多元統(tǒng)計(jì)估計(jì)與檢驗(yàn)

多元統(tǒng)計(jì)估計(jì)與檢驗(yàn)

第二章估計(jì)與檢驗(yàn)

§2.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念與方法（復(fù)習(xí)，教材p703.1）

一、假設(shè)檢驗(yàn)所要解決的問題

籠統(tǒng)地說假設(shè)檢驗(yàn)是先假設(shè)總體具有某種特征，然后根據(jù)來自總體的

樣本，建立統(tǒng)計(jì)量，對(duì)假設(shè)的正確性做出推斷.這些假設(shè)以后統(tǒng)稱為統(tǒng)計(jì)

假設(shè)，簡稱假設(shè)，用字母H表示.

二.假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想、概念和方法

1.假設(shè)檢驗(yàn)的推理方法及其原理

實(shí)際推斷原理，即：“小概率事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的”.

“反證法”的思想.為了檢驗(yàn)原假設(shè)H0是否成立，我們就先假

定原假設(shè)H0成立，然后運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法進(jìn)行推理，如果導(dǎo)致小概

率事件在一次事件中發(fā)生了，則應(yīng)當(dāng)認(rèn)為這是“不合理”的現(xiàn)象，表

明原假設(shè)H0很可能不正確，從而拒絕H0；無論是接受還是拒絕H0都是

要冒一定風(fēng)險(xiǎn)的.

2.假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤及顯著性檢驗(yàn)

由于樣本的隨機(jī)性，在假設(shè)檢驗(yàn)中可能會(huì)出現(xiàn)以下四種情況：

（1）H0為真且檢驗(yàn)接受了H0；

（2）H0為假且檢驗(yàn)拒絕了H0；

（3）H0為真但檢驗(yàn)拒絕了H0；

（4）H0為假但檢驗(yàn)接受了H0.

情況（3）的錯(cuò)誤為棄真的錯(cuò)誤也叫第一類錯(cuò)誤，犯第一類錯(cuò)誤的概

率記為a（0<a<1）,即a=p（拒絕H0|HO為真）.

情況（4）的錯(cuò)誤為納偽的錯(cuò)誤也叫第二類錯(cuò)誤，犯第二類錯(cuò)誤的概

率記為B（0VBV1）,即B=P（接受HO|HO為假）.

僅對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以限制（不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率），

即取定犯第一類錯(cuò)誤概率的一個(gè)上界a（0<a<1）.對(duì)于給定的樣本容

量n和a來選定檢驗(yàn)法則即確定拒絕域，使

P（拒絕HO|HO為真）=a.

在這種原則下所制定的檢驗(yàn)稱為顯著性檢驗(yàn)，a稱為顯著性水平.

3.假設(shè)檢驗(yàn)的步驟

由1我們可得假設(shè)檢驗(yàn)大致可分如下幾步進(jìn)行：

（1）提出原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1；

（2）選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，使其在H0成立的條件下服從某種確定的

分布；

（3）取定顯著性水平a（0<a<<1）,一般依實(shí)際問題的需要

而定，習(xí)慣常取a=0.01,0.05,0.10；

（4）根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的分布和顯著性水平a,確定拒絕域，即確定臨界

值，一般多是利用現(xiàn)有的分布函數(shù)表，求出臨界值，確定拒絕域；

（5）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀測值，若其落入拒絕域則拒絕H0；否則接受

H0.

§2.2參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)（復(fù)習(xí)）

假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)其檢驗(yàn)的對(duì)象可分為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)和非參數(shù)假設(shè)1

檢驗(yàn).當(dāng)總體的分布類型已知，僅對(duì)其中的未知參數(shù)提出假設(shè)，進(jìn)行

檢驗(yàn)，則稱為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，

總體分布類型未知，對(duì)未知總體分布的類型或它的某些特征提出假設(shè),

進(jìn)行檢驗(yàn)，則稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

例221一家食品廠以生產(chǎn)袋裝食品為主，每天的產(chǎn)量大約為8000袋，

每袋重量規(guī)定為100克。為了分析每袋重量是否符合要求，質(zhì)檢部門經(jīng)常

進(jìn)行抽檢?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每袋重量

如表下表所示。25袋食品的重量(單位：克)

設(shè)該食品廠以生產(chǎn)的袋裝食品的每袋重量為X,假設(shè)X?N(U,o2),

在如上假設(shè)下，問題歸結(jié)為統(tǒng)計(jì)上的假設(shè)檢驗(yàn)問題(單個(gè)正態(tài)總體，

。2未知時(shí)，11的假設(shè)檢驗(yàn))，檢驗(yàn)假設(shè)為

HO：U=U0=100；Hl：

t=

X-|1O

=2.78S

n

對(duì)于給定的顯著性水平a=0.05,查t分布分位數(shù)表，得臨界值

tl-a(n-l)=t0.975(24)=2.06392

拒絕域?yàn)椋簗t|22.0639.

由于t=2.78>2.0639.落入拒絕域，則拒絕H0,即認(rèn)為該天生產(chǎn)的食

品袋重量不符合要求。

臨界值tl-a(n-l)與拒絕域關(guān)系的示意圖.2

假設(shè)檢驗(yàn)的P值

2

2問題為：已知總體X?N(H,。2),且。2=。0,檢驗(yàn)假設(shè)為

HO：U=U0；Hl：UWU0

X-U0記U=。0

n的觀測值為u0

當(dāng)|u0|2ul-a

2即可拒絕H0①

而|u0|2ul-a

2?P{|U|2|u0|}Wa

記P{|U|2|u0|}為p值，即

當(dāng)pWa時(shí)即可拒絕HO②

若已計(jì)算得U=X-UO

n的觀測值u0比2.10,ul-a2=U0.975=1.96

|uO|=2,1O>ul-a

2=1.96,故拒絕HO

而P{IU|2|uO|}=P{|U|22.10}=2X(l-0.9821)=0.0358<0.05

故拒絕HO

若是單側(cè)檢驗(yàn)

