2024年初三中考第一次模擬考試試題：數(shù)學(xué)（山東濟南卷）（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試（山東濟南卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.圖1所示的正五棱柱，其俯視圖是（）

【答案】A

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見的棱用實線表示.

【詳解】解：從上面看，是一個矩形，矩形的中間有一條縱向的實線，兩條縱向的虛線.

故選：A.

【點睛】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

2.2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行.國家主席習(xí)近平在主旨演講中聲

明：“本屆高峰論壇期間舉行的企業(yè)家大會達成了972億美元的項目合作協(xié)議.”將972億美元用科學(xué)記數(shù)法

表示成元，正確的是（）

A.9.72xlO2B.9.72x10sC.9.72xlO10D.9.72xlO11

【答案】C

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法：把一個絕對值大于等于10的數(shù)表示成“xlO”的形式Q大于或等于1且

小于10,〃是正整數(shù)）；w的值為小數(shù)點向左移動的位數(shù).根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義，即可求解.

【詳解】解：972億97200000000=9.72x10"）,

故選：C.

3.如圖，直線加〃"，點A在直線〃上，點B在直線機上，連接A3,過點A作交直線加于點C.若

4=50。，則N2的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角

相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出NCW+N2=18O。，結(jié)合已知條件

即可求出-2的度數(shù).

【詳解】解：如圖所示，

9?m//n,

：.ZC4Z)+Zl=180°,

???Zl+ZBAC+Z2=180°

?.*AC±AB,

：.NBA。=90。，

VZl=50°,

J50°+90o+Z2=180°,

???Z2=40°,

故選：C.

4.下列計算正確的是()

A.3A/2-2A/2=1B.(a+/?)2=a2+Z?2

C.a3^a6=-\D.(</?=/

av7

【答案】c

【分析】根據(jù)二次根式的減法、完全平方公式、同底數(shù)幕的除法、負整數(shù)指數(shù)幕以及幕的乘方的運算法則

逐一分析即可.

【詳解】解：：3JI-2形=JL

選項A不符合題意；

V{a+b^=a2+2ab+b2,

選項B不符合題意；

..-36-91

.a;a=a=—,

a

選項C符合題意；

V（a4）'=a20,

選項D不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查二次根式的減法、完全平方公式（“±6）2=片±2浦+從、同底數(shù)塞的除法

負整數(shù)指數(shù)塞才P=5（”二0）以及累的乘方（曖）"=優(yōu)"'，掌握以上法則是解題的關(guān)鍵.

5.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別.根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義判斷即

可.如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.把一個圖

形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，本選項不符合題意；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，本選項符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，本選項不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，本選項不符合題意；

故選：B.

6.三張圖片除畫面不同外無其他差別，將它們從中間剪斷得到三張上部圖片和三張下部圖片，把三張上部

圖片放入一個布袋，把三張下部圖片放入另一個布袋，再分別從兩個布袋中各隨機摸取一張，則這兩張小

圖片恰好合成一張完整圖片的概率是（）

【答案】B

【分析】將上部三張圖片分別記作A、B、C,下部三張圖片記作。、b、c,列表得出所有等可能結(jié)果,

從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：將上部三張圖片分別記作A、B、C,下部三張圖片記作。、b、c,

列表如下：

ABc

a(A,a)(B,a)(C,a)

b(A,b)(民b)(C.b)

c(Ac)(B,c)(C,c)

由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的有3種結(jié)果，

31

所以這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率為1=；,

故選：B.

【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有

可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情

況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.若點4（一2,%）、8（—1,%）、C（L%）都在反比例函數(shù)y=S1為常數(shù)）的圖象上，貝I%必、%的大

小關(guān)系為（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<%D.

【答案】C

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點的特征.由r+1>0可知，此函數(shù)圖象在第一、三象限，根據(jù)反

比例函數(shù)的性質(zhì)即可判定.

【詳解】解：???兀2+1>0,

反比函數(shù)圖象在一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨尤的增大而減小，

.?.A（-2,yJ、3（—1,%）在第三象限內(nèi)，C（L%）在第一象限內(nèi)，

V-l>-2,

為>必，

/?%<%<為，

故選：C.

