北京市延慶區(qū)2024屆高三年級下冊3月一模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2024北京延慶高三一模

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無

效.考試結(jié)束后，將答題紙交回.

第一部分（選擇題，共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題中選出符合題目要求的一項(xiàng).

已知集合”=何”＜3},B={1,2,3}

1.則A<JB=)

A.(-oo,3)B.(-oo,3]

C.{1,2}D.{1,2,3}

2

2.若復(fù)數(shù)z滿足z.i=三，則Z=()

l-i

A.-1-iB.-1+i

C.l-iD.1+i

在（2x—工）5的展開式中，

3.V的系數(shù)為（)

X

A40B.-40

C.80D.-80

4.已知拋物線C:/=8x的焦點(diǎn)為r，點(diǎn)加在C上.若/到直線x=-4的距離為7,則I兒41=（）

A4B.5

C.6D.7

1/\UUU1IMMk

5.已知正方形A3CD的邊長為2,點(diǎn)尸滿足AP=5（AC+A。），則AP-AC=（）

A4B.5C.6D.8

6.“sin2。＞0”是“8為第一或第三象限角”的（）

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)/（x）=3，-2x-l,則不等式/。）＜。的解集是（）

A.(0,1)B.(0,+8)C.(-00,0)D,(一8,0)"1,+8)

8.設(shè)a=log32,b=log96,c=；，則()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.b>a>c

9.在等邊中，AB=2,P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且B4=l,。為邊上的動點(diǎn)，則線

段尸。長度的最大值是（）

A.6—1B.73+1

C.73+2D.3

10.已知在正方體—中，AB=1,P是正方形A3CD內(nèi)的動點(diǎn)，PA>PCX,則滿足條件

的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積等于（）

11兀兀

A.-B.一C.—D.一

84168

第二部分（非選擇題，共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

22

11.已知雙曲線C:二—二=1伍〉01〉0）的離心率為出，則雙曲線。的漸近線方程為.

ab

12.二ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知/B=60，sinA=3sinC,b=幣,則。=

,ABC的面積為.

13.已知函數(shù)/（力=尤"（0<￡<1）在區(qū)間（—1,0）上單調(diào)遞減，則a的一個取值為.

14.北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇

面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依

次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板（不含天心石）3402塊，則上層有扇形石板

塊.

x+2ax,%<L

15.已知函數(shù)/■（%）=4給出下列四個結(jié)論：

------,^>1.

①存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)了。）的最小值為0；

②存在實(shí)數(shù)a<0,使得函數(shù)/（x）的最小值為-1；

③存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)恰有2個零點(diǎn)；

④存在實(shí)數(shù)”，使得函數(shù)f（x）恰有4個零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(%)=2sinxcosx-2?sin2x+a(a>0),f(x)的最大值為2.

(1)求〃的值；

JT

(2)將“X)的圖象向右平移一個單位得到g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

3

17.第十四屆全國冬季運(yùn)動會雪橇項(xiàng)目比賽于2023年12月16日至17日在北京延慶舉行，賽程時間安排

如下表：

9:30單人雪橇第1輪

10:30單人雪橇第2輪

12月16日星期六

15:30雙人雪橇第1輪

16:30雙人雪橇第2輪

9:30單人雪橇第3輪

12月17日星期日10:30單人雪橇第4輪

15:30團(tuán)體接力

(1)若小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，求他恰好看到單人雪橇和雙人雪橇的概率；

(2)若小明在這兩天的所有比賽中隨機(jī)觀看三場，記X為看到雙人雪橇的次數(shù)，求X的分布列及期望

E(X);

(3)若小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，用“5=1”表示小明在周六看到單人雪橇，“《=0”表示小明

在周六沒看到單人雪橇，"2=1”表示小明在周日看到單人雪橇，"2=°”表示小明在周日沒看到單人雪

橇，寫出方差”4),ZX4)的大小關(guān)系.

