深圳寶安2023年高中數(shù)學(xué)教師解題比賽(一)試題含答案

深圳市寶安區(qū)2023年教師解題比賽(一)

(考試時(shí)間：60分鐘試卷滿分：100分)

單位：姓名：

注意事項(xiàng)：

1．答卷前，請(qǐng)老師們務(wù)必將自己所在單位名稱，姓名填寫在試卷指定位置上。

2．共8道試題題，共計(jì)100分。答卷時(shí)間60分鐘。

3．請(qǐng)?jiān)谠囶}下完整書寫全部解答過程，錯(cuò)位答題成績(jī)無(wú)效。

一、選擇題(本題共計(jì)3小題，每題8分，合計(jì)24分)

1.(單選)“關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解”的一個(gè)充分不必要條件是()

A.B.C.D.

8239

2.(多選)若(2x-3)(x-2)=a0+a1(x-1)+a2(x-1)+a3(x-1)+?+a9(x-1),則下列結(jié)論正確的是

()

A.a1+a2+?+a9=1B.a5=84

a1a2a9

C.++?+=1D.a+2a+?+9a9=0

2222912

3.(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2，如圖，M為CC1上的動(dòng)點(diǎn)，AM⊥平面α．下面說法正確

的是()

32

A.直線AB與平面α所成角的正弦值范圍為,

32

B.點(diǎn)M與點(diǎn)C1重合時(shí)，平面α截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大

C.點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn)時(shí)，若平面α經(jīng)過點(diǎn)B，則平面α截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.已知N為DD1中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN的和最小時(shí)，M為CC1的中點(diǎn)

二、填空題(本題共計(jì)2小題，每題8分，合計(jì)16分)

ππ1π

4.已知α∈0,，cosα+=，則cos2α+=．

26312

(x+1)ex,x<0

2

5.已知函數(shù)f(x)=(+)2,若關(guān)于x的方程fx-afx=0有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

x1,x≥0

ex

數(shù)a的取值范圍是．

三、解答題(本小題共計(jì)3小題，每題20分，合計(jì)60分)

11111123

6.判斷sin10°的值落在下面哪個(gè)區(qū)間中：①,;②,；③,;④,．請(qǐng)寫出判斷依

76655466

據(jù)和理由．

1n-1

7.已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和S=-a-+2,(n∈N?)，數(shù)列b滿足b=2na．

nnn2nnn

(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

nn-1?

(2)設(shè)數(shù)列cn滿足ancn-3=λn-1(λ為非零整數(shù)，n∈N)，問是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈

?

N，都有cn+1>cn．

8.已知?分別為橢圓：的左，右頂點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，與

直線交于，兩點(diǎn)，與的外接圓的周長(zhǎng)分別為，，求的

最小值．

深圳市寶安區(qū)2023年教師解題比賽(一)

(考試時(shí)間：60分鐘試卷滿分：100分)

單位：姓名：

注意事項(xiàng)：

1．答卷前，請(qǐng)老師們務(wù)必將自己所在單位名稱，姓名填寫在試卷指定位置上。

2．共8道試題題，共計(jì)100分。答卷時(shí)間60分鐘。

3．請(qǐng)?jiān)谠囶}下完整書寫全部解答過程，錯(cuò)位答題成績(jī)無(wú)效。

一、選擇題(本題共計(jì)3小題，每題8分，合計(jì)24分)

1.(單選)“關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解”的一個(gè)充分不必要條件是()

A.B.C.D.

【答案】C．

8239

2.(多選)若(2x-3)(x-2)=a0+a1(x-1)+a2(x-1)+a3(x-1)+?+a9(x-1),則下列結(jié)論正確的是

()

A.a1+a2+?+a9=1B.a5=84

a1a2a9

C.++?+=1D.a+2a+?+9a9=0

2222912

【詳解】令x=1，得a0=-1，令x=2，得a0+a1+a2+?+a9=0，所以a1+a2+?+a9=1，A正確；

884433

由(2x-3)(x-2)=[2(x-1)-1][(x-1)-1]，所以a5=2×C8×(-1)-C8×(-1)=196，B錯(cuò)誤；

33383323339

令x=，得2×-3-2=a0+a1-1+a2-1+a3-1+?+a9-1，所以a0

2222222

a1a2a9a1a2a9

+++?+=0，又a0=-1，所以++?+=1，故C正確；

2222922229

82398

設(shè)f(x)=(2x-3)(x-2)=a0+a1(x-1)+a2(x-1)+a3(x-1)+?+a9(x-1)，則f(x)=2(x-2)

728

+8(2x-3)(x-2)=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)+?+9a9(x-1)，令x=2，得a1+2a2+?+9a9=0，

故D正確．【答案】ACD．

3.(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2，如圖，M為CC1上的動(dòng)點(diǎn)，AM⊥平面α．下面說法正確

的是()

32

A.直線AB與平面α所成角的正弦值范圍為,

32

B.點(diǎn)M與點(diǎn)C1重合時(shí)，平面α截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大

C.點(diǎn)M為CC1的中點(diǎn)時(shí)，若平面α經(jīng)過點(diǎn)B，則平面α截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D.已知N為DD1中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN的和最小時(shí)，M為CC1的中點(diǎn)

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系

，則點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，平面，則

D-xyzA2,0,0B2,2,0M0,2,a0≤a≤2∵AM⊥αAM為平面α的一個(gè)

AB?AM42

法向量，且AM=-2,2,a，AB=0,2,0，cos<AB,AM>===

AB?AM2×a2+8a2+8

3232

∈,，所以，直線AB與平面α所成角的正弦值范圍為,，A選項(xiàng)正確；

3232

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)M與C1重合時(shí)，連接A1D、BD、A1B、AC，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面