8.《九章算術(shù)注》中用不同顏色的算籌(小棍形狀的記數(shù)工具)分別表示正數(shù)和負數(shù)(白色為正，黑色為

負)，如圖1表示的是(+21)+(-32)=-11的計算過程，則圖2表示的過程是在計算()

HHBmiHD—D

A.(-13)+(+23)=10B.(-31)+(+32)=1

C.(+13)+(+23)=36D.(+13)+(-23)=-10

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運算.

由白色算籌表示正數(shù)，黑色算籌表示負數(shù)，即可列式計算.

【詳解】解：由題意得白色算籌表示正數(shù)，黑色算籌表示負數(shù)，

...圖中表示的計算過程為(-13)+(+23)=10.

故選：A.

9.如圖，在.ABC中，ZACB=90°,AC=3C=4,點。為邊上一動點(不與點3、C重合)，CE垂直

交A3于點E,垂足為點連接并延長交AC于點/，下面結(jié)論正確的個數(shù)是()

①若AD是BC邊上的中線，則。X=拽；②若AD平分/CAB，貝|y=必；③若&)=2CD，貝UAE=3BE；

5BD2

④3”的最小值為

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理求出AD=2若，根據(jù)三角形面積公式求出。8=逑，得拽，據(jù)此判斷①符

55

合題意；過點。作ZW〃AC交B尸于點M,根據(jù)題意推出DM是的中位線，則CF=2DM,根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)推出VASsvCD",AACH^AADC,NDMH^NAFH,根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)即可判斷②不符合題意；

當3D=〃CD時，設(shè)CD=a,則3D=a〃，AC^BC^an+a,過點B作BN_L3C交CE的延長線于點N,

結(jié)合題意及直角三角形的性質(zhì)利用A4s推出VACD絲VCBN（A4S），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

CD=BN=a,根據(jù)NACD+NCBN=180。，判斷BN〃AC,進而推出VACEsVBNE,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可判斷③不符合題意；根據(jù)當3"最短時，點F為AC的中點，求解即可判斷④符合題意；

【詳解】解:AD是BC邊上的中線，

/.BD—CD,

BC=4,

:.CD=~BC=2,

2

ZACB=90°,AC=4,

AD=ACylAC2+CD2=742+22=275，

CE1AD,

S.?=-ACCD=-AD-CH,

v22

:.ACCD=ADCH,

…ACCD4x24A/5

Crz=-----------=—產(chǎn)

AD2亞

:.DH=y/CD2-CH2=

故①正確，符合題意;

如圖，過點C作。0〃AB交AD的延長線于點M,

ZACB=90°,AC=BC,

：.ACB是等腰直角三角形,

.-.AB=y/2AC，

AC>/2

...----=----,

AB2

,CM//AB,

:.ZM=ZMAB,

AD平分/C4B,

.\ZCAM=ZBAM,

:.ZCAM=ZMf

:.CM=AC,

CM//AB,

:NCDMEBDA,

.CDCMAC

…而一市一花一耳’

故②正確，符合題意；

當瓦＞=2CD時，設(shè)CD=Q,則5D=2a,

AC=BC=2〃+〃=3〃，

過點5作5NL5C交CE的延長線于點N,

C

:.ZN+/BCN=90。,

CE垂直AD,

:./BCN+/HDC=9伊,

:.Z.HDC=ZN,

又AC=3C,/CBN=ZACD,

:NACD?CBN(AAS、,

CD=BN=a,

QZACD+ZCBN=180°f

:.BN//AC,

sNACE^NBNE,

AE_AC3a

/.AE=3BE,

故③正確，符合題意；

CH±AH,

.,.點H在以AC為直徑的圓上，

當3"最短時，點歹為AC的中點，

:.CF=-AC=2,

2

BF=-JBC2+CF2=2#>，

二3"的最小值為2君-2,

故④錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】此題是三角形綜合題，考查了勾股定理、三角形面積公式、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角

形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相

似三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.直線必=分+6和拋物線%=辦2+a（a,b是常數(shù),且4工0）在同一平面直角坐標系中，直線%=依+》

經(jīng)過點（T,0）.下列結(jié)論：

①拋物線%=依?+bx的對稱軸是直線x=-2

②拋物線%="d+b無與x軸一定有兩個交點

③關(guān)于■x的方程加+6元=<2x+6有兩個根玉=-4,x2=1

④若。>0,當％<—4或x>l時，Ji>y2

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①④

【答案】B

【分析】①可得T4+b=O,從而可求人=4。，即可求解；②可得△=〃-4ac=〃N0,由可得A=">o,

即可求解；③可判斷拋物線也過（T,0）,從而可得方程依2+e-。）*-6=0的一個根為了=—,可求拋物線

%=分2+。一0卜一人的對稱軸為直線x=-',從而可得拋物線%=辦2+（6-與X軸的另一個交點為

(1,0),即可求解；④當。>0,當Y<X<1時，％〈必，即可求解.

