高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)練習(xí)題（附有答案）

高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)練習(xí)題(附有答案)

學(xué)校：班級：___________姓名：考號：

一、單選題

1.已知集合A=卜€(wěn)口Y-2x-3V0},3={xeR||尤-[〈I}則AB=()

A.(1,3]B.[1,3]C.[1,3)D.(1,3)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足2=z,則|z-i|=()

A.V5B.無C.>/6D.2四

3.如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值/(x)=g,則輸入的實數(shù)了=()

[開始)

/輸Ax/

/(x)=logzrf(x)=x+\

5出於)/

[結(jié)束]

A.--B.屈C.D.-萬或灰

4.已知定義在R上的函數(shù)/(元)滿足〃2+x)+〃2-x)=0,函數(shù)〃x-1)的圖象關(guān)于

直線x=l對稱，且/(1)=1,貝1)/(2023)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.為慶祝黨的二十大的勝利召開，某高校黨委從所有的學(xué)生黨員中隨機(jī)抽取100名，

舉行“二十大”相關(guān)知識的競賽活動，根據(jù)競賽成績，得到如下2x2列聯(lián)表.則下列說法

正確的是()

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

男203050

女351550

合計5545100

參考公式及數(shù)據(jù)：K2=（,+6）（c+d）S+c）（"d），其中〃"+b+c+d-

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.有99.5%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”

B.有99.5%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān)”

C.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān)”

D.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)“

x<3,

6.已知實數(shù)無，y滿足約束條件，x+j>0,則|x-2y|的最大值是（）

x-y+2>0,

A.5B.6C.7D.9

7.已知函數(shù)/3=5皿（5+。（0>0）在區(qū)間?上的極值點(diǎn)有且僅有2個，則°的

取值范圍是（）

A盟B.卵C.（|H]D.心

8.已知變量y與尤之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)變量x與y的相關(guān)數(shù)據(jù)，計算得

7777

￡士=28,￡%=1078,\>；=140,￡%％=4508則〉關(guān)于彳的線性回歸方程為（）

i=lz'=lz=lz=l

附：回歸方程9=派+6中的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為

_n

人2%%一麻.歹人

b=----5------=y-bx.

_n2

Z=1

A.￡=7x—126B.9=7%+126

C.y=5x+121D,y=5x-121

9.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其

名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)xeR,用品表示不超過x的最大整數(shù)，則>=團(tuán)稱為“高

斯函數(shù)”，例如：[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知函數(shù)八月=晟，則函數(shù)[〃切的值域是

（）

A.{-1,1}B.{-1,0}C.（-1,1）D.(-1,0)

試卷第2頁，共6頁

TT

10.在,ABC中，內(nèi)角A,8,c的對邊分別為"C,已知A=1,a=4,若點(diǎn)。為BC邊

的中點(diǎn)，則AD的最大值為()

A.273B.GC.y/eD.2A/6

2

11.已知過橢圓C:/+匕=1的上焦點(diǎn)f且斜率為左的直線/交橢圓C于A,3兩點(diǎn)，。為

2

坐標(biāo)原點(diǎn)，直線04。8分別與直線>=2相交于加,"兩點(diǎn).若41加為銳角，則直線/的

斜率上的取值范圍是()

A.(-oo,-l)u(l,+oo)

自住,)

rC.f-00,--——,+00D.uD（l,+a）

I2)I2

12,已知Q==—,c=1口3-7，則的大小關(guān)系為()

e3

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.b<a<c

二、填空題

13.已知向量Q=(1J),b=(21)和c=〃-b。，若〃_Lc,%>0則〃在Z7方向上的投影

是.

14.在，?的展開式中，各項系數(shù)的和與各二項式系數(shù)的和之比為64,則

a=.

15.已知三棱錐P-ABC中，尸3,平面ABC,AB=BC=PB=2^^AC=6,則三

棱錐P-ABC外接球的體積為.

16.設(shè)過點(diǎn)(2,-1)的直線/與橢圓C:三+9=1交于M,N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)40,1),若直線

4'

AM與直線AN的斜率分別為k、和k2,則匕+k2=.

三、解答題

17.已知ABC的角A,B,C對邊分別為滿足6〃cosC+asinC=6瓦匕。=；

b+c-yjla=0.

