高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四章　第三節(jié)　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（導(dǎo)學(xué)案）

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值.3.會(huì)求給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值.【必備知識(shí)·精歸納】1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)條件f'(x0)=0在點(diǎn)x=x0附近的左側(cè)f'(x)>0,右側(cè)f'(x)<0在點(diǎn)x=x0附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0圖象形如山峰形如山谷極值f(x0)為極大值f(x0)為極小值極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn)點(diǎn)睛(1)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能稱為極值點(diǎn).(2)在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi),極值不一定是唯一的,有可能有多個(gè)極大值或極小值.2.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a,b]上有最值的條件一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的步驟①求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.點(diǎn)睛極值只能在定義域內(nèi)部取得,而最值卻可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得,有極值的未必有最值,有最值的未必有極值;極值有可能成為最值,最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值.【常用結(jié)論】1.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),“f'(x0)=0”是“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.2.若函數(shù)f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù),則f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值.3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn).【基礎(chǔ)小題·固根基】教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯(cuò)易混1,2,3,4561.(教材變式)如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象,則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D.4解析：選A.由題意知只有在x=-1處f'(-1)=0,且其兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正.2.(教材變式)函數(shù)f(x)=2x-xlnx的極值是 ()A.1e B.2e C.e D.解析：選C.因?yàn)閒'(x)=2-(lnx+1)=1-lnx,當(dāng)f'(x)>0時(shí),解得0<x<e;當(dāng)f'(x)<0時(shí),解得x>e,所以x=e時(shí),f(x)取到極大值,f(x)極大值=f(e)=e.3.(教材提升)函數(shù)f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最小值為 ()A.0 B.1e C.4e4 解析：選A.f'(x)=1-xex.當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,4]時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.因?yàn)閒(0)=0,f(4)=4e4>0,所以當(dāng)x4.(教材提升)若函數(shù)f(x)=13x3-4x+m在[0,3]上的最大值為4,則m=解析：f'(x)=x2-4,x∈[0,3],當(dāng)x∈[0,2)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(2,3]時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在[0,2)上單調(diào)遞減,在(2,3]上單調(diào)遞增.又f(0)=m,f(3)=-3+m.所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=4,所以m=4.答案:45.(結(jié)論1)若函數(shù)f(x)=aex-sinx在x=0處有極值,則a=.

解析：f'(x)=aex-cosx,若函數(shù)f(x)=aex-sinx在x=0處有極值,則f'(0)=a-1=0,解得a=1,經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意.答案:16.(忽視極值的存在條件)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1處取得極值10,則a=,b=.

解析：f'(x)=3x2+2ax+b,依題意得f即a解得a=4,經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上單調(diào)遞增,所以a=-當(dāng)a=4,b=-11時(shí),符合題意.答案:4-11題型一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題角度1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值[典例1]已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖,則下列敘述正確的是 ()A.函數(shù)f(x)在(-∞,-4)上單調(diào)遞減B.函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值C.函數(shù)f(x)在x=-4處取得極值D.函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)解析：選D.由題中導(dǎo)函數(shù)的圖象可得,當(dāng)x≤2時(shí),f'(x)≥0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>2時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+∞),故A錯(cuò)誤;當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極大值,故B錯(cuò)誤;當(dāng)x=-4時(shí)函數(shù)無極值,故C錯(cuò)誤;只有當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極大值,故D正確.【方法提煉】由圖象判斷函數(shù)y=f(x)的極值要抓住的兩點(diǎn)(1)由y=f'(x)的圖象與x軸的交點(diǎn),可得函數(shù)y=f(x)的可能極值點(diǎn).(2)由導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象可以看出y=f'(x)的值的正負(fù),從而可得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).角度2求函數(shù)的極值[典例2](1)(2023·衡水模擬)函數(shù)f(x)=(x2-3x+1)ex的極大值為 ()A.-e2 B.5e-1 C.-54e32 解析：選B.依題意,f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)·(x+1)ex,故函數(shù)f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,2)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值為f(-1)=5e-1.(2)求下列函數(shù)的極值:①f(x)=12(x-5)2+6lnx②f(x)=x-alnx(a∈R).解析：①函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=x-5+6x=(令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f'(x)的變化情況如下表:x(0,2)2(2,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由上表可知,當(dāng)x=2時(shí),極大值f(2)=92當(dāng)x=3時(shí),極小值f(3)=2+6ln3.②f'(x)=1-ax=x-ax若a≤0,則f'(x)>0恒成立,f(x)不存在極值.若a>0,則x,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(0,a)a(a,+∞)f'(x)-0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的極小值為f(a)=a-alna,無極大值.【方法提煉】 ——自主完善,老師指導(dǎo)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的極值的一般步驟(1)先求函數(shù)y=f(x)的定義域,再求其導(dǎo)數(shù)f'(x).(2)求方程f'(x)=0在f(x)定義域內(nèi)的根.(3)檢查導(dǎo)數(shù)f'(x)在方程根的左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.提醒(1)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).(2)在解答題中涉及極值問題要列出表格.角度3已知極值(點(diǎn))求參數(shù)[典例3](1)(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則 ()A.a<b B.a>bC.ab<a2 D.ab>a2解析：選D.當(dāng)a>0時(shí),根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖1所示,觀察可知b>a.當(dāng)a<0時(shí),根據(jù)題意畫出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖2所示,觀察可知a>b.綜上,可知必有ab>a2成立.(2)已知函數(shù)f(x)=12x2+(a-1)x-alnx存在唯一的極值,且此極值不小于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為解析：因?yàn)閒(x)=12x2+(a-1)x-alnx所以f'(x)=x+(a-1)-ax=x2+令f'(x)=0,解得x=1或x=-a,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=12x2+(a-1)x-alnx存在唯一的極值,所以x=1,此時(shí)a≥0所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)極小值=f(1)=12+a-1=a-1因?yàn)閒(x)極小值≥1,所以a-12≥1,解得a≥3答案:[32(3)(2022·全國(guó)乙卷)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1<x2,則a的取值范圍是.

