2022年浙江省普通高校高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)/（x）=|lnx|,若函數(shù)g（x）=/（x）在區(qū)間（0"）上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

2.設(shè)雙曲線c：鼻—2=1（?！?）>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，8，點(diǎn)石（。1）?>。）.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在雙曲線C的右支

上，且點(diǎn)P,E，E不共線.若APEK的周長(zhǎng)的最小值為4〃，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（）

3.設(shè)廠為雙曲線C：5—當(dāng)=1（a>0,&>0）的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓交于尸、Q

a"b"

兩點(diǎn).若|PQ|=|。川，則C的離心率為

A.72B.73

C.2D.75

4.已知a,b是兩條不同的直線，?,1是兩個(gè)不同的平面，且aua,buff,allp,blla,則“a〃方"是"a〃『的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知集合4={尤|爐一2無(wú)一3<0},集合8={x|x—120},則a（Ac3）=（）.

A.(fl)[3,-boo)B.(f1][3,+8)

C.（一8,1）匚（3,+8）D.(1,3)

n

6.函數(shù)y=cos2x—6sin2xxe0,的單調(diào)遞增區(qū)間是（)

nn7171

A.B.嗚C.Z'5D.

7.“a=2”是“直線依+2y—1=0與x+(a—l)y+2=0互相平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.在平行六面體ABC?！狝4cq中，M為AC與耳〃的交點(diǎn)，若A8=a,A￡>=①AA=c,則與因^相等的向

量是()

A.—aT—b+cB.—a—b+cC.—ci----b+cD?—uH—b+c

22222222

JT

9.若函數(shù)y=2sin(2x+@的圖象過(guò)點(diǎn)(：/)，則它的一條對(duì)稱(chēng)軸方程可能是()

6

7171TC57r

A.x——B.x——C.x=-D?x——

631212

10.命題“\/%>0,犬(冗+1)>(九一1)2”的否定為()

A.Vx>0,x(x+1)>(x-1)2B.Vx,,0,x(x+1)>(x-1)2

C.3x>0,x(x+1)?(x-1)2D.3x?0,x(x+1)>(x-1)2

11.設(shè)為/(%)=Gsins—cos0x(0>O)的兩個(gè)零點(diǎn)，且人一口的最小值為L(zhǎng)則①二()

7171Tl

A.兀B.—C.—D.一

234

12.已知圓錐的高為3,底面半徑為若，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的

體積的比值為()

532425

A.—B.—C.—D.—

3939

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知忖=2夜，。在人方向上的投影為迷,則a與人的夾角為.

3

14.若函數(shù)/(x)=sin2x-6cos2x的圖像向左平移g個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖像.則g(x)在區(qū)間-上的

8oO

最小值為.

5

15.已知實(shí)數(shù)對(duì)任意九6R,有(l-ax)5=%+qx+〃2光2-----pa5x,且4囚十出二。，則

%+q+-----〃5=__

16.直線4區(qū)—4，—左=0與拋物線>2=彳交于43兩點(diǎn)，若|AB|=4,則弦A3的中點(diǎn)到直線x+g=O的距離等于

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為0,公差為a,aeN*;等差數(shù)列出｝的首項(xiàng)為0,公差為從beN*.由數(shù)列｛4｝

和｛%｝構(gòu)造數(shù)表與數(shù)表M*;

記數(shù)表M中位于第i行第/?列的元素為與，其中生=4+",(/,j=i,2,3,...).

記數(shù)表M*中位于第i行第j列的元素為%,其中%=at-bj+lCl<i<b,zeN*，/eN*).如：cl2=a,+b2,

4,2=q-4?

(l)設(shè)a=5,b=9,請(qǐng)計(jì)算。2,6，0396,6，12,6；

(2)設(shè)a=6,b=7,試求分,痣的表達(dá)式(用i,j表示)，并證明：對(duì)于整數(shù)f,若，不屬于數(shù)表M,貝!U屬于數(shù)

表”；

(3)設(shè)a=6,b=7,對(duì)于整數(shù)f,f不屬于數(shù)表M,求，的最大值.

