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遼寧大連市2023-2024學(xué)年高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),若,則()A. B.3 C. D.22.函數(shù)的圖像大致為().A. B.C. D.3.已知數(shù)列,,,…,是首項(xiàng)為8,公比為得等比數(shù)列,則等于()A.64 B.32 C.2 D.44.對(duì)于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.5.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則()A. B.6 C.4 D.56.已知函數(shù),,若對(duì)任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.7.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的表面積為()A.8 B. C. D.8.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或9.已知拋物線:()的焦點(diǎn)為,為該拋物線上一點(diǎn),以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn),,則拋物線方程為()A. B. C. D.10.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.11.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A. B. C. D.12.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從2、3、5、7、11、13這六個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)14.設(shè)P為有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則______________.15.已知為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn),現(xiàn)從這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn),則這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為________.16.如圖所示,在直角梯形中,,、分別是、上的點(diǎn),,且(如圖①).將四邊形沿折起,連接、、(如圖②).在折起的過程中,則下列表述:①平面;②四點(diǎn)、、、可能共面;③若,則平面平面;④平面與平面可能垂直.其中正確的是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持,在我國(guó)有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國(guó)聞名,還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國(guó)外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān),合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí);(ii)若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí);(iii)若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷,且利潤(rùn)分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級(jí)不能外銷,利潤(rùn)記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤(rùn)為X元,求X的分布列與期望.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知圓,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線平分圓M的周長(zhǎng).(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程;(2)過原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點(diǎn),與圓M交于O,B兩點(diǎn),求面積的最大值.19.(12分)如圖所示,在三棱柱中,為等邊三角形,,,平面,是線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,前項(xiàng)和為,且,.(1)求.(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)第十三屆全國(guó)人大常委會(huì)第十一次會(huì)議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法(修訂草案)》中,提出推行生活垃圾分類制度,這是生活垃圾分類首次被納入國(guó)家立法中.為了解某城市居民的垃圾分類意識(shí)與政府相關(guān)法規(guī)宣傳普及的關(guān)系,對(duì)某試點(diǎn)社區(qū)抽取戶居民進(jìn)行調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表.分類意識(shí)強(qiáng)分類意識(shí)弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)已知在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶,抽到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為.(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)的強(qiáng)弱與政府宣傳普及工作有關(guān)?說明你的理由;(2)已知在試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中,有戶自覺垃圾分類在年以上,現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中,隨機(jī)選出戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查,記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為,求分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式:,其中.下面的臨界值表僅供參考22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角為,且經(jīng)過點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線,從原點(diǎn)O作射線交于點(diǎn)M,點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn),滿足,記點(diǎn)N的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義求得,由此求得的長(zhǎng).【詳解】過作,垂足為,設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
本題采用排除法:由排除選項(xiàng)D;根據(jù)特殊值排除選項(xiàng)C;由,且無限接近于0時(shí),排除選項(xiàng)B;【詳解】對(duì)于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;對(duì)于選項(xiàng)B:當(dāng),且無限接近于0時(shí),接近于,,此時(shí).故選項(xiàng)B排除;故選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號(hào)的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.3、A【解析】
根據(jù)題意依次計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:,,故,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列值的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、A【解析】
由已知可得的單調(diào)性,再由可得對(duì)稱性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對(duì)于任意,函數(shù)滿足,因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)時(shí),是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因?yàn)?,所以?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對(duì)稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..5、D【解析】
由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.6、C【解析】
對(duì)任意的總有恒成立,因?yàn)?,?duì)恒成立,可得,令,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】對(duì)任意的總有恒成立,對(duì)恒成立,令,可得令,得當(dāng),當(dāng),,故令,得當(dāng)時(shí),當(dāng),當(dāng)時(shí),故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問題,解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.7、D【解析】
根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐,即可求出幾何體的表面積.【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐,如圖,且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,四棱錐的底面是正方形,邊長(zhǎng)為2,棱錐的高為2,所以,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體,棱錐表面積的計(jì)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.8、D【解析】
