2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：新定義型幾何圖形綜合問題（重點(diǎn)突圍）(教師版)

高考復(fù)習(xí)材料

專題12新定義型幾何圖形綜合問題

.【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一與三角形有關(guān)的新定義型問題】.....................................................1

【考向二與四角形有關(guān)的新定義型問題】....................................................11

【考向三三角形與圓綜合的新定義型問題】.................................................23

【考向四四角形與圓綜合的新定義型問題】.................................................31

尸9

憶，爵【直擊中考】

【考向一與三角形有關(guān)的新定義型問題】

例題：（2022?江西撫州?統(tǒng)考一模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對邊相

交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)所連線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三

角形相似，我么就把這條線段叫做這個(gè)三角形的"華麗分割線

例如：如圖1,4D把448C分成448。和ZUDC,若448。是等腰三角形，SLAADC-ABAC,那么/。就

是ZU8C的"華麗分割線

【定義感知】

⑴如圖1,在V/BC中，Z5=40°,ZBAC=\\00,AB=BD.求證：4D是V/BC的“華麗分割線

【問題解決】

⑵①如圖2,在V/8C中，48=46。，AD是V48C的“華麗分割線”，且△/AD是等腰三角形，則NC的度

數(shù)是;

②如圖3,在V/8C中，48=2,AC=64D是Y4BC的“華麗分割線”，且△/灰）是以4D為底邊的等腰

三角形，求華麗分割線的長.

【答案】⑴見解析

⑵①21?；蛘?2。；②AD=ga

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出角的度數(shù)，進(jìn)而利用相似三角形的判定解答即可;

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（2）①分兩種情況討論，利用三角形內(nèi)角和解答即可;

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】（1）證明：

是等腰三角形，

vz5=40°,

180。一/5

:?乙ADB二=70°,

2

.-.ZL4DC=180°-Z^D^=110°=^BAC,

XvzC=zC,

??.AADC?ABAC,

-AD是AABC的〃華麗分割線〃.

(2)①當(dāng)45=5。時(shí)，得乙4DB=67°,

,4DC=180°-^ADB=113°.

??&DCMBAC,

：.Z.BAC=/-ADC=\\y.

在A45C中，由內(nèi)角和定理得乙。=21。；

當(dāng)40=5。時(shí)，

???乙4。。=92。，

??,AADCFBAC,

??Z54C=ZAOC=92°,

在A4BC中，由內(nèi)角和定理得乙。=42。；

綜上分析可知，4c的度數(shù)為21。或42。；

故答案為：21?；?2。；

②???力0是A4BC的〃華麗分割線〃，且A4&）是以AD為底邊的等腰三角形,

.?△4DC-AB4C,

CD_AC

??就一茲’

即平=X_,解得：CD=1,

\3CD+2

ADAC

,,下一疏’

即絲=巫，解得：AD上拒.

22+13

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性

質(zhì)解答.

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【變式訓(xùn)練】

1.（2022,山東濟(jì)寧?三模）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如圖回，在V4BC

中，AB=AC,頂角A的正對記作sacU,這時(shí)sacU=5^=繪，容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對值

腰AB

也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解答下列問題：

3

⑵如圖，已知sirL4=w，其中為銳角，試求sacU的值.

【答案】⑴1，6；

⑵巫.

5

【分析】（1）根據(jù)正對sacM的含義分別求解即可；

（2）延長/C到點(diǎn)。，使得連接皿，由題意可得：sacL4=—,求解即可.

AD

【詳解】（1）解：V/5C為等邊三角形，如下圖：

sad60°=---=1,

AC

VZ5C為等腰直角三角形，如下圖:

由勾股定理可得：BC=42AB,

sad90°=—=V2；

AC

故答案為：i,；

（2）解：延長/C到點(diǎn)D,使得連接8。，如圖:

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由勾股定理可得：AC7AB2-BC。=4k，

貝|」8=左，

由勾股定理可得：BD=JCZ)2+8c2=Mk，

由題意可得:sa用處

AD

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形，以及新定義三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握sa(M三角函數(shù)的

定義.

2.(2022春?福建龍巖?九年級?？计谥?在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)內(nèi)角口與△滿足2a+夕=90。，那么

我們稱這樣的三角形為“亞直角三角形”.根據(jù)這個(gè)定義，顯然尸<90。，則這個(gè)三角形的第三個(gè)角為

180。-(。+廣)>90。，這就是說"亞直角三角形"是特殊的鈍角三角形.