JF

18.(12分)如圖，四棱錐E—ABCD中，平面A5CD，平面BCE,若NBCE=—,四邊形A3CD是平行四邊形,

2

(I)求證：AB=AD；

(II)若點(diǎn)尸在線段AE上，且EC//平面3D產(chǎn)，ZBCD=60°,BC=CE,求二面角A—5尸—。的余弦值.

InX+ny

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=

e

⑴若函數(shù)y=/(x)在x=%(ln2</<ln3)處取得極值1,證明：2-^<?<3-^

(2)若/(x),,x-J恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

JTJT

20.(12分)如圖，在直角△ACB中，ZACB=-,ZCAB=-,AC=2,點(diǎn)M在線段AB上.

23

c

(1)若sin/CMA=、2,求CM的長(zhǎng)；

3

(2)點(diǎn)N是線段CB上一點(diǎn)，MN=B且S^BMN=gs^ACB，求BM+BN的值.

22

21.(12分)橢圓石：=+3=1(。〉5〉1)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,耳，橢圓E上兩動(dòng)點(diǎn)RQ使得四邊形為

ab

平行四邊形，且平行四邊形PFiQR的周長(zhǎng)和最大面積分別為8和2』.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線尸工與橢圓E的另一交點(diǎn)為當(dāng)點(diǎn)耳在以線段為直徑的圓上時(shí)，求直線尸鳥(niǎo)的方程.

22.(10分)已知函數(shù)2)x—〃nx+2.

(1)若x=2是/(x)的極值點(diǎn)，求AM的極大值；

(2)求實(shí)數(shù)/的范圍，使得/(x)?2恒成立.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

令g(x)=/(X)—④=。，可得/(x)=◎.

在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)/(x)=|liw|的圖象(如圖所示).

當(dāng)X>1時(shí)，/（%）=12.由丁=10%得；/=工.

設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線y="與函數(shù)y=Inx的圖象切于點(diǎn)A（x0,lnx0）,

Inx0=ax0\x0=e

則有1_1,解得11.

a——a=—

［與〔e

所以當(dāng)直線y=區(qū)與函數(shù)y=/"x的圖象切時(shí)a=L.

e

又當(dāng)直線丫=改經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（e2,2）時(shí)，有2=a",解得a=g

結(jié)合圖象可得當(dāng)直線y=◎與函數(shù)"力=|lm］的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

即函數(shù)g（x）=/（￡）—◎在區(qū)間（（V）上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)°的取值范圍是（?口.

點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

⑵分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

⑶數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對(duì)于一些比較復(fù)

雜的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常用此方法求解.

2.A

【解析】

依題意可得C"EF2=PE+PF2+EF2=PE+PF2+ER>2PF1-2a=4b

即可得到2a+4Z?>2（a+c）,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；

【詳解】

解：依題意可得如下圖象，CAPEF2=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EF1

=PE+PR+EF「2a

N2PF「2a=4b

2PFX=2a+4b>2（a+c）

所以2Z?>c

貝！14c2-4a2>c2

所以3c2>4/

M4

所以e2=4>3

a23

所以e>￥，即eej￥，+co

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

3.A

【解析】

準(zhǔn)確畫(huà)圖，由圖形對(duì)稱(chēng)性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率.

【詳解】

設(shè)PQ與X軸交于點(diǎn)A,由對(duì)稱(chēng)性可知軸，

又|PQ|=|OE|=c,.1241=1，「.24為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，

；.4為圓心|。4|=￡.

2

又P點(diǎn)在圓“2+'2="2上'

本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，

運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問(wèn)題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問(wèn)題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)事半

功倍，信手拈來(lái).

4.D

【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：ac.a,bu/J,a///J,b//a9

由a〃方，不一定有a〃4，a與少可能相交；

反之，由a〃少，可得?！?或a與方異面，

8是兩條不同的直線，a,/是兩個(gè)不同的平面，且bc.fi,a//p9b//a9

則//產(chǎn)是％〃/T的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

算出集合A、3及AB,再求補(bǔ)集即可.