18.如圖，四棱柱4與。1。的底面A3CD是邊長為2的正方形，側(cè)面，底面A3CD,

D,D=3,E是的中點(diǎn).

(1)求證：。出〃平面GED；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇：個條件作為已知，使二面角。-GE-用唯一確

定，并求二面角。一。田一男的余弦值.

條件①：C]D=屈;

條件②：

條件③：ADLCXD.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

19.已知橢圓石：與+/=1(“〉6〉0)的離心率為手，AC分別是￡的上、下頂點(diǎn)，|AC|=2,B,D

分別是E的左、右頂點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)P為第二象限內(nèi)E上的動點(diǎn)，直線PD與直線交于點(diǎn)直線成與直線CD交于點(diǎn)N,

求證：MN±BD.

20.已知函數(shù)/(X)=-lnx+(2+a)x-2.

(1)若曲線y=/(x)的一條切線方程為y=x-i,求。的值；

(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)若/(%)無零點(diǎn)，求”的取值范圍.

21.已知數(shù)列｛。“｝,記集合r=^s(z,j)|s(z,J)=?;.+aM+...+a7.,l<z<J,Z,JeN*j.

⑴若數(shù)列｛4｝為1,2,3,寫出集合T；

⑵若q=2"，是否存在i,jeN*,使得S(z；/)=512?若存在，求出一組符合條件的，，九若不存

在，說明理由；

(3)若。“=〃，把集合T中元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為4也，…，「，???，若超＜2024,求

m的最大值.

【分析】利用二項(xiàng)式定理直接求解.

【詳解】設(shè)小=C（2x）5-[-]=（-琰-25飛*5口住=0,1,5），

令5—2左=3,則％=1,故V的系數(shù)為—24（2；=—80.

故選：D

4.已知拋物線C：/=8尤的焦點(diǎn)為R,點(diǎn)M在。上.若M到直線X=-4的距離為7,則|MF|=（）

A.4B.5

C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義求解.

【詳解】由拋物線C:9=8x可知，準(zhǔn)線方程為1=—2,

因?yàn)镸到直線％=-4的距離為7,

所以又到拋物線準(zhǔn)線％=-2距離為5,

由拋物線定義知，1"尸1=5.

故選：B

1/\UUU1UUU1

5.已知正方形A3CD的邊長為2,點(diǎn)P滿足AP=5（AC+A。），則AP.AC=（）

A.4B.5C,6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系并寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意求相應(yīng)向量的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行

求解即可.

【詳解】建立坐標(biāo)系如圖，正方形A3CD的邊長為2,

則4（0,0）,C（2,2）,0（0,2）,可得AC=（2,2）,AZ）=（0,2）,

點(diǎn)P滿足AP=；(AC+AD)=(1,2),所以AP-AC=lx2+2x2=6.

故選：C.

6.“sin2e>0”是“。為第一或第三象限角”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】由二倍角公式、充分必要條件的定義即可得解.

[sin?！怠sin<0

【詳解】因?yàn)閟in2e=2sinecose>0o<或<,

cos3>0[cos6)<0

所以“sin2。>0”是“6為第一或第三象限角”的充分必要條件.

故選：C.

7.已知函數(shù)/(x)=3=2x-l,則不等式/(%)<。的解集是()

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(-oo,0)D.(-<z),0)0(l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性判斷極小值點(diǎn)在。<x0<l,再由函數(shù)的單調(diào)性及/(0)=/(I)=0可得

不等式的解集.

【詳解】因?yàn)槭?x)=3ln3-2單調(diào)遞增，且尸(0)=ln3—2<0,尸⑴=31n3—2>0,

所以存在唯一(0,1),使得/'(為)=0，

所以當(dāng)x<%時，f'(x)<0,當(dāng)x>/時，f'(x)>0,

所以函數(shù)f(x)在(-co,%)上單調(diào)遞減，在(不，”)上單調(diào)遞增，

又八0)=/'⑴=0,且

所以由/(%)<?？傻?<x<l,

故選：A

8.設(shè)Q=log32,b=log96,c=g，則()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由對數(shù)運(yùn)算可得。=log3"，c=log3V3,再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?=1。896=1。832（m）=log3-J6,且c=2=log3石，

又6<2<n，函數(shù)y=bg3X在（0,+。）單調(diào)遞增，

則logsA/3<log32<log3娓,所以c〈a<b.