HO：RW口；Hl：U>U00

當(dāng)u0與ul-a即可拒絕HO③

而uO^ul-a?P{U2uO}Wa

記P{U>uO}為p值，即

當(dāng)p<a時(shí)即可拒絕HO@

①③在統(tǒng)計(jì)量取值范圍內(nèi)進(jìn)行比較查統(tǒng)計(jì)量分布表

②④在概率取值范圍內(nèi)進(jìn)行比較利用統(tǒng)計(jì)軟件的計(jì)算功能練

習(xí)題：教材p79例3.5,

p81例3.6

pl31習(xí)題三3.6（講完上機(jī)后布置）

§2.3非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

在前面所介紹的估計(jì)和檢驗(yàn)問題中，我們總是假定總體分布的類型已

知，且主要是服從正態(tài)分布，所用的統(tǒng)計(jì)量的分布都依賴于總體的分布.但

是在實(shí)際遇到的許多問題中，總體的分布類型往往是未知的，在這種情況

下，我們就要利用樣本所提供的信息，對(duì)有關(guān)總體分布的相關(guān)論斷進(jìn)行檢

驗(yàn)，即非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn).本節(jié)主要介紹有關(guān)推斷總體分布的一些常用的檢

驗(yàn)方法：皮爾遜x擬合檢驗(yàn)、柯爾莫哥洛2

3

夫檢驗(yàn)和夏皮洛-威爾克（shapior—wilk）檢驗(yàn)（W檢驗(yàn)）；判斷兩總

體是否獨(dú)立的：列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn).

一、皮爾遜x擬合檢驗(yàn)（教材pl02）2

x擬合檢驗(yàn)是單變量的非參數(shù)檢驗(yàn)，它屬于擬合優(yōu)度型檢驗(yàn)，2

所謂擬合優(yōu)度型檢驗(yàn)，即是利用樣本去擬合檢驗(yàn)的總體是否服從某種

指定的分布。常見的總體簡單可以分為三類：

可取連續(xù)值的連續(xù)型總體、僅取有限個(gè)值的離散型總體與取無限個(gè)值

的離散型總體。

X擬合檢驗(yàn)比較適用于僅取有限個(gè)值的離散型總體大樣本下的2

分布擬合檢驗(yàn)。

在介紹該方法前，先介紹該方法的理論依據(jù)一皮爾遜定理及其推廣.

1.皮爾遜定理及其推廣

定理2.3.1(皮爾遜定理):假設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)有k種不同的結(jié)果A1,A2,,Ak,

它們出現(xiàn)的概率分別為pl,p2,,pk是已知數(shù)，且有

￡pi=l,ni表Ai(i=l,2,?,k)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的次ik

數(shù),￡ni=n.則當(dāng)n-*80寸，統(tǒng)計(jì)量

i

kk

xn=S2(ni-npi)npi2k2=Zinnpi—n(2.3.1)i

的極限分布是x(k—1).其中npi可理解為Ai發(fā)生的理論頻數(shù).2

證明參看中山大學(xué)《概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)》下冊(cè)

皮爾遜定理中的假定pl,p2,,pk是已知數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用中這個(gè)

條件往往不能滿足.例如，假設(shè)總體X?N(U,。2),但U,。2未知，

這時(shí)只能由樣本求出估計(jì)值口，。，然后再根據(jù)分布N(R,。)計(jì)算出定

理中所需要的各個(gè)概率值pl,p2,,pk的估計(jì)值

AAAAA2AA2

pl,p2,,pk.根據(jù)這種情況，費(fèi)歇(Fisher)將皮爾遜定理作了如

下推廣.

皮爾遜定理的推廣：假定總體X的分布依賴于r個(gè)未知參數(shù)

,由樣本求出這些參數(shù)的極大似然估計(jì)o1,。2,9r(r<k)

，一Ak出現(xiàn)的概率01,02,9r,并依這些參數(shù)的估計(jì)值求出A1A2AA

A

4

AAA

的估計(jì)值pl,p2,,pk,則當(dāng)r)f8時(shí)，統(tǒng)計(jì)量

k

xn=E

i2(ni-npi)npi

2A2k2A=ZininpiA-n(2.3.2)的極限分布是x(k

—r—1).

2.皮爾遜x擬合檢驗(yàn)(擬合優(yōu)度檢驗(yàn))2

皮爾遜x擬合檢驗(yàn)，就是用皮爾遜x統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果與某22

理論分布FO(x)(完全已知，或形式已知僅含有若干未知參數(shù))是否吻

合.即原假設(shè)為

H0：總體X的分布函數(shù)為FO(x;0)

該方法的理論基礎(chǔ)為皮爾遜定理及其推廣.

用皮爾遜x統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)的方法稱為皮爾遜x檢驗(yàn)法.使用22

該檢驗(yàn)法時(shí)要注意兩點(diǎn)：

1取大樣本，一般要求n>50.

則應(yīng)將總體取值的范圍適當(dāng)2若試驗(yàn)的結(jié)果不是僅取有限個(gè)值，

地分為k個(gè)組(或區(qū)間)，Al,A2,,Ak.分組不宜過多也不宜過少，一

般取5WkW12,樣本容量大時(shí)k可取大些，樣本容量小時(shí)k可取小些.皮

爾遜x檢驗(yàn)法要求分成的組(或區(qū)間)Ai盡可能地滿足npi2>5(i=

l,2,?,k).否則可將不滿足npi25的組(或區(qū)間)與相

臨的組(或區(qū)間)合并，使合并后的各組(或區(qū)間)能滿足npi25.這

時(shí)，分組(或區(qū)間)個(gè)數(shù)按合并后的個(gè)數(shù)計(jì)算.如果樣本容量n很大，

則依實(shí)際情況可將k取得更大些，并不限定kW12.