【詳解】

由為2一2%—3<0，得-l<x<3,所以A={x|-l<x<3},XB={x|x>l},

所以Ac6={x［l<x<3},故。(AcB)={x|x<l或xN3}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

利用輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，并采用整體法，可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閥=cos2x—』sin2x=2sin(--2x)=-2sin(2x,由工+2k兀Qx+2ki,左eZ,解得

66262

jr57rTCSTT

-+k7r<x<—+k^,k^Z,即函數(shù)的增區(qū)間為［2+左巴也+左"］歡eZ,所以當(dāng)左=0時(shí)，增區(qū)間的一個(gè)子集為

3636

32

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了輔助角公式，考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)對(duì)于整體法的應(yīng)用，使

問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，難度較易.

7.A

【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定

【詳解】

當(dāng)a=2時(shí)，直線方程為2x+2y—1=0與x+y+2=0,可得兩直線平行；

若直線依+2y-l=0與x+(a-l)y+2=0互相平行，貝?。輆(a-1)=2,解得q=2,

出=一1，貝！1“。=2”是“直線6+2y—1=0與x+(a—l)y+2=0互相平行”的充分不必要條件，故選A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì)，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，用。，4c作基底表示3M即可得解.

【詳解】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知

=AAl+^BlDl

=M+1(^+AM)

=A4+1(-AB+AD)

因?yàn)锳B=a,AD=b,=c,

則的+,AB+AD)

1-17-

=——a+—b+c

22

即BM=-—a+—b+c,

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，用基底表示向量，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出9,然后驗(yàn)證各選項(xiàng).

【詳解】

7TJT1TTTT

由題意2sin(——b0)=l,sin(一■b°)=—,(p=2k7i或(p=2k"——,keZ

33262f

71471

不妨取。=一：或。=大，

62

7TJT

若°=5,貝(I函數(shù)為y=sin(2x+])=cos2x,四個(gè)選項(xiàng)都不合題意，

TTJTTTTTTCTT

若夕=—二，則函數(shù)為y=2sin(2x—：),只有x時(shí)，sin(2x---)=1,即x是對(duì)稱(chēng)軸.

663363

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.C

【解析】

套用命題的否定形式即可.

【詳解】

命題“VxeM,p(x)”的否定為“玉:e所以命題“Vx>0,x(x+l)>(x-1)2”的否定為

“3x>0,x(x+l)<(x-1)2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查全稱(chēng)命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

先化簡(jiǎn)已知得了(x)=2sin(wx-二),再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1x2,再求出s的值.

6

【詳解】

TT

由題得/(x)=2sin(wx-：),

6

設(shè)Xi,X2為f(x)=2sin(cox-看)(o>0)的兩個(gè)零點(diǎn)，且上一目的最小值為1，

，4=1,解得T=2；

2

.2%

??----=2，

co

解得O=7t.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

計(jì)算求半徑為R=2,再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：設(shè)球半徑為R,則尺2=(3—Rp+J?,解得R=2.

4,321r2K32

故求體積為：匕=—〃&二_〃，圓錐的體積：V2=-7i^3X3=3?,故土=入.

9

333V2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-

6

【解析】

由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值，從而得角的大小.

【詳解】

a在b方向上的投影為cos<a,b>=瓜cos<>=4=走，即夾角為?.

112A/226

故答案為：?

6

【點(diǎn)睛】

本題考查求向量的夾角，掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵.

14.-73

【解析】

注意平移是針對(duì)自變量X,所以g(x)=F(x+°)=2sin(2x-±),再利用整體換元法求值域(最值)即可.

812

【詳解】

由已知，f(x)=sin2x-43cos2x=2sin(2x-—),g(x)=/(%+—)=

2sin[2(x+—)--]=2sin(2x--),又xe肆，Sfc2%--e,

8312L88J1233

2sin(2x-"e[-6,2],所以gQ)的最小值為一仆.