故選：D

9.在等邊ABC中，AB=2,尸為<ABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且刈=1,。為邊上的動點(diǎn)，則線

段PQ長度的最大值是（）

A.6一1B.73+1

C.73+2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)尸在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上，結(jié)合圖象分析即可.

【詳解】根據(jù)題意可知，點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，半徑為1的圓上，

如圖：

BQC

。為邊5C上的動點(diǎn)，線段尸。取最大值時，

|PQ|=M+M=|AQ|+I,

而當(dāng)。與點(diǎn)C重合時，|AQ|最大，且最大值為2,

此時線段PQ長度的最大值為2+1=3,

故選：D.

10.已知在正方體ABC。-中，AB=1,尸是正方形A3CD內(nèi)的動點(diǎn)，PA>PCX,則滿足條件

的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積等于()

【答案】A

【解析】

【分析】由題意，在平面A3CD上，分別以為羽y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y),根據(jù)已

知列出羽V滿足的關(guān)系，進(jìn)而可得滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形，計算面積即可.

【詳解】如圖，連接PC,則pg=y]pc2+cc；=VPC2+I,

如圖，在平面A3CD上，分別以為光,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則A(0,0),C(l,l),設(shè)尸(x,y),

由PANPC］，得|「川2J|PC『+i,

即5+y2>Jd)2+(y_i)2+i,整理得2%+2y—3之0,

設(shè)直線1:2x+2y—3=。與DC,BC交于點(diǎn)A/,N,

則點(diǎn)P在.CMN內(nèi)部(含邊界)，即滿足條件的點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為二OWN及其內(nèi)部,

易知￡|,??.|CM=|CN|=；,

,e*sOWN=3|C“||CN|=不乂3><不=6,

ZZZZo

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是在底面A5CD上建立平面直角坐標(biāo)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題

去解決.

第二部分（非選擇題，共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

22

11.已知雙曲線C：A—==l（a〉0］〉0）的離心率為班，則雙曲線。的漸近線方程為

ab

【答案】y=

-2

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率化簡變形即可求出漸近線的斜率得解.

a2_a2_1_1_1

【詳解】因?yàn)橛?7^，=/二=藪1=5，

-T—1

所以雙曲線的漸近線方程為y=±幺X=±42%，

b2

故答案為：y=±x

2

12.的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,C,已知/B=60，sinA=3sinC,b=幣,則。=

,工45c的面積為.

【答案】①.1②.土8##。百

44

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用正弦、余弦定理求得c,再運(yùn)用三角形的面積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閟inA=3sinC,由正弦定理可得〃二3。，

因?yàn)镹5=60，在中，由余弦定理可得：〃="+/—2QCCOS5，

所以7=9。2+/—602、,，解得：c=1.

2

所以。=3。二3,由三角形面積公式可得：SARC=—acsinZABC="x3x1x=3c,

ABC2224

故答案為：1;

4

13.已知函數(shù)/（x）=F（O<c<l）在區(qū)間（―1,0）上單調(diào)遞減，則a的一個取值為.

2

【答案】|（不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性奇偶性即可得解.

【詳解】因?yàn)?（幻=尤°（0<￡<1）在（0,+00）上單調(diào)遞增，又了⑺在區(qū)間（—1,0）上單調(diào)遞減，

2

所以/（無）可以為偶函數(shù)，不妨取a=§,

2

此時/（彳）=/=4且，函數(shù)定義域?yàn)閤eR,

且/（—無）=（—無）§='（-無『=/（無），故/（x）=Q為偶函數(shù)，

滿足在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞減.

