數(shù)學文化 課件 2-中國古代數(shù)學與九章算術(shù);3-數(shù)的歷史

數(shù)學文化第2章中國古代數(shù)學與《九章算術(shù)》章節(jié)目錄2.1中國古代文化中的數(shù)學2.2

《九章算術(shù)》及其對中國古代數(shù)學的影響*2.3

中西數(shù)學文化的比較與思考*2.4

關(guān)于數(shù)學文化史

原始社會末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了新的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器上面已刻有表示1，2，3，4的符號。到原始社會末期，已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。2.1中國古代文化中的數(shù)學2.1.1中國古代數(shù)學的萌芽

數(shù)學是中國古代科學中一門重要的學科，根據(jù)中國古代數(shù)學發(fā)展的特點，可以將其分為：萌芽、體系的形成、發(fā)展、繁榮和中西方數(shù)學的融合。

西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。

為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準、繩等作圖與測量工具。據(jù)《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。

西安半坡遺址出土文物

商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬；

與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；

在周代，又把以前用陰、陽符號構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。

公元前一世紀的《周髀算經(jīng)》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子。

《禮記·內(nèi)則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數(shù)目和記數(shù)方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數(shù)的訓練，作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開始成為專門的課程。

春秋戰(zhàn)國時期，籌算已得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進位值制，這種記數(shù)法對世界數(shù)學的發(fā)展具有劃時代的意義。這個時期的測量數(shù)學在生產(chǎn)上已經(jīng)有了廣泛應(yīng)用。中國的《周髀算經(jīng)》（公元前200年成書）宋刻本《周髀算經(jīng)》（西周，前1100年）《周髀算經(jīng)》中關(guān)于勾股定理的記載（上海圖書館藏）

戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數(shù)學的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學有關(guān)。名家認為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題；而墨家則認為名來源于物，名詞可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學定義，例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。

秦漢是封建社會的上升時期，經(jīng)濟和文化均得到迅速發(fā)展。中國古代數(shù)學體系正是形成于這個時期，它的主要標志是算術(shù)已成為一個專門的學科，以及《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學著作的出現(xiàn)。

2.1.2中國古代數(shù)學的形成

《九章算術(shù)》封面

《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學發(fā)展的總結(jié)。就其數(shù)學成就來說，堪稱是世界數(shù)學名著。例如分數(shù)四則運算、今有術(shù)、開平方與開立方、盈不足術(shù)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數(shù)運算的加減法則、勾股形解法等，在當時已經(jīng)達到很高的水平，其中方程組解法和正負數(shù)加減法在世界數(shù)學發(fā)展史上遙遙領(lǐng)先的；就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學完全不同的獨立體系。

《九章算術(shù)》顯著特點：采用按類分章的數(shù)學問題集形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用。這些特點是同當時社會條件與學術(shù)思想密切相關(guān)的。最后成書于東漢初年，排除了戰(zhàn)國時期在百家爭鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當時生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學問題及其解法，這與當時社會的發(fā)展情況是完全一致的。

《九章算術(shù)》在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當時的數(shù)學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數(shù)學的發(fā)展。

魏、晉時期出現(xiàn)的玄學，不為漢儒經(jīng)學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學從理論上加以提高。

吳國趙爽撰《周髀算經(jīng)注》

漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)注》

魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)注》

《九章重差圖》趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學體系奠定了理論基礎(chǔ)。2.1.3中國古代數(shù)學的發(fā)展

趙爽是中國古代對數(shù)學定理和公式進行證明與推導的最早的數(shù)學家之一。他在《周髀算經(jīng)》書中補充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學文獻。在“勾股圓方圖及注”中，他提出用舷圖證明勾股定理和解勾股形的5個公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式。趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，在中國古代數(shù)學發(fā)展中占有重要地位。

劉徽約與趙爽同時代，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想，主張對一些數(shù)學名詞特別是重要的數(shù)學概念給以嚴格的定義，認為對數(shù)學知識必須進行“析理”，才能使數(shù)學著作簡明嚴密。他的《九章算術(shù)注》不僅是對《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽

劉徽創(chuàng)造了割圓術(shù)，已經(jīng)有了極限的初步思想，并首次算得圓周率為157/50和

3927/1250。劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。割圓術(shù)

東晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟文化南移以后，南方數(shù)學發(fā)展的具有代表性的工作，他們在劉徽《九章算術(shù)注》的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學大大向前推進了一步。他們的數(shù)學工作主要有：

計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間（即約率22/7和密率355/113）；

提出祖暅原理（即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等）；

提出二次與三次方程的解法等。祖沖之（公元429-500年）

隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進了數(shù)學的發(fā)展。

唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數(shù)學的情況。王孝通在不用數(shù)學符號的情況下，列出數(shù)字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為后來天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。此外，對傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國子監(jiān)設(shè)立算學館，設(shè)有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂注釋《算經(jīng)十書》，作為算學館學生用的課本，明算科考試亦以這些算書為準。李淳風等編纂的《算經(jīng)十書》，對保存數(shù)學經(jīng)典著作、為數(shù)學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由于歷法的需要，天算學家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國古代數(shù)學的內(nèi)容。

算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點，但也存在布籌占用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術(shù)上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五升十進與位值制的優(yōu)點，又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點，優(yōu)越性十分明顯。但由于當時乘除算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應(yīng)用。中國古代算籌唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用于籌算，也適用于珠算。

公元960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學技術(shù)突飛猛進，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用。

1084年秘書省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，1213年鮑搟之又進行翻刻。這些都為數(shù)學發(fā)展創(chuàng)造了良好條件。2.1.4中國古代數(shù)學的繁榮

從11～14世紀約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學家和數(shù)學著作，如賈憲的《黃帝九章算法細草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學啟蒙》《四元玉鑒》等，其中一些成就也是當時世界數(shù)學的高峰。從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍，實現(xiàn)這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數(shù)學發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負的情形)解法的是劉益?！稐钶x算法》中“田畝比類乘除捷法”卷，介紹了原書中22個二次方程和1個四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。

秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數(shù)書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問題。為了適應(yīng)增乘開方法的計算程序，秦九韶把常數(shù)項規(guī)定為負數(shù)，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數(shù)時，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母，常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù)部分，這是《九章算術(shù)》和劉徽《九章算術(shù)注》處理無理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第二位數(shù)時，秦九韶還提出以一次項系數(shù)除常數(shù)項為根的第二位數(shù)的試除法，這比西方最早的霍納方法早600多年。

秦九韶(南宋,約1202-1261年)《數(shù)書九章》(1247)秦九韶字道古，杭州市道古橋便是以他的字命名的元代天文學家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問題。秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法(他們稱為招差術(shù))，朱世杰得到一個四次函數(shù)的內(nèi)插公式。

用天元(相當于今天的未知數(shù)x)作為未知數(shù)符號，列出高次方程，古代稱為“天元術(shù)”，這是中國數(shù)學史上首次引入符號，并用符號運算來解決建立高次方程的問題?，F(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測圓海鏡》。

李冶(金、元1192-1279年)

《測圓海鏡》(1248)天元術(shù)（一元高次方程）從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學家的又一項杰出的創(chuàng)造。對這一杰出創(chuàng)造進行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，他把常數(shù)放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個一元高次方程式，然后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù)，最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展，比西方同類方法早400多年。

勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展，朱世杰在《算學啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術(shù)》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內(nèi)容。已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個解球面直角三角形的問題，傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會圓術(shù)和天元術(shù)解決此問題。中國古代計算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術(shù)書目，其數(shù)量遠比唐代為多，改革的主要內(nèi)容仍是乘除法。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應(yīng)該說它最后完成于元代。從明初到明中葉，商品經(jīng)濟有所發(fā)展，和這種商業(yè)發(fā)展相適應(yīng)的是珠算的普及。明初《魁本對相四言雜字》和《魯班木經(jīng)》的出現(xiàn)，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，后者把算盤作為家庭必須用品列入一般的木器家具手冊中。隨著珠算的普及，珠算算法和口訣也逐漸趨于完善。王文素、程大位、徐心魯?shù)葦?shù)學家增加了起一口訣，加、減口訣并在除法中廣泛應(yīng)用歸除，從而實現(xiàn)了珠算四則運算的全部口訣化。

如果說《幾何原本》集中地體現(xiàn)了古希臘的數(shù)學傳統(tǒng)，那么，中國古代特有的數(shù)學傳統(tǒng)就在《九章算術(shù)》中有著典型的表現(xiàn)?！毒耪滤阈g(shù)》的確切寫作起始年代已不可考。作為中國古代數(shù)學的集大成者，這一著作應(yīng)當說許多不同年代的修改與補充，才逐漸成為一種模式。2.2.1

《九章算術(shù)》2.《九章算術(shù)》及其對中國古代數(shù)學影響

《九章算術(shù)》采用問題集的形式,收集有246個與生產(chǎn)、生活實踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題,按不同內(nèi)容列為九章,是為《九章算術(shù)》書名之由來。以方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股共9個類型的實踐應(yīng)用性問題共分為9章。每道題有問(題目)、答(答案)、術(shù)(解題步驟和方法)。有的是一題一術(shù),有的是多題一術(shù),有的是一題多術(shù)?！靶g(shù)”實際是可應(yīng)用的算法,以算籌為工具,是布列算籌的算法。全書共計246個問題，共給出202個具體的算法——“術(shù)”。

公元前221年，秦始皇結(jié)束了長達5個多世紀兼并征戰(zhàn)的局面，建立起我國第一個中央集權(quán)的國家，獎勵耕織、興修水利、重視冶煉、建筑長城，在生產(chǎn)推動下，科學技術(shù)有了很大的發(fā)展。至西漢前期，生產(chǎn)、科學技術(shù)有了更進一步發(fā)展，《九章算術(shù)》是在這種歷史條件下成書的，是我國著名的《算經(jīng)十書》中最重要的一部。

《九章算術(shù)》成書于宋代，實際上除了個別片段外，它的基本內(nèi)容應(yīng)完成于公元前200年或更早些。由于秦朝的焚書，導致無一完整的數(shù)學書籍流傳下來，但由于先秦和西漢生產(chǎn)、科技的發(fā)展，使之積累了大量的數(shù)學知識，后經(jīng)西漢的張蒼、耿秦昌將秦火殘卷片和積累的數(shù)學知識收集、加工、刪補整理編成《九章算術(shù)》?！毒耪滤阈g(shù)》是從先秦“九數(shù)”發(fā)展來的。原書有插圖，作者名氏不詳?，F(xiàn)傳本無插圖，書分九章，包括魏晉時劉徽和唐時李淳風等的注釋，北宋賈憲的細草，南宋楊輝的詳解，是世界數(shù)學經(jīng)典名著。

《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容如下：

第一章：方田(土地測量，共36題)。主要講各種形狀的田畝面積的計算,同時系統(tǒng)地敘述了分數(shù)的加、減、乘、除的運算法則及分數(shù)的簡化。其中重要的術(shù)是“割圓術(shù)”。

第二章：粟米(糧食交易,共46題)。專講各種谷物之間的兌換問題。主要涉及比例運算問題,求第四比例項的算法,稱之為“今有術(shù)”。

第三章：衰分(比例分配,共2O題)。專講配分比例算法問題。其中重要的術(shù)是“衰分術(shù)”。

第四章：少廣(計算寬度,共24題)。已知面積和體積,求其一邊長和徑長等,專講開平方、開立方問題。其中重要的術(shù)是“開方術(shù)”，它開啟了中國古代解一元高次方程的先河。

第五章：商工(土方工程計算,共28題)。專講各種土木工程中提出的各種數(shù)學問題。主要是各種立體圖形體積的計算。其中重要的術(shù)是“陽馬術(shù)”，它開創(chuàng)了中國古代數(shù)學獨特的證明方法。第六章：均輸(公平的征稅,共28題)。專講如何按人口、路途遠近等合理運輸問題,以及按等級分物問題,合理攤派捐稅徭役的計算問題。（古時有“均輸平準”政策—當時按個地區(qū)人口多少、路途遠近、生產(chǎn)的糧食種類、繳納實物或攤牌徭役的計算方法）其中重要的術(shù)是“均輸術(shù)”。第七章：盈不足(過剩與不足,共2O題)。介紹一種叫做“盈不足術(shù)”的重要數(shù)學方法。問題涉及的內(nèi)容多與商業(yè)有關(guān)。其中重要的術(shù)是“盈不足術(shù)術(shù)”。第八章：方程(列表計算法,共18題)。主要講一次聯(lián)立方程組的解法,也就是介紹利用線性方程組和增廣矩陣求解線性方程的一種方法,其中又提出了正負數(shù)的概念及其加減運算法則。其中重要的術(shù)是“方程術(shù)”，它相當于現(xiàn)在利用線性方程組的系數(shù)增廣矩陣變換的方法。第九章：勾股(直角三角形,共24題)。主要講勾股定理的各種應(yīng)用問題,還提出了一般二次方程的解法。其中重要的術(shù)是“勾股術(shù)”。

從結(jié)構(gòu)上看:

《九章算術(shù)》是按問題的性質(zhì)和解法把全部內(nèi)容分類編排；

《幾何原本》則是以形式邏輯方法把全部內(nèi)容貫穿起來。從內(nèi)容上看:

《九章算術(shù)》是以解應(yīng)用題為主,包括了算術(shù)、代數(shù)、幾何等我國數(shù)學的全部內(nèi)容。其中代數(shù)是為中國所創(chuàng)，而幾何中一些復(fù)雜的體積(楔形)計算水平之高是為《幾何原本》所沒有的；

《幾何原本》以數(shù)理邏輯內(nèi)容取勝。從產(chǎn)生背景看:

《九章算術(shù)》產(chǎn)生于百家爭鳴形成眾多流派的春秋戰(zhàn)國和秦漢時期，當時生產(chǎn)技術(shù)的發(fā)展需要應(yīng)用數(shù)學解決大量的實際問題，有力地推動應(yīng)用數(shù)學的普及和發(fā)展，直接體現(xiàn)出數(shù)學的應(yīng)用；

《幾何原本》成書于希臘形式邏輯的發(fā)展時期，寫書的目的是抽象出幾何規(guī)律，未直接體現(xiàn)出應(yīng)用。

中國古代數(shù)學的獨特現(xiàn)象之一是數(shù)字最終演化為以“籌”（竹棍）的形式來表示，并以此為工具進行數(shù)學的運演操作。這是一種與古希臘數(shù)學符號運演相異的手工操作運演形式。（1）開放的歸納體系