⑴求A；

(2)求ABC外接圓的半徑R.

is.某農(nóng)科所統(tǒng)計了單位面積某種化肥實施量x(kg)和玉米相應(yīng)產(chǎn)量y(kg)的相關(guān)

數(shù)據(jù)，制作了數(shù)據(jù)對照表：

x(kg)1620242936

Y(kg)340350362404454

若在合理施肥范圍內(nèi)了與丫具有線性相關(guān)關(guān)系

(1)求Y關(guān)于X的線性回歸方程夕=泳+4；

⑵請利用線性回歸方程預(yù)測X=40kg時的玉米產(chǎn)量.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：b=^和

試卷第4頁，共6頁

19.已知正三棱柱ABC-A4G中，側(cè)棱長為頂，底面邊長為2,。為AB的中點(diǎn).

(1)證明：CD1A,D；

(2)求二面角。-AC-A的大??；

(3)求直線CA與平面\CD所成角的正弦值.

20.已知斜率存在的直線/過點(diǎn)P(l,0)且與拋物線C:/=2px(p>0)交于A,8兩點(diǎn).

(1)若直線/的斜率為1,M為線段AB的中點(diǎn)，”的縱坐標(biāo)為2,求拋物線C的方程；

⑵若點(diǎn)。也在x軸上，且不同于點(diǎn)尸，直線的斜率滿足心。+⑥2=。，求點(diǎn)。的

坐標(biāo).

21.已知函數(shù)/（力=111%-｝工2+無（。>0）.

⑴若0=1,求函數(shù)“X）在點(diǎn)（I"⑴）處的切線方程；

⑵若函數(shù)/（切=111%-；工2+龍（<7>0）在其定義域上有唯一零點(diǎn)，求實數(shù)。的值.

22.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

（%=-1+/COS0,

O=4cos0,直線/的參數(shù)方程為."G為參數(shù)）.

[y=l+/sm°.

（1）若。=：,求直線/的普通方程和曲線c的直角坐標(biāo)方程；

⑵過點(diǎn)尸（0,-3）向直線/作垂線，垂足為。說明點(diǎn)。的軌跡為何種曲線.

23.已知函數(shù)〃x）=|x+3|.

⑴解不等式〃x）+|x—3|>8；

⑵若“辦4〃7（n-3|+,+9|）在（-^,內(nèi)）上恒成立，求實數(shù)沉的最小值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)題意，將集合A3分別化簡，然后由集合的交集運(yùn)算即可得到結(jié)果.

【詳解】因為集合

A={%wR|x2-2x-3<0^=GR|-1<x<3},5={xGR||x-2|<1}={xGR|1<x<3}

所以ACB={X￡R|1<X<3}=(1,3).

故選:D.

2.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)求模的公式即可求解.

【詳解】因為55(占l+2i)=1+方

所以|z-i|=|l+i|=+12=0.

故選：B.

3.D

【分析】輸出的函數(shù)值〃X)=；,分別代入函數(shù)解析式求X,結(jié)合定義域得出答案.

【詳解】由程序框圖可知，該程序是運(yùn)算分段函數(shù)〃尤)=X:;;<1的值

因為輸出的函數(shù)值=；

所以當(dāng)X>1時由log2X=g,解得X=加；

當(dāng)xWl時由x+l=g,解得x=-g.

故選：D.

4.C

【分析】利用函數(shù)的周期性及函數(shù)的對稱性進(jìn)行計算求解.

【詳解】由/（2+x）+/（2—x）=。，W/（4+x）=-/（-%）①

又函數(shù)F(x-l)的圖象關(guān)于直線尤=1對稱，所以函數(shù)/(無)的圖象關(guān)于丁軸對稱，即

/(%)=f(f)②

答案第1頁，共16頁

聯(lián)立①②兩式，可得“4+無)=一/(一力=一/(同，所以/(x+8)=〃x)

所以函數(shù)〃x)的一個周期為8,又/⑴=1

所以〃2023)=〃253x8-l)=/(-l)=/(l)=l,故A,B,D錯誤.

故選：C.

5.A

【分析】求得K2的觀測值，再與臨界值表對照下結(jié)論.

2

【詳解】解：因為K的觀測值k=100x(20x15-35x30)2=100^勺。力>7879

55x45x50x5011

由臨界值表知，有99.5%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

故選：A.

6.D

【分析】利用線性規(guī)劃，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)即可.