在實(shí)際使用時(shí).，對(duì)理論頻數(shù)npi的要求還可以放寬，當(dāng)自由度26

時(shí)，各理論頻數(shù)不少于2.

用皮爾遜x統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，拒絕域應(yīng)如何選??？2

觀察皮爾遜x統(tǒng)計(jì)量2

5

k

x=￡2

n(ni-npi)npi2i

表示觀察頻數(shù)ni與理論頻數(shù)npi相對(duì)差異的總和.因此可以設(shè)想在

H0成立時(shí)，X2的值應(yīng)比較小，否則應(yīng)較大。事實(shí)上，有n

E(ni-npi)=npi(l-pi),當(dāng)HO成立時(shí)；2

E(ni-npi)>npi(l-pi),當(dāng)HO不成立時(shí).2

由pearson定理知，在H0成立的條件下，當(dāng)n-8時(shí)，x2的極限n

分布為x(k-1)2

因此對(duì)給定的顯著性水平a檢驗(yàn)規(guī)則為：

x2x1-a(k-1)時(shí)，拒絕HO；n

xn<x1-a(k-1)時(shí)，接受HO.222

現(xiàn)在我們通過幾個(gè)例子來說明分布擬合的x檢驗(yàn)法.2

例2.3.1x檢驗(yàn)的一個(gè)著名的應(yīng)用例子是用于孟德爾(Mendel著名2

生物學(xué)家)的豌豆實(shí)驗(yàn)結(jié)果.這個(gè)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)致了近代遺傳學(xué)上起決定作

用的基因?qū)W說的產(chǎn)生.孟德爾在豌豆培養(yǎng)試驗(yàn)中觀察到，把黃色圓形與綠

色皺縮型純種豌豆雜交，可能得到的子代類型為：黃圓、黃皺、綠圓和綠

皺.在n=556個(gè)豌豆中觀察到這四類豌豆的個(gè)數(shù)分別為315、101、108、

32.利用這個(gè)觀察值檢驗(yàn)孟德爾的理論：黃圓：黃皺：綠圓：綠皺=9：

3：3：1的結(jié)論.

解：令X=1表示豌豆為黃圓，X=2表示豌豆為黃皺，

X=3表示豌豆為綠圓，X=4表示豌豆為綠皺.

P(X=i)=pi,i=l,2,3,4

總體X為只能取4個(gè)值的離散性隨機(jī)變量.問題為檢驗(yàn)

HO：pl=916,p2=316,p3=

2316,p4=2116.由于n=556較大可用x檢驗(yàn)法，x統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算

過程見表2.3.1

表2.3.1

6

x=￡

i2n2kninpi-n=556.47-556=0.47

2

0.95當(dāng)a=0.05時(shí)，查表得x⑶=7.815>0,47,因此在a=0.05的

水平下接受HO,,即認(rèn)為孟德爾的理論是正確的.例232（教材例

3.14,P99）某工廠生產(chǎn)一種220伏25瓦的白熾燈泡，其光通量（單位:流明）

用X表示，為檢驗(yàn)X是否服從N（U,o2）,現(xiàn)從總體X中有返回地抽取11=

120的樣本，進(jìn)行觀察得光通量X的120個(gè)觀測值列于表2.3.2中.

表2.3,2

216203197208206209206208202203206213

218207208

202194203213211193213208208204206204

206208209

213203206207196201208207213208210208

211211214

220211203216224211209218214219211208

221

211218

218190219211208199214207207214206217

214

201212

213211212216206210216204221208209214

214

199204

211201216211209208209202211207202205

206

216206

213206207200198200202203208216206222

213

209219

解：我們采用皮爾遜x擬合檢驗(yàn)，2

HO：F(x)=F0(x)；Hl：F(x)WFO(x).

其中F0(x)==?-°°xl2noe(t-U)-

22o2dt,H,。2都是未知參數(shù)，

求得U,。2的極大似然估計(jì)量分別為

□=A1

n￡xi=x,

i=ln

7

o=

A2

In

i=l

￡(xi-x)=M2.

A

n

2

再根據(jù)表2.3.2中的數(shù)據(jù)求出x=209,M2=42.77,因此有H=209,

A2

0=42.77.則F0(x)服從N(209,42.77).因此取統(tǒng)計(jì)量

k

x2=￡n

i

ni

2

npi

A

—n.

然后，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，把X的一切可能值x依情況分成9組.分組情

況已標(biāo)在表2.3.3中.

計(jì)算當(dāng)H0成立時(shí)各組的概率(這里只能是求各組概率的估計(jì)值).可

計(jì)算得pl=F0(198.5)-F0(-0°)=P(-°°<X<198.5)

=①

?198.5-209?

?一中(一8)?

42.77??

A

=0(—1,62)——

=1-0(1.62)=1-0.9474=0.0526,

p2=F0(210.5)-F0(198.5)=P(198.5<X<210.5)

7210.5-209?

?一中？

42.77??

7198.5-209

42.77?

?

???

A

=0(-1,15)-0(-1.62)=0(1.62)-0(1.15)

=0.9474-0.8749=0.0725.

類似于pl,p2的算法，逐一計(jì)算出p3?p9的值，從而計(jì)算出

A

A

A

A

npi,列于表2.3.3中

表2.3.3

A

8

計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量

9

x2=￡n

i=l

ni

2

npi

A

-120g0.347.

因?yàn)楣卜謐=9組，有兩個(gè)估計(jì)參數(shù)，所以x2分布的自由度為9—2

-1=6.對(duì)a=0.05,查出臨界值x0.95⑹=12.59.

由于統(tǒng)計(jì)量xn=0.347<12.59=xQ95⑹，所以不能拒絕H0,即認(rèn)為在

實(shí)際工作中光通量X服從N(209,42.77).