解析：f'(x)=2lna·ax-2ex,因?yàn)閤1,x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),所以函數(shù)f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上遞增,所以當(dāng)x∈(-∞,x1)和(x2,+∞)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f'(x)>0,若a>1,當(dāng)x<0時(shí),2lna·ax>0,2ex<0,則此時(shí)f'(x)>0,與前面矛盾,故a>1不符合題意,若0<a<1,則方程2lna·ax-2ex=0的兩個(gè)根為x1,x2,即方程lna·ax=ex的兩個(gè)根為x1,x2,即函數(shù)y=lna·ax與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),因?yàn)?<a<1,所以函數(shù)y=ax的圖象是單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù),又因?yàn)閘na<0,所以y=lna·ax的圖象由指數(shù)函數(shù)y=ax向下關(guān)于x軸作對(duì)稱變換,然后將圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短為原來的|lna|倍得到,如圖所示,設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為(x0,lna·ax則切線的斜率為g'(x0)=ln2a·ax故切線方程為y-lna·ax0=ln2a·ax0(x則有-lna·ax0=-x0ln2a·解得x0=1ln則切線的斜率為ln2a·a1lna=eln因?yàn)楹瘮?shù)y=lna·ax與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以eln2a<e,解得1e<a又0<a<1,所以1e<a綜上所述,a的范圍為(1e,1)答案:(1e【一題多變】若本例(2)變?yōu)閒(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1≠x2),則a的取值范圍為.