(1)【嘗試運(yùn)用】：若某三角形是“亞直角三角形"，且一個(gè)內(nèi)角為100。，請求出它的兩個(gè)銳角的度數(shù)；

⑵【嘗試運(yùn)用】：如圖1,在Rtv/8C中，乙4cs=90。，/C=4,8c=8,點(diǎn)。在邊上，連接AD,且ND

不平分/A4c.若△48。是“亞直角三角形”，求線段工。的長；

(3)【素養(yǎng)提升】：如圖2,在鈍角V48c中，ZABC>90°,48=5,BC=3^,V48c的面積為15,求證:

V48C是“亞直角三角形”.

【答案】⑴10°,70°

(2)AD=14s

⑶證明見詳解

【分析】(1)根據(jù)方程組求出a,夕即可.

ATCD

(2)證明推出三：=三，可得結(jié)論.

BCAC

(3)過點(diǎn)/作4D18C,交C3的延長線于點(diǎn)D.利用三角形面積求出4D,再利用勾股定理求出AD,再

證明5s可得結(jié)論.

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(1)

2a+(3=90°

解：由題意,

a+￡=80°

a=10°

解得

4=70°

?,.它的兩個(gè)銳角的度數(shù)為10°,70°.

(2)

W：■.■ZACB=90°,

:"B+ABAD+ADAC=90°,

又：NBAD?NDAC,

.?.4+2/8/0*90。，

???AABD是“亞直角三角形”,

.-.2ZB+ZBAD=90°,

NB=ADAC,

△ACDsABCA,

ACCD

5C)

在RtMACD中，AD=yjAC2+CD2=次+2?=275.

(3)

證明：過點(diǎn)A作/。IBC,交C8的延長線于點(diǎn)D.

■-BC=3y[5,%BC=15,

???AD2y[s,

在RtMADB中,

VAB=5,

???BD=y)AB2-AD2=6-(2病2=退，

■-CD=3y/5+45=4y/5,

AD2>/5cDC4>/5n

?*,==2,=產(chǎn)=2,

DBV5AD2V5

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ADDC

,,瓦―茄’

又???/D=/D,

???Z\ADB^Z\CDA,

??./DAB=ZC,

vZC+/BAC+/DAB=90°,

/.2ZC+Z5^C=90°,

.??V48C是"亞直角三角形".

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，"亞直角三角形"的定義等知

識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

3.（2022秋,江蘇常州?九年級?？计谥校纠斫飧拍睢?/p>

定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為90。，那么這樣的三角形叫做"準(zhǔn)直角三角形”.

⑴已知是"準(zhǔn)直角三角形"，且NC>90。.

①若—=60。，貝iJZB=。；

②若44=40。，貝。；

【鞏固新知】

⑵如圖①，在Rt448C中，NACB=90。,AB=6,8C=2,點(diǎn)。在/C邊上，若△48。是“準(zhǔn)直角三角

形”，求8的長；

圖①

【解決問題】

⑶如圖②，在四邊形N8C。中，CD=CB,NABD=NBCD,AB=5,BD=8,且V28C是“準(zhǔn)直角三角形”,

求△BCD的面積.

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圖②

【答案】（1）①15；②10或25

⑵CD=也或正

2

⑶△BCD的面積為48或24

【分析】（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；

②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；

（2）根據(jù)題意可分為①當(dāng)N5D/-ND8/=90。時(shí)，過點(diǎn)。作D"，A8于〃，結(jié)合勾股定理求解；②

NBDA-N4=90。,結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；

（3）過點(diǎn)C作C/_LAD于尸，CE1AB,交N8的延長線于E,設(shè)NABD=NBCD=2x,

根據(jù)CF_L2D和CE148可得CE=CF,即可證明RtZkBCE/Rt^BC廠，可得BE=BF=4,進(jìn)而分情況討

論求解：當(dāng)NABC-NACB=90°時(shí)和當(dāng)NABC-ABAC=90°.

【詳解】（1）①當(dāng)NC—N/=90。時(shí)，則NC=150。,

AB=180°-ZC-ZA=-30°（不合題意舍去），

當(dāng)/。一/8=90。，則NC=/8+90。，

■.■ZA+Z3+ZC=180°,

.?.2/8=30°,

:4=15°,

綜上所述：NB=15。,

故答案為：15；

②當(dāng)NC-//=90。時(shí)，則/C=130。，

ZS=180°-ZC-Z^=10°,

當(dāng)/。一/8=90。，則NC=N8+90。，

ZA+ZB+ZC=180°,

2ZB=50°,

.-.ZB=25°,

綜上所述：N8=10°或25。，

故答案為：10或25：

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(2)當(dāng)NBD4-NDA4=90。時(shí)，如圖①，過點(diǎn)。作?！╛L48于〃,