中國古代數(shù)學發(fā)展與社會的生產(chǎn)實踐緊密結(jié)合，以解決現(xiàn)實生活中的實際問題為直接功利目的?！毒耪滤阈g(shù)》包括246個應(yīng)用題及答案。它通常是先給出一些問題，從中歸納出某一類問題的一般解法；再把各類算法綜合起來，得到解決該領(lǐng)域各種問題的方法；再對這些不同方法進行歸納，提煉出數(shù)學模型，然后以各模型立章，編成《九章算術(shù)》。因此，《九章算術(shù)》具有濃厚的人文色彩、鮮明的社會性和突出的數(shù)學應(yīng)用，是一個與社會實踐緊密聯(lián)系的開放體系。2.2.2

《九章算術(shù)》的主要特征（2）算法化的概括《九章算術(shù)》按問題性質(zhì)和解法分為九大類,每一大類為一卷；每一卷又分幾小類，每一小類都有一般解題步驟。這種步驟相當于現(xiàn)代數(shù)學的公式。大部分題都可套用解題步驟(公式)求得解答。即用一個固定的模式解決問題，形成所渭算法傾向?！毒耪滤阈g(shù)》的這種“以解題為中心，在解題中給出算法，根據(jù)算法組建理論體系”，是中國古代數(shù)學理論體系的典型代表。

(3)模型化的方法

《九章算術(shù)》各章都是先從相應(yīng)的社會實踐中選擇具有典型意義的現(xiàn)實模型,并把它們表述成問題,然后通過“術(shù)”使其轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型,或由數(shù)學模型轉(zhuǎn)化為對原型的應(yīng)用。這正與現(xiàn)代數(shù)學教學中的“數(shù)學建?！毕嘁恢?。（4）獨特的籌算運演方式籌算的方法，即用竹棍作為數(shù)學符號、作為運演操作的工具是中國古代文化對人類數(shù)學的一個獨特貢獻。這種籌算的操作方式和運演程序表現(xiàn)了中國古代數(shù)學的極大創(chuàng)造性。這種運演操作不僅可以進行加、減、乘、除、開方、開立方的運算，而且在方程的運算方面更達到了令人驚奇的地步。

綜上，我們可以得出中國古代數(shù)學的基本特征為：

（1）以應(yīng)用為目的的實用數(shù)學模式；

（2）以“籌算”為工具的數(shù)學表示形式與運演方式；

（3）以“算法”為核心的數(shù)學方法論與數(shù)學體系。2.2.3中國古代數(shù)學的特征

中國古代數(shù)學技藝性的文化價值觀，以及它保留、傳播和應(yīng)用的極少數(shù)仕大夫群體和少數(shù)的社會實用技藝群體，使中國籌算的發(fā)展形成了兩種獨特的發(fā)展趨勢。

（1）任何一種數(shù)學傳統(tǒng)一旦得以形成，特別是具有了確定的方法和構(gòu)造模式，就獲得了一定的自主性或獨立性，即其自身會在一定程度上產(chǎn)生引導數(shù)學家前進的動力。特別是，數(shù)學作為概念、方法和理論所存在的有待于進一步研究和解決的問題就會促使數(shù)學家深入地去進行研究。比如中國古代籌算會發(fā)展自己的概念、方法、構(gòu)造形式和解決問題的難度。

（2）籌算作為中國文化系統(tǒng)中的技藝應(yīng)用系統(tǒng)，必然最終演化為一種計量應(yīng)用的實用工具。這就是說，籌算的竹棍排擺運演形式必然會在社會實踐應(yīng)用的壓力和文化價值的經(jīng)世致用的技藝價值觀念引導下，發(fā)展成為一種更方便、更實用的算法，這就是珠算。*2.3

中西數(shù)學文化的比較與思考

關(guān)于中西數(shù)學文化的比較研究，應(yīng)當注意以下三個層面的問題：

第一，如何正確地揭示數(shù)學價值觀的差異對數(shù)學的形成發(fā)展、以及由此演化而成的數(shù)學構(gòu)造體系的重要影響？

第二，如何從上述角度去認識《九章算術(shù)》與《幾何原本》的差異并作出評價？

第三，除去兩者的差異外，什么又是兩者乃至整個古代人類數(shù)學的共同特征？

《幾何原本》與《九章算術(shù)》是在不同的數(shù)學價值觀指導下，并在文化系統(tǒng)的不同層面上得到發(fā)展和建構(gòu)的。具體地說，《幾何原本》是在數(shù)學作為表現(xiàn)世界、構(gòu)造世界的基本形式這一價值觀念下展開它的理性意義上建構(gòu)的，這就使得《幾何原本》建立在一種理性論證的基礎(chǔ)上，以適應(yīng)當時文化理性思辨的具體要求，也就應(yīng)當是幾何的、三段論式的，并表現(xiàn)為完全脫離具體問題的一種邏輯演繹建構(gòu)。

第一個問題的回答：

《九章算術(shù)》是在中國文化實用技藝的價值觀念下展開構(gòu)成的。作為實用的技藝，就應(yīng)對現(xiàn)存的社會問題給出具體的、可應(yīng)用的方法就是《九章算術(shù)》的惟一追求。非邏輯為主并且運用直觀、類比、歸納等思維方式，表現(xiàn)具體問題并以實用的方法進行分類，數(shù)學的概念與運演方法——“術(shù)”緊密地聯(lián)系在一起，這些就是《九章算術(shù)》的主要特征。

如果承認不同的民族文化會對古代的數(shù)學創(chuàng)造和發(fā)展造成重要影響的話，那么，一個必然的結(jié)論就是：我們同時也應(yīng)承認不同的民族文化在古代數(shù)學創(chuàng)造中形成的各種不同的數(shù)學形式、方法和構(gòu)造等都有其內(nèi)在的合理性。從這樣的角度去分析，我們就不應(yīng)把某種特定文化中的數(shù)學模式人為地界定為人類古代數(shù)學的標準模式，而應(yīng)明確承認不同文化對古代數(shù)學的貢獻，并依據(jù)這樣的立場去進行比較和評價。

第二個問題的回答：（1）《幾何原本》從公理、公設(shè)及概念出發(fā)展開理性論證；

《九章算術(shù)》從實踐應(yīng)用問題出發(fā)展開其實際應(yīng)用。（2）《幾何原本》的運演過程明確地表現(xiàn)為邏輯三段論式的形式；

《九章算術(shù)》的籌算運演則表現(xiàn)為確定的手工操作程序。（3）《幾何原本》以概念、公設(shè)、公理為基礎(chǔ)，通過邏輯論證獲得數(shù)學結(jié)果——命題；

《九章算術(shù)》以具體問題為基礎(chǔ)，以“術(shù)”——籌算規(guī)律獲得問題的解決?！毒耪滤阈g(shù)》與《幾何原本》有以下幾個方面的差異（4）《幾何原本》的命題運演過程明確表現(xiàn)在文字符號的書寫過程之中；

《九章算術(shù)》的籌算運演只保留結(jié)果，相應(yīng)的運演過程在手工操作后都不復(fù)存在。（5）歐幾里得按當時的理性要求分類規(guī)劃了《幾何原本》的結(jié)構(gòu)，并以5種正多面體的論證作為全書的結(jié)尾；