【詳解】解：①「直線乂=狽+》經(jīng)過點(TO),

/.—4a+Z?=0,

.\b=4a,

h4"

拋物線的對稱軸為直線尤==-建=-2,

2a2a

故①正確；

@\=b2-4ac=b2>0,

由①得b=4a,

aw0,

「.bWO,

..A=Z?2>0>

???拋物線為=a/+bx與x軸一定有兩個交點,

故②正確；

③當x=-4時，

y=16a—4b

=16a—16a=0,

???拋物線也過(TO),

由ax2+bx=ax+。得

萬程cu3+(b-ci^x-b—0,

，方程的一個根為x=-4,

拋物線必=依2+(b-a)x-b,

b—a_4a—a_3

.x———，

2a2a2

c2x3

拋物線y3=ax+(b-a)x-b的對稱軸為直線=~~>

與x軸的一個交點為(-4,0),

解得：X=1,

.??拋物線％=加+。-。戶-6與X軸的另一個交點為（1,0）,

，關(guān)于x的方程ox?+6x=辦+6有兩個根玉=-4,x2=1,

故③正確；

④當。>0,當Tcxcl時，％<%，

故④錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點，二次函數(shù)與不等式等，理解性質(zhì)，

掌握解法是解題的關(guān)鍵.

第n卷

二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）

11.因式分解：3m2-12-.

【答案】3（m+2）（m-2）

【分析】本題考查因式分解.先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可.

【詳解】解：3m2-12,

=3（m2-4）,

=3（7〃+2）（7為一2）.

故答案為：3（根+2）（2）.

12.一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出

1個球，是白球的概率為g.則布袋里紅球有個.

【答案】1

【分析】設(shè)布袋里紅球有x個，根據(jù)白球的概率列方程求解可得.

【詳解】解：設(shè)布袋里紅球有x個，

21

由題意得：——解得：％=1,

2+l+x2

經(jīng)檢驗X=1是原方程的解.

.?.布袋里紅球有1個，

故答案為：1.

【點睛】本題考查根據(jù)概率求球的個數(shù)，認真讀懂題意是關(guān)鍵.

13.關(guān)于x的一元二次方程區(qū)?+3》_i=o有兩個實數(shù)根，則％的取值范圍是.

9

【答案】kN—且％W0

4

【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)不為0,以及方程有兩個實數(shù)根，判別式大

于等于0,列出不等式進行求解即可.

"0

【詳解】解：由題意，得：&-必x(-1"0,

9

解得：kN—且左W0,

4

Q

故答案為：女之一;且左。0.

14.如圖，在半徑為石，圓心角等于45。的扇形A03內(nèi)部作一個正方形CDEb,使點C在Q4上，點“E

在05上，點廠在AB上，則陰影部分的面積為.

角形CQD的面積為扇形A03的面積為9?(灼2=斌所以陰影部分的面積為9

/ov7oo2

【詳解】解：連接。尸，則0尸二百，

ZAOB=45\

：.ZDCO=90°-ZCOD=45°.

???ZCOD=ZDCO.

：.CD=OD.

：.EF=ED=OD.

RtAOEF中，

OE2+EF2=OF\

：?(2EFy+EF2=(后,解得￡F=1

OD=CD=EF=1

45

S陰影一S扇形A0BSODC~SCDEF=-------71X--xlxl-lxl=-7T--

360282

故答案為：，兀-j

o2

【點睛】本題考查扇形面積的計算，勾股定理，正方形的性質(zhì)；構(gòu)造直角三角形運用勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

15.如圖，在菱形ABCD中，邊長為2+2?,ZABC=60°,E,尸分別是邊AB,3c上的點，且鉆=2,

若將AEBF沿著所折疊,使得點8恰好落在AD邊上的點8'處，EB7/BD,折痕為EF,則AB,的長為

【答案】2

【分析】過點B'作B'G±BA,^BA的延長線于點G,先求出B'E=BE=26,再證明ZAB'G=30。，設(shè)AG=x,

則B'G=。，AB'=2x,GE=x+2,在RtAEGB'中，由勾股定理得（x+2）?+（后）。=（26丫，解方程求出

x=l,貝lW=2x=2.

