遼寧省沈陽(yáng)市第31中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

遼寧省沈陽(yáng)市第31中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，角所對(duì)的邊分別為.若，，，則等于（）A． B． C． D．2．過(guò)點(diǎn)P（0，2）作直線x+my﹣4＝0的垂線，垂足為Q，則Q到直線x+2y﹣14＝0的距離最小值為（）A．0 B．2 C． D．23．過(guò)點(diǎn)A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A． B． C． D．4．已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的正整數(shù)的最大值為（）A．16 B．17 C．18 D．196．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．7．經(jīng)統(tǒng)計(jì)某射擊運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)命中的概率可視為，為估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的概率，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法，先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù)，用0，1，2沒(méi)有擊中，用3，4，5，6，7，8，9表示擊中，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則可估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的概率為（）A． B． C． D．8．函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）A． B． C． D．9．在等差數(shù)列中，若，且它的前項(xiàng)和有最大值，則使成立的正整數(shù)的最大值是（）A．15 B．16 C．17 D．1410．如圖，在中，面，，是的中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命題：①y=f（x）的表達(dá)式可改寫為y=4cos（2x﹣）；②y=f（x）是以2π為最小正周期的周期函數(shù)；③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=﹣對(duì)稱．其中正確的命題的序號(hào)是．12．當(dāng)，時(shí)，執(zhí)行完如圖所示的一段程序后，______.13．在等差數(shù)列中，已知，，則________.14．已知1，，，，4成等比數(shù)列，則______.15．已知直線平分圓的周長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)________．16．若，則的取值范圍是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，角的對(duì)邊分別為．若．（1）求；（2）求的面積的最大值．18．下表中的數(shù)據(jù)是一次階段性考試某班的數(shù)學(xué)、物理原始成績(jī)：用這44人的兩科成績(jī)制作如下散點(diǎn)圖：學(xué)號(hào)為22號(hào)的同學(xué)由于嚴(yán)重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，學(xué)號(hào)為31號(hào)的同學(xué)因故未能參加物理學(xué)科的考試，為了使分析結(jié)果更客觀準(zhǔn)確，老師將兩同學(xué)的成績(jī)（對(duì)應(yīng)于圖中兩點(diǎn)）剔除后，用剩下的42個(gè)同學(xué)的數(shù)據(jù)作分析，計(jì)算得到下列統(tǒng)計(jì)指標(biāo)：數(shù)學(xué)學(xué)科平均分為110.5，標(biāo)準(zhǔn)差為18.36，物理學(xué)科的平均分為74，標(biāo)準(zhǔn)差為11.18，數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的相關(guān)系數(shù)為，回歸直線（如圖所示）的方程為.（1）若不剔除兩同學(xué)的數(shù)據(jù)，用全部44人的成績(jī)作回歸分析，設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的相關(guān)系數(shù)為，回歸直線為，試分析與的大小關(guān)系，并在圖中畫出回歸直線的大致位置；（2）如果同學(xué)參加了這次物理考試，估計(jì)同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)（精確到個(gè)位）；（3）就這次考試而言，學(xué)號(hào)為16號(hào)的同學(xué)數(shù)學(xué)與物理哪個(gè)學(xué)科成績(jī)要好一些？（通常為了比較某個(gè)學(xué)生不同學(xué)科的成績(jī)水平，可按公式統(tǒng)一化成標(biāo)準(zhǔn)分再進(jìn)行比較，其中為學(xué)科原始分，為學(xué)科平均分，為學(xué)科標(biāo)準(zhǔn)差）．19．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若，求的值域.20．已知向量.（1）求函數(shù)的解析式及在區(qū)間上的值域；（2）求滿足不等式的的集合.21．已知三棱柱中,三個(gè)側(cè)面均為矩形,底面為等腰直角三角形,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng).（1）求證；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離；（3）在（2）的條件下，試確定線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

利用正弦定理可求.【詳解】由正弦定理得.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于容易題.2、C【解析】

由直線過(guò)定點(diǎn)，得到的中點(diǎn)，由垂直直線，得到點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，求得圓的方程，由此求出到直線的距離最小值，得到答案．【詳解】由題意，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，直線過(guò)定點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，的中點(diǎn)，由垂直直線，所以點(diǎn)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，其圓的方程為，則圓心到直線的距離為所以點(diǎn)到直線的距離最小值；，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)涉及到點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，試題綜合性強(qiáng)，屬于中檔試題．3、D【解析】過(guò)點(diǎn)A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過(guò)的點(diǎn)得到.故答案為D.4、C【解析】

根據(jù)題意可知所求的球?yàn)檎睦庵耐饨忧颍鶕?jù)正四棱柱的特點(diǎn)利用勾股定理可求得外接球半徑，代入球的體積公式求得結(jié)果.【詳解】由題意可知所求的球?yàn)檎睦庵耐饨忧虻酌嬲叫螌?duì)角線長(zhǎng)為：外接球半徑外接球體積本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正棱柱外接球體積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)正棱柱的特點(diǎn)確定球心位置，從而利用勾股定理求得外接球半徑.5、C【解析】

先由，得到，，，公差大于零，再由數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由得，，，，所以公差大于零.又，，，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，熟記等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式即可，屬于?？碱}型.6、B【解析】

由函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間．【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間即函數(shù)與的交點(diǎn)所在區(qū)間.由函數(shù)與在定義域上只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖.函數(shù)在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn).又，所以.所以的零點(diǎn)在上故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查求函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間，函數(shù)零點(diǎn)的存在定理，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