故答案為：-也.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

15.-1

【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法得4G(-4+窗(-4=0,又所以。=2,令x=l得：

(1-2x1)5=4+4+42+4+%+%，所以％+q+/+/+%+%=—1，得解，

【詳解】

525

由(1-ax)=a0+axx+a2x+...+a5x,且4%+a2=0,

則4c(-4+C；(-a)2=0,

又aw0,

所以a=2,

令尤=1得：

(1—2x1)5=4+q+ci-2+%+%+%,

月f以/+q+a>+4+%+%=—1,

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

9

16.-

4

【解析】

由已知可知直線4"-4y-k=0過(guò)拋物線>2=彳的焦點(diǎn)，求出弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，進(jìn)一步得到弦

的中點(diǎn)到直線x+」=0的距離.

2

【詳解】

解：如圖,

直線46-4y-左=0過(guò)定點(diǎn)(!，0),

而拋物線y2=x的焦點(diǎn)產(chǎn)為(J,0),

二弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線無(wú)=的距離為3ABi=2,

42

119

則弦A3的中點(diǎn)到直線x+—=0的距離等于2+—=—.

244

9

故答案為：

11

--

24

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)50,2020,-49(2)詳見(jiàn)解析(3)29

【解析】

(1)將。=5,6=9代入，可求出4，bn,可代入求看,4,八可求結(jié)果.

(2)可求d.j,通過(guò)反證法證明，

(3)可推出摩/，fwM*,/的最大值，就是集合M*中元素的最大值，求出.

【詳解】

(1)由題意知等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為：%=5〃-5；

等差數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為：bn=9〃-9,

得c..=a,+鳥(niǎo)=(5i-5)+(9z-9)=5z+9j-14,

則c2,e=5。,。396,6=2。20,

得di｝=a,-bj+l=(5/-5)-[9(j+1)-9]=5i-9j-5,

故4,6=T9.

(2)證明：已知。=6.b=7,由題意知等差數(shù)列｛4“｝的通項(xiàng)公式為：an=6n-6;

等差數(shù)列仍“｝的通項(xiàng)公式為：b“=7n-7,

得/=《+年=(6「6)+(7，-7)=6，+7/-13,(iwN*,jeN*).

得見(jiàn)=4-川=(626)-[7。+1)-7]=6，-7/-6,啜r7,左?4*,/3).

所以若feM,則存在“eN,veN,使f=6〃+7v,

若feM*,貝!|存在〃eN,u?6,veN*,使f=6〃-7v,

因此，對(duì)于正整數(shù)乙考慮集合MQ=｛尤1尤=/-6"，u&N,4,6｝,

即“，t-6,t-12,t-18,t-24,t-30,-36｝.

下面證明：集合MQ中至少有一元素是7的倍數(shù).

反證法：假設(shè)集合V。中任何一個(gè)元素，都不是7的倍數(shù)，則集合V。中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1,2,3,4,5,

6,

又因?yàn)榧瞎?中共有7個(gè)元素，所以集合中至少存在兩個(gè)元素關(guān)于7的余數(shù)相同，

不妨設(shè)為"6%,/-%，其中的，U2GN,?]<u2?6.則這兩個(gè)元素的差為7的倍數(shù)，即(一七)-?-6%)=6("1-%),

所以%-出=0,與％<的矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立.

即集合Mo中至少有一元素是7的倍數(shù)，不妨設(shè)該元素為-6%,%,,6,%eN,

則存在swZ,使r-6%=7s,u°cN,u0?6,即/■=6M0+7S,u0&N,seZ,

由已證可知，若reAf,則存在〃eN,v&N,使f=6〃+7v,而/任M,所以S為負(fù)整數(shù)，

設(shè)V=-s,貝!JveN*,且1=6%-7v,/eN,M0?6,veN*,

所以，當(dāng)a=6,b=7時(shí)，對(duì)于整數(shù)心若廢/,則feM*成立.

(3)下面用反證法證明：若對(duì)于整數(shù)乙t&M*,則reAf,假設(shè)命題不成立，即rwAf*,且/eAf.

則對(duì)于整數(shù)，，存在"eN,meN,u&N,u?6,veN*,使f=6〃-7V=6“+7"?成立，

整理,得6(比一〃)=7(機(jī)+v),

又因?yàn)?"eN,veN*,

7

所以“一“=：(〃2+丫)>0且比_”是7的倍數(shù)，

因?yàn)閍eN,u?6,所以a-%6,所以矛盾，即假設(shè)不成立.