例2.3.3根據(jù)某地區(qū)六十三年的氣象觀察，該地區(qū)夏季共有180天發(fā)

生過暴雨.這里將5—9月看作夏季，每年夏季共計(jì)

2

2

2

n=31+30+31+31+30=153天.表2.3.3第2列記錄了一年的夏季中有i

天發(fā)生過暴雨的年數(shù)ni(i=0,1,?).問觀察結(jié)果是否說明一年

夏季發(fā)生暴雨的天數(shù)服從泊松分布？(a=0.05)

解：以X表示每年夏季發(fā)生暴雨的天數(shù)，依題意可假設(shè)

HO：X服從泊松分布P(入).

因?yàn)樵诩僭O(shè)H0中參數(shù)X未知，由實(shí)際觀測值求出X的極大似然估計(jì)

值入=x=

A

18063

處2.86.因此取統(tǒng)計(jì)量

A

2

xn=￡

i

2

k

(ni-npi)

A

=￡

i

k

ni

2

A

—n

npinpi

根據(jù)觀測的數(shù)據(jù)，把X的一切可能值x={0,1,2,?}依情況分成7組.分

組情況已標(biāo)在表2.3.2中.計(jì)算當(dāng)H0成立時(shí)各組的概率(這里只能是求各

組概率的估計(jì)值).

A

XX-A

p=e-X,j=0,1,?,5；p6=P(g26)=￡eii!i!i26

A

A

Ai

A

Ai

9

求得p0,pl,,p6的值,xA

2

ki

AAA

2

統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算過程見表2.3.4.

xn=E

2

(ni-npi)

A

=￡

k

ni

2

A

-n=2.8946.

npinpi

A

因?yàn)楣卜謐=7組，有一個(gè)估計(jì)參數(shù)入，所以x2分布的自由度為7—1

-1=5.對(duì)a=0.05,查出臨界值x0.95⑸=11.07.

由于統(tǒng)計(jì)量xn=2.8946<11.07=x0,95(5),所以不能拒絕H0,即認(rèn)為

該地區(qū)每年夏天出現(xiàn)暴雨的天數(shù)服從泊松分布.二、柯爾莫哥洛夫檢

驗(yàn)

皮爾遜x擬合檢驗(yàn)適用于任何分布的檢驗(yàn)，但它依賴于區(qū)間的

2

2

22

劃分.俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫(KoriMoropoB)1933年證

明了著名的柯爾莫哥洛夫定理，并由此建立了一個(gè)分布擬和檢驗(yàn)一一柯爾

莫哥洛夫檢驗(yàn).

用于檢驗(yàn)

HO：F(x)=FO(x)(完全已知的連續(xù)性分布函數(shù)).

10

由格列紋科定理知：當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)與理

論分布F(x)相當(dāng)接近.所以，當(dāng)H0成立且n較大時(shí)Fn(x)與FO(x)的差距不

應(yīng)太大.故用統(tǒng)計(jì)量

Dn=sup|Fn(x)—FO(x)|(2.3.3)

-8&|t；x<；8

作為HO的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并導(dǎo)出了Dn的精確分布和nDn的極限分布.

我們?cè)诖酥唤o出Dn的具體求法和拒絕域的確定方法：

①將樣本觀測值xl,x2,?,xn,按不降次序排列成:x(l)(x(2)W?Wx(n)；

?i-ln?-FO(x(i))?,n?i②計(jì)算di的值,di=max?F0(x(i))-,

i=l,2,?,n

Dn=max{dl,d2,?,dn}；(2.3.4)

①對(duì)給定的顯著性水平a,按nWlOO和n>100,在表6中查臨

界Dn,a；

②若Dn2Dn,a,則拒絕原假設(shè)HO,即認(rèn)為樣本不是取自分布為

FO(x)的總體；否則接受H0,即認(rèn)為樣本是取自分布為FO(x)的總體.

與皮爾遜x檢驗(yàn)相比，該檢驗(yàn)法充分利用樣本所提供的信息，2

在所有點(diǎn)上考慮了經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與總體分布函數(shù)之間的差異，克服了

x擬合檢驗(yàn)依賴于區(qū)間的劃分的缺點(diǎn).但是，只有當(dāng)總體為一維且2

理論分布完全已知時(shí)，柯爾莫哥洛夫檢驗(yàn)優(yōu)于皮爾遜x檢驗(yàn).對(duì)于2

理論分布中含有未知參數(shù)時(shí)，柯爾莫哥洛夫檢驗(yàn)需要做特殊處理，目

前只對(duì)正態(tài)分布與指數(shù)分布作了出來.

例2.3.4(教材例3.18,P114)對(duì)一臺(tái)設(shè)備進(jìn)行壽命試驗(yàn)，記錄了10次無

故障工作時(shí)間，并從小到大排列得

420,500,920,1380,1510,1650,1760,2100,2300,2350.問

此設(shè)備的無故障工作時(shí)間X是否服從參數(shù)為1/1500的指數(shù)分布？解

HO：F(x)=F0(x)=l-e

2.3.5中.-X1500,(x>；0).用柯爾莫哥洛夫檢驗(yàn)進(jìn)行這

個(gè)檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量Dn的計(jì)算過程列于表11

表2.3,5

Dn查得D10,0.05=0.409>Dn,故接受H0,認(rèn)為此設(shè)備的無故障工作

時(shí)間服從參數(shù)為1/1500的指數(shù)分布.