故答案為：!9（不唯一）

14.北京天壇的圜丘壇分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇

面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依

次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且三層共有扇面形石板（不含天心石）3402塊，則上層有扇形石板

________塊.

【答案】405

【解析】

【分析】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為｛%,｝,則｛4｝是等差數(shù)列，且公差為d=9,q=9,設(shè)每層

有左環(huán)，則〃=3左，5“=3402,根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求出九，再求出S9即可.

【詳解】記從中間向外每環(huán)扇面形石板數(shù)為｛4｝,則｛4｝是等差數(shù)列，且公差d=9,q=9,

設(shè)每層有左環(huán)，則〃=3々，5“=3402,

?,n（Vn-\\7d

所以S.=HO.+2=3402,即9n+—^3402,

即+“—756=0,解得〃=27或〃=—28（舍去），

所以3,則S-9X(9J”=9X9+9X(9”9=405,

即上層有扇形石板405塊.

故答案為：405.

x+lax,%<L

is.已知函數(shù)/(x)=q㈤酸給出下列四個結(jié)論：

—,^>i.

①存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)“X)的最小值為0；

②存在實(shí)數(shù)。<0,使得函數(shù)/(X)的最小值為-1;

③存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)"X)恰有2個零點(diǎn)；

④存在實(shí)數(shù)4，使得函數(shù)FOO恰有4個零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①③

【解析】

【分析】取特殊值判斷①，當(dāng)a<0時，分別分析分段函數(shù)兩部分的最值判斷②，根據(jù)分段函數(shù)每部分的零

點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)可判斷③④.

X[X2,X<1,一..…

【詳解】當(dāng)。=0時，/(%)=,顯然函數(shù)的最小值為0,故①正確；

''[0,x>l.

,八?、a]nxz八，(1-Inx)

當(dāng)。<0時，/(%)=-----(x2l)，/(x)=―—5——~,

XX

當(dāng)l<x<e時，f\x)<0,當(dāng)e<x時，f\x)>0,

所以/(X)在[1,e)上單調(diào)遞減,在[e,-+W)上單調(diào)遞增，

所以％=e時，f(x)有最小值/(e)=—,由一=—1可得a=-e,

ee

此時，時，/(%)=——2ex,/⑴在(一8』)上單調(diào)遞減，所以=1—2e,

與最小值為T矛盾，

若％<1時，/(%)=—+2ax的對稱軸方程為x=-a>0,當(dāng)尤=一。<1時，

即1時，/(%)1111n=/(—〃)=—/，若—/=-!,貝!]〃=-!與〃>_1矛盾，

當(dāng)％=時，/(九)在(-00』)上單調(diào)遞減，無最小值，

綜上，當(dāng)a<0時，函數(shù)的最小值不為-1,故②錯誤;

由②知，a<—1時，X<1時，AM單調(diào)遞減且/(0)=。，當(dāng)為21時，/(%)40且/(1)=0,所以函數(shù)

恰有2個零點(diǎn)，故③正確；

當(dāng)。>0時，/'。)=也±20(%21)且僅有/(1)=0,即y(x)=3g(x?l)有且只有1個零點(diǎn)，

XX

當(dāng)a<0時，，(刈=色吧40(X》1)且僅有八：1)=0,即/■(乃=也土(》》1)有且只有1個零點(diǎn)，

XX

綜上awO時，/(x)="I"”-。1)有且只有1個零點(diǎn),而/'(x)=/+2以=x(x+2a)在％<1上至多有

x

2個零點(diǎn)，

所以aw0時，函數(shù)沒有4個零點(diǎn)，當(dāng)。=0時，函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)，故④錯誤.

故答案為：①③

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對。分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究［1,”)上的函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)性

質(zhì)研究另一段函數(shù).

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)y(x)=2sinxcosx-2asin2x+a(a>0),f(x)的最大值為2?