根據(jù)題意得,設(shè)與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因?yàn)?,,則,所以,設(shè)與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.9、C【解析】
根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)軸、列方程,解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,由于在拋物線上,所以,由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn),根據(jù)拋物線的定義可知,、軸,且.由于,所以直線的傾斜角為,所以,解得,或(由于,故舍去).所以拋物線的方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線的斜率,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.10、A【解析】
因?yàn)?,所以函?shù)是偶函數(shù),排除B、D,又,排除C,故選A.11、B【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出的值,然后利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用,同時(shí)也考查了等差數(shù)列求和,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
通過列舉法可求解,如兩角分別為時(shí)【詳解】當(dāng)時(shí),,但,故充分條件推不出;當(dāng)時(shí),,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依據(jù)古典概型的計(jì)算公式,分別求“任取兩個(gè)數(shù)”和“任取兩個(gè)數(shù),和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù),計(jì)算即可?!驹斀狻俊叭稳蓚€(gè)數(shù)”的事件數(shù)為,“任取兩個(gè)數(shù),和是質(zhì)數(shù)”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3個(gè),所以任取兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?!军c(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法。14、【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得,,即故答案為15、【解析】
基本事件總數(shù),這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和,由此能求出這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率.【詳解】解:為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn),現(xiàn)從,,,,這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn),基本事件總數(shù),這3個(gè)點(diǎn)共線的情況有兩種和,這3個(gè)點(diǎn)不共線的概率為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、①③【解析】
連接、交于點(diǎn),取的中點(diǎn),證明四邊形為平行四邊形,可判斷命題①的正誤;利用線面平行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤;連接,證明出,結(jié)合線面垂直和面面垂直的判定定理可判斷命題③的正誤;假設(shè)平面與平面垂直,利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題①,連接、交于點(diǎn),取的中點(diǎn)、,連接、,如下圖所示:則且,四邊形是矩形,且,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),且,且,四邊形為平行四邊形,,即,平面,平面,平面,命題①正確;對(duì)于命題②,,平面,平面,平面,若四點(diǎn)、、、共面,則這四點(diǎn)可確定平面,則,平面平面,由線面平行的性質(zhì)定理可得,則,但四邊形為梯形且、為兩腰,與相交,矛盾.所以,命題②錯(cuò)誤;對(duì)于命題③,連接、,設(shè),則,在中,,,則為等腰直角三角形,且,,,且,由余弦定理得,,,又,,平面,平面,,,、為平面內(nèi)的兩條相交直線,所以,平面,平面,平面平面,命題③正確;對(duì)于命題④,假設(shè)平面與平面垂直,過點(diǎn)在平面內(nèi)作,平面平面,平面平面,,平面,平面,平面,,,,,,,又,平面,平面,.,平面,平面,.,,顯然與不垂直,命題④錯(cuò)誤.故答案為:①③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何綜合問題,涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點(diǎn)共面的判斷,考查推理能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)①可能是2件;②詳見解析【解析】
(1)由一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的情形,并結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式,列式計(jì)算即可;(2)①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,可知,分別令、、,可求出使得最大的整數(shù),進(jìn)而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù);②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級(jí)的概率,進(jìn)而可列出X的分布列,求出期望即可.【詳解】(1)一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為.(2)①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為,設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件,則,則,其中,.由得,整數(shù)不存在,由得,所以當(dāng)時(shí),,即,由得,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),最大,即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知,一件手工藝品質(zhì)量為A級(jí)的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為C級(jí)的概率為,一件手工藝品質(zhì)量為D級(jí)的概率為,所以X的分布列為:X900600300100P則期望為.【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算,考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.18、(1),(2)【解析】
先求出,再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)求出,,再求出得解.【詳解】(1)將化成直角坐標(biāo)方程,得則,故,則圓,即,所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標(biāo)方程,得.即圓M的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),則,用代替.可得,【點(diǎn)睛】本題主要考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化,考查極徑的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由,故,所以四邊形為菱形,再通過,證得,所以四邊形為正方形,得到.(2)根據(jù)(1)的論證,建立空間直角坐標(biāo),設(shè)平面的法向量為,由求得,再由,利用線面角的向量法公式求解.【詳解】(1)因?yàn)?,故,所以四邊形為菱形,而平面,?因?yàn)?,故,故,即四邊形為正方形,?(2)依題意,.在正方形中,,故以為原點(diǎn),所在直線分別為、、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系;如圖所示:不紡設(shè),則,又因?yàn)?,所?所以.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則.于是.又因?yàn)?,設(shè)直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.20、(1)(2)【解析】
(1)由數(shù)列是等差數(shù)列,所以,解得,又由,解得,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)得,利用乘公比錯(cuò)位相減,即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】(1)由題意,數(shù)列是等差數(shù)列,所以,又,,由,得,所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)得,,,兩式相減得,,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差的通項(xiàng)公式、以及“錯(cuò)位相減法”求和的應(yīng)用,此類題目是數(shù)列問題中的常見題型,解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ),準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵,易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí),弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù),能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.21、(1)有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.見解析(2)分布列見解析,期望為1.【解析】
(1)由在
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