《九章算術(shù)》按解決具體問題的要求分類劃分，其目標為實用，而不是要在理性或抽象數(shù)學的意義上進行邏輯形式的建構(gòu)。

作為《九章算術(shù)》與《幾何原本》的比較，除去上述的差異以外，我們也應(yīng)注意兩者的共同點。我們認為，兩者共同的特征表現(xiàn)為5個方面：

（1）概念方面。數(shù)學應(yīng)當形成脫離具體事物屬性、也即具有一定抽象意義的概念，后者并應(yīng)具有一般意義的指稱（如“率”、“衰分”、“盈不足”等）。一般地說，數(shù)學概念即表明了對數(shù)學的理解和抽象程度。

第三個問題的回答：

（2）運演規(guī)則方面。數(shù)學應(yīng)當有明晰的可用以解決問題（的運演規(guī)則，并足以滿足當時社會對數(shù)學的要求。運演規(guī)則的深化和發(fā)展是數(shù)學發(fā)展的重要表現(xiàn)形式之一。

（3）對數(shù)學概念和運演方式的思辨方面。數(shù)學的概念和運演方式應(yīng)當具有令人信服的論述或論證。這種對數(shù)學概念、運演方式的論述與思辯正是數(shù)學走向理性的臺階。

（4）方法論的規(guī)范性層面。數(shù)學應(yīng)當具有自己的方法論，也即在方法的層面上具有一定的規(guī)范性。數(shù)學由個別特例的解決方法上升為規(guī)范的數(shù)學方法的過程是數(shù)學發(fā)展進步的重要方面。

（5）體系建構(gòu)方面。數(shù)學的體系應(yīng)當具有確定的意向或目的明確的分類性（無論是理性層面還是實用層面）。這種分類的細化、改變也是數(shù)學的一個重要方面。*2.4

關(guān)于數(shù)學文化史

對于數(shù)學史的研究可分為內(nèi)史和外史。一般地說，研究數(shù)學自身的歷史發(fā)展屬于內(nèi)史，用大系統(tǒng)的觀點把數(shù)學的發(fā)展和整個社會發(fā)展聯(lián)系起來進行研究屬于外史。數(shù)學文化史的研究就屬于外史，但在一定程度上超出了一般意義上數(shù)學外史的研究范圍。

首先，數(shù)學文化史的研究與傳統(tǒng)數(shù)學史研究的區(qū)別在于，數(shù)學文化史的研究把數(shù)學看成是一種文化現(xiàn)象，并是在文化傳統(tǒng)這種看不見但又確實存在的系統(tǒng)內(nèi)研究數(shù)學的發(fā)展。例如，它從文化傳統(tǒng)的意義上說明古希臘為什么要把數(shù)看做是點與線段；同樣地，為什么中國籌算把有關(guān)幾何圖形的運算轉(zhuǎn)換成籌算的運算而不是相反。

其次，與一般外史研究相比，數(shù)學文化史更加注重實際從事數(shù)學研究的群體所具有的文化傳統(tǒng)觀念及其對數(shù)學發(fā)展的影響。特別是，數(shù)學文化史的研究具體指明了各種文化系統(tǒng)中的數(shù)學價值觀念，而這事實上就從一個側(cè)面揭示了數(shù)學家群體的文化價值追求，從而使人們對數(shù)學的發(fā)展有更為深入的文化意義上的理解。

最后，數(shù)學文化史力圖通過不同文化中數(shù)學發(fā)展過程的具體考察和比較，揭示數(shù)學的價值觀念、理論狀況與數(shù)學發(fā)展方向等在不同文化中的共同規(guī)律和特征，從而為不同數(shù)學傳統(tǒng)的比較評價建立一個客觀、公允的準則，并為人們更為深入地認識數(shù)學的本質(zhì)提供一種新的視野。

第一，數(shù)學文化史的研究清楚地表明了我們的確應(yīng)把數(shù)學看做整個人類文化的一個有機組成部分。

第二，從文化的角度分析，可使我們更好地理解中西古代數(shù)學不同表現(xiàn)方法、構(gòu)造體系的合理性和當然性。

第三，數(shù)學文化史的研究為一般文化史的研究提供了有益的啟示。數(shù)學文化史研究的意義

1.簡述《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容與特征。2.簡述中國古代數(shù)學的特征。3.中西古代數(shù)學比較中應(yīng)注意什么問題？思考題謝謝數(shù)學文化第3章

數(shù)的歷史章節(jié)目錄3.1數(shù)的初始發(fā)展階段3.2復(fù)數(shù)及其文化意義

3.3

數(shù)的現(xiàn)代發(fā)展3.4數(shù)的本質(zhì)的哲學探討

(1)僅由正整數(shù)組成的數(shù)系

(2)整數(shù)集合，包括正的和負的整數(shù)及零

(3)有理數(shù)集合，包括分數(shù)與整數(shù)

(4)實數(shù)集合，包括無理數(shù)在內(nèi)3.1

數(shù)的初始發(fā)展階段

正整數(shù)是人類最早接觸到的數(shù)。每個人從牙牙學語的時候起，就開始學習數(shù)數(shù)。我們現(xiàn)在通常所用的是所謂的阿拉伯數(shù)字（其實應(yīng)該是印度人發(fā)明的）：十個基本數(shù)碼0，1，2，3，4，5，6，7，8，9以及十進位制。但在古代，各個不同的國家與地區(qū)有不同的記數(shù)方法，例如羅馬人把它們寫成I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，……；希臘人把它們寫成α，β，……；并且也有不同的位值制。

“‘【

大約在幾萬年以前，原始人最初產(chǎn)生的“數(shù)”的概念是“有”和“無”，這是人類最原始的數(shù)的概念。考古學家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)人類歷史上最早的數(shù)碼字是三千七八百年前埃及人的，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10和大約在3400年前我國殷朝遺留下來的甲骨文中的13個數(shù)碼。繼這之后大約在兩三千年前左右的古希臘時代的人們已經(jīng)掌握了正整數(shù)。為了討論方便，我們記。人們很早就掌握了它們之間最簡單的運算：加法、減法、乘法、除法。

1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了十張一套題為“改變世界面貌的十個數(shù)學公式”郵票，由一些著名數(shù)學家選出十個對世界發(fā)展極有影響的公式來表彰。這十個公式不但造福人類,而且具有典型的數(shù)學美：簡明性、和諧性、奇異性。其第一個公式就是手指計數(shù)基本法則：1+1=2（圖3-1）。這是人類對數(shù)量認識的最基礎(chǔ)公式。

圖3-1

人類祖先計數(shù)，都是從這一公式開始的，都是從手指計數(shù)基本法則開始，因為人有十個手指，計算時以手指輔助。正是這一事實自然地孕育形成了現(xiàn)在我們熟悉的十進制系統(tǒng)。記數(shù)法與十進制的誕生是文明史上的一次飛躍。

由于生活實踐的需要，比如說，幾個人分一些食物，往往并不是每次分東西都能“分得盡”，用數(shù)學的運算來說就是不能整除的問題常常出現(xiàn)。這就迫使人們?nèi)で髷?shù)的發(fā)展，于是出現(xiàn)了分數(shù)——形如的新理想數(shù)。分數(shù)的出現(xiàn)，也使得乘法的逆運算——除法能通行無阻地進行。