【詳解】由題，畫出滿足題意的可行域如圖所示

令z=x-2y,z=x-2y可化為了=(》一:2,-；2相當(dāng)于直線〉=(無一(2在〉軸上的截距.平

移直線y=gx,當(dāng)直線過點(diǎn)A時截距最大，z最??；當(dāng)直線過點(diǎn)C時截距最小，Z最大，聯(lián)

立，\x—二y+2=0得Ix所=3,以43,5).聯(lián)立\［x+:y=30得f.x一=3一3所以。⑶一“所以

^?=3-2X5=-7,z1Mx=3-2x(—3)=9所以|尤一2丫|_31mx=9.

故選：D.

7.C

【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及整體代換的技巧進(jìn)行處理.

答案第2頁，共16頁

【詳解】因為0＞0,所以當(dāng)0＜x＜弓時有++F

26626

因為廣（X）在區(qū)間（。，3上的極值點(diǎn)有且僅有2個，結(jié)合函數(shù)圖象得

+2!，解得苫＜興?，所以。的取值范圍為作用，故A,B,D錯誤;

226233

故選：C.

8.B

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)求代入回歸直線方程即可求解.

【詳解】由題中的數(shù)據(jù)可知元=4,歹=154

7

CCI.￡卒4508-7x4x154196_

所以b=號--------=---------------=—=7.

92r.2140-7x1628

*芍-7x

Z=1

所以&=1一石元=154-7x4=126.

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=bx+a=lx+n6.

故選：B.

9.B

【分析】方法一：利用分離常數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)及高斯函數(shù)的定義即

可求解；

方法二：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分式不等式的解法，結(jié)合高斯函數(shù)的定義即可求解；

【詳解】方法一：函數(shù)〃"=眨=1-三

e+11+e

因為e、＞0,所以l+e、＞l

1?

所以。＜；~7＜1?所以一

1+e1+e

7

所以-Kl-*cl,即

當(dāng)時卜（力］=-1；

當(dāng)0＜/（x）＜l時［〃x）］=0.

故［〃尤力的值域為｛T，。｝.

故選：B.

答案第3頁，共16頁

ev-lK_〃x）+1

方法二：由〃x)=，得e

ex+l

因為e，＞0,所以秀沁＞°，解得—l＜/（x）＜l.

1-

當(dāng)一1＜〃尤)＜。時"(x)］=-l；

當(dāng)O"(x)＜l時［〃切=0.

所以［/(x)］的值域為

故選：B.

10.A

【分析】方法一：作出圖形，^AD^x,ZADB=d,則WC=乃-8利用余弦定理和基本

不等式即可求解.方法二：根據(jù)平面向量的運(yùn)算可得|4。2+|明2=16+國|網(wǎng)

4|AD|2=|AB|2+|AC|2+\AB\\AC\,兩式聯(lián)立，結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】方法一：如圖，^AD=x,^ADB=O,貝1」/40。=》一，.在445。中

由余弦定理得c?=4+d-4xcos6①.

在△ADC中，由余弦定理得廿=4+x2-4xcos（l一e）=4+x2+4；vcos。②.

由①+②可得:&2+C2=8+2X2.

在，ABC中，由余弦定理得

16=it?+c2-2&ccos—=b2+c2-bc>b2+c2+c=—（Z72+c2）=4+x2,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=4

322{'

A

z/\

/I\

時等號成立，解得x42班，即AD的最大值為26./<//；\

BDt

方法二：由題可得BC?=（AC-A月）2=|AC|2+|ABI2-|AC||AB|

所以|40|2+|4?|2=16+,3/①.

又因為AO=g（AB+AC）,所以4|AD|2=|AB/+1AC|2+1AB||AC|@

答案第4頁，共16頁

由①②得4|&￡>|2=16+2,胤44

由①得卜。2+卜例2=16+,9|延,21Aqi

則,4卜@V16,所以41AD”16+2x16=48

當(dāng)且僅當(dāng)IAB|=|AC|=4時等號成立.所以<2君.

故選：A.

11.D

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜截式方程設(shè)出直線的方程，將直

線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理及兩直線相交聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知

條件、點(diǎn)在直線上及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意可知，。2=2,從=1,所以。2=/-/=1,

2

所以橢圓C:尤2+]=1的上焦點(diǎn)為網(wǎng)0,1）

設(shè)直線/的方程為》=履+1,4（%,%）,8（%,乃）

y=kx+l,

聯(lián)立2>2_消去y,得（2+r）尤?+2丘一1=0

I2

什…—2k-1

所以％+%=亦回=五立

由題設(shè)知，Q4所在的直線方程為

X1

因為直線與直線y=2相交于點(diǎn)河

所以M，2；

同理可得N

因為NMON為銳角

所以O(shè)M.ON>0

所以MON="+4=__-+4=

7__________________+4

以必（何+1）（仇+1）%2%尤2+左（％+々）+1

答案第5頁，共16頁

-1

4x

2+女224F-2

+4=+4=

X-+入鼻+1k--\F-l

2+k2l+k2

4p-7.1

即2J>0,解得：左2<彳或標(biāo)>1

E-l2

所以一包<k<旦,或%>1,或左<—1.