ABCD，∵BD?平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵四邊形ABCD是正方形，則BD⊥AC，∵CC1∩AC=C，

∴BD⊥平面ACC1，∵AC1?平面ACC1，∴AC1⊥BD，同理可證AC1⊥A1D，∵A1D∩BD=D，∴AC1

32

⊥平面A1BD，易知△A1BD是邊長(zhǎng)為22的等邊三角形，其面積為S△ABD=×22=23，周長(zhǎng)

14

為22×3=62.設(shè)E、F、Q、N、G、H為棱A1D1、A1B1、BB1、BC、CD、DD1的中點(diǎn)，易知六邊形

EFQNGH是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，且平面EFQNGH?平面A1BD，正六邊形EFQNGH的周長(zhǎng)為62，

32

面積為6××2=33，則△A1BD的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長(zhǎng)相等，B

4

選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面α交棱A1D1于點(diǎn)Eb,0,2，點(diǎn)M0,2,1，AM=-2,2,1，∵AM⊥平面α，DE?平

面α，∴AM⊥DE，即AM?DE=-2b+2=0，得b=1，∴E1,0,2，點(diǎn)E為棱A1D1的中點(diǎn)，同理可知，F(xiàn)

1

為棱A1B1的中點(diǎn)，則F2,1,2，EF=1,1,0，而DB=2,2,0，∴EF=DB，∴EF?DB且EF≠DB，

2

由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得DE=22+02+12=5，BF=2-22+1-22+2-02=5，

∴DE=BF，四邊形BDEF為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，將矩形ACC1A1與矩形CC1D1D延展為一個(gè)平面，如下圖所示：若AM+MN最短，則A、

MCAC221

M、N三點(diǎn)共線，∵CC1?DD1，∴===2-2，∵M(jìn)C=2-2≠CC1，所以點(diǎn)M

NDAD22+22

不是棱CC1的中點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤【.答案】AC．

二、填空題(本題共計(jì)2小題，每題8分，合計(jì)16分)

ππ1π

4.已知α∈0,，cosα+=，則cos2α+=．

26312

2π2ππ1π22

【詳解】因?yàn)閟inα++cosα+=1，又cosα+=，所以sinα+=±，又α∈

666363

πππ2ππ22π

0,，所以α+∈,，所以sinα+=，所以sin2α+=

2663636

ππ42π2π7π

2sinα+cosα+=，cos2α+=2cosα+-1=-，所以cos2α+=

66966912

8-728-72

cos2α+π-π=cos2α+πcosπ+sin2α+πsinπ=．【答案】．

6464641818

(x+1)ex,x<0

2

5.已知函數(shù)f(x)=(+)2,若關(guān)于x的方程fx-afx=0有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

x1,x≥0

ex

數(shù)a的取值范圍是．

(x+1)ex,x<0

xx

【詳解】因?yàn)閒(x)=2,當(dāng)x<0時(shí)fx=x+1?e，則fx=x+2?e，當(dāng)x<-2時(shí)

(x+1),x≥0

ex

fx<0，當(dāng)-2<x<0時(shí)fx>0，所以fx在-∞,-2上單調(diào)遞減，在-2,0上單調(diào)遞增，fx

-2

在x=-2取得極小值，f-2=-e，f-1=0，當(dāng)x<-1時(shí)fx<0，當(dāng)-1<x<0時(shí)fx>0，當(dāng)x

(x+1)21-x2

→-∞時(shí)，fx→0；當(dāng)x≥0時(shí)fx=，則fx=，當(dāng)0≤x<1時(shí)fx>0，當(dāng)x>1時(shí)

exex

fx<0，所以fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以fx在x=1取得極大值，f1

4

=，當(dāng)x>0時(shí)fx>0，f0=1，當(dāng)x→+∞時(shí)，fx→0；所以fx的函數(shù)圖像如下所示：

e

22

方程fx-afx=0，即fx-a?fx=0，即fx=0或fx=a，因?yàn)榉匠蘤x-

afx=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由圖可知fx=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=-1，所以fx=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)

1414

根，即y=fx與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，所以<a<．【答案】,．

e2ee2e

三、解答題(本小題共計(jì)3小題，每題20分，合計(jì)60分)

11111123

6.判斷sin10°的值落在下面哪個(gè)區(qū)間中：①,;②,；③,;④,．請(qǐng)寫出判斷依

76655466

據(jù)和理由．

112

【詳解】因?yàn)閟in30°=sin10°+20°=sin10°cos20°+cos10°sin20°=，=sin10°1-2sin10°+

22

222331

2sin10°cos10°=sin10°1-2sin10°+2sin10°1-sin10°=3sin10°-4sin10°，設(shè)fx=4x-3x+，

2

21

則fsin10°=0，fx=12x-3=32x-12x+1<0對(duì)任意的x∈0,恒成立，所以函數(shù)fx

2

1111117

在0,上為減函數(shù)，且0<sin10°<sin30°=，因?yàn)閒=>0，f=-<0，由零點(diǎn)存在

226545250

11

性定理可知sin10°∈,【.答案】②．

65

1n-1

7.已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和S=-a-+2,(n∈N?)，數(shù)列b滿足b=2na．

nnn2nnn

(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

nn-1?

(2)設(shè)數(shù)列cn滿足ancn-3=λn-1(λ為非零整數(shù)，n∈N)，問是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈

?

N，都有cn+1>cn．

1n-1*1

【詳解】(1)在Sn=-an-+2,(n∈N)中，令n=1，得S1=-a1-1+2=a1，解得a1=，當(dāng)n≥2

22

---

1n21n11n1n

時(shí)，Sn-1=-an-1-+2，∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+，∴2an=an-1+，即2an=

222

n-1n

2an-1+1．∵bn=2an，∴bn=bn-1+1，即當(dāng)