圖①

在Rt△力中，/ACB=90。,BC=2,4B=6,

-AC=^AB2-BC2=762-22=4A/2，

ABDA-/DBA=90°,ABDA=ADBC+ZC=NDBC+90°,

???/DBA=ZDBC,

又?:DH上AB,DCLBC,

/.DH=DC,

.,DHBC\

,/sinA=-----==—,

ADAB3

：.DH=-AD=DC,

3

??.DC==AC=也,

4

當(dāng)—乙4=90。時(shí)，

???ABDA—/A=90°,ABDA=/DBC+ZC=ADBC+90°,

??.//=/DBC,

又???zc=zc,

:./\BCDsAACB,

BCCD

.?就一就‘

2CD

：.CD=—,

2

綜上所述：3夜或冬

(3)如圖②，過點(diǎn)C作C尸J_8。于凡CE1AB,交的延長線于E,

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圖②

設(shè)ZABD=/BCD=2x,

vBC=CD,CF1,BD,

ZCBD=ZCBE=90°-x,BF=DF=4,

又?.?CF_LB。，CE上AB,

???CE=CF,

又?.?BC=BC,

在RtVBCE和RtVBCF中，

[CE=CF

[BC=BC'

.?.RtA5CE絲RtA5CF(HL),

**-BE=BF=4,

當(dāng)/4BC—//CB=90。時(shí)，

又???/ABC-NAEC=Z.BCE,

/./BCA=/BCE,

,/_、—ACAB5

由(2)可知：—=—=

CEBE4

設(shè)AC=5a,CE=4。,貝！]AE=3。=9,

?，?a=3,

/.CE=n=CF,

：.S\BCD=,xl2x8=48,

當(dāng)N4BC—NB4C=90。，

又???/ABC-NAEC=/BCE,

ABAC=/BCE,

又???/E=/E=90°,

NBCESYCAE,

.—CE—-B--E--

,,一?

AECE

.?.CE=6,

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■■^BCD=1x6x8=24,

綜上所述：的面積為48或24.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理和三角形內(nèi)角和定理,

靈活運(yùn)用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2022?山東青島?統(tǒng)考中考真題）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形.

例如：如圖①.在V48C和V4QC中，分別是2C和B'C'邊上的高線，且則V48c和

VHB'C'是等高三角形.

圖①圖②圖③

【性質(zhì)探究】

如圖①，用SV/BC，分別表示V/8C和V/'B'C'的面積.

則SMBC=；BC，AD,S：=\B'C-A'D',

AD=AD'

'''S^ABC：S.B,C=BC:B'C.

【性質(zhì)應(yīng)用】

(D如圖②，。是VNBC的邊BC上的一點(diǎn).若BD=3,DC=4,則$△',：$△＜叱=;

⑵如圖③，在V/3C中，D,￡分別是8c和4B邊上的點(diǎn).若BE:AB=1:2,CD:BC=1;3,SAABC=1,則

S/xBEC=，S&CDE=；

⑶如圖③，在V/3C中，D,￡分別是和43邊上的點(diǎn)，若BE:AB=l:m,CD:BC=1:〃，SVABC=a,

則S&CDE=-

【答案】⑴3:4

(3)-

mn

【分析】（1）由圖可知△43。和△4DC是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得到答案；

（2）根據(jù)B￡:A8=1:2,S△慚=1和等高三角形的性質(zhì)可求得此皿，然后根據(jù)8：BC=1:3和等高三角形

的性質(zhì)可求得“COE；

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（3）根據(jù)=機(jī)，Sv，Bc=a和等高三角形的性質(zhì)可求得SV8EC,然后根據(jù)CD:5c=1:"，和等高

三角形的性質(zhì)可求得以8八

【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)工作NE18C,

則SvABD=5BD.AE,S7Aoe=--AE

?：AE=AE,

*'?S^ABD-S^ADC=BD:DC=3:4.

(2)解：???VBEC和V”C是等高三角形,

S'BEC?S4ABC=BE:AB=1:2,

???S'BEC=5S^ABC=5X1=/；

?:YCDE和MBEC是等高三角形,

*e?S/^CDE-SvBEC=CD:BC=1:3，

_j_j__J_

=X

,#?^MCDE=T7BECTT-T?

3、326

(3)解：??,V3EC和VZ5C是等高三角形,

*',S'BEC-SAABC=BE:AB=1:加，

1

.qC1_a

\BEC——^AABC=—XQ=—；

mmm

???VCDE和VBEC是等高三角形,

**,S/^CDE?S\BEC=CD:BC=\\n,

.c_1o_j_a_a

、7CDE=-、\JBEC=-X——=.

nnmmn

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形的性質(zhì)并能靈

活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

【考向二與四角形有關(guān)的新定義型問題】

例題：（2022?陜西西安?校考三模）定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形.