(1)求〃的值；

jr

(2)將f(x)的圖象向右平移一個單位得到g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

3

【答案】⑴a=6

,兀75兀/,r-r\

(2)kit-----,kit-\----(左￡Z)

1212v7

【解析】

【分析】(1)先利用二倍角公式和輔助角公式化簡/(尤)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可;

(2)利用三角函數(shù)的平移公式求出g(x),再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

因/(%)=sin2%+?cos2x=yjl+a'sin(2%+,

.a1

其中sin0=/,COS(P=f

,1+/Tiw

所以Jl+/=2,

又因?yàn)閍>0,解得a=

【小問2詳解】

由(1)可得/(x)=sin2x+6cos2x=2sin[2x+1],

將/")的圖象向右平移g個單位可得g(x)=2sin2卜+￡—=2sin12x—三

Jr57r

即函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為k7i--,kn+—(左eZ).

17.第十四屆全國冬季運(yùn)動會雪橇項(xiàng)目比賽于2023年12月16日至17日在北京延慶舉行，賽程時間安排如

下表：

9:30單人雪橇第1輪

10:30單人雪橇第2輪

12月16日星期六

15:30雙人雪橇第1輪

16:30雙人雪橇第2輪

9:30單人雪橇第3輪

12月17日星期日10:30單人雪橇第4輪

15:30團(tuán)體接力

(1)若小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，求他恰好看到單人雪橇和雙人雪橇的概率；

(2)若小明在這兩天的所有比賽中隨機(jī)觀看三場，記X為看到雙人雪橇的次數(shù)，求X的分布列及期望

E(X)；

(3)若小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，用“4=1”表示小明在周六看到單人雪橇，“41=0”表示小明在

周六沒看到單人雪橇，=1”表示小明在周日看到單人雪橇，忖2=0”表示小明在周日沒看到單人雪

橇，寫出方差D"i）,0（$）的大小關(guān)系.

【答案】⑴!

3

（2）分布列見解析，!

（3）D借）〉D值）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)分類乘法計數(shù)原理及古典概型求解；

（2）根據(jù)題意求出概率，列出分布列，求出期望即可；

（3）分別計算。（5）,￡）（5）,即可得解.

【小問1詳解】

記“小明在每天各隨機(jī)觀看一場比賽，恰好看到單人雪橇和雙人雪橇”為事件A.

由表可知，每天隨機(jī)觀看一場比賽，共有4x3=12種不同方法，

其中恰好看到單人雪橇和雙人雪橇，共有2x2=4種不同方法.

41

所以。（4）=方=鼠

【小問2詳解】

隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.

c102

根據(jù)題意，P（X=°）=涓'=^=7,

P(X=1)=黃_20_4

-35-7

。回=2）=寧5

-35-7

隨機(jī)變量X的分布列是:

X012

24j_

P

777

數(shù)學(xué)期望E（X）=0xm+lxg+2xg=g.

【小問3詳解】

由題意，p（^=o）=|=1,P信=1）H，

所以石（。）=0*<+1><3=3,。侑）=[0—+—￡fx；=?

i2

因?yàn)楫a(chǎn)值=0）=『P值=1）="

所以E（4）=Oxg+lx'|,*）="|Jx；+[l-|Jx：=|;

所以。信）>。倡）.

18.如圖，四棱柱ABC?！狝4G。的底面A3CD是邊長為2的正方形，側(cè)面人。，4，底面A3CD，

DQ=3,E是BC的中點(diǎn).

（1）求證：28〃平面GED；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇：個條件作為已知，使二面角D-GE-用唯一確

定，并求二面角D—￡E—用的余弦值.