【詳解】解：如圖，過點B'作交班的延長線于點G,則N?G4=90。，

,/AE=2,AB=2+26

，BE=AB-AE=2^3,

由折疊的性質(zhì)得，B'E=BE=2^[3,

:四邊形ABC。是菱形，ZABC=60°,

ZBAE>=120°,

ZB'AG=60°,

：.ZAB'G=30°,

設(shè)AG=x,則B'G=A，AB'=2x,

：.GE=AG+AE=x+2,

在RtAEGB'中，由勾股定理得EB'2=EG2+B'G2,

：.（X+2）2+（V3X）2=（2V3）2,

x=l或x=-2（舍去），

AB'=2x=2,

故答案為：2.

【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊

的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，點M的坐標為（3,2）,點尸從原點。出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿丁軸向上移動，同時過點P的

直線/也隨之上下平移，且直線/與直線》=-X平行，如果點M關(guān)于直線/的對稱點落在坐標軸上，如果點尸

【分析】過點M作血FJL直線/,交y軸于點F，交X軸于點E,與直線/相交于點A,則點E、F為點、M

在坐標軸上的對稱點，過點M作軸于點O,設(shè)直線/的解析式為y=-x+b,由直線/與直線丫=-*平

行可得/OR4=45。，即可證明，MDE與0EP均為等腰直角三角形，進而可求出點E、尸的坐標，根據(jù)中

點坐標公式可求出M尸和ME的中點坐標，代入y=-尤+匕可求出6值，即可得點尸坐標，即可求解.

【詳解】如圖，過點/作皿FJ_直線/,交y軸于點尸，交X軸于點E,與直線/相交于點A,則點E、F為

點M在坐標軸上的對稱點.

V直線/與直線y=-x平行，

設(shè)直線/解析式為y=-x+6,

過點M作MDLx軸于點。，則0D=3,MD=2,

,直線/的解析式為y=f+6，

:.NOPD=45°,

:.NOFE=NOEF=45°,

與，OEF均為等腰直角三角形，

:.DE=MD=2,OE=OF=1,

■-E(1,0),F(0,-1).

M(3,2),F(0,-1),

???線段板中點坐標為(：，1).

22

直線y=-x+6過點(?

?—---+bh，

,?2-2

解得：b=2,

二?點尸坐標為(0,2),

.,.t=2.

"(3,2),E(l,0),

線段ME中點坐標為(2,1).

直線y=-尤+6過點(2,1),

.'.l=—2+b,

解得：b-3,

，點P坐標為(0,3),

r.r=3.

???點M關(guān)于/的對稱點，當f=2時，落在y軸上，當f=3時，落在X軸上.

故答案為：2或3.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與幾何變換.注意在x軸、y軸上均有點〃的對稱點，不要漏解；其

次注意點E、下坐標以及線段中點坐標的求法.

三、解答題(本大題共10個小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.計算：|V3-2|+2COS30°-(-A/3)2+^-1^.

【答案】3

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的混合運算.先化簡各式，再進行加減運算即可.掌握相關(guān)

運算法則，正確的計算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=2-百+2x3一3+4

2

=2-A/3+A/3-3+4

=3.

%+31八

-----兀+I>0

18.解不等式組：2在數(shù)軸上表示出它的解集，并求出它的正整數(shù)解.

3(x-5)<2x-1

【答案】XV5；數(shù)軸見解析；正整數(shù)解為：I,2,3,4,5

【分析】先分別求出一元一次不等式的解集，再將其解集在數(shù)軸上表示出來，取其正整數(shù)即可求解.

x+3-x+1>0①

【詳解】解：2,

3(x-5)<2x-l@

解不等式①得，xW5,

解不等式②得，x<14,

不等式組的解集為xM5,

其解集在數(shù)軸上表示如下：

-I0123456789101112131415

該不等式組的正整數(shù)解為：1,2,3,4,5.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組并在數(shù)軸上表示解集，熟練掌握一元一次不等式的解法及解集在

數(shù)軸上表示的方法是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，平行四邊形ABCD中，488的平分線交AD于E,NABC的平分線交即于點F.