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⑴問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,箏形N8CO中，AD=CD,AB=CB,若NC+AD=12,求箏形23CZ）的面積的最

大值；

⑵問題解決：如圖2是一塊矩形鐵片48CD,其中/3=60厘米，8c=90厘米，李優(yōu)想從這塊鐵片中裁出

一個(gè)箏形EFGH,要求點(diǎn)E是42邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸、G、〃分別在8C、CD、AD1.（含端點(diǎn)），是否存在

一種裁剪方案，使得箏形EFG8的面積最大？若存在，求出箏形即GH的面積最大值，若不存在，請說明

理由.

【答案】⑴18

（2）存在，最大面積為3000平方厘米

【分析】（1）由題意證明V4B。2VCAD（SSS）,則=BDLAC,根據(jù)

117

S箏如BCD=Sv?+凡88=58。X/C=-]（8。-6）一+18,求出面積的最值即可；

（2）由題意可知，分兩種情況討論：①當(dāng)G為CD中點(diǎn)時(shí)，如圖2,箏形EFG8中，EH=EF,

GF=GH,EGLHF,貝ijEG=8C=90厘米，//F=AB=60厘米，由（1）可知，根據(jù)

S^EFGH=^EGxHF,求出箏形的面積；②當(dāng)G與C重合時(shí)，如圖3,箏形EFGH中,EH=HG,

GF=EF,EGLHF,在上△BCE中，由勾股定理得EG=?"+叱,求出EG的值，設(shè)EF=CF=x,

貝1J8尸=90r,在RtABEF中,由勾股定理得=￡尸一8尸，§P302=x2-（90-x）2,求出x的值，設(shè)

///=機(jī)，則。8=90-%，根據(jù)￡7/=/7,可得302+/=（90_加『+602,求出用的值，如圖3,作.

于Af,貝ijMH=20,在RNFHM中,由勾股定理得尸”=行正2向'，求出尸的值，根據(jù)

S箏形即GH=”GXS求出箏形的面積；然后比較①②的大小，進(jìn)而可得結(jié)論?

（1）

解：在△48。和△CB。中，

AD=CD

-：＜AB=BC,

BD=BD

；.VABD卻CBD(SSS),

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??.ZADB=ZCDB,

vAD=CD,

；,BD上AC,

第形=S、ABD、BCD~

S爭■花夕AULDvADU+Svm^u-2BDx（I2-AC）|H2—BDxI[_ACI|=_BDxAC

=；xBDX（12-BD）

17

=--（BD-6）+18,

a=一■-<0,

2

；.AD=6時(shí)，面積最大，值為18.

⑵

解：由題意可知，分兩種情況討論：

①當(dāng)G為CD中點(diǎn)時(shí)，如圖2,箏形EFGH中，EH=EF,GF=GH,EGVHF,

圖2

.?.EG=2C=90厘米，//F=/2=60厘米，

由（1）可知，S箏形即6"=3'石6*彼=1^90、60=2700平方厘米；

②當(dāng)G與C重合時(shí)，如圖3,箏形EFG〃中，EH=HG,GF=EF,EGYHF,

在R/ZXBCE中，由勾股定理得EG=，叱+叱=3。廂,

設(shè)EF=CF=x,則8尸=90-x,

在RtABEF中,由勾股定理得8￡2=所2_9*gp302=x2-（90-x）\

解得x=50,

；.BF=40,

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設(shè)4H=m,則。"=90-加，

■：EH=HG,

.-.302+zn2=（90-m）2+602,

解得機(jī)=60,

如圖3,作FM_L4D于則MH=20,

在RtX/FHM中，由勾股定理得尸/才=y]FM2+MH2=20V10，

S空J(rèn)彩ijz-tFi.**H\JUn=2-XEGXHF=-2X30VWx20Vi0=3000平方厘米；

V2700<3000,

二存在一種裁剪方案，使得箏形的面積最大，面積為3000平方厘米.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識.解題的

關(guān)鍵在于明確箏形面積與對角線乘積的關(guān)系.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?吉林長春?校考模擬預(yù)測）定義：如果一個(gè)四邊形的一組對角互余，我們稱這個(gè)四邊形為對角互余

四邊形.

⑴問題1.利用下面哪組圖形可以得到一個(gè)對角互余四邊形（）

①兩個(gè)等腰三角形；②兩個(gè)等邊三角形；③兩個(gè)直角三角形；④兩個(gè)全等三角形.

⑵如圖①，在對角互余四邊形N8CD中，ZD=30°,且/C/3C,ACX.AD.若BC=1,求四邊形43CD

的面積和周長.