22

故直線/的斜率上的取值范圍是(一雙-1)0-1,L(l,+e).

故選:D.

12.A

【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行函數(shù)值的大小比較.

【詳解】方法一：比較的大小時

(法一)設(shè)函數(shù)”》)=蛔，則-(同=上坐，令尸⑺=0,得X=e

XX

當(dāng)無e(O,e)時尚x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)尤e(e,+8)"'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減

所以當(dāng)X=e時函數(shù)取得最大值/(e)='

e

因為q=ln0=^=〃2),b=：=F=〃e),e>2,所以〃2)</(e),即

(法二)因為.=殍,6=叱，設(shè)A(2,ln2),B(e,lne),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)產(chǎn)服的圖象

知kOA<k0B,所以a<b；

比較b,c的大小時設(shè)函數(shù)g(x)=x-lnx—l,x>0,則g'(無)=——

x

當(dāng)0<彳<1時g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)在(1,也)上單調(diào)遞增

因為6=g[j,c=g(；]又。<1，所以即。<c

綜上可得。<匕<c,故B,C,D錯誤.

故選：A.

方法二(估值法)：因為

a=lnV2=-ln2?則=0.345,6=—?0.37,c=ln3--"1-0.67=0.43.

22e2.73

所以a<b<c,故B,C,D錯誤.

答案第6頁，共16頁

故選：A.

13.小叵/1A

1313

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出c=K，W，，利用向量垂直的坐標(biāo)表示求得r=3再

根據(jù)向量投影的定義求得答案.

11r92\

【詳解】因為向量〃=(1/),/?=(2,0^\c=a---b,所以。=一下？八,卜

1Q2

因為Z?_Lc，/〉0所以b.c=O，即一百+為'2=。，解得，=3(負(fù)值舍去)

所以a=(l,3),。=(2,3)所以々.6=1x2+3x3=11

所以〃在6方向上的投影為三5=用

\b|V1313

故答案為：口巫

13

14.3或-5

【分析】利用賦值法確定各項系數(shù)的和，由二項式的性質(zhì)得各二項式系數(shù)的和，利用比值為

64,列出關(guān)于a的方程，解方程即可.

【詳解】因為,&的展開式中各項系數(shù)的和為(。+1)6,各二項式系數(shù)的和為

所以由題意得"￡=64=26

26

所以<7+1=4,或a+l=—4,解得a=3,或a=—5.

故答案為：3或-5.

15.20A/15TI

【分析】將三棱錐尸-ABC補(bǔ)成直三棱柱TPS-ABC,直三棱柱的外接球即為三棱錐

尸-ABC的外接球，確定外接球球心的位置，求出底面三角形的外接圓半徑，進(jìn)而求得三棱

錐外接球半徑，即可得答案.

【詳解】因為A8=8C=P8=2&AC=6

所以在‘ABC中，根據(jù)余弦定理可得：AC2=AB-+BC2-2AB-BCcosZABC

即36=(2石門+(2A/3)2-2X(2>/3)2COSZABC.所以cosZABC=-1

所以NABC=120。，所以底面ABC是頂角為120。的等腰三角形.

答案第7頁，共16頁

由題意將三棱錐P-ABC補(bǔ)成如圖所示的直三棱柱TPS-ABC

則該直三棱柱的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球

且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上.

設(shè),ABC外接圓的半徑為r,三棱錐尸-ABC外接球的半徑為R

2/一/一6_小萬

由正弦定理得sinZABC>/3

所以廠=26R2=r2+=12+3=15

4,—

所以三棱錐P-ABC外接球的體積為V=-TIR3=20屏t

故答案為：20^/1571

16.-1

【分析】先根據(jù)題意假設(shè)直線/的方程，聯(lián)立橢圓C的方程，由韋達(dá)定理得到％+%和出超從

而利用斜率公式直接運(yùn)算即可得解.