所以對(duì)于整數(shù)乙若feM*,貝1eM,

又由第二問(wèn)，對(duì)于整數(shù)■"，則fe"*,

所以/的最大值，就是集合M*中元素的最大值，

又因?yàn)閒=6〃—7v,ueN,vGN*,u?6,

所以*=("*).=6x6-7x1=29?

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，以及反證法，求最值，屬于難題.

18.(I)見(jiàn)解析(II)

7

【解析】

(I)推導(dǎo)出3C_LCE,從而EC_L平面ABC。,進(jìn)而EC_L5Z),再由5Z>_L4E,得3O_L平面

AEC,從而B(niǎo)OLAC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.

(II)設(shè)AC與80的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC〃FG,取的中點(diǎn)為。，連結(jié)0。,則以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)0

且與CE平行的直線為x軸，以3c為y軸，0。為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.

【詳解】

71

(I)證明：NBCE=—,即3CLCE,

2

因?yàn)槠矫鍭BCD±平面BCE,

所以EC,平面ABCD,

所以ECLBD,

因?yàn)?/p>

所以應(yīng))，平面MC,

所以

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是平行四邊形，

所以四邊形A3CD是菱形，

故AB=AD；

解法一：(II)設(shè)AC與的交點(diǎn)為G,

因?yàn)镋C//平面應(yīng))尸，

平面AECI平面應(yīng)>產(chǎn)于尸G,

所以EC//FG,

因?yàn)镚是AC中點(diǎn)，

所以歹是AE的中點(diǎn)，

因?yàn)镹BCD=60°,

取8C的中點(diǎn)為。，連接6?,

則8八BC,

因?yàn)槠矫鍭BCD±平面BCE,

所以8,面8EC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)。且與CE平行的直線為x軸，以所在直線為丁軸，以6?所在直線為z軸建立空間直角

坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2,則3（0,—1,0）,A（0,-2,V3）,D（0,0,>/3）,歹11,—4],=

I22）<227

BA=（0,-l,V3）,BD=（0,l,V3）,

設(shè)平面AB廠的法向量々=（&%，4）,

、-%+底1=0

同理可得平面DBF的法向量?2=（O,A-l）,

設(shè)平面ABF與平面DBF的夾角為。，

/\n,'Yiy2<7

因?yàn)閮z加“”麗二百r亍，

所以二面角A—班'―。的余弦值為且.

7

解法二：（II）設(shè)AC與6D的交點(diǎn)為G,

因?yàn)镋C//平面應(yīng)>尸，平面AECI平面3￡>產(chǎn)于尸G,

所以EC//FG,

因?yàn)镚是AC中點(diǎn)，

所以產(chǎn)是AE的中點(diǎn)，

因?yàn)锳CLBD,ACLFG,

所以AC,平面尸，

所以ACLM,

取BF中點(diǎn)H,連接GH、AH,

因?yàn)镕G=BG,

所以GH,由"

故5F，平面AHG,

所以AH尸，即NAHG是二面角A—5尸—。的平面角,

不妨設(shè)AB=2,

因?yàn)锳G=JLGH=昱,

2

在Rt/^AGH中，tanNAHG=瓜,

所以cosNA"G=?Z，所以二面角A—5尸—。的余弦值為立.

77

E

【點(diǎn)睛】

本題考查求空間角中的二面角的余弦值，還考查由空間中線面關(guān)系進(jìn)而證明線線相等，屬于中檔題.

19.(1)證明見(jiàn)詳解；(2)(-8,1]

【解析】

(1)求出函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(X),由,〃尤)在x=x0處取得極值1,可得/'(%)=0且/(X0)=l.解出

工11

a=*-一，構(gòu)造函數(shù)r(x)=e，-—(x>0),分析其單調(diào)性，結(jié)合ln2</<ln3,即可得到。的范圍，命題得證;

X0X

|InV1InV1

(2)由/(x),,x-不分離參數(shù)，得到④靖-----一恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e*—--——，求導(dǎo)函數(shù)

exxxx

g'(x)=廠e'：lnx,再構(gòu)造函數(shù)h(x)=x2ex+Inx,進(jìn)行二次求導(dǎo)"(x)=(/+2x)e*+L由x>0知〃(x)>0,

X%

則/I(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知h{x}有唯一零點(diǎn)再，且g<%<1.由此判斷出xe(o,x,)時(shí),

Inx1，/、

Jl

g(%)單調(diào)遞減，%￡(%,+8)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，貝！lg(x)1111n=??(%)，即倔，e丁-1由3)=0得

再次構(gòu)造函數(shù)依x)=xe%x>0),求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而得XI=-lnX],即e，不最終求得

x\%

g(x)=l，則④1.