（3）問題2.如圖②，在對角互余四邊形N3CD中，AB=BC,BD=13,ZABC+ZADC=90°,AD=S,

CD=6,求四邊形28CZ）的面積和周長.

3

⑷問題3.如圖③，在對角互余四邊形/3CD中，BC=2AB,smZABC=~,ZABC+ZADC=90°,

8。=10,求V/CD面積的最大值.

【答案】⑴①③④

（2）$四邊相88=2百，四邊形28CD的周長=6+2公

⑶S四邊附2=36,四邊形/BCD的周長=等至+14

（4）V/C￡＞面積的最大值=18

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【分析】(1)結(jié)合定義來判斷，重點(diǎn)是拼成的四邊形一對對角互余.

(2)因?yàn)锳CVAD,所以N/C2=NC4D=90。，所以在對角互余四邊形Z8CD中，只能

ZB+ZD=90°.這樣利用含30。直角三角形三邊的特殊關(guān)系，就可以解決問題；

(3)如圖，將VB4D繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到V8CE,則MBCE-BAD,連接DE，作88_L0E于〃，作CG1DE

于G,作CFLBH于F,這樣可以求乙DCE=90。，則可以得到的長，進(jìn)而把四邊形/BCD的面積轉(zhuǎn)化

為△BCD和V8CE的面積之和，△ADE和VCDE的面積容易算出來，則四邊形/BCD面積可求.再求出CG

和房的長度，就可以得到4F和。尸的長，利用勾股定理可以求出8C的長，四邊形NBCD的周長可求.

(4)構(gòu)造VA4尸SVNCD,根據(jù)sin//8C=sin/P/D=§,利用相似的性質(zhì)和勾股定理求出=3石，然

后根據(jù)對角互余四邊形的性質(zhì)得到乙陽。=90。，從而得到尸40〃四點(diǎn)共圓，而VP4D與V/C。同底，高成比

Q

例，從而得出Svwco=1，取￡>，根據(jù)VP4D面積最大值可求VNCD面積的最大值.

【詳解】(1)解：①兩個(gè)等腰三角形底邊相等，頂角互余，就可以，故①可以得到一個(gè)對角互余四邊形；

②等邊三角形不成，即使是全等的等邊三角形拼成四邊形對角和為120。或240。，故②得不到對角互余四邊

形；

③兩個(gè)全等的直角三角形或有一條直角邊相等的相似的兩個(gè)直角三角都可以，故③可以得到一個(gè)對角互余

四邊形；

④由③可知④可以得到一個(gè)對角互余四邊形；

故答案為：①③④；

(2)AC1BC,ACLAD,

ZACB=ZCAD=90°,

???對角互余四邊形48CD中，=30。，

.?./B=60°,

在Rt2\/3C中，ZACB=90°,/8=60。，BC=1,

■■AB=2,AC=43,

在中，ZCAD=90°,/D=30°,

AD=3,CD=2y/3,

?■-^c=-^C-BC=-xV3xl=^,S,ACD=-.AC-AD=-X^X3=^-,

乙乙乙乙乙乙

S四邊衫4BCD=SyABC+SyjACD=2y，

四邊形/BCD的周長=/8+8。+。￡>+/。=2+1+2百+3=6+26；

(3)如圖，將V24D繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到V3CE,貝11VBeE會(huì)V84D,

連接。E,作BHLDE于H,作CG_LDE于G,作。尸_13”于尸.

高考復(fù)習(xí)材料

??.ZCFH=ZFHG=ZHGC=90°,

???四邊形UHG是矩形，

：,FH=CG,CF=HG,

?ZBCEaBAD,

；.BE=BD=13,/CBE=/ABD,ZCEB=ZADB,CE=AD=8,

???ZDCE=ZDCG+/ECG=ZDBC+/CBE+ZBDC+/CEB；

??.ZDCE=ZDBC+/ABD+ABDC+ZADB=/ABC+ZADC；

-ZABC+ZADC=90°f

/.ZDCE=90°,

???在△5DE中，根據(jù)勾股定理可得=爐=1。,

VBD=BE,BHIDE,

??.EH=DH=5,

???根據(jù)勾股定理可得BH=ylBE2-EH2=12，

：.SVRFD=BH.DE=—xl2xl0=60,S=—?CD-CE=—x6x8=24,

vDEJU22vvrFn22

?NBCEWBAD,

S四邊形功8二S'BCD+S'BCE=S'BED~^MCED—60-24=36,

?：SVCED=:CG?DE=24,

24

??.CG=M，

24

；.FH=CG=—,

5

：,BF=BH-FH^n--=—,

55

-ZCGE=ZDCE=90°,ZCEG=ZDEC,

:.VCGEs'DCE,

GE_CG

,~CE~^C'