在數(shù)學史上，分數(shù)的出現(xiàn)被認為是數(shù)的第一次擴張。許多民族的古代文獻中都有關(guān)于分數(shù)的記載和各種不同的分數(shù)制度。早在公元前2100多年，古巴比倫人就使用了分母是60的分數(shù)。公元前1850年左右的埃及算學文獻中，也開始使用分數(shù)。我國春秋時代的《左傳》中，規(guī)定了諸侯的都城大?。鹤畲蟛豢沙^周文王國都的三分之一，中等的不可超過五分之一，小的不可超過九分之一。秦始皇時代的歷法規(guī)定：一年的天數(shù)為三百六十五又四分之一天。大約公元前550年左右，古希臘畢達哥拉斯學派就認為“萬物皆數(shù)”，即“宇宙間的一切現(xiàn)象都歸結(jié)整數(shù)或整數(shù)之比”。

負數(shù)的出現(xiàn)比分數(shù)要晚很多年。由于人們在生活中經(jīng)常會遇到各種相反意義的量，例如，生意的盈虧，余錢和欠債等。為了方便，人們就考慮了用相反意義的數(shù)來表示，于是就引入了正負數(shù)的概念：把余錢記為正，把虧錢欠債記為負。從有關(guān)史料上看，不論先后，各個國家和地區(qū)的負數(shù)概念都首先產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐。

中國是世界上最早應(yīng)用負數(shù)的國家。在目前所知最早的一部我國數(shù)學著作《算術(shù)書》中就出現(xiàn)了負數(shù)的概念及其加、減法運算。比較詳細且準確的記載負數(shù)運算的應(yīng)是在《九章算術(shù)》中。公元263年劉徽在《九章算術(shù)注》中明確給出了正、負數(shù)概念與正負數(shù)的加減法則。

印度人對負數(shù)的應(yīng)用最早見于婆羅摩笈多的著作《婆羅摩歷算書》中。他不僅給出了正負數(shù)的加減法則，還建立了正負數(shù)的乘除法則。而在阿拉伯世界，10世紀阿拉伯著名數(shù)學家、天文學家艾布瓦發(fā)的一份未發(fā)表的算術(shù)手稿中應(yīng)用了負數(shù)。

在西方，對于負數(shù)的認識和接受顯得極為緩慢，而且西方數(shù)學家更多的追問負數(shù)存在的合理性。16、17世紀歐洲大多數(shù)數(shù)學家不承認負數(shù)。

帕斯卡認為從0減去4是純粹的胡說。

帕斯卡的朋友阿潤德提出了一個有趣的說法來反對負數(shù)，他說，較小的數(shù)與較大的數(shù)的比怎么能等于較大的數(shù)與較小的數(shù)比呢？

萊布尼茨也承認阿潤德這種說法合理。

英國數(shù)學家、英國皇家學會創(chuàng)始人之一瓦里士在《無窮大算術(shù)》一書中，作出了如下的推導：比如一個分式10/x，當分母x取值10，1，0.1，0.01，0.001，時，分式值分別是1，10，100，

，規(guī)律是分母越小，分式值越大。當分母接近0的時候，分式值變成“無窮大”。這時如果分母的值再進一步變小，即變到小于0的時候，那么分式值就變得比變得“比窮大”還要大。而我們知道，分母比0小的時候分數(shù)值10/x是一個負數(shù)，所以負數(shù)應(yīng)該是一個比無窮大還要大的數(shù)。

英國著名代數(shù)學家德摩根在1831年仍認為負數(shù)是虛構(gòu)的。他用以下的例子說明這點：“父親5歲，其子29歲，問何時父親年齡將是兒子的二倍？”他列方程，并解得。他稱此解是荒唐的。到了18世紀，歐洲排斥負數(shù)的人已經(jīng)不多了。隨著19世紀整數(shù)理論基礎(chǔ)的建立，負數(shù)在邏輯上的合理性得到建立。

在現(xiàn)今的中小學教材中，負數(shù)的引入通常是通過算術(shù)運算的方法引入的：只需以一個較小的數(shù)減去一個較大的數(shù)，便可以得到一個負數(shù)。例如，2-3=-1。這種引入方法可以在某種特殊的問題情境中給出負數(shù)的直觀理解。

有了負數(shù)和分數(shù)，我們就有了有理數(shù)的概念：所有整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。

對自然數(shù)而言，有理數(shù)系是較完美的集合了。

首先，它對加、減、乘、除（除數(shù)不為0）四種運算封閉，有理數(shù)集合是一個數(shù)域。

其次，有理數(shù)有簡單的幾何表示：我們通過建立數(shù)軸的方法使每一個有理數(shù)都能對應(yīng)數(shù)軸上的一個點。

再次，由于任何兩個有理數(shù)之間都還有有理數(shù)，如設(shè)a和b是任意的兩個有理數(shù)，則就是位于這兩個數(shù)之間的一個有理數(shù)，所以有理數(shù)是稠密的。

數(shù)軸上還有其他的數(shù)嗎？若還有其他數(shù)，它們是什么數(shù)？

歷史上首先發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的是畢達哥拉斯的一位學生、數(shù)學家西帕索斯。他通過勾股定理，發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形，其對角線長度為并不是有理數(shù)。這下可惹禍了。因為畢達哥拉斯學派有一個信條：“萬物皆數(shù)”。他們所說的“數(shù)”，僅僅是整數(shù)與整數(shù)之比，也就是“有理數(shù)”。畢達哥拉斯學派認為除了有理數(shù)外，不可能存在另類的數(shù)。當西帕索斯提出他的發(fā)現(xiàn)之后，畢達哥拉斯大吃一驚，原來世界上還有“另類數(shù)”存在。并且，由于畢達哥拉斯學派把數(shù)看成是“長度”，這實際上等于說正方形的對角線沒有數(shù)學長度。這就引起了畢達哥拉斯學派的極大恐慌，數(shù)學史上把這稱為第一次危機。

尼加拉瓜發(fā)行的十張郵票的第二張（如圖3-2）為勾股定理(畢達哥拉斯定理)，它在數(shù)學與人類的實踐活動中有廣泛應(yīng)用。

勾股定理的另一大影響就是導致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。圖3-2經(jīng)過幾個世紀數(shù)學的發(fā)展和成熟，我們今天對無理數(shù)已經(jīng)不陌生了。無理數(shù)實際上是無限不循環(huán)小數(shù)。我們現(xiàn)在把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。而且，我們知道，實數(shù)“布滿”了整個數(shù)軸。也就是說，有理數(shù)并沒有“布滿”數(shù)軸，他們之間還有空隙，而這些空隙恰好由無理數(shù)填上。實數(shù)系也是一個數(shù)域。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)與實數(shù)集是數(shù)的第二次擴張。我們記實數(shù)集為R。

歷史上第一個遇到虛數(shù)的人是印度婆什迦羅，他在解方程時認為方程是沒有意義的，原因是任何一個實數(shù)的平方都不會是負數(shù)。

大約過了300多年，1484年法國數(shù)學家許凱在《算術(shù)三篇》一書中，解方程

時得到的根是。由于根號里的數(shù)是一個負數(shù)，所以他被這個“怪物”弄得不知所措，于是他發(fā)表聲明稱這個根是不可能的。

可以說，婆什迦羅與許凱都“發(fā)現(xiàn)”了虛數(shù)，但是他們沒有認識到這將導致一種新的數(shù)的誕生，從而放棄了這個重大的機會。3.2

復(fù)數(shù)及其文化意義

3.2.1復(fù)數(shù)的歷史

時間大約又過了60多年，1545年意大利數(shù)學家卡爾達諾在他的著作《大術(shù)》中記載了如下的乘法運算這是世界數(shù)學史上第一次明確表示虛數(shù)的符號，也是虛數(shù)第一次的數(shù)學表示方法。當時，他用的符號是：RM：15，其中的R比式根號，M表示負數(shù)符號，它宣告了虛數(shù)的誕生?？栠_諾明白一個負數(shù)開平方是不允許的，所以無法解釋負數(shù)的平方根是不是“數(shù)”。他稱