三、夏皮洛一威爾克(shapior-wilk)檢驗(yàn)(W檢驗(yàn))

W檢驗(yàn)是Sh理iro和Wilk于1965年提出的，用于檢驗(yàn)一批觀測值是

否來自同一正態(tài)分布總體.理論上要求樣本容量在3到50之間，實(shí)際上

有些計(jì)算機(jī)軟件，當(dāng)樣本容量小于或等于2000時(shí)，都使用W檢驗(yàn).W檢

驗(yàn)的優(yōu)勢是它可以檢驗(yàn)小樣本的總體是否服從正態(tài)分布.設(shè)總體X的分

布函數(shù)為F(x),xl,x2,,xn為樣本觀測值，檢驗(yàn)假設(shè)為

HO：X-N(U,o2).步驟如下：

①將xl,x2,,xn按不降次序排列成：x(l)Wx(2)?Wx(n)；②按下面

的公式計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量W的值；

W=

?⑵？

??

(W)[-]x(n+l-k)x(k)??Eak

k=l????

nk=l

n

2

Zx(k)-x

0

2

.(2.3.5)

其中ak(W)可由附表10查到.W值在0?1之間，W值越小越拒絕

H0.；

12

③對(duì)給定的顯著性水平a和樣本容量n,由附表11查到臨界值W

a;

④若W<Wa,則拒絕H0,否則不拒絕H0,即可認(rèn)為總體X服

從正態(tài)分布.

統(tǒng)計(jì)量W中系數(shù)的意義及所取拒絕域的根據(jù)可參考教材pl24-pl25.

例2.3.5現(xiàn)隨機(jī)抽取12名新生男嬰，測其體重(單位：公斤)如下：

3.10,2.52,3.00,3.00,3.60,3.16,3.56,3.32,2.88,2.60,

3.40,2.54.

試檢驗(yàn)新生男嬰的體重是否服從正態(tài)分布(a=0.05).

解將樣本觀測值按不降次序排列，列出x(k)和x(13-k)并計(jì)算出x(13-k)

—x(k),結(jié)果見表2.3.6.

表2.3.6

其中ak(W)的值由附表10查得.

由上表中的值，經(jīng)計(jì)算得

12

k=lEx(k)-x

6()2=1.5736,Zak(W)[x(13-k)-x(k)]=1.191.

k=l

所以

W-1.191

1.57362=0.9104.

對(duì)給定的顯著性水平a=0.05和樣本容量n=12,由附表11查到臨界

值W0.05=0.859.

由于0.9104>0.859,所以接受H0,即可認(rèn)為新生男嬰的體重服

從正態(tài)分布.

四、秩和檢驗(yàn)

在許多實(shí)際問題中我們需要通過分別來自兩個(gè)總體(分別看作接受兩

種不同處理方法的個(gè)體的全體)的樣本的信息，來比較兩總體的分布是否

相同。

1945年Wilcoxon提出了一個(gè)檢驗(yàn)兩總體是否相同的一種方法，13

稱為秩和檢驗(yàn)。這個(gè)檢驗(yàn)在社會(huì)科學(xué)中廣泛應(yīng)用，而且在許多書中介

紹.

設(shè)總體X的分布函數(shù)為Fl(x),總體Y的分布函數(shù)為F2(x),Fl(x)和F2(x)

均為連續(xù)函數(shù)，但未知，要檢驗(yàn)的原假設(shè)為

HO：Fl(x)=F2(x).

從這兩總體中分別抽取容量為nl和n2的樣本X1,X2,?,X和Y1,Y2,?,Y

記為

Zl,Z2,?,Zn+n12

如果Xk=Zi,則記rk(X)=i,稱為Xk在混合樣本中的秩，它表示

如果Yk=Zj,則記rk(Y)=j,稱為Yk在Xk在混合樣本中的位置。

混合樣本中的秩，它表示Yk在混合樣本中的位置。令

Tl=Erk(X),T2=Lrk(Y)

k=lk=lnln2,將它們混合在一起按從小大大的次序重新排列，nln2

分別稱為Xl,X2,?,Xnl的秩和與Yl,Y2,?,Yn2的秩和，令

?T1,當(dāng)nl〈n2T=?,，當(dāng)>nln2?T2

顯然T是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。直觀上可以看出，如果Fl(x)2F2(x),則

P(X>Y)<l

2,因此，T2應(yīng)有偏大的趨勢；反之如果Fl(x)<

1

2F2(x),則P(X>Y)>,因此，T1應(yīng)有偏大的趨勢。所以，若

H0成立，則T的值既不應(yīng)該太大也不應(yīng)該太小。人們根據(jù)T的分布編

制了秩和檢驗(yàn)表，表中給出了滿足P(Tl<T<T2)<l-a的兩個(gè)數(shù)

(l)(2)Ta和Ta,分別稱為秩和下限和秩和上限。從而得到H0的拒絕

域?yàn)?/p>

(l)T<Ta或T<Ta。(2)

例236(教材例3.25,P128)

nl,n2均W10時(shí)可查表得結(jié)果。

14

注：可以證明當(dāng)n22nl,在HO的成立時(shí)有

u=T-nl(nl+n2+l)/2

nln2(nl+n2+l)/12

漸近于正態(tài)分布N(0,1),實(shí)際上在nl,n2均大于7時(shí)，u的分布近

似于正態(tài)分布N(0,1)已十分精確。這時(shí)，對(duì)給定的顯著性水平a,查正

態(tài)分布表得ul-a/2,當(dāng)|u|2ul-a/2時(shí)拒絕HOo

例2.3.7(教材例3.26,P129)

練習(xí)題教材習(xí)題311、13、20、(講完上機(jī)后布置)

五、屬性數(shù)據(jù)分析

1.屬性變量與屬性數(shù)據(jù)分析

從變量的測量水平來看分為兩類：連續(xù)變量和屬性(Categorical)變量,

屬性變量又可分為有序的(Ordinal)和無序的變量。對(duì)屬性數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,