高考復(fù)習(xí)材料

24

???GE石，

T~~6~

32

：.GE=—

5

/.CF=HG=GE-EH=75,

根據(jù)勾股定理可得BC=^BF2+CF2=^(y)2+(1)2

在RtZXHFC中，ZBFC=90°,

...AB=BC=^L

???四邊形/BCD的周長=45+BC+CZ)+4Z)=^^+14；

5

(4)如圖：作YBAPsBCD,

BD_BC_CD

???/DBC=/PAB,

~BP~^B~~PA

??.ZPBD=/ABC,

vBC=2AB,BD=10,

/.BP=5,AP=-CD,

2

過尸點(diǎn)作

3

sin^ABC=~,

3

/.smZPBH=-f

BH=4,PH=3,DH—6,

連接P"PA,

由作VA4尸sBCD可得ZPAB=ZBCD,由對角互余四邊形ABCD,

可得AACD+ABAD=270°,

高考復(fù)習(xí)材料

???/DAB+/BAP=27G0,

NP4D=90。,

???夫/加四點(diǎn)在以尸。為直徑的圓上,

作設(shè)CD=x,

-ZABC+ZCDA=90°f

4

???sinZCDA=-

5

/.CQ=gx,

1421111

S7=—x—xxA.D=—A.D,x,S'pAn——xPA.xA.D——x—xxA.D——CD,x,

4rn2552224

?q__C

??^MACD一匚^MPAD，

???凡均。面積最大時(shí)是以尸。為斜邊的等腰直角三角形,

如圖：

故此何面積最大=；x3V^x；*3括'=,,

所以V/CD面積的最大值=:8x=45=18.

54

【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了新定義的理解和應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，

解（2）的關(guān)鍵構(gòu)造V8CE之V84D,解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造作VB4Ps8c。，將求V/CD面積的最大值轉(zhuǎn)化

為求VP4D面積.

2.（2023春?江西撫州?九年級金溪一中?？茧A段練習(xí)）【圖形定義】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做"等鄰邊

四邊形

高考復(fù)習(xí)材料

圖①圖②圖③

【問題探究】

⑴如圖①，已知矩形/BCD是"等鄰邊四邊形"，則矩形/BCD(填"一定"或"不一定")是正方

形；

⑵如圖②，在菱形48CD中，ZABC=120°,48=4,動(dòng)點(diǎn)M、N分別在40、CD上(不含端點(diǎn))，若

ZMBN=60°,試判斷四邊形是否為"等鄰邊四邊形"？如果是"等鄰邊四邊形”，請證明；如果不是，

請說明理由；此時(shí)，四邊形BMW的周長的最小值為；

【嘗試應(yīng)用】

(3)現(xiàn)有一個(gè)平行四邊形材料/BCD,如圖③，在Y/8C7)中，ABW,8c=6,tan8=4,點(diǎn)、E在BC

上，且5E=4,在Y/BCD邊/。上有一點(diǎn)P,使四邊形/8EP為“等鄰邊四邊形”，請直接寫出此時(shí)四邊形

ABEP的面積可能為的值__________.

【答案】⑴一定

⑵四邊形8MON是"等鄰邊四邊形”，理由見解析，四邊形8MLW的周長最小值為4百+4

,—49

⑶2a+8或y-或14

【分析】(1)根據(jù)等鄰邊四邊形的定義和正方形的判定可得出結(jié)論；

(2)如圖②中，結(jié)論：四邊形是等鄰四邊形，利用全等三角形的性質(zhì)證明2M=8N即可；

(3)如圖③中，過點(diǎn)A作/ALBC于H,點(diǎn)￡作于N,則四邊形2HEN是矩形.分三種情形:

①當(dāng)4P=/2=如時(shí)，②當(dāng)尸工=尸石時(shí)，③當(dāng)PE=8E時(shí)，分別求解即可.

【詳解】(1)???四邊形/BCD的鄰邊相等，

二矩形/BCD一定是正方形；

故答案為：一定；

(2)如圖②，四邊形BMW是等鄰四邊形；

理由：連接BD.

?.?四邊形43。是菱形，

AB=BC=CD=AD=4,ZABD=ZCBD=-ZABC=60°,

2

???△ABD,V8OC都是等邊三角形，

ZBDM=ZBCN=60°,DB=CB,

高考復(fù)習(xí)材料

???ZMBN=NDBC=60°,

NDBM=ZCBN,

ADBM三△CW(ASA),

：.BM=BN,DM=CN,

四邊形BMDN是等鄰四邊形，

:.DM+DN=DN+NC=CD=4,

-：BM+DM+DN+BNBM+BN+A,

■.BM+BN的值最小時(shí)，四邊形BMDN的周長最小，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，8W的值最小,

此時(shí)，BM=BN=AB-sin60°=2A/3,

.??四邊形的WDN的周長的最小值為4石+4.