這個數(shù)為“詭辯量”或“虛構(gòu)的量”。

到了16世紀末，法國數(shù)學家韋達和他的學生哈里奧特可以說是首先“承認”復(fù)數(shù)的數(shù)學家。雖然他們也認為應(yīng)該把虛數(shù)排斥在數(shù)系以外，但在碰到解方程一類問題時，可以“開通一點”，把它當做數(shù)來對待。

幾乎是同時，意大利數(shù)學家邦別利登上了虛數(shù)的舞臺。1572年，邦別利在解三次方程時也碰到了虛數(shù)的問題，但與前人不同的是，他認為，為了使方程存在的這種根得到統(tǒng)一，必須承認這樣的數(shù)也為該方程的根，而且類似的數(shù)都應(yīng)該得到承認，讓它們進入數(shù)的大家庭，他還創(chuàng)造了符號R[Om9]以表示虛數(shù)。

虛數(shù)就這樣在承認與不承認之間一直被拖著，時間很快就進入了17世紀，1629年，荷蘭數(shù)學家吉拉爾在他的《代數(shù)新發(fā)明》一書中引入了表示虛數(shù)（虛單位），而且認為引入虛數(shù)不僅對解方程是有用的，而且能滿足一般運算法則。

第一個正確認識虛數(shù)存在性的數(shù)學家當屬法國著名哲學家、數(shù)學家笛卡爾。雖然他在開始時也認為負數(shù)開平方是不可思議的事情，但后來他認識到了虛數(shù)的意義與作用，開始公開為虛數(shù)辯護，并第一次把方程“虛構(gòu)的根”之名稱改為“虛數(shù)”，以與“實數(shù)”相對應(yīng)。他也稱類似于a+bi這樣的數(shù)為“復(fù)數(shù)”，這兩個名稱一直使用到今天。特別是，他用法文imaginaires的第一個字母i表示虛數(shù)。于是虛單位誕生了。

到了18世紀，雖然對于復(fù)數(shù)是不是數(shù)還存在很大的爭議，但它卻已經(jīng)進入了數(shù)學的運算之中。微積分發(fā)明人之一的德國數(shù)學家萊布尼茨就應(yīng)用復(fù)數(shù)進行有理函數(shù)的積分運算，盡管他并沒有明確承認復(fù)數(shù)。特別是在這一階段發(fā)現(xiàn)了許多漂亮的復(fù)數(shù)公式，使得人們對它充滿了好奇，吸引人們更多地去研究它。1722年，法國數(shù)學家棣莫弗(AbrahamdeMoivre)發(fā)現(xiàn)了著名的棣莫佛公式：

1743年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)另一個著名的歐拉公式：由歐拉公式，我們立即可得

或

這一公式被認為是世界上最美的數(shù)學公式。

1777年5月5日，歐拉在遞交給彼得堡科學院的論文《微分公式》中，公開支持1637年笛卡爾用字母i表示虛數(shù)的思想。可惜的是，這一思想同樣沒有引起人們的注意。

與此同時，許多數(shù)學家希望找到虛數(shù)的幾何表示，特別是像實數(shù)那樣在數(shù)軸上找到點與之對應(yīng)。第一個作出這種努力的數(shù)學家是牛津大學的沃利斯。雖然他并沒有解決這一問題，但他確實在這方面付出了努力。

真正解決了虛數(shù)幾何表示的數(shù)學家首先應(yīng)是丹麥業(yè)余數(shù)學家、測繪員韋塞爾，他在1797年向丹麥科學院遞交了題為《關(guān)于方向的分析表示：一個嘗試》的論文，在坐標平面上引進了實軸和虛軸，從而建立了復(fù)數(shù)的幾何表示。韋塞爾發(fā)現(xiàn)，所有復(fù)數(shù)a+bi都可以用平面上的點來表示，而且復(fù)數(shù)a+bi與平面上的點一一對應(yīng)。這樣一來，復(fù)數(shù)就找到了一個立足之地而且開始再地圖測繪學上找到了它應(yīng)用的價值。

與此同時，愛爾蘭數(shù)學家哈密爾頓發(fā)展了一個復(fù)數(shù)的代數(shù)解釋，每個復(fù)數(shù)都用一對通常的數(shù)來表示（a，b）,其中a，b為實數(shù)。哈密爾頓所關(guān)心的是復(fù)數(shù)的算術(shù)邏輯，而并不滿足于幾何直觀。他指出：復(fù)數(shù)a+bi不是像1+2那樣意義上的一個加法或求和，加號在這里僅僅是一個記號，不表示運算，bi不是加到數(shù)a上去的。復(fù)數(shù)a+bi只不過是實數(shù)的有序數(shù)對（a，b），并給出了有序數(shù)對的四則運算：同時，這些運算滿足結(jié)合律、交換律和分配律。由此，復(fù)數(shù)被邏輯地建立在實數(shù)的基礎(chǔ)上，而且事實上已經(jīng)是實數(shù)系的推廣。

1831年，“數(shù)學王子”高斯又一次清楚地表示復(fù)數(shù)的幾何形式，并且指出：“迄今目前為止，人們對虛數(shù)的考慮依然在很大的程度上把虛數(shù)歸結(jié)為一個有毛病的概念，以致給虛數(shù)蒙上一層朦朧而神奇的色彩?！彼С值芽枴W拉等人用i表示虛單位的意見。由于高斯在數(shù)學界的地位與影響，也由于復(fù)數(shù)長時間的發(fā)展，數(shù)學家們從此開始逐漸承認了復(fù)數(shù)。但是，并沒有真正從思想深處解決虛數(shù)的地位問題。對它仍然有疑慮，僅僅把它看做是一個“符號”。

復(fù)數(shù)在幾何上找到了它的位置以后，數(shù)學家們對它的研究就多了起來。18世紀末，以歐拉為首的一些數(shù)學家，開始發(fā)展一門新的數(shù)學分支——復(fù)變函數(shù)論。19世紀以后，由于法國數(shù)學家柯西、德國數(shù)學家黎曼、魏爾斯特拉斯等人的巨大貢獻，復(fù)變函數(shù)論取得了飛速的發(fā)展，并且廣泛地運用到了空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理學等方面。

真正把復(fù)數(shù)應(yīng)用到工程部門并取得重大成就的是俄羅斯的“航空之父”尼古拉儒可夫斯基，1890年他在俄國自然科學家會議上做了《關(guān)于飛行的理論》的演說。之后他研究了圍繞和流過障礙物的流體運動，并于1906年發(fā)表了論文《論連接渦流》，創(chuàng)立了以空氣動力學為基礎(chǔ)的機翼升降原理，找到了計算飛機翼型的方法。而這一切都依賴于復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)論。