條件①：。1。=而；

條件②：耶=后；

條件③：AD1QD.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

【答案】（1）證明見解析

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）方法一：利用線面平行的判定定理找到。E〃DR可證；方法二：利用面面平行的判定定理證

明平面Aq//平面GDE進(jìn)而證明結(jié)論;

（2）選①：說明條件GD=J已不能確定棱柱特點(diǎn)即可求解；選②③：證明平面A3CD,建立空

間坐標(biāo)系，求得二面角

【小問1詳解】

證明：

方法一：在四棱柱ABC?！?4GR中，連結(jié)D。，設(shè)DCX=O,

連結(jié)0E,在△RBC中，因?yàn)椤?、E分別為2cBe的中點(diǎn)，

所以。E//RB,又因?yàn)?￡u平面6。后，28<2平面6。石，

所以。3//平面C]DE.

方法二：在四棱柱ABC。—44GR中，設(shè)瓦G中點(diǎn)為產(chǎn)，

連結(jié)，/，BF，F(xiàn)E,

因?yàn)?/BE,FC,=BE,所以FGEB為平行四邊形，

所以FB//C[E,又EB.平面GDE，GEu平面6。石，故尸B//平面G^E,

因?yàn)镋F//CC,//DDVEF=Cq=DD「所以DRFE為平行四邊形，

所以DiF〃DE,又。田仁平面GDE,DEu平面GDE,故￡>尸//平面G^E，

因?yàn)?。尸F(xiàn)B=F,EB,D^u平面DFB,故平面jEB//平面，

因?yàn)镈13u平面2，咕，所以鼻8〃平面GED.

【小問2詳解】

選擇條件①：

因?yàn)榈酌鍭3CD是正方形，所以CDJ_AD,

側(cè)面ADDXAX1平面ABCD,且側(cè)面ADDX\n平面ABCD=AD,CDu平面ABCD,

故CD，平面ADD】A，又。2u平面ADD】A，則

即四邊形。CG2為矩形，因?yàn)镽O=3,CD=GR=2,則百￡)=/，

與選擇條件①：GZ)=屈等價，故條件。]。=屈不能進(jìn)一步確定的夾角大小，故二面角

D-ClE-Bl不能確定；

選擇條件②：

連結(jié)2A,因?yàn)榈酌鍭3CD是正方形，所以明，AD，

又因?yàn)閭?cè)面，平面A3CD,且側(cè)面ADQAc平面A5CD=AO,胡匚平面A3CD,

所以R4工平面ADD】A，又2ADDIU平面ADD^,所以84，DtA,BA1DtD,

在母△QAB中，因?yàn)椤３?屈,AB=2,所以。①二相，

在中，因?yàn)锳D=2,D,D=3,所以AD_LD，，

又A54。=4,人54￡)匚平面43。。，所以。。，平面A3CD,又AD_LCD,

所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,其中￡>(0,0,0),C/0,2,3),E(l,2,0),C(0,2,0),

且￡>G=(0,2,3),DE=(1,2,0),易知。C=(0,2,0)為平面6石印的一個法向量，

,、[n-DC]=0,[2y+3z=0

設(shè)〃=(x,y,z)為平面GDE面的一個法向量，貝叫即，八.

n-DE=0,〔x+2y=0

vDCn-63

不妨設(shè)y=-3,則x=6,z=2,可得〃=(6,—3,2),所以=面標(biāo)=式鬲=一亍，

3

因?yàn)槎娼恰！闑—用的平面角是鈍角，設(shè)為。，故cos8=—亍，

3

所以二面角?！狦E—用的余弦值為-7.

選擇條件③：

因?yàn)榈酌鍭3CD是正方形，所以AO_LZ)C,

因?yàn)锳。_LCQ,且。CcCXD=D,DC,CrDu平面CXDXDC,

所以平面Ci。。。，因?yàn)?，Du平面G2DC,所以

因?yàn)閭?cè)面AD2A，平面A3CD,且側(cè)面A。。14c平面ABCD=AO,"Du平面ABC。，

所以。。，平面A3CD,又AOLCD,

所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-孫Z,（下面同選擇條件②）.

