北京市石景山第九中學2025屆高一數學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

北京市石景山第九中學2025屆高一數學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則在方向上的投影為（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知等比數列的前項和為，，，則（）A．31 B．15 C．8 D．73．設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，，則角（）A． B． C． D．4．設，，，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．5．若正實數，滿足，且恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知某7個數據的平均數為5，方差為4，現又加入一個新數據5，此時這8個數的方差為（）A． B．3 C． D．47．已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的最大值為（）A．7 B．6 C．5 D．48．已知函數f(x)=x,x≥0,|x2A．a<0 B．0<a<1 C．a>1 D．a≥19．在直三棱柱（側棱垂直于底面）中，若，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．不等式x+5(x-1)A．[-3，1C．[12二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．空間一點到坐標原點的距離是_______.12．在，若，，，則__________________．13．在中，角的對邊分別為，且面積為，則面積的最大值為_____．14．已知等腰三角形底角的余弦值等于，則這個三角形頂角的正弦值為________．15．向量．若向量，則實數的值是________．16．化簡sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設，已知函數，．（1）若是的零點，求不等式的解集：（2）當時，，求的取值范圍．18．已知函數.（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值，并分別寫出相應的的值.19．已知公差不為0的等差數列的前項和為，，且成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和．20．在直角坐標系中，，，點在直線上.（1）若三點共線，求點的坐標；（2）若，求點的坐標.21．（1）已知，，且、都是第二象限角，求的值.（2）求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據正弦定理，將已知條件進行轉化化簡，結合兩角和差的正弦公式可求，根據在方向上的投影為，代入數值，即可求解．【詳解】因為，所以，即，即，因為，所以，所以，所以在方向上的投影為：．故選：A．【點睛】本題主要考查正弦定理和平面向量投影的應用，根據正弦定理結合兩角和差的正弦公式是解決本題的關鍵，屬于中檔題．2、B【解析】

利用基本元的思想，將已知條件轉化為的形式，由此求得，進而求得.【詳解】由于數列是等比數列，故，由于，故解得，所以.故選：B.【點睛】本小題主要考查等比數列通項公式的基本量的計算，考查等比數列前項和公式，屬于基礎題.3、B【解析】

根據正弦定理，可得，進而可求，再利用余弦定理，即可得結果．【詳解】，∴由正弦定理，可得3b=5a，，，，，故選：B.【點睛】本題主要考查余弦定理及正弦定理的應用，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2）.4、D【解析】

利用基本不等式可得，再結合代入即可得出答案．【詳解】解：∵，，，∴，∴，當且僅當即，時等號成立，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查基本不等式求最值，要注意條件“一正二定三相等”，屬于中檔題．5、B【解析】

根據，結合基本不等式可求得，從而得到關于的不等式，解不等式求得結果.【詳解】由題意知：，，（當且僅當，即時取等號），解得：本題正確選項：【點睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值問題，關鍵是配湊出符合基本不等式的形式，從而求得最值.6、C【解析】

由平均數公式求得原有7個數的和，可得新的8個數的平均數，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【詳解】因為7個數據的平均數為5，方差為4，現又加入一個新數據5，此時這8個數的平均數為，方差為，由平均數和方差的計算公式可得，.故選：C.【點睛】本題考查均值與方差的概念，掌握均值與方差的計算公式是解題關鍵．7、B【解析】由題意知，點P在以原點（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因為點P在已知圓上，所以只要兩圓有交點即可，所以，故選B.考點：本小題主要考查兩圓的位置關系，考查數形結合思想，考查分析問題與解決問題的能力.8、B【解析】

令g(x)=0得f(x)=a,再利用函數的圖像分析解答得到a的取值范圍.【詳解】令g(x)=0得f(x)=a,函數f(x)的圖像如圖所示，當直線y=a在x軸和直線x=1之間時，函數y=f(x)的圖像與直線y=a有四個零點，所以0＜a＜1.故選：B【點睛】本題主要考查函數的圖像和性質，考查函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.9、A【解析】