復(fù)數(shù)的誕生，在人類歷史文化進程中具有重要意義，特別是對人類關(guān)于數(shù)學的認識具有重要的影響。

我們先來看在使用復(fù)數(shù)以前人們對于數(shù)以及數(shù)學的認識。在復(fù)數(shù)以及非歐幾何誕生以前，人們總把數(shù)學與物理、天文等自然學科一樣看待，認為數(shù)學也是自然科學的一部分，它的定理就對應(yīng)著真實的自然規(guī)律。但是，復(fù)數(shù)的誕生，這個虛無縹緲的“i”明明是人們?yōu)榱私鉀Q負數(shù)開方問題而引入或說創(chuàng)造的“數(shù)”，現(xiàn)在卻找到了巨大的用途。由此也就引起了人們對數(shù)學的更深層次上的思考。再加上19世紀非歐幾何的誕生等一系列重大數(shù)學成果的產(chǎn)生，促使人們對數(shù)學的本質(zhì)問題進行深入探討。3.2.2復(fù)數(shù)的思想文化意義

要考察復(fù)數(shù)的意義，我們就必須考察數(shù)學與數(shù)的本質(zhì)。恩格斯曾經(jīng)說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的，最簡單地說，是研究數(shù)與形的科學?！庇纱耍瑪?shù)學應(yīng)該是與實踐、經(jīng)驗密切相關(guān)的，也就是說數(shù)學是反映客觀實在的。那么數(shù)學是如何反映客觀實在的呢？

首先，數(shù)學在初始階段雖然也是以現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系為研究對象，但隨著數(shù)學的進步，在古希臘時就已經(jīng)把這些材料對象表現(xiàn)于非常抽象的形式之中，其目的就是為了能夠在其純粹狀態(tài)中去研究這些形式和關(guān)系，那么就必須完全使它們脫離其內(nèi)容，把內(nèi)容放置一邊作為不相干的東西，這樣我們就得到?jīng)]有面積的點，沒有厚度和寬度的線，各種的a和b，x和y，常數(shù)和變數(shù)。所以，數(shù)學雖然也是以現(xiàn)實的材料作為研究對象，但由于它得研究方法——抽象性，所以在考察對象時已經(jīng)完全舍棄了其具體內(nèi)容與質(zhì)的特點。由此可見，數(shù)學是不同于其他自然科學的。

其次，數(shù)學抽象方法的特殊性還表現(xiàn)在它具有的特殊意義，盡管一些基本的數(shù)學概念是建立在對于真實事物或現(xiàn)象的直接抽象之上。數(shù)學中還有一些概念與真實世界的距離是如此之遙遠，以致常常被說成“思維的自由創(chuàng)造”。由于這些遠離自然界的、從人的腦子中源源不斷地涌現(xiàn)出來的概念漸漸取代了直接觀念化的對象，數(shù)學有時又被稱之為創(chuàng)造性的藝術(shù)。如此，，如虛單位“i”等人為的數(shù)學對象就是在這樣的“間接”抽象之上——為了運算的順利——而被創(chuàng)造出來的，并且隨著數(shù)學研究的深入，越來越多類似于虛單位“i”這樣的人類創(chuàng)造物逐漸成為數(shù)學的主要研究對象，由此也就確定了數(shù)學的文化性質(zhì)。

復(fù)數(shù)、非歐幾何等一系列事件，接連沖擊著人們從古希臘就形成的“數(shù)學是客觀規(guī)律以及真理等價的”觀念，從而為人們深入思考數(shù)學的本質(zhì)帶來了機會。而這一探討的結(jié)果就是顛覆了人們兩千多年來對于數(shù)學固有的認識，促使人們認識到數(shù)學與物理空間有著本質(zhì)的區(qū)別：數(shù)學是人們的創(chuàng)造物，數(shù)學是人們創(chuàng)造出的一種用于描述自然現(xiàn)象的語言，或者說數(shù)學是文化。數(shù)學可以是來自經(jīng)驗啟示的一種創(chuàng)造，但它并不等于客觀世界的規(guī)律。由此，數(shù)學就失去了其天然的真理性，而只留下其文化的本質(zhì)。

數(shù)學天然真理性的喪失，帶來的是人們思想上的革命，認識上的革命。過去，由于人為數(shù)學是以客觀經(jīng)驗作為基礎(chǔ)的，數(shù)學定理就與客觀規(guī)律、客觀真理完全等同起來；其次，也正因為這種認識，使得人們的思維與數(shù)學創(chuàng)造性被嚴格局限于直觀與經(jīng)驗之中?，F(xiàn)在，由于數(shù)學的文化性質(zhì)，人們就無須再顧忌數(shù)學的經(jīng)驗性，而可以展開思維的翅膀，進行更自由的、廣泛的、更為理想化的創(chuàng)造性研究。再次，數(shù)學喪失了真理性，也就不能再與物理、化學、天文學等自然科學等同了，就必須從自然科學中分離出來。

數(shù)學從自然科學中獨立出來，既不意味著它割裂了其與自然科學兩千年來形成的血肉聯(lián)系，也不意味著數(shù)學會因此迷失方向而陷于停頓狀態(tài)，而是有了其特有的文化精神。此時。數(shù)學的研究一方面繼續(xù)受到來自于自然科學與社會實踐提出來的問題的驅(qū)動，而另一方面是受到數(shù)學自身發(fā)展的驅(qū)動；數(shù)學的研究范圍、研究對象更為廣闊，動力更加充分。數(shù)學不再是科學的化身，而是要為科學提供語言、方法和工具，提供各種各樣的模式供科學，包括自然科學、社會科學與人文科學選擇；進一步地，它要為人們提供數(shù)學的理解方式和思想觀念。

在19世紀數(shù)學家們發(fā)明了許多新的數(shù)的系統(tǒng)。這些現(xiàn)代數(shù)的系統(tǒng)中有兩個特別值得注意：四元數(shù)與矩陣和超限數(shù)。

四元數(shù)是哈密爾頓的偉大創(chuàng)造。

他花了好幾年深思這樣一個事實，復(fù)數(shù)的乘法可簡單地解釋為平面的一個旋轉(zhuǎn)。這個概念能否推廣？能否發(fā)明一類新的數(shù)并定義一類新的乘法使得三維空間中的一個旋轉(zhuǎn)可以簡單地表為乘法？3.3數(shù)的現(xiàn)代發(fā)展

哈密爾頓稱這樣一個數(shù)為一個“仨”(三元數(shù))；正如韋塞爾表復(fù)數(shù)為二維平面上的一個點，“仨”可以表作三維空間中的一個點。這個問題是一個啃不動的核桃，長時間停留在哈密頓的心頭，以至他的家人也因此為他發(fā)愁，如他自己所說，當他下樓去吃早餐時，他的一個兒子會問：“爸爸，您能把仨相乘了嗎？”而爸爸則回答：“不，我只能把它相加和相減?！?/p>

公元1843年的一天，當他同妻子一起沿著都柏林的運河散步時。哈密爾頓忽然想起一個辦法來乘仨。他是如此得意以至他取出一把小刀當場立即在布魯姆橋上刻下這個問題的關(guān)鍵，肯定使過路的人感到迷惑，他們讀到:字母i，j和k表示超復(fù)數(shù)。哈密爾頓稱之為四元數(shù)，其一般形式為其中a，b，c，d為實數(shù)。

四元數(shù)乘法之關(guān)鍵是交換律不成立。在通常數(shù)的情形ab=ba。但當兩個四元數(shù)相乘而交換因子次序時其乘積可能變化,例如ij=k，而ji=-k。