⑴求證：AE=DF；

⑵若NA=120。，BF=8幣,EF=3,求BC的長.

【答案】（1）見詳解.

(2)13

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)知識，

（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)可得=/DEC=/DCE.即可得至=

DE=DC.即可求證結(jié)論.

（2）過點A作AHJL3尸，垂足為利用/AV=120。，8尸=8若可計算出A3的長度，結(jié)合（1）即可

求出BC長度.

【詳解】（1）解：二?四邊形ABCO是平行四邊形.

:.AD〃BC,AB=DC,AD=BC.

：.ZAFB=ZFBC,/DEC=NECB.

'：CE是ZBCD的平分線，BF是/ABC的平分線.

ZABF=NFBC,ZDCE=/ECB.

：.ZABF=ZAFB,ZDEC=NDCE.

AB=AF,DE=DC.

AF=DE.

：.AF-EF^DE-EF.

：.AE=DF.

(2)過點A作AH_L8F,垂足為H,如圖:

由(1)知AB=AF,且ZBAF=120°,BF=8y/3,

Zfi4H=60°,BH=LBF=46

2

'：/ABH=30。，

/.AH^-AB,

2

/.AB2=AH2+BH2=f1AB^+BH1,AB=8.

：.AF=DE=AB=8.

EF=3.

：.AE=AF-EF=5.

：.AD=AE+ED=13.

：.8C=AD=13.

20.某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖1所示的遮陽棚，其側(cè)面如圖2所示，遮陽棚展開長度AB=200cm,

遮陽棚前端自然下垂邊的長度3c=25cm,遮陽棚固定點A距離地面高度仞=296.8cm,遮陽棚與墻面的

夾角/BAD=72。.

A

圖1

(1)如圖2,求遮陽棚前端8到墻面AO的距離;

(2)如圖3,某一時刻，太陽光線與地面夾角/CFG=60。,求遮陽棚在地面上的遮擋寬度D尸的長(結(jié)果精

確到1cm).(參考數(shù)據(jù)：sin72。a0.951,cos72°?0.309,tan72°。3.078,石y1.732)

【答案】⑴遮陽棚前端B到墻面AD的距離約為190.2cm

(2)遮陽棚在地面上的遮擋寬度DF的長約為69cm

【分析】(1)作班，AD于E,在RtAABE中，根據(jù)sinZBAE=—列式計算即可；

AB

(2)作5石，AD于。/，40于〃,延長5c交OG于K,則5KLOG,可得四邊形3E77C,四邊形HOKC

是矩形，解直角三角形RtA4BE求出AE,可得CK=DH=210cm,然后RtaCFK中，解直角三角形求出FK,

進而可得。尸的長.

【詳解】(1)解：如圖3,作于E,

RFBF

在RtZWE中，sinNR4E=—,即$吊72。=—,

AB200

BE=sin72°x200?0.951x200=190.2cm,

答：遮陽棚前端B到墻面AD的距離約為190.2cm；

(2)解：如圖3,作跳」A￡＞于E,CH_LAD于X,延長BC交OG于K,則

四邊形BEHC,四邊形HDKC是矩形，

由⑴得3E=190.2cm,

DK=HC=BE=190.2cm,

ApAF

在RtAABE中，cosNBAE=——，即cos72。=—,

A.B200

???AE=cos72°x200亡0.309x200=61.8cm,

由題意得：EH=BC=25cmf

：.DH=AD-AE-EH=296.8-6L8-25=210cm,

：.CK=DH=210cm,

在Rt^CFK中，tanZCFK=—,gptan60°=—

FKFK

210210

?121.25cm

tan60°G

???DF=DK-FK=190.2-121.25^69cm,

答：遮陽棚在地面上的遮擋寬度。廠的長約為69cm.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出直角三角形，

熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

21.近年來，網(wǎng)約車給人們的出行帶來了便利，林林和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對“美團”和“滴滴”兩家網(wǎng)約車公

司司機月收入進行了一項抽樣調(diào)查，收集了兩家公司各10名司機月收入情況(單位：千元)：

滴滴司機：45910455549

美團司機：4578676566

整理數(shù)據(jù)：畫出統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，如圖所示：

“關(guān)團”網(wǎng)約車司機收入分布統(tǒng)計圖

“滴滴”網(wǎng)約車司機收入頻數(shù)分布表:

月收入4千元5千元9千元10千元

人數(shù)(個)3421

根據(jù)以上信息，分析數(shù)據(jù)如表:

平均月收入/千元中位數(shù)眾數(shù)方差

“滴滴”6b56.2

“美團”a.661.2

(1)請求出a的值；

(2)b=；m=；圓心角n=°；

(3)林林的叔叔決定從兩家公司中選擇一家做網(wǎng)約車司機，如果你是林林，請從平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)，方

差這幾個統(tǒng)計量中選擇兩個統(tǒng)計量進行分析，并建議他的叔叔選擇哪家公司？

【答案】(1)6

(2)5,40,72

(3)選“美團”，見解析

【分析】本題考查了統(tǒng)計的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)定義與有關(guān)的計算公式.

(1)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式可得。的值，根據(jù)中位數(shù)的定義可得b的值，用360。乘平均月收入7千元

所占比例可得圓心角〃的度數(shù)；

(2)根據(jù)平均數(shù)一樣，中位數(shù)及眾數(shù)的大小和方差的大小進行選擇即可.

【詳解】(1)解：“美團”的平均月收入。=------------------------=6,

故答案為：6；

(2)“滴滴”網(wǎng)約車司機收入的中位數(shù)6=亭=5,

2

“美團”網(wǎng)約車公司司機月收入中，"6千元''對應(yīng)的百分比為4+10=40%,

2

圓心角n的度數(shù)為：360°X—=72°.

故答案為：5,40,72；

(3)選“美團”，理由如下：

因為平均數(shù)一樣，“美團”的中位數(shù)、眾數(shù)大于“滴滴”的，且“美團”的方差小，更穩(wěn)定.

22.如圖，AB是：。的直徑，C,D是：。上的兩點，且BC=OC,交AC于點E,點尸在AC的延長

線上，BE=BF.

⑴求證：即是二。的切線；

3

⑵若￡F=6,cosZABC=~.

①求班"的長；

②求。的半徑.

【答案】(1)見解析；

(2)①5；②g.

【分析】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形.

(1)利用圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；

(2)①利用等腰三角形的三線合一和直角三角形的性質(zhì)求出CF=CE=；砂=3,=在RtBCF

中，利用余弦的定義進行計算即可；②在Rt^ABC中，利用余弦的定義求出即可得到答案.

【詳解】(1)證明：BC=DC,

BC=DC，

:.ZA=NCBD,

BE=BF,

:.ZBEC=ZF.

AB為.。的直徑，

:.ZACB=90°,

.-.ZBEC+ZCBE=90°,

/.ZF+ZA=90°.

:.ZABF=9Q°f

OB±BF,

QQB是圓的半徑，

?.BF是。的切線；

(2)解：①由(1)得：BE=BF,

AB是：。的直徑，

:.BC1EF,

,-.CF=CE=-EF=3

2f

ZABC+ZCBF=90°,ZCBF+ZF=90°,

.\ZF=ZABC,

CF

在Rt5c尸中，cosZF=——,

BF

3

，BF=CF+—=5；

5

②在RtBCF中，BC=ylBF2-CF2=4，

在Rt^ABC中，COSNA8C=^=3,

AB5

.??，。的半徑為了.

23.某文具店準備購甲、乙兩種水筆進行銷售，每支進價和利潤如下表:

甲水筆乙水筆

每支進價(元)aa+5

每支利潤(元)23

已知花費400元購進甲水筆的數(shù)量和花費800元購進乙水筆的數(shù)量相等.

(1)求甲，乙兩種水筆每支進價分別為多少元.

(2)若該文具店準備拿出2000元全部用來購進這兩種水筆，考慮顧客需求，要求購進甲種水筆的數(shù)量不超過

乙種水筆數(shù)量的4倍，問該文具店如何進貨能使利潤最大，最大利潤是多少元.

(3)文具店為了吸引客源.準備下次再購進一種進價為12(元/支)的丙水筆，預(yù)算用1500元購進這三種水

筆若干支(三種筆都需購買)，其中甲水筆與乙水筆的數(shù)量之比為1:2,則該文具店至多可以購進這三種水

筆共多少支.