【詳解】

1八、

解：(1)由題知，,")+"(lnx+詞

?.?函數(shù)y=/(x)在X=/，處取得極值1，

1

---Fa一(In-”)且小。)=Inx+ax

0Q=1,

ru)=^--ue°

1,-

?.---ba=In/+axQ=e09

%

"1

=

.CI€0-------------

令〃(%)=，-1(%>0),貝!|廠(%)=e'+」>0

xx

.■，(%)為增函數(shù),

,0<ln2<x0<ln3

r(ln2)<6z<r(ln3),即2———<a<3——成立.

In2In3

(2)不等式/(乃<]-4恒成立，

e

Inx1

即不等式In%—依\1恒成立，即④ex--------恒成立,

xx

%Inx1,1-lnx1x2ex+Inx

令g(%)="---------,則g(%)=/-----廠+下=----5—

XXXXX

2xf2x

令h(x)=xe+lnx,貝!|h(x)=^x+2%)e+—9

.X>0,：.h\x)>Q,

.?/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/z(l)=e>0,=(—ln2<0,

五(%)有唯一零點(diǎn)再，且g<再<1,

當(dāng)xe(O,%)時(shí)，h{x)<0,g'(x)<0,g(￡)單調(diào)遞減；

當(dāng)％e(%,+8)時(shí)，//(%)>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

?'?-?Wn±1=^h)?

%Inx1

/.④el---------L-------

再

x1

由整理得占"=一生五

A(%1)=0

玉

g<玉<1,一In再>0

令人(x)=x/(x>0),則方程XC"=-孫」等價(jià)于左(石)=左(一InxJ

X1

而k'(x)=(x+l)el在(0,+co)上恒大于零，

.?"(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

左(%)=左(—InxJ.

.便力/出」」—5」=1,

%%%%%

a,,1

實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8』］.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的極值，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，證明不等式，解決不等式恒成立問(wèn)題.

其中多次構(gòu)造函數(shù)，是解題的關(guān)鍵，屬于綜合性很強(qiáng)的難題.

20.(1)3；(2)4+G

【解析】

（1）在VC4"中，利用正弦定理即可得到答案；

ILL

（2）由可得=46，在ABMN中,利用MN=6及余弦定理得

MN2=BM2+BN2-2BM-BNcos-,解方程組即可.

6

【詳解】

（D在VC4"中，已知NCA"=工，sinZCMA=—,AC=2,由正弦定理，

33

AC-sin-2x3

得二AC

解得CM=_______1=2_=3

sinZCMAsmZCMA73'

3

(2)因?yàn)镾*MN=LS-CB，所以、血八加與119=!><:><2><2百，解得BM-BN=46.

22622

在ABMN中，由余弦定理得，

MN2=BM2+BN--2BM.BNco[=(BM+BN^-2BM-BN-

即("2=(5"+5N)2—2x4百x1+—,

、2j

(BM+BN)2=19+8石=(4+@\

故BM+BN=4+6

【點(diǎn)睛】

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.

21.(1)?+5=1(2)3x+/v-3=0或3x-岳-3=0

【解析】

(1)根據(jù)題意計(jì)算得到a=2,b=?c=l,得到橢圓方程.

6m

%=—[244*

（2）設(shè)/%：x=my+l,P(x，yj,Af(%2,%),聯(lián)立方程得到<；,根據(jù)EP?片M=0,計(jì)算得

2一藐『

到答案.

【詳解】

(1)由平行四邊形P￡Q工的周長(zhǎng)為8,可知4a=8,即a=2.