解析：解法一:由例(2)的解析知,f'(x)=0解得x=1或x=-a.因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上存在兩個(gè)不相等的極值點(diǎn),所以-a>0且-a≠1,即a<0且a≠-1.解法二:f(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)不等的極值點(diǎn)?f'(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)不等的變號(hào)零點(diǎn),設(shè)g(x)=x2+(a-1)x-a,即g(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)不等零點(diǎn),故有g(shù)解得a<0且a≠-1.答案:{a|a<0且a≠-1}【方法提煉】已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)(1)列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解.(2)驗(yàn)證:因?yàn)槟滁c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·廣州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)y=(x-1)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.函數(shù)f(x)有極大值f(-3)和f(3)B.函數(shù)f(x)有極小值f(-3)和f(3)C.函數(shù)f(x)有極小值f(3)和極大值f(-3)D.函數(shù)f(x)有極小值f(-3)和極大值f(3)解析：選D.由題圖知,當(dāng)x∈(-∞,-3)時(shí),y>0,x-1<0?f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-3,1)時(shí),y<0,x-1<0?f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,3)時(shí),y>0,x-1>0?f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),y<0,x-1>0?f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)有極小值f(-3)和極大值f(3).2.已知函數(shù)f(x)=2lnx+ax2-3x在x=2處取得極小值,則f(x)的極大值為 ()A.2 B.-5C.3+ln2 D.-2+2ln2解析：選B.由題意得,f'(x)=2x+2ax因?yàn)閒(x)在x=2處取得極小值,所以f'(2)=4a-2=0,解得a=12所以f(x)=2lnx+12x2-3x,f'(x)=2x+x-3=所以f(x)在(0,1),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,所以f(x)的極大值為f(1)=12-3=-53.設(shè)a∈R,若函數(shù)y=x+alnx在區(qū)間(1e,e)上有極值點(diǎn),則a的取值范圍為 (A.(1e,e) B.(-e,-1C.(-∞,1e)∪(e,+∞) D.(-∞,-e)∪(-1解析：選B.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)=x+alnx在區(qū)間(1e所以f'(x)在區(qū)間(1e,e)上有零點(diǎn)又f'(x)=1+ax=x+a所以f'(1e)f'(e)<0,所以(ea+1)·(1+a解得-e<a<-1e所以a的取值范圍為(-e,-1e)【加練備選】1.(2022·南京模擬)已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)在區(qū)間(0,+∞)上有兩個(gè)極值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ()A.(0,e) B.(0,1eC.(0,12 D.(0,1解析：選C.f'(x)=lnx-ax+x(1x-a)=lnx+1-2ax,由題意知lnx+1-2ax=0在(0,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2a=lnx+1x,設(shè)g(則g'(x)=1-(lnx當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)的極大值為g(1)=1,又當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0,當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→0,當(dāng)x→0時(shí),g(x)→-∞,所以0<2a<1,即0<a<122.(2022·開封模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=exx+a,若f(x)的極小值為e,則解析：由已知得f'(x)=ex(x+a-1)(x+a)則f(x)在(-∞,-a),(-a,1-a)上單調(diào)遞減,在(1-a,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)的極小值為f(1-a)=e1-a=e,即1-a=12,得a=1答案:1題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題[典例4](1)(2022·全國(guó)乙卷)函數(shù)f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在區(qū)間[0,2π]的最小值、最大值分別為 ()A.-π2,π2 B.-3πC.-π2,π2+2 D.-3π2解析：選D.f'(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx,所以f(x)在區(qū)間(0,π2和(3π2,2π)上f'(x)>0,即f(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間(π2,3π2)上f'(x)<0,即f(x)單調(diào)遞減,又f(0)=f(2π)=2,f(π2)=π2+2,f(3π2)=-(3π2+1)+1=-3π2,所以(2)(2021·新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為.

解析：函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的定義域?yàn)?0,+∞).①當(dāng)x>12時(shí),f(x)=2x-1-2lnx所以f'(x)=2-2x=2當(dāng)12<x<1時(shí),f'(x當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,所以f(x)min=f(1)=2-1-2ln1=1;②當(dāng)0<x≤12時(shí),f(x)=1-2x-2lnx在(0,12所以f(x)min=f(12)=-2ln12綜上,f(x)min=1.答案:1(3)已知函數(shù)f(x)=ax+lnx,其中a為常數(shù).①當(dāng)a=-1時(shí),求f(x)的最大值;②若f(x)在區(qū)間(0,e]上的最大值為-3,求a的值.解析：①易知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=-x+lnx,f'(x)=-1+1x=1令f'(x)=0,得x=1.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0.所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù),在(1,+∞)上是減函數(shù),所以f(x)max=f(1)=-1,所以當(dāng)a=-1時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的最大值為-1.②f'(x)=a+1x,x∈(0,e],1x∈([1若a≥-1e,則f'(x)≥0,從而f(x所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合題意.若a<-1e,令f'(x)>0,即a+1x>0,結(jié)合x∈(0,e],解得0<x<-令f'(x)<0,即a+1x<0,結(jié)合x∈解得-1a<x≤e從而f(x)在(0,-1a)上為增函數(shù),在(-1a,e所以f(x)max=f(-1a)=-1+ln(-1a令-1+ln(-1a)=-3,得ln(-1a)=-2,即a=-e因?yàn)?e2<-1e,所以a=-e2即為所求故實(shí)數(shù)a的值為-e2.【方法提煉】求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)的最值的方法(1)若所給的問題中不含有參數(shù),則只需求f'(x),并求f'(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)的根,再計(jì)算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值,把該函數(shù)值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.(2)若所給的問題中含有參數(shù),則需求f'(x),通過對(duì)參數(shù)分類討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)=12sin2x+sinx,則f(x)的最小值是 (A.-332 BC.-334 D解析：選C.由題得f'(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=(2cosx-1)(cosx+1),所以當(dāng)12<cosx≤1時(shí),f'(x)>0,f(x當(dāng)-1≤cosx<12時(shí),f'(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減所以f(x)取得最小值時(shí),cosx=12,此時(shí)sinx=±3當(dāng)sinx=-32時(shí),f(x)=sinxcosx+sinx=-3當(dāng)sinx=32時(shí),f(x)=sinxcosx+sinx=3所以f(x)的最小值是-332.(2023·蘇州模擬)若函數(shù)f(x)=13x3+x2-23在區(qū)間(a,a+5)內(nèi)存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (A.[-5,0) B.(-5,0)C.[-3,0) D.(-3,0)解析：選C.由題意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),當(dāng)x<-2或x>0時(shí),f'(x)>0;當(dāng)-2<x<0時(shí),f'(x)<0.f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,0)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)的極小值為f(0)=-23令13x3+x2-23=-23得x3+3解得x=0或x=-3,作其圖象如圖,結(jié)合圖象可知-解得a∈[-3,0).3.(2021·浙江高考)已知函數(shù)f(x)=x3-3x,x∈[0,2],則f(x)的最大值是,最小值是.