將達(dá)到以下幾方面的目的：

1)產(chǎn)生匯總分類數(shù)據(jù)一一列聯(lián)表；

2)檢驗(yàn)屬性變量間的獨(dú)立性(無關(guān)聯(lián)性)；

3)計(jì)算屬性變量間的關(guān)聯(lián)性統(tǒng)計(jì)量；

4)對(duì)高維數(shù)據(jù)進(jìn)行分層分析和建模。

在實(shí)際中，我們經(jīng)常遇到判斷兩個(gè)或多個(gè)屬性變量之間是否獨(dú)立的問

題，如：吸煙與患肺癌是否有關(guān)？色盲與性別是否有關(guān)？上網(wǎng)時(shí)間與學(xué)習(xí)

成績是否有關(guān)等等.解決這類問題常用到建立列聯(lián)表，利用X統(tǒng)計(jì)量作顯

著性檢驗(yàn)來完成.2

2.歹U聯(lián)表(ContingencyTable)

列聯(lián)表是由兩個(gè)以上的屬性變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表。設(shè)二

維隨機(jī)變量(X,Y),X可能取得值為xl,x2,,xr,Y可能取得值為yl,y2,,ys.現(xiàn)

從總體中抽取容量為n的樣本，其中事件(X=xiY=yj)發(fā)生的頻率為ni

sj(i=1,2,?,r,r

j=l,2,?,s,)記ni?=Enij

j=l,n?j=Eniji=l,則有n

rsrs

=EEnij=Eni?=En?j,將這些數(shù)據(jù)排列成如下的表：

i=lj=li=lj=l

表2.3.7

15

這是一張rXs列聯(lián)表.

2.屬性變量的關(guān)聯(lián)性分析

對(duì)于不同的屬性變量，從列聯(lián)表中可以得到它們聯(lián)合分布的信息。但

有時(shí)還想知道形成列聯(lián)表的行和列變量間是否有某種關(guān)聯(lián)性，即一個(gè)變量

取不同數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量的分布是否有顯著的不同，這就是屬性變量關(guān)

聯(lián)性分析的內(nèi)容。

屬性變量關(guān)聯(lián)性檢驗(yàn)的假設(shè)為

H0：變量之間無關(guān)聯(lián)性；H1：變量之間有關(guān)聯(lián)性

由于變量之間無關(guān)聯(lián)性說明變量互相獨(dú)立，所以原假設(shè)和備擇假設(shè)可

以寫為：

H0：變量之間獨(dú)立；H1：變量之間不獨(dú)立

x檢驗(yàn)2

HO：X與Y獨(dú)立.

記P(X=xi,n=yj)=pij，i=1，2,?,r,,j=l,2,?,

s,

P(X=xi)=pi.,i=1,2,?,r,P(Y=yj)=p.j,j=1,2,?,s.

由離散性隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義，則原假設(shè)等價(jià)于

HO：pij=pi.p,j,i=1,2,?,r,,j=l,2,?,s.若pij已知，我們

可以建立皮爾遜x統(tǒng)計(jì)量2

x=EX2rs(nij-npij)

npij2.i=lij=l

16

由皮爾遜定理知，x的極限分布為x(rs-l).但這里pij未知，因22

A

此用它的極大似然估計(jì)pij代替，這時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

rsx=￡S2(nij-np)ij

npiAjA2.i=lij=l

在HO成立的條件下，pij=pi.p,j,即等價(jià)于用pi?和p.?j的極大似

AA

然估計(jì)pi?和p?j的積去代替.可以求得

Api?=ni?n?j,i=1,2,?,r,p?j=,j=l,2,?,nnAs,

ni?n?j則pij=.i=1,2,?,r,,j=l,2,?,s,nn八從

而得到統(tǒng)計(jì)量

rsx=￡S2(nij-npp)i??j

nppi??jAAAA2i=lij=l?rsnij2?-1?.(2.3.6)=n￡￡

i=lij=lni?n?j???

2在HO成立的條件下，當(dāng)n-8時(shí)，x的極限分布為

x(rs*(r+s-2)-1)=x((r-l)(s-l)).

對(duì)給定的顯著性水平a,當(dāng)x>xl-a((r-l)(s-l)),則拒絕HO,2222

否則接受HO.

特別，當(dāng)r=s=2時(shí)，得至U2X2歹U聯(lián)表，常被稱為四格表，是應(yīng)用最

廣的一種列聯(lián)表.這時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

2

X2=n(nlln22-nl2n21)

n?ln2?nl?n?2

(2.3.7)

它的極限分布為x(1).2

對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)是連續(xù)取值的情況，我們可采用如下方法

將其離散化.

①將X的取值范圍(-8,+8)分成r個(gè)互不相交的區(qū)間，將Y

的取值范圍(-8,+8)分成s個(gè)互不相交的區(qū)間，于是整個(gè)平面分

成了rs個(gè)互不相交的小矩形;

17

②求出樣本落入小矩形中的頻數(shù)niji=l,2,?,r,,j=l,2,?,

s；

③建立統(tǒng)計(jì)量

?rsnij2x=nEEi=lij=lni?n??22j?-l?,??2在HO成立時(shí)且n充分大

時(shí)，x的極限分布為x((r-l)(s-l)),拒

絕域的確定同離散型的情況.

例2.3.8(教材P71例3.2,)某研究所研制了一種治療感冒的新藥，為

了檢驗(yàn)其療效，現(xiàn)征集了200名患者為志愿者，將他們隨機(jī)地分為相等的

兩組，一組服藥另一組不服藥，觀察3日后痊愈的情況得到如下數(shù)據(jù)：

解設(shè)X表示是否痊愈，只取兩個(gè)值：痊愈，未痊愈；

Y表示是否服藥，只取兩個(gè)值：服藥，未服藥.

所要研究的問題是X與Y是否獨(dú)立，即檢驗(yàn)

HO：X與Y獨(dú)立.