【答案】(1)甲、乙兩種水筆每支進價分別為5元、10元

(2)購進甲種水筆266支，乙種水筆67支時，能使利潤最大，最大利潤是733元

(3)169支

【分析】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，根據(jù)題意

找出等量關(guān)系，列出方程，函數(shù)關(guān)系式，以及不等式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“花費400元購進甲水筆的數(shù)量和花費800元購進乙水筆的數(shù)量相等”列出方程求解即可；

(2)設(shè)利潤為w元，甲種水筆購進尤支，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出一次函數(shù)表達式，根據(jù)一次函數(shù)的

增減性，即可解答；

(3)設(shè)購進甲種水筆小支，則購進乙種水筆2%支，一共購進〃支水筆，列出方程化簡，得"=125+2加，

12

根據(jù)-2刈＞0,推出根＜60,再結(jié)合根、〃均為正整數(shù)，得出當機=48時，〃取得最大值，此時〃=169,

即可解答.

【詳解】(1)解：由題意可得，

400_800

aa+5

解得，a=5,

經(jīng)檢驗，a=5是原分式方程的解，

a+5=10,

答：甲，乙兩種水筆每支進價分別為5元、10元;

（2）解：設(shè)利潤為w元，甲種水筆購進x支，

W=2X+3X2000-5%=0.5%+600,

10

'：k=0.5>0,

.?.w隨x的增大而增大，

???購進甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍,

.2000-5x,

..%<------------x4,

10

2

解得XW266],

：尤為整數(shù),

.?.當％=266時，w取得最大值，此時w=733,2。。不工=67,

答：該文具店購進甲種水筆266支，乙種水筆67支時，能使利潤最大，最大利潤是733元;

（3）解：設(shè)購進甲種水筆機支，則購進乙種水筆2加支，一共購進〃支水筆,

5m+10x2m+12（n-m-2m）=1500,

化簡，得

…11

〃=125H---m,

12

*.*n—m—2m>0,

**?125H----in—rri—2m>0,

12

m<60,

Vm,〃均為正整數(shù)，

.,.當m=48時，〃取得最大值，此時〃=169,

即該文具店至多可以購進這三種水筆共169支.

24.閱讀材料:“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個著名問題.今天人們已經(jīng)知道,僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的.在

研究這個問題的過程中，數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法，如圖1,步驟如下：

①建立直角坐標系，將己知銳角/AO3的頂點與原點O重合，角的一邊與x軸正方向重合；

②在直角坐標系中，繪制函數(shù)＞=」的圖象，圖象與已知角的另一邊。4交于點P；

X

③以尸為圓心、以20尸為半徑作弧，交函數(shù)＞的圖象于點R；

X

④分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，分別交于點點Q；

⑴設(shè)尸（。，：），求直線的函數(shù)解析式（用含。，6的代數(shù)式表示），并說明0點在直線上;

（2）證明：ZMOB=^ZAOB.

44

（3）如圖2,若直線y=x與反比例函數(shù)＞=—（XNO）交于點C,O為反比例函數(shù)＞=—（尤w0）第一象限上的一

x無

個動點，使得/。。。=30。.求用材料中的方法求出滿足條件。點坐標.

【答案】（1）y=二工，證明見解析

ab

（2）見解析

⑶可4-2石,4+2有)或可4-2石,4-26)

【分析】（1）由9〃工軸，MR〃y軸，P,，。，N瓦：），即可得出M點的坐標，即可，再將點Q的坐標

代入解析式即可判斷點。是否在直線加上;

（2）連接PR,交QW于點S,由矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

（3）先求出點C（2,2）,可得oc=20,然后分兩種情況討論：當。點在0C下方時，當。點在0C上方時,

即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)表達式為'=履,

由題意得：ZPQR=NQRM=匕PQR=90°,

...四邊形尸。斷為矩形,

?小9%），

?,?山）川）1

把點/瓦」代入y=履得：k二,

VciJab

二直線ON的函數(shù)表達式為y^—x,

ab

,**Q的坐標口滿足y=二工，

<b）ab

???點。在直線O"上；

（2）解：連接網(wǎng)，交加于點S,

由題意得四邊形PQRM是矩形，

PR=QM,SP=；PR,SM=^QM,

:?SP=SM,

???Z1=Z2,

??.N3=N1+N2=2N2

■:PR=2PO,

：.PS=PO.

