4)-^4=應(yīng)xV36-4=8,

若CD,EG方向相同,

4」

止匕時2=?1=工=包

\EG\86

若CD,EG方向相反,

此時人

6

(3)因為A(—a,0),Q(XQ,yQ)fA/(a+l,%)二點共線,

所以上

2a+1xQ+a

解得加=^M2a+l),

xQ+a

同理，由3(Q,0),Q(XQ,yQ),NS+l,%)三點共線，

可得2十

此時S]=—(yM-yN)-(62+1-XQ)=—(———(2a+1)———)?(〃+1-xQ)

22XQ+ciXQ—a

2

_a(xQ-a-l)yQa{xQ-?-1)yQ

=x2-a2("+1-&)=2_2'

yVz-iVI-C4-八c

因為%+°2尤=a2,

所以/-4="

2--

a(x-a-I)yU(^XQ-a—I)y。(x?！猘—l)

所以H=QQ

。說ayQ

y.S2=^\AB\-yQ=yQa，

2

則步(xQ-a-1)

2

a~XQ

因為q￡（0,〃）,

令a+1-￡(1,Q+1),

此時XQ—(2+1-t,

所以務(wù)=(%-"If=________t；_________=__________]___________,

21

S。2T-t+(2a+2)t-2a-\(-2a-l)4+(2a+2)-1

tt

其中』e(一一,1),

ta+1

因為。>1,

所以y=(-2a-l)!+(2o+2)1-l的開口向下，對稱軸為-一2a+2=^!￡

rt2(-2a-l)2a+1

-M-a+11Q2+2a+1—2Q—1Q2

2Q+1a+