B

圖②

(3)如圖③中，過點(diǎn)A作8c于〃，點(diǎn)E作ENJL/。于N,則四邊形是矩形.

AH「

tanBn=—-=4A,AB=W,

BH

/.BH=1,AH=EN=4,

???BE=4,

①當(dāng)4P=48=JI7時(shí)，

/邊形/B￡P(guān)=](8￡+/P)/"=gx(a+4)x4=2a+8.

②當(dāng)尸/=PE時(shí)，設(shè)P/=PE=x,

在RtZXPEN中，???PE2=NE2+PN2,

x2=42+(x—3),

高考復(fù)習(xí)材料

25

x——,

6

11<?5A49

；?$四邊非典>=3"￡+—+4x4=--.

Z，16J3

③當(dāng)尸E=2E時(shí)，點(diǎn)尸與N重合，此時(shí).

S四邊形/四=g（8￡+/P）?H=gx（3+4）x4=14.

,—49

綜上：四邊形/2EP的面積為2而+8或亍或14.

【點(diǎn)睛】本題考查了"等鄰邊四邊形"的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，梯形的

面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問

題.

3.（2022?江西贛州?統(tǒng)考二模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做"等鄰角四邊形".例如：如圖

①，Z5=ZC,則四邊形N3CZ）為"等鄰角四邊形”.

圖①圖②圖③

⑴定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是.

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形.

⑵深入探究：

①已知四邊形N8C。為"等鄰角四邊形"，且//=120。，48=100。，則乙D=.

②如圖②，在五邊形/BCDE中，DE//BC,對角線AD平分2/2C,求證：四邊形AB0E為等鄰角四邊

形.

⑶拓展應(yīng)用：如圖③，在等鄰角四邊形N8C。中，/B=NC,點(diǎn)P為邊8C上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作

PM1AB,PNLCD,垂足分別為M,N.在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，PM+/W的值是否會(huì)發(fā)生變化？請說明

理由.

【答案】⑴②④

⑵①40?；?0?；?20。；②見解析

⑶不會(huì)發(fā)生變化，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的性質(zhì)即可解答；

（2）①分當(dāng)=和ND=NN、=時(shí)三種情況求解；

②由DE〃BC得NEDB=NDBC,根據(jù)對角線2。平分N/5C,得乙4BD=NDBC,故NABD=NEDB,

即證得四邊形/2DE為等鄰角四邊形;

高考復(fù)習(xí)材料

(3)過C作S_LA8于X,過尸作PG_LS于G,由尸M_L48,CH1AB,PG1CH,得四邊形7WZG

是矩形，得PM=HG,可證明APGCMACNP,得CG=PN,即有9+PN=〃G+CG=C〃，從而說明

在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，尸川+PN的值總等于C到的距離，不會(huì)變化.

(1)

解：①平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，不是等鄰角四邊形；

②矩形四個(gè)角都是直角，則鄰角相等，是等鄰角四邊形；

③菱形的鄰角互補(bǔ)，不是等鄰角四邊形；

④等腰梯形的兩個(gè)底角相等，是等鄰角四邊形.

綜上，②④是等鄰角四邊形.

故答案為：②④；

(2)

解：①當(dāng)/C=/D時(shí)，四邊形為"等鄰角四邊形”，

???//=120。，4=100。，

ZC=ZD=(360°-120°-!00°)<-2=70°；

當(dāng)ND=ZA=120。時(shí)，四邊形ABCD為"等鄰角四邊形”，

當(dāng)NC=/B=100°時(shí)，四邊形ABCD為“等鄰角四邊形”，

ND=360°-120°-100°-100°=40°；

故答案為：40。或70?；?20。；

(2)-.-DE//BC,

ZEDB=NDBC,

???對角線AD平分/ABC,

ZABD=ZDBC,

?-?ZABD=ZEDB,

???四邊形ABDE為等鄰角四邊形；

(3)

解：在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，PM+PN的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：