??.N4=N3=2N2,

軸，

???N2=N5,

JZAQB=N4+N5=3N5,即NMO3=gzAOB.

4

(3)解：??,直線丁=龍與反比例函數(shù)y=—(xwO)交于點C,

x

4

??x=—,解得：X=2或—2(舍去)，

x

???C（2,2）,

OC=2A/2,

4

當。點在OC下方時，如圖，以C為圓心，20c為半徑畫弧，交反比例函數(shù)y=—（尤#0）于點E,作

尤

軸，作CF〃彳軸,連接OF并延長交反比例與點F,作CG//EF,連接EG,CE與OF交于點、H,ZCOD=30°,

CE=2OC=40，GH=GE=2丘,

作G/JLEC于/,則G/=0，HI=娓,EI=2丘-娓,

GE=《可+（2拒一研=2癢2,

4

貝|力=2_（26_2）=4_26x=4+2石

E4-2若

即￡＞（4-2百,4+26）,

【點睛】此題在考查三等分角的作法時，綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、矩形的性質(zhì)以及三

角形外角的性質(zhì)等，綜合性較強.

25.如圖1,在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=/-4x+c的圖象與y軸的交點坐標為（0,5）,圖象的

頂點為M.矩形ABCD的頂點。與原點。重合，頂點A,C分別在x軸，y軸上，頂點8的坐標為（1,5）.

圖1圖2備用圖

⑴求C的值及頂點M的坐標，

（2）如圖2,將矩形ABC。沿x軸正方向平移f個單位（0<f<3）得到對應(yīng)的矩形ABC'。'.已知邊C'。'，A'B'

分別與函數(shù),=/-4尤+c的圖象交于點P,Q,連接尸Q,過點P作尸GLA后于點G.

①當t=2時，求QG的長；

②當點G與點。不重合時，是否存在這樣的使得△PGQ的面積為1?若存在，求出此時/的值；若不存

在，請說明理由.

【答案】（1）。=5,頂點M的坐標是（2,1）

⑵①1;②存在，f=g或g

【分析】（1）把（0,5）代入拋物線的解析式即可求出c,把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點式即可求出頂點坐標；

（2）①先判斷當t=2時，擺，A的坐標分別是（2,0）,（3,0）,再求出x=3,x=2時點。的縱坐標與點P

的縱坐標，進而求解；

②先求出。G=2,易得P,。的坐標分別是小產(chǎn)-書+5）,卜+1,/-2/+2）,然后分點G在點。的上方與點

G在點。的下方兩種情況，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.

【詳解】（1）:二次函數(shù)y=d-4x+c的圖象與>軸的交點坐標為（0,5）,

c=5,

??y=%2—4x+5=（x—2）~+1,

頂點M的坐標是（2,1）.

（2）①在x軸上，8的坐標為（1,5）,

；?點A的坐標是（1,0）.

當/=2時，"，A的坐標分別是（2,0）,（3,0）.

當x=3時，y=（3-2）2+1=2,即點。的縱坐標是2,

當尤=2時，y=（2-2/+1=1,即點尸的縱坐標是1.

PGIAB',

，點G的縱坐標是1,

QG=2-1=1.

②存在.理由如下：

的面積為1,PG=1,

QG=2.

根據(jù)題意，得尸,Q的坐標分別是”,產(chǎn)-十+5）,（t+l,t2-2t+2）.

如圖1,當點G在點。的上方時,

圖1

如圖2,當點G在點。的下方時,

此時f=°（在0<f<3的范圍內(nèi)）.

2

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識，熟練掌握二次

函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

26.用四根一樣長的木棍搭成菱形ABCD,尸是線段。C上的動點（點尸不與點。和點C重合），在射線的

上取一點M,連接DAf,CM,使NCDM=NCBP.

操作探究一

⑴如圖1,調(diào)整菱形ABCD，使NA=90。，當點M在菱形ABCD外時，在射線BP上取一點N,使3N=DM,

連接CN,則，—=

—MN~

操作探究二

(2)如圖2,調(diào)整菱形ABCD，使/A=120°，當點M在菱形ABCD外時,在射線BP上取一點N,使BN=DM,

連接CN,探索MC與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

拓展遷移

(3)在菱形ABCD中，NA=120。，A5=6.若點P在直線C。上，點M在射線上，且當ZCDM=NPBC=45°

時，請