已給數(shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)四格表，n=200,nll=48,nl2=52,n

n2221=56,=44,

nl?=100,n?l=104,n2?=100,n?2=96,則

(-)x=nnlln22nl2n21=200?(48?44-56?52)^1.282.22

n?ln2?nl?n?2100?100?104?96

2若給定a=0.25,查表得x0.75(1)=1.323>1.282,所以接受HO,

認(rèn)為X與Y獨(dú)立，即認(rèn)為這種感冒藥并無明顯療效.

3.屬性變量的關(guān)聯(lián)度計(jì)算

18

2x檢驗(yàn)的結(jié)果只能說明變量之間是否獨(dú)立，如果不獨(dú)立，并不

能由x2的值說明它們之間關(guān)系的強(qiáng)弱，這可以由？系數(shù)來說明

???系數(shù)=?

???nlln22-nl2n21nl?+n2?+n?ln?22,n=p=2其它x

n,

其中當(dāng)n=p=2即2X2列聯(lián)表時(shí)其它|?|越

接近1,它們之間關(guān)聯(lián)性越強(qiáng)，反之越弱。主要用于2義2列聯(lián)表

（講完上機(jī)后布置）

練習(xí)題教材習(xí)題314、15（講完上機(jī)后布置）

§2.4估計(jì)與檢驗(yàn)的SPSS實(shí)現(xiàn)

一、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)

1.數(shù)學(xué)模型

正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)（見概率統(tǒng)計(jì)教材）

正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

單總體N（U,。2）中口的假設(shè)檢驗(yàn)

19

單總體N（口，。2）中。2的假設(shè)檢驗(yàn)

兩正態(tài)總體的均值差與方差比的假設(shè)檢驗(yàn)

2.正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的SPSS實(shí)現(xiàn)

（1）單總體N（U,。2）中口的區(qū)間估計(jì)

(2)單總體N(U,。2)中U的假設(shè)檢驗(yàn)

設(shè)總體X?N(R,O2),當(dāng)。2未知時(shí)，檢驗(yàn)

HO：U=H0；H1：11110(kt>口0或口<HO)

在SPSS中完成上述工作，是利用單樣本T檢驗(yàn)對(duì)話框，輸入檢驗(yàn)值口

。和置信度1-a即可。

例2.4.1檢驗(yàn)我國上市公司的平均資產(chǎn)負(fù)債率是否為0.5

(數(shù)據(jù)存放在數(shù)據(jù)集“上市公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù).sav”中)

操作：

①選擇菜單分析(Analyze)=>比較均值(Comparemeans)=>

單樣本T檢驗(yàn)(OneSampleTTest),打開單樣本T檢驗(yàn)(OneSampleTTest)

對(duì)話框

單樣本T檢驗(yàn)(OneSampleTTest)對(duì)話框：

將lev移入TestVariables列表框中；

在TestValue輸入框中輸入原假設(shè)的檢驗(yàn)值，此處為0.5。

②單擊選項(xiàng)(Options)按鈕，打開選項(xiàng)(Options)子對(duì)話框

在置信區(qū)間(ConfidenceInterval)框輸入置信度，默認(rèn)為95%。

在缺失值(MissingValues)單選框組定義分析中對(duì)缺失值的處理方法,

按分析順序排除個(gè)案(Excludescasesanalysis

by20

analysis):是具體分析用到的變量有缺失值才去除該觀測；

按列表排除個(gè)案(Excludescaseslistwise)：只要相關(guān)變量有缺失值，

則在所有分析中均將該記錄去除。

默認(rèn)為前者，以充分利用數(shù)據(jù)。

輸出結(jié)果：

對(duì)單側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)

HO：U=U0；Hl：U>U0

根據(jù)p（Sig.（2-tailed））值，判斷拒絕H0的方法:

①t>O;

②p/2<a

（3）兩樣本總體均值的比較：成對(duì)匹配樣本

例242（SPSSzjpP53例）檢驗(yàn)?zāi)承W(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)前后學(xué)生學(xué)習(xí)成績21

有無顯著差異。（數(shù)據(jù)存放在數(shù)據(jù)集“學(xué)生培訓(xùn).sav”中）

這是一個(gè)（成對(duì)匹配）雙樣本均值檢驗(yàn)問題，若口1和口2分別表示

培訓(xùn)前后學(xué)生的平均成績，則檢驗(yàn)的是：

HO：U1-U=O,2

操作：

①擇菜單Analyze=>Comparemeans=>Paired-SampleTTest,

打開Paired-SampleTTest對(duì)話框

將兩個(gè)配對(duì)變量移入PairedVariables列表框中；

②單擊Options按鈕，打開Paired-SamplesTTest:對(duì)話框

在ConfidenceInterval框輸入置信度，默認(rèn)為95%。

MissingValues單選框組定義分析中對(duì)缺失值的處理方法，Excludes

casesanalysisbyanalysis是具體分析用到的變量有缺失值才去除該觀測；

Excludescaseslistwise只要相關(guān)變量有缺失值，則在所有分析中均將該

記錄去除。

默認(rèn)為前者，以充分利用數(shù)據(jù)。

③單擊Continue,回到Paired-SampleTTest對(duì)話框，單擊ok.