過C作于//,過尸作PGLCH于G,如圖：

■,■PMLAB,CHLAB,PGLCH,

：.APMH=NPGP=ZMHG=90°,

???四邊形/W7G是矩形，

高考復(fù)習(xí)材料

：.PM=HG,MH//PG,即

.?.ZB=ZGPC,

vZB=ZNCP,

???/GPC=ZNCP,

?:PN1CD,

；"PGC=NCNP=9G0,

在APGC和NCNP中,

ZPGC=ZCNP

<ZGPC=ZNCP,

CP=PC

/.APGC=/^CNP(AAS),

/.CG=PN9

：.PM+PN=HG+CG=CH,

即在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，尸M+/W的值總等于。到45的距離，是定值.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義、多邊形內(nèi)角和、三角形全等的判定及性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

【考向三三角形與圓綜合的新定義型問題】

例題：(2022?江西上饒?統(tǒng)考一模)定義：如果一個(gè)三角形有一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對邊的夾角是

60°,那么稱該三角形為''特異角平分三角形〃，這條角平分線稱為''特異角平分線〃.

⑴如圖1,V4BC是一個(gè)〃特異角平分三角形〃，40是一條〃特異角平分線〃

①當(dāng)/。=90。時(shí)，試求40:3。的值.

②在V45C中，過點(diǎn)。作?！?/3于點(diǎn)區(qū)延長至點(diǎn)凡HE=DE,若DE:AE=?.3,證明:

MAHE^IADC.

⑵如圖2.如是e。的直徑，/C是e。的切線，點(diǎn)。為切點(diǎn)，45，ZC于點(diǎn)力且交e。于點(diǎn)H連接0H

交BC于點(diǎn)E,BD=4,/8=3.試證明△05〃是一個(gè)〃特異角平分三角形〃.

高考復(fù)習(xí)材料

【答案】⑴①1:1;②見解析

⑵見解析

【分析】(1)①由直角三角形兩銳角互余得40/2=30。，故可得ND45=N3=30。，繼而得=從而

可得結(jié)論；②根據(jù)角一部分線的性質(zhì)得。C=DE=￡",AE=AC.運(yùn)用S/S可證明V4HE/V/DC；

(2)連接OC,CD.分別證明N/C8=60。，BE平分NHao即可.

(1)

①當(dāng)NC=90。時(shí).如圖1①，

圖1①

ZADC=60°,

ZDAC=30°,

vAD平分NBAC,

??.ABAD=30°,

在△Z5Q中，Z5=60°-30°=30°,

：.ZB=ZBAD,

BD=AD,

???AD\BD=\\\；

②如圖1②

圖1②

VDE1AB,DE:AE=?.3,

巧

???tan/DAE=DE:AE=—

3

???/DAE=30°,

高考復(fù)習(xí)材料

??.ZEDA=60°.

???AD是一條〃特異角平分線”，

VABC是一個(gè)〃特異角平分三角形〃.

-ZADC=60°f

ZDAC=ZDAE=30°.

/.ZC=600+30°=90°

??,DE_LAB,AD平分NBAC

DC=DE=EH,AE=AC.

在石與△/DC中

HE=DC

<ZHEA=ZDCA,

AE=AC

；,YAHE文ADC.

(2)

連接OC,CD.

???4。是e。的切線，。。是e。的半徑,

???OC_L/C,

???ABIAC,

OC//AB,

ZOCB=/CBA,

vOC=OB,

："OCB=/DBC,

Z.CBA=ZDBC,即BE平分

???。5是e。的直徑，

/.Z.DCB=90°,

ZDCB=ZA

ZDBC=ZABC

高考復(fù)習(xí)材料

:ABCDsABAC,

BC_BD

?,加一疏’

?.?5。=4,45=3,

??.802=4x3，

??-5C=V4^3=2A/3.

./…4B3百

smZACB==-y==——,

BC262

；.NACB=60°,

■,DHPAC,

NHEB=ZACB=60°,又BE平分NHBD,

符合定義.

即△可〃是一個(gè)"特異角平分三角形

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義推理，正確理解"特異角平分三角形"是解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?九年級課時(shí)練習(xí)）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成

的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的"好角

C

圖1

⑴如圖1,NE是V/8C中乙1的“好角"，若//=a,則NE=；（用含0的代數(shù)式表示）

（2）如圖2,四邊形/8C。內(nèi)接于e。，點(diǎn)。是優(yōu)弧NC8的中點(diǎn)，直徑弦NC,BF、CD的延長線于點(diǎn)

G,延長3c到點(diǎn)E.求證：N8GC是V/8C中N8/C的"好角

（3）如圖3,V48c內(nèi)接于eO,乙BGC是V48c中■的"好角”，5G過圓心。交e。于點(diǎn)尸，eO的直徑為

8,乙4=45°,求FG.

【答案】⑴。a

⑵見解析

⑶FG=4歷

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角定理，可知41=41CD-〃!8C,4E=4ECDYEBC=g/ACD