根據(jù)20組隨機(jī)數(shù)可知該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的隨機(jī)數(shù)共8組，據(jù)此可求出對(duì)應(yīng)的概率．【詳解】由題意，該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的隨機(jī)數(shù)為：7525，0347，7815，5550，6233，8045，3661，7424，共8組，則該運(yùn)動(dòng)員射擊4次恰好命中3次的概率為.故答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用隨機(jī)模擬數(shù)表法求概率，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．8、B【解析】

根據(jù)最小正周期為求解與解析式,再求解的對(duì)稱軸判斷即可.【詳解】因?yàn)樽钚≌芷跒?故.故,對(duì)稱軸方程為,解得.當(dāng)時(shí),.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)最小正周期的應(yīng)用以及對(duì)稱軸的計(jì)算.屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

由題意可得，，且，由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得結(jié)論．【詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，又，∴，，∴，又，，∴成立的正整數(shù)的最大值是17，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列的求和公式，屬中檔題．10、C【解析】試題分析：因?yàn)槊?，所以，則三角形為直角三角形，因?yàn)?，所以，所以三角形是直角三角形，易證，所以面，即，則三角形為直角三角形，即共有7個(gè)直角三角形；故選C．考點(diǎn)：空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③【解析】

∵f（x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（﹣2x+）=4cos（2x﹣），故①正確；∵T=，故②不正確；令x=﹣代入f（x）=4sin（2x+）得到f（﹣）=4sin（+）=0，故y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，③正確④不正確；故答案為①③．12、1【解析】

模擬程序運(yùn)行，可得出結(jié)論．【詳解】時(shí)，滿足，所以．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查條件結(jié)構(gòu)，解題時(shí)模擬程序運(yùn)行即可．13、-16【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用通項(xiàng)公式求出即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，得，則.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、2【解析】

因?yàn)?，，，，4成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，再利用，確定取值.【詳解】因?yàn)?，，，，4成等比數(shù)列，所以，所以或，又因?yàn)?，所?故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

由題得圓心在直線上，解方程即得解.【詳解】由題得圓心（1，a）在直線上，所以.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用反函數(shù)的運(yùn)算法則，定義及其性質(zhì)，求解即可．【詳解】由，得所以，又因?yàn)?，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查反余弦函數(shù)的運(yùn)算法則，反函數(shù)的定義域，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）用正弦定理將式子化為，進(jìn)行整理化簡(jiǎn)可得的值，即得角B；（2）由余弦定理可得關(guān)于的等式，再利用基本不等式和三角形面積公式可得面積最大值。【詳解】（1）由題得，，，，解得，，.（2），由余弦定理得，，整理得，又，即，則的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查用正弦定理求三角形內(nèi)角，由余弦定理和基本不等式求三角形面積最大值，是基礎(chǔ)題型。18、（1），理由見解析（2）81（3）【解析】

（1）不剔除兩同學(xué)的數(shù)據(jù)，44個(gè)數(shù)據(jù)會(huì)使回歸效果變差，從而得到，描出回歸直線即可；（2）將x=125代入回歸直線方程，即可得到答案；（3）利用題目給出的標(biāo)準(zhǔn)分計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.【詳解】(1)，說(shuō)明理由可以是：①離群點(diǎn)A,B會(huì)降低變量間的線性關(guān)聯(lián)程度；②44個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與回歸直線的總偏差更大，回歸效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更??；③42個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與回歸直線的總偏差更小，回歸效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大；④42個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)更加貼近回歸直線；⑤44個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與回歸直線更離散，或其他言之有理的理由均可.要點(diǎn)：直線斜率須大于0且小于的斜率，具體為止稍有出入沒(méi)關(guān)系，無(wú)需說(shuō)明理由.（2）令，代入得所以，估計(jì)同學(xué)的物理分?jǐn)?shù)大約為分.（3）由表中知同學(xué)的數(shù)學(xué)原始分為122，物理原始分為82，數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分為物理標(biāo)準(zhǔn)分為，故同學(xué)物理成績(jī)比數(shù)學(xué)成績(jī)要好一些.【點(diǎn)睛】本題考查散點(diǎn)圖和線性回歸方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.19、（1）；（2）.【解析】

（1）將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合周期的公式，即可求解；（2）利用三角函數(shù)的圖象變換，求得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的最小正周期；?）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為，由知，，所以當(dāng)即時(shí)，取得最小值；當(dāng)即時(shí)，取得最大值1，因此的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，以及正項(xiàng)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1），值域?yàn)椋?）【解析】

（1）根據(jù)向量的數(shù)量積，得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，將不等式化為，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1），由，得，，，在區(qū)間上的值域?yàn)椋?）由，得，即所以解得，的解集為【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的值域，以及三角不等式，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.21、（1）見解析；（2）；（3）存在，為中點(diǎn).【解析】

（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)E（m，0，2），要證A1C⊥AE，可證,只需證明，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可證明；（2）分別求出平面EA1D、平面A1DB的一個(gè)法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對(duì)值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的條件下，設(shè)F（x，y，0），可知與平面A1DB的一個(gè)法向量平行，由此可求出點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而求出||，即得答案.【詳解】（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)E（m，0，2），C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），因?yàn)椋?+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，所以⊥，即A1C⊥AE；（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），設(shè)＝（x，y，z）為平面EA1D的一個(gè)法向量，則即，?。剑?，m，﹣2m），＝（2，0，﹣1），設(shè)＝（x，y，z）為平面A1DB的一個(gè)法