【詳解】因為橢圓C：]+y2=l,所以a=2,b=l,其右頂點(diǎn)為（2,0）,下頂點(diǎn)為（0,-1）

所以過點(diǎn)（2,-1）的直線/的斜率存在且不為0和T,設(shè)直線/的方程為'+1=左（*-2）,即

y=kx-2k-l

設(shè)Af（占,必），NG，%）點(diǎn)M，N的坐標(biāo)均不為（0,±D

y=kx-2k—l,

1

聯(lián)立V整理得（1+4左2）*2_8kQk+l）x+16k+16^=0

—+/=

〔4/

則A=64左2（2%+—4（1+4左2乂16左2+16左）=-64左>0,解得左v0

28后（2左+1）于16汰2+16左

因為A>0時演+/=]+4/和玉毛=

1+4左2

所以％+&=1+%-1（%-1凡+（%-1）%

%元2

答案第8頁，共16頁

(何-2%-2)x,+(區(qū),一24-2)元］2AxM2-2(k+1)(尤］+%)

%％2%工2

16左2+16左8人(2Z+1)

2k--2(^+1)-

1+4左21±4^=-1.

16左2+16%

1+4/

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為&,M），（&,%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或＞）的一元二次方程，必要時計算A；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為芯+/、卒2（或%+%、％%）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

17.（1）1

⑵且

3

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化以及和差角公式化簡可得sinA=&cosA,結(jié)合三角函

數(shù)同角關(guān)系即可求解

（2）由余弦定理代入已知關(guān)系即可得。=1,由正弦定理即可求解.

【詳解】（1）由百acosC+asinC=5/以及正弦定理可得：^sinAcosC+sinAsinC=yfisinB

A+B+C=兀

/.sinAsinC=V3cosAsinC

sinCw0,tanA=若，而A￡(0,7i),「.A=g.

(2).be=—,b+c—y/2a=0

3

1CT---O1］

cosA="+J=-C———=-,整理得/=1

2bc2bc

3

答案第9頁，共16頁

6Z—1.

2R=3」=氈.

由正弦定理可得而一①一丁…RJ號L

18.⑴y=5.893x+234.675

(2)470.395kg

【分析】（1）利用最小二乘法求解；

（2）將x=40kg代入回歸方程求解.

【詳解】（1）解：由表中數(shù)據(jù)計算得嚏=255=382

￡（%-尤）（y-y）=1438和E?-X）-=244

Z=1Z=1

5

E&-元）（%-刃

b=上R------------------5.893

￡（%-寸

Z=1

〃=7_人受=382—5.893x25=234.675.

所以回歸方程為y=5.893x+234.675.

（2）將x=40kg代入回歸方程得y=5.893x+234,675.

故預(yù)測x=40kg時玉米產(chǎn)量約為5.893x40+234.675=470.395kg.

19.⑴證明見解析；

嗎

⑶逅

6

【分析】（1）由正三棱柱的性質(zhì)可得B瓦，平面ABC,再利用線面垂直的判定定理即可證

明CD_1平面ABBiA，即可得CO_LAQ；（2）以AC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角

7T

坐標(biāo)系利用空間向量與二面角的幾何關(guān)系即可求得二面角。-AC-A的大小為:；（3）根

據(jù)（2）中結(jié)論，利用線面角與空間向量的關(guān)系即可得直線CA與平面4。所成角的正弦值

答案第10頁，共16頁

為

6

【詳解】（1）由ABC-ABC為正三棱柱可知，B片，平面A3C

又CDu平面A3C,所以

由底面是邊長為2的正三角形，。為的中點(diǎn)，所以CDLAB；

又BB]CAB=B,平面A344，所以CD，平面ABgA；

又AOu平面ABBH，所以CD，A。；

（2）取線段AG，AC的中點(diǎn)分別為O,E,連接。片,OE

易知O4,OE,OC|兩兩垂直，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)G，OE,O4所在直線為X,y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如下圖所示;