根據題意，將直三棱柱擴充為長方體，其體對角線為其外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】∵，，∠ABC=90°，∴將直三棱柱擴充為長、寬、高為2、2、3的長方體,其體對角線為其外接球的直徑,長度為，∴其外接球的半徑為,表面積為=17π.故選：A.【點睛】本題考查幾何體外接球，通常將幾何體進行割補成長方體，幾何體外接球等同于長方體外接球，利用長方體外接球直徑等于體對角線長求出半徑，再求出球的體積和表面積即可，屬于簡單題.10、D【解析】試題分析：x+5(x-1)2≥2?x+5≥2(x-1)2且x≠1考點：分式不等式解法二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直接運用空間兩點間距離公式求解即可.【詳解】由空間兩點距離公式可得：.【點睛】本題考查了空間兩點間距離公式，考查了數學運算能力.12、【解析】

由,故用二倍角公式算出,再用余弦定理算得即可.【詳解】,又，,又,代入得,所以.故答案為【點睛】本題主要考查二倍角公式與余弦定理,屬于基礎題型.13、【解析】

利用三角形面積構造方程可求得，可知，從而得到；根據余弦定理，結合基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得最大值.【詳解】，由余弦定理得：（當且僅當時取等號）本題正確結果：【點睛】本題考查解三角形問題中的三角形面積的最值問題的求解；求解最值問題的關鍵是能夠通過余弦定理構造等量關系，進而利用基本不等式求得邊長之積的最值，屬于?？碱}型.14、【解析】

已知等腰三角形可知為銳角，利用三角形內角和為，建立底角和頂角之間的關系，再求解三角函數值．【詳解】設此三角形的底角為，頂角為，易知為銳角，則，，所以．【點睛】給值求值的關鍵是找準角與角之間的關系，再利用已知的函數求解未知的函數值．15、-3【解析】

試題分析：∵，∴，又∵，∴，∴，∴考點：本題考查了向量的坐標運算點評：熟練運用向量的坐標運算是解決此類問題的關鍵，屬基礎題16、1【解析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

（1）利用可求得，將不等式化為；分別在和兩種情況下解不等式可求得結果；（2）當時，，可將變?yōu)樵谏虾愠闪?；分類討論得到解析式，從而可得單調性；分別在、、三種情況下，利用構造不等式，解不等式求得結果.【詳解】（1）是的零點由得：當時，，即，解得：當時，，即，解得：的解集為：（2）當時，，即：時，在上恒成立①當時，恒成立符合題意②當時，在上單調遞增；在上單調遞減；在上單調遞增當時，，解得：當時，，解集為當時，，解得：綜上所述，的取值范圍為：【點睛】本題考查含絕對值不等式的求解、恒成立問題的求解；求解恒成立問題的關鍵是能夠通過分類討論的方式去掉絕對值符號，結合函數單調性，將問題轉化為所求參數與函數最值之間的大小關系的比較問題，從而構造不等式求得結果.18、（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）利用和角公式及降次公式對f（x）進行化簡，得到f（x）=，代入周期公式即可；（2）由x的范圍求出ωx+φ的范圍，結合正弦函數單調性得出最值和相應的x．試題解析：（1），，，，，所以的最小正周期為.（2）∵，∴，當，即時，；當，即時，.點睛：三角函數式的化簡要遵循“三看”原則:一看角，這是重要一環(huán)，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；二看函數名稱，看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有切化弦；三看結構特征，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，如遇到分式要通分等.19、（1）（2）【解析】

試題分析：（1）由已知條件，利用等差數列的前n項和公式和通項公式及等比數列的性質列出方程組，求出等差數列的首項和公差，由此能求出數列{an}的通項公式；（2）由題意推導出bn＝22n+1+1，由此利用分組求和法能求出數列{bn}的前n項和．詳解：（Ⅰ）設等差數列的公差為.因為，所以.①因為成等比數列，所以.②由①，②可得：.所以.（Ⅱ）由題意，設數列的前項和為，,，所以數列為以為首項，以為公比的等比數列所以點睛：這個題目考查的是數列通項公式的求法及數列求和的常用方法；數列通項的求法中有常見的已知和的關系，求表達式，一般是寫出作差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等.20、（1）；（2）.【解析】

（1）三點共線，則有與共線，由向量共線的坐標運算可得點坐標；（2），則，由向量數量積的坐標運算可得【詳解】設，則，（1）因為三點共線，所以與共線，所以，，點的坐標為.（2）因為，所以，即，，點的坐標為.【點睛】本題考查向量共線和向量垂直的坐標運