19.已知橢圓E:二+J=l（a〉6〉0）的離心率為乎，AC分別是E的上、下頂點(diǎn)，|ACI=2,B,D分

別是E的左、右頂點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)P為第二象限內(nèi)E上的動點(diǎn)，直線P￡＞與直線交于點(diǎn)直線成與直線CD交于點(diǎn)N,求

證：MN±BD.

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由已知列出關(guān)于七仇c的方程組，求得。力即可得解；

（2）首先設(shè)直線尸。的方程為、=依尤-2）,聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)一步表示出各

直線方程聯(lián)立直線方程證得",N的橫坐標(biāo)相等即可.

【小問1詳解】

'2b=2

由題設(shè)，＜￡=當(dāng)，解得a=2,6=1.

a2

cr=b-+c2

2

所以E的方程為r土+J=1.

4J

【小問2詳解】

2

因?yàn)闄E圓E的方程為?+＞2=1,所以A（O,1）,C（O,—1）,5（—2,0）,￡＞（2,0）,

設(shè)直線尸。的方程為y=依尤一2）,其中-3＜%＜（）.

y=k(x-2)

由1犬，，化簡并整理得,(1+4左2)尤2—16左2%+16左2—4=0,

—+y2=1

14-

116^2-4

由可得A〉o,由韋達(dá)定理有2xp=,,

201+4左2

2

8k-2即p(8Zr-2-4k

所以巧＞='即尸(TB'干記)

1+4左2

直線的方程為—+二=1,即丁=—工犬―1.

-2-12

1，4k一2

由＜得=

2k+1

y=k(x-2)

=%+22

直線PB的方程為Yk「8左2—2即丁=—-

174-24k

直線CD的方程為2+上=1,即丁=！％—1.

2-12

y=-x-l,

24k-2

由＜得=

x+22k+l

y二------

4k

因XM=XN,所以肱VLBD.

20.已知函數(shù)/(x)=—lnjr+(2+a)%-2.

(1)若曲線y=/(x)的一條切線方程為丫=尤-1,求。的值;

(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù)，求。的取值范圍;

⑶若Vxeg^+j,/(%)無零點(diǎn)，求”的取值范圍.

【答案】(1)a=0

(2)6ie[-l,+oo)

(3)a￡(^o,-2]D(e—2,+oo)

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)由/*)在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù)，可得/⑴20在(1,2)內(nèi)恒成立，求出了'(%)的最小值即可得解;

(3)分。進(jìn)行討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

函數(shù)〃力的定義域?yàn)?0,+a)，設(shè)切點(diǎn)為(毛,為)，

11C?1

因?yàn)閞(x)=__+2+a,所以——+2+0=1,解得/=——，

x/1+?

因?yàn)?=—In%+(2+a)/—2,y0=x0-1,

所以-111%+(2+0)/-2=%-1,即In5=(l+a)5-1,所以In—^—=1-1=0,

1+a

所以，=1,解得。=0；

1+a

【小問2詳解】

因?yàn)?'(x)=—,+2+a,f(x)在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù)，

X

所以((%)20在(1,2)內(nèi)恒成立，

3

因?yàn)閤e(l,2),所以/'(x)e(a+l,a+5),

所以a+120,即ae［—l,+8)；

【小問3詳解】

因?yàn)榘藊)=」+2+a=(2+a)l,xe(o,+co),

XX

當(dāng)2+aWO,即aW—2時，/'(尤)<0,

所以f(x)在1J，+°°］上單調(diào)遞減，

因?yàn)?=2+(2+a)--2<0,

所以/(x)在上無零點(diǎn)，符合題意；

當(dāng)a>—2時，令/'(幻=。，則*=」一>0,

2+a

當(dāng)］時，/'(尤)<0,當(dāng)時，

12+a12+aJ

所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是;單調(diào)遞增區(qū)間是,

所以/(X)的最小值為/[彳^-]=-ln7F---1，