由側(cè)棱長為灰,底面邊長為2可得

4（-1,0,。）,。（1,也0）,4卜1,也0）,8（0,四,@,耳（0,0,@

由。為AB的中點(diǎn)可得。

UULT/、UUU

所以AC=（2,夜,o）,z）c=住。，￥

<227

設(shè)平面DA.C的一個法向量為n=（%％z）

ri'AiC=2x+y[2y=0

則,3J3，令兀=1，可得y=-0,z=6；

n-DC=-x--z=0

I22

即—

易得談=（0。百）即為平面AC4的一個法向量

答案第11頁，共16頁

1ClUU——

/ruuirn-OB3J2

所以cos(〃,OB]A

設(shè)二面角。-Ac-A的平面角為e,由圖可知。為銳角

所以cose=cos?,翎=與，即eg

即二面角。-Ac-A的大小為

4

（3）由（2）可知C4=（—2,0,0）,平面DA。的一個法向量為〃=（1,-0,6）

設(shè)直線CA與平面AC。所成的角為a

ruir

?；ruir,n-CA|-2|_76

所以sina=cos(n,CA

-

MCA2A/66

即直線CA與平面AC。所成角的正弦值為逅.

6

20.(l)y2=4x

⑵。（TO）

【分析】（1）由題知直線/的方程，聯(lián)立拋物線，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)公式即可求解；

（2）設(shè)出直線/的方程及。的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，消元，韋達(dá)定理，利用直線斜率公式寫出

kAe+kBQ將韋達(dá)定理代入的°+=0,化簡求出參數(shù)即可得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【詳解】（1）因為直線/的斜率為1且過點(diǎn)P。,。）

所以直線/的方程為：y=x-i

由,得：尤2_(2〃+2)X+1=0

y-x-1

所以演+%2-2/7+2,XxX2=1

所以X+%=々+/_2=2p

因為“為線段48的中點(diǎn)，M的縱坐標(biāo)為2

所以專l=p=2

答案第12頁，共16頁

2

所以拋物線的方程為：y=4x.

（2）設(shè)直線/的方程為：>=左@-1）和。（〃7,0乂〃件1）

2

y=2px得：左2彳2一（2左？+2p）尤+左2=o

y=^(x-1)

2k2+2p

所以占+%=,玉/=

F-1

-m

M?%k(X1一1)(%2一根)+k(％2-1)(石)

由左AQ+即Q=

xi—mx2—m(玉—m)(x2—m)

2kxix?+2km-^km++x2)

%為一根(％+/)+加2

c,…,\2左之+2〃

2k+2km-[km+k)-----0-----

12k2+2p2

l-m——-+m

k2

22+22加一(版+>)?2"+3Pk2

K

k2-m(2k2+2p)+女2M2

由左wO

2k2+2p

所以2女+26n—（左〃z+女卜二0

k2

即-半-等。

所以機(jī)=一1

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-L0).

21.(1)2x—2y—1=0

⑵1

【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解斜率，由點(diǎn)斜式即可求解直線方程

（2）將問題等價轉(zhuǎn)化成x2-201nx-2辦=0在（。,+8）有唯一實數(shù)解.構(gòu)造函數(shù)

g（x）=X2-2?lnx-lax,和力（x）=21nx+x-1,利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，進(jìn)而確定方程的根，即

可求解.

答案第13頁，共16頁

【詳解】(I)當(dāng)0=1時/(1)=一;+1=；

且「(司=：一尤+1,.?.廣⑴=1

.?.函數(shù)”X)在點(diǎn)(1,〃1))處的切線方程尸：=尤-1

HP2x-2y-l=0.

(2)f(x)=lnx-^-x2+x(a>0)在其定義域上有唯一零點(diǎn)

方程Inx-'f+%=()

2a

即，2疝?-2依=0在(。,+8)有唯一實數(shù)解.

設(shè)g(x)=x2_2dnx_26，則g，(x)=2—?”2a.

令g'(x)=0,即%之一以一Q=O.a>0,x>0,

一.Y一翻一a=0的兩個根分別為

a―J。2+4〃zz^.+、ci+J，2+4a

x,=-----------<0(舌去)x=------------.

12022

當(dāng)無￡(0,w)時g<x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減

當(dāng)九?入2，+°0)時g'(x)>o,g(x)在(。,冗2)上單調(diào)遞增

當(dāng)％=%時g'(x)=。，g(%)取最小值g(9)

要使g⑺在")有唯-零點(diǎn),則須憬皆即歸XXi…

2CAWC2+ax2-a=0,a>0,:.21nx2+x2-l=0.(*)

設(shè)函數(shù)/z(x)=21nx+x—1,當(dāng)％>0時,(x)是增函數(shù)，至多有一解

//(1)=0,二方程(*)的解為％=1,即a+=i,解得。=g

，實數(shù)。的值為

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)零點(diǎn)時需要利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，如果求導(dǎo)后

的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)