Hl：U1-U2W0；

22

（4）兩樣本總體均值的比較：獨(dú)立樣本

例243檢驗(yàn)在滬市和在深市上市的公司平均資產(chǎn)負(fù)債率是否存在顯

著差異

（數(shù)據(jù)存放在數(shù)據(jù)集“上市公司財(cái)務(wù)數(shù)據(jù).sav”中）數(shù)據(jù)集

注：在做此檢驗(yàn)前，應(yīng)先做（7）中的兩樣本總體方差的比較的檢

驗(yàn)。如果方差相等，在做此檢驗(yàn)后取方差相等的結(jié)果，如果方差不

等〃在做此檢驗(yàn)后取方差不等的結(jié)果，

操作：

③選擇菜單Analyze=>Comparemeans=>Independent-SampleT

Test,打開Independent-SampleTTest對(duì)話框?qū)ev移入TestVariables

列表框中；④設(shè)置分類變量：將分類變量jys（“O”表深圳上市公司，“1”

表在滬上市公司）移入GroupingVariables列表框中，則下

面的DefineGroups按鈕被激活，單擊該按鈕，打開DefineGroups子

對(duì)話框

選項(xiàng)UsespecifiedValues輸入分類變量代表兩個(gè)總體的取值，這里分

別輸入0和1;

選項(xiàng)CutPoint輸入分類變量的一個(gè)取值，系統(tǒng)根據(jù)分類變量的取值

大于還是小于這個(gè)值將樣本分為兩類。23

單擊Continue,回到Independent-SampleTTest對(duì)話框，單擊ok

可見該結(jié)果分為兩大部分：第一部分為Levene's方差齊性檢驗(yàn)，

用于判斷兩總體方差是否相等，這里的檢驗(yàn)結(jié)果為F=1.515,P=0,219,

可見在本例中方差是齊的；第二部分則分別給出兩組所在總體方差齊和方

差不齊時(shí)的t檢驗(yàn)結(jié)果，由于前面的方差齊性檢驗(yàn)結(jié)果為方差齊，第二部

分就應(yīng)選用方差齊時(shí)的t檢驗(yàn)結(jié)果，即上面一行列出的t=1.287v=313,

P=0.199o從而最終的統(tǒng)計(jì)結(jié)論為按a=0.05水準(zhǔn)，不能拒絕H0,認(rèn)為在滬

市和在深市上市的公司平均資產(chǎn)負(fù)債率不存在顯

24

二、有關(guān)總體分布的擬合與假設(shè)檢驗(yàn)

1.分布密度函數(shù)擬合圖、P-P圖和Q-Q圖（楊小平SPSS教程P84）

（1）分布密度函數(shù)擬合圖就是在限定的參數(shù)分布類中通過對(duì)參數(shù)的

估計(jì)，用估計(jì)得到的參數(shù)所對(duì)應(yīng)的密度曲線去擬合密度直方圖頂部的形態(tài)。

例2.4.4借助80名16歲女生身高調(diào)查數(shù)據(jù)，用SPSS生成身高數(shù)據(jù)的

直方圖并給出分布密度函數(shù)擬合曲線。（數(shù)據(jù)存放在數(shù)據(jù)集“Student.sav”

中）

（2）P-P概率圖

P-P概率圖是一種常用的檢驗(yàn)概率分布的統(tǒng)計(jì)圖形，它是根據(jù)變量分

布累積比和指定的某種概率分布累積比生成的圖形。利用P-P概率圖可以

直觀檢驗(yàn)觀測變量是否符合指定的概率分布。如果符合的好，圖中所有的

點(diǎn)將沿直線排列，與直線近似吻合。否則，可以通過對(duì)原數(shù)據(jù)進(jìn)行變換,

使得變換后的數(shù)據(jù)符合指定的分布。

例2.4.5對(duì)例2.4.4中的身高數(shù)據(jù)，用SPSS生成身高數(shù)據(jù)的P-P概率圖

操作：

①打開數(shù)據(jù)文件Student.sav；

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②選擇菜單Analyze=>DescriptiveStatitics=>P-PPlots打開P-P

Plots對(duì)話框

將“身高”變量添加到Variables框中，系統(tǒng)對(duì)Variables框中的變量生

成P-P概率圖。

檢驗(yàn)分布(TestDistribution)框：它的下拉框中列出了13種分布作為

檢驗(yàn)的指定分布，其中包括常見的正態(tài)分布(Normal),T分布(Studentt)、

指數(shù)分布(Exponential)和卡方分布(Chi-square)等。分布參數(shù)(Distribution

Parameters)為分布參數(shù)選項(xiàng)，用于指定分布中未知參數(shù)的選擇方式，默

認(rèn)項(xiàng)為從數(shù)據(jù)中估計(jì)(Estimatefromdata)標(biāo)識(shí)系統(tǒng)自動(dòng)利用變量的觀測

數(shù)據(jù)估計(jì)未知參數(shù)。轉(zhuǎn)換(Transform)框：為變量轉(zhuǎn)換框，提供了3

種變量轉(zhuǎn)換方式

?NaturallogTransform自然對(duì)數(shù)

?StandardizeValues進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，將原變量轉(zhuǎn)換成均值為0,方差為

1的標(biāo)準(zhǔn)變量；

Difference差分轉(zhuǎn)換，利用變量中連續(xù)兩個(gè)數(shù)據(jù)之差來轉(zhuǎn)換原變量。

比例估計(jì)公式(ProportionEstimationFormuta)計(jì)算正態(tài)概率?分

布期望的方法

方法,公式為

?Blom(r-3/8)/(n+(l/4))o

方法，公式為。方法，

?Rankit(r-1/2)Tukey(r-1/3)/(n+(l/3))o

方法，

VanderWaerden(r/(n+l))o

單擊ok

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(3)Q-Q圖是一種散點(diǎn)圖。

Q-Q圖與P-P圖一樣，也是一種檢驗(yàn)概率分布的統(tǒng)計(jì)圖形。所不同的

是，它是根據(jù)變量分布的分位數(shù)和指定的某種概率分布的分位數(shù)生成的圖

形。

Q-Q圖的創(chuàng)建方式與P-P圖完全相同，其對(duì)話框的形式和操作方式也

與P-P圖完全一致

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對(duì)應(yīng)于正態(tài)分布的QQ圖由點(diǎn)O??-l(i-0.375?),x(i)?構(gòu)成，其n+0.25?

橫坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)，縱坐標(biāo)x(i)(i=l,2,?,n)是將

xl,?,xn從小到大排序后的數(shù)列，為總體i/n分位數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。若觀測數(shù)

據(jù)近似正態(tài)分布N(口，。),