解析：因?yàn)閒(x)=x3-3x,所以f'(x)=3x2-3,又x∈[0,2],所以令f'(x)>0,得1<x≤2;令f'(x)<0,得0≤x<1.所以f(x)在[0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2]上單調(diào)遞增,因?yàn)閒(0)=0,f(1)=-2,f(2)=2,所以f(x)的最大值是2,最小值是-2.答案:2-2【加練備選】已知函數(shù)g(x)=alnx+x2-(a+2)x(a∈R).(1)若a=1,求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;(2)求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值h(a).解析：(1)因?yàn)閍=1,所以g(x)=lnx+x2-3x,所以g'(x)=1x+2x-3=(因?yàn)閤∈[1,e],所以g'(x)≥0,所以g(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,所以g(x)max=g(e)=e2-3e+1.(2)g(x)的定義域?yàn)?0,+∞),g'(x)=ax+2x-(a+2)=2(2①當(dāng)a2≤1,即a≤2時(shí),g(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,h(a)=g(1)=-a②當(dāng)1<a2<e,即2<a<2e時(shí),g(x)在[1,a2)上單調(diào)遞減,在(a2,e]上單調(diào)遞增,hg(a2)=alna2-14a2③當(dāng)a2≥e,即a≥2e時(shí),g(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,h(a)=g(e)=(1-e)a+e2-2e綜上,h(a)=-題型三生活中的優(yōu)化問題[典例5]中國(guó)高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來了巨大便利,極大促進(jìn)了區(qū)域經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展.已知某條高鐵線路通車后,發(fā)車時(shí)間間隔t(單位:分鐘)滿足5≤t≤25,t∈N*,經(jīng)測(cè)算,高鐵的載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān):當(dāng)20≤t≤25時(shí),高鐵為滿載狀態(tài),載客量為1000人;當(dāng)5≤t<20時(shí),載客量會(huì)在滿載基礎(chǔ)上減少,減少的人數(shù)與(20-t)2成正比,且發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量為100人.記發(fā)車間隔為t分鐘時(shí),高鐵載客量為P(t).(1)求P(t)的解析式;(2)若該線路發(fā)車時(shí)間間隔為t分鐘時(shí)的凈收益Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2000(元),當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí),單位時(shí)間的凈收益Q解析：(1)當(dāng)5≤t<20時(shí),不妨設(shè)P(t)=1000-k(20-t)2,因?yàn)镻(5)=100,解得k=4.因此P(t)=1(2)①當(dāng)5≤t<20時(shí),Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2000=-t3+500t設(shè)F(t)=Q(t)t=-t2-2因?yàn)镕'(t)=-2t+2000t所以當(dāng)5≤t<10時(shí),F'(t)>0,F(t)單調(diào)遞增;當(dāng)10<t<20時(shí),F'(t)<0,F(t)單調(diào)遞減.所以F(t)max=F(10)=200.②當(dāng)20≤t≤25時(shí),Q(t)=-40t2+900t-2000.設(shè)F(t)=Q(t)t=900-40(t+50因?yàn)镕'(t)=-40(t2-所以F(t)max=F(20)=0.綜上,發(fā)車時(shí)間間隔為10分鐘時(shí),單位時(shí)間的凈收益Q(t【方法提煉】利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟提醒在利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題時(shí),若在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)值即為最優(yōu)解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