從哈密爾頓發(fā)明四元數(shù)至今，四元數(shù)和四元數(shù)矩陣方法在剛體動力學、陀螺使用理論、慣性導航、機器人技術(shù)、人造衛(wèi)星姿態(tài)控制等領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛。

第二個現(xiàn)代的數(shù)的概念是超限數(shù)，它的發(fā)明主要是對于“無窮”的認識，顯示了一個全然不同的觀念。

自然數(shù)有多少呢？這似乎是一個沒有意義的問題，但就是這個沒有意義的問題，引起了康托等數(shù)學家的思考，并創(chuàng)造了作為今天數(shù)學基礎(chǔ)的集合理論。

數(shù)學史上，第一個認真考慮“無窮”概念的當屬大名鼎鼎的物理學家伽利略。他思考了兩個無窮集合：正整數(shù)集合

與完全平方數(shù)集合。是正整數(shù)多呢？還是完全平方數(shù)多呢？

表面上看，完全平方數(shù)比正整數(shù)要少很多。但若從另一個角度看，有一個正整數(shù)，就有一個完全平方數(shù)與之對應(yīng)，這樣似乎它們又是一樣多。伽利略感到很困惑，他沒有解決這個問題，而是把它留給了后人思考。德國數(shù)學家康托解決了這個問題。

要比較兩個無窮集合的元素之間的多少，一個基本問題就是如何定義“多少”與“相等”的問題，伽利略恰恰是忽略了這個基本問題。我們首先來看看古代人在還不會計數(shù)的時候，他們是如何來計算獵物的數(shù)目與比較獵物的多少。兩個獵手，可以把他們的獵物一一拿出來比較：你拿一只獵物，我也拿一只，如果兩人同時拿完，那他們的獵物應(yīng)當是一般多的；若一個人拿完了，而另一個人還沒拿完，這時還有剩余獵物的獵手的獵物就一定是多的了。這就是一一對應(yīng)的方法。

設(shè)有兩個非空集合A、B，不管它們是有窮集合還是無窮集合，如果能再兩個集合的元素之間建立一種一一對應(yīng)的關(guān)系，就可以認為這兩個集合的元素是一樣多的。這就是康托的想法。有了這樣的認識，伽利略的困惑就可迎刃而解。因為事實上伽利略已經(jīng)在正整數(shù)集合與完全平方數(shù)集合之間建立了一個一一對應(yīng)的關(guān)系。可惜的是，伽利略忽略了人們經(jīng)驗之中已有的比較兩個集合之間元素多少的方法?？低械乃枷氪_實出乎人們的意料，而且不符合人們的習慣。因為在有限集合之間，一個集合的真子集合的元素是不可能與它自身的元素一樣多的，也就是部分不會與整體相同?！罢w大于部分”是歐幾里得5條公理中的一條。但是，到了無窮世界，情形卻發(fā)生了變化，部分可以與整體的元素一樣多。這也就是康托的理論為什么在開始時受到激烈反對的原因。特別是由于當時德國數(shù)學界的權(quán)威克朗南格的反對，使得康托沒能成為柏林大學的教授。

偉大的德國數(shù)學家希爾伯特積極地支持康托的思想。為了宣傳康托的觀點，他提出了一個非常有趣的設(shè)想，通常稱之為“希爾伯特的旅館”來解釋康托的觀點：一位旅客來到希爾伯特的旅館想租一個房間，經(jīng)理說：“客滿了，不過這不是不可能解決的問題；我們能夠為你騰出地方來?！彼研驴腿税才旁?號房，將1號房的人搬到2號房，2號房的客人搬到3號房，，N號房的人搬到N+1號房等。這個旅館有無限間房，它是一個無窮旅館。

正整數(shù)集與完全平方數(shù)集的比較問題解決了，同樣的方法能用在比較正整數(shù)集與有理數(shù)集么？因為有理數(shù)集合除了整數(shù)之外，還有很多很多分數(shù)。每兩個正整數(shù)之間都還有無窮多個分數(shù)，例如在1與2之間就還有1.1，1.2，1.3，

，1.9；1.11，1.12，

，1.19；1.21，1.22，

，1.29；

，1.911，1.912

，

，1.919；

乃至于在1.911與1.912之間還有無窮多個不是正整數(shù)的有理數(shù)，也就是說，正整數(shù)集在數(shù)直線上相應(yīng)的點是稀疏的，而有理數(shù)集則是密密麻麻的。因此，最初人們猜測，有理數(shù)集的元素比正整數(shù)集元素的個數(shù)多得多。

為了解決這個問題，我們思考一下正整數(shù)的性質(zhì)。正整數(shù)集有一個特性，就是它的元素可以按照從小到大的順序一個一個地排出來，數(shù)出來，這叫正整數(shù)集的可列性或可數(shù)性。其他任何一個可排列的集合都肯定與正整數(shù)集之間能建立一一對應(yīng)關(guān)系了：排在第一位的與1對應(yīng)，排在第二位的與2對應(yīng)，。所以可列集或可數(shù)集與正整數(shù)集的元素個數(shù)相等。有理數(shù)集可排列嗎？有一個辦法是：對每個（正）既約有理數(shù)q/p，稱q+p為它的高。高為2的有理數(shù)只有1，即1/1

(對每個正整數(shù)n，其高為n+1)；高為3的有理數(shù)只有兩個:1/2，

2/1；高為4的有理數(shù)是:1/3，3/1；高為5的有理數(shù)只有兩個:1/4，2/3，

3/2

，

4/1

；

。任何高度的有理數(shù)都只有有限個，這保證了我們可以按高度，從小到大把所有有理數(shù)無遺漏、無重復(fù)地全部排列出來

這樣，可以發(fā)現(xiàn)一個令人驚訝的未曾預(yù)料到的事實：密密麻麻的有理數(shù)集的元素個數(shù)與稀稀疏疏的正整數(shù)集的元素個數(shù)一樣多。因為，這兩個集合之間的元素是可一一對應(yīng)起來的。

所有有理數(shù)與所有正整數(shù)“一樣多”，是不是我們就可以猜測所有的實數(shù)與所有的正整數(shù)也“一樣多”呢？進一步說，是否所有的無窮集的元素都與正整數(shù)集的元素“一樣多”呢？康托當初就接近這種想法，他猜測，整個實數(shù)集的元素個數(shù)也與正整數(shù)集元素“一樣多”。

如果要證實上述猜測是對的，那就要把實數(shù)排出順序來，要說明它是可排的。注意到下面的式子我們可以明白，它建立了區(qū)間(0,1)與(0,+∞)之間的一個一一對應(yīng)關(guān)系。所以我們只要能把0與1之間的所有實數(shù)排出順序就夠了。由于(0,1)之間的任一數(shù)都可表示為無窮小數(shù)（包括無理數(shù)），如0.1,0.2,0.27，其表示如下：0.1=0.099999……；0.2=0.199999……；0.27=0.269999……

假定（0,1）之間的全體實數(shù)可排，例如，排成它們又都由無窮小數(shù)形式表達，那我們就可以把它們寫成:

現(xiàn)在的問題是，上面的排列是否真的把(0,1)中的所有實數(shù)都已排出來了？下面，我們來構(gòu)造一個數(shù)：當大于2時，取，當不大于2時，取；對也這樣做，得到，同法，可得這時，再?。骸Ｈ菀卓闯?，與中任何數(shù)都不相等，同時又在(0,1)中。于是，我們對實數(shù)的